10.1 ಪರಿಚಯ

ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತಹ ಕೆಲವು ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗಡಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಅಳತೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ನಾವು ಈಗ ಇವುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

10.2 ಪರಿಧಿ (Perimeter)

ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು (ಚಿತ್ರ 10.1) ನೋಡಿ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ತಂತಿ ಅಥವಾ ದಾರದಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು.

ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು $S$ ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಮತ್ತೆ ಬಿಂದು $S$ ಗೆ ತಲುಪುತ್ತೀರಿ. ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (a), (b) & (c) ಆಕೃತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಂದು ಸುತ್ತನ್ನು

ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ರೇಖಾಕಿಸಲು ಬಳಸಿದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ದೂರವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಧಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

• ತನ್ನ ಹೊಲಕ್ಕೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬಯಸುವ ರೈತ.
• ಮನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯೋಜಿಸುವ ಎಂಜಿನಿಯರ್.
• ಕ್ರೀಡೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ತಯಾರಿಸುವ ವ್ಯಕ್ತಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಜನರು ‘ಪರಿಧಿ’ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

ನಿಮಗೆ ಪರಿಧಿ ತಿಳಿಯಬೇಕಾದ ಐದು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ಪರಿಧಿಯು ನೀವು ಆಕೃತಿಯ ಸುತ್ತ ಒಮ್ಮೆ ಹೋದಾಗ, ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಗಡಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವಾಗಿದೆ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನ ಮೇಜಿನ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ.

AB= _______ ಸೆಂ.ಮೀ
BC= _______ ಸೆಂ.ಮೀ
CD= _______ ಸೆಂ.ಮೀ
DA= _______ ಸೆಂ.ಮೀ

ಈಗ, ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ ಸೆಂ.ಮೀ+ _____ ಸೆಂ.ಮೀ+ _____ ಸೆಂ.ಮೀ+ _____ ಸೆಂ.ಮೀ

$=$ ______ಸೆಂ.ಮೀ

ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು?

2. ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ನ ಒಂದು ಪುಟದ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ ಸೆಂ.ಮೀ+ _____ ಸೆಂ.ಮೀ+ _____ ಸೆಂ.ಮೀ+ _____ ಸೆಂ.ಮೀ

$=$ ______ಸೆಂ.ಮೀ

ಪುಟದ ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು?

3. ಮೀರಾ $150 m$ ಉದ್ದ ಮತ್ತು $80 m$ ಅಗಲವಿರುವ ಉದ್ಯಾನವನಕ್ಕೆ ಹೋಗಿದ್ದಳು. ಅವಳು ಅದರ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸುತ್ತು ಹಾಕಿದಳು. ಅವಳು ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ ಎಷ್ಟು?

4. ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಗಳ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಹಾಗಾದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೀರಿ? ಸರಳವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ (ಇವು ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳು) ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10.2.1 ಆಯತದ ಪರಿಧಿ

ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $15 cm$ ಮತ್ತು $9 cm$ ಆಗಿರುವ ಒಂದು ಆಯತ $ABCD$ (ಚಿತ್ರ 10.2) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅದರ ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು ಆಗುತ್ತದೆ?

ಆಯತದ ಪರಿಧಿ $=$ ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ.

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

ಆಯತದ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಆದ್ದರಿಂದ AB = CD, AD = BC

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಆಯತಗಳ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಆಯತದ ಉದ್ದ	ಆಯತದ ಅಗಲ	ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಪರಿಧಿ	$2 \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)$ ಮೂಲಕ ಪರಿಧಿ
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೇಳಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ, ನಾವು ಗಮನಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ ಆಯತದ ಪರಿಧಿ $=$ ಉದ್ದ + ಅಗಲ + ಉದ್ದ + ಅಗಲ ಅಂದರೆ ಆಯತದ ಪರಿಧಿ $=\mathbf{2} \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)$

ಈಗ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಶಬಾನಾ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಟೇಬಲ್ ಕವರ್ (ಚಿತ್ರ 10.3) ನ ಸುತ್ತಲೂ ಲೇಸ್ ಗಡಿಯನ್ನು ಹಾಕಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ, ಅದು $3 m$ ಉದ್ದ ಮತ್ತು $2 m$ ಅಗಲವಾಗಿದೆ. ಶಬಾನಾ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೇಸ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಆಯತಾಕಾರದ ಟೇಬಲ್ ಕವರ್ನ ಉದ್ದ $=3 m$

ಆಯತಾಕಾರದ ಟೇಬಲ್ ಕವರ್ನ ಅಗಲ $=2 m$

ಶಬಾನಾ ಟೇಬಲ್ ಕವರ್ನ ಸುತ್ತಲೂ ಲೇಸ್ ಗಡಿಯನ್ನು ಹಾಕಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೇಸ್ನ ಉದ್ದವು ಆಯತಾಕಾರದ ಟೇಬಲ್ ಕವರ್ನ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಆಯತಾಕಾರದ ಟೇಬಲ್ ಕವರ್ನ ಪರಿಧಿ

$=2 \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೇಸ್ನ ಉದ್ದ $10 m$.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಒಬ್ಬ ಅಥ್ಲೀಟ್ $50 m$ ಉದ್ದ ಮತ್ತು $25 m$ ಅಗಲವಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ 10 ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಕ್ರಮಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಉದ್ದ $=50 m$

ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಅಗಲ $=25 m$

ಅಥ್ಲೀಟ್ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದೂರವು ಉದ್ಯಾನವನದ ಪರಿಧಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಪರಿಧಿ

$=2 \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಥ್ಲೀಟ್ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ $150 m$.

ಆದ್ದರಿಂದ, 10 ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ $=10 \times 150 m=1500 m$

ಅಥ್ಲೀಟ್ ಕ್ರಮಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದೂರ $1500 m$.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $150 cm$ ಮತ್ತು $1 m$ ಆಗಿರುವ ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಉದ್ದ $=150 cm$

$ \text{ ಅಗಲ }=1 m=100 cm $

ಆಯತದ ಪರಿಧಿ

$=2 \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಒಬ್ಬ ರೈತನು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $240 m$ ಮತ್ತು $180 m$ ಆಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಜಮೀನನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ. ಅವನು ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರ 10.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ 3 ಸುತ್ತುಗಳ ದಾರದಿಂದ ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಬಳಸಬೇಕಾದ ದಾರದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ: ರೈತನು ಆ ಜಮೀನಿನ ಪರಿಧಿಯ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಆವರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದಾರದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಅದರ ಪರಿಧಿಯ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜಮೀನಿನ ಪರಿಧಿ $=2 \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

ದಾರದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದದ ಅಗತ್ಯ $=3 \times 840 m=2520 m$

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಉದ್ದ $250 m$ ಮತ್ತು ಅಗಲ $175 m$ ಆಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೀಟರಿಗೆ ₹ 12 ರಂತೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ಖರ್ಚನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಉದ್ದ $=250 m$

ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಅಗಲ $=175 m$

ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ಖರ್ಚನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಪರಿಧಿ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಯತದ ಪರಿಧಿ $=2 \times($ (ಉದ್ದ + ಅಗಲ) $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

ಉದ್ಯಾನವನದ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ಖರ್ಚು $1 m$ ಪ್ರತಿ ಮೀಟರಿಗೆ $=₹ 12$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದ್ಯಾನವನವನ್ನು ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ಒಟ್ಟು ಖರ್ಚು

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳ ಪರಿಧಿ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಬಿಸ್ವಾಮಿತ್ರನು ಒಂದು ಚದರ ಚಿತ್ರದ (ಚಿತ್ರ 10.5) ಸುತ್ತಲೂ ಬಣ್ಣದ ಟೇಪ್ ಅನ್ನು ಹಾಕಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ, ಅದರ ಬದಿಯು $1 m$ ಆಗಿದೆ. ಅವನಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಣ್ಣದ ಟೇಪ್ನ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

ಬಿಸ್ವಾಮಿತ್ರನು ಚದರ ಚಿತ್ರದ ಸುತ್ತಲೂ ಬಣ್ಣದ ಟೇಪ್ ಅನ್ನು ಹಾಕಲು ಬಯಸುವುದರಿಂದ, ಅವನು ಚಿತ್ರ ಫ್ರೇಮ್ನ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಟೇಪ್ನ ಉದ್ದ

$=$ ಚೌಕದ ಪರಿಧಿ $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

ಈಗ, ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಕೂಡಿಸುವ ಬದಲು, ನಾವು ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಟೇಪ್ನ ಉದ್ದ $=4 \times 1 m=4 m$

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ, ನಾವು ನೋಡುವುದೇನೆಂದರೆ

ಚೌಕದ ಪರಿಧಿ $=\mathbf{4} \times$ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ

ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈಗ, ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು $4 cm$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 10.6) ನೋಡಿ. ನಾವು ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಈ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿ $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದೇನೆಂದರೆ

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿ $=3 \times$ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ

ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ನಡುವೆ ಏನು ಸಮಾನತೆ ಇದೆ? ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳು (regular closed figures) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನಿಂದ ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅವು ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿರುವುದೇನೆಂದರೆ,

ಚೌಕದ ಪರಿಧಿ $=4 \times$ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿ $=3 \times$ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ

ಹಾಗಾದರೆ, ಸಮ ಪಂಚಭುಜದ (regular pentagon) ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು ಆಗುತ್ತದೆ?

ಸಮ ಪಂಚಭುಜವು ಐದು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮ ಪಂಚಭುಜದ ಪರಿಧಿ $=5 \times$ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಸಮ ಷಡ್ಭುಜದ (regular hexagon) ಪರಿಧಿ _______ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮ ಅಷ್ಟಭುಜದ (octagon) ಪರಿಧಿ _______ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಶೈನಾ ಬದಿಯು $70 m$ ಆಗಿರುವ ಚದರ ಉದ್ಯಾನವನದ ಮೂರು ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ಅವಳು ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚದರ ಉದ್ಯಾನವನದ ಪರಿಧಿ $=4 \times$ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ $=4 \times 70 m=280 m$

ಒಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ $=280 m$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ $=3 \times 280 m=840 m$

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ಪಿಂಕಿ ಬದಿಯು $75 m$ ಆಗಿರುವ ಚದರ ಜಮೀನಿನ ಸುತ್ತ ಓಡುತ್ತಾಳೆ, ಬಾಬ್ ಉದ್ದ $160 m$ ಮತ್ತು ಅಗಲ $105 m$ ಆಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಜಮೀನಿನ ಸುತ್ತ ಓಡುತ್ತಾನೆ. ಯಾರು ಹೆಚ್ಚು ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು?

ಪರಿಹಾರ : ಪಿಂಕಿ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ $=$ ಚೌಕದ ಪರಿಧಿ

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

ಬಾಬ್ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ $=$ ಆಯತದ ಪರಿಧಿ

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ ಉದ್ದ }+ \text{ ಅಗಲ }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $=530 m-300 m=230 m$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಬ್ $230 m$ ಹೆಚ್ಚು ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 : ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು $3 cm$ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ ಪಂಚಭುಜದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಈ ಸಮ ಆಕೃತಿಯು 5 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $3 cm$ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಮ ಪಂಚಭುಜದ ಪರಿಧಿ $=5 \times 3 cm=15 cm$

ಉದಾಹರಣೆ 9 : ಒಂದು ಸಮ ಷಡ್ಭುಜದ ಪರಿಧಿಯು $18 cm$ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ : ಪರಿಧಿ $=18 cm$

ಸಮ ಷಡ್ಭುಜವು 6 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಪರಿಧಿಯನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಷಡ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿ $=18 cm \div 6=3 cm$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮ ಷಡ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು $3 cm$ ಆಗಿದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 10.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ :

2. ಬದಿಗಳು $40 cm$ ಮತ್ತು $10 cm$ ಆಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಮುಚ್ಚಳವನ್ನು ಟೇಪ್ನಿಂದ ಸುತ್ತಲೂ ಸೀಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಟೇಪ್ನ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

3. ಒಂದು ಟೇಬಲ್-ಟಾಪ್ ನ ಅಳತೆ $2 m 25 cm$ ಮತ್ತು $1 m 50 cm$ ಆಗಿದೆ. ಟೇಬಲ್-ಟಾಪ್ ನ ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು?

4. ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $32 cm$ ಮತ್ತು $21 cm$ ಆಗಿರುವ ಫೋಟೋವನ್ನು ಫ್ರೇಮ್ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮರದ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

5. ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಜಮೀನಿನ ತುಂಡಿನ ಅಳತೆ $0.7 km$ ಮತ್ತು $0.5 km$ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು 4 ಸಾಲುಗಳ ತಂತಿಯಿಂದ ಬೇಲಿ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

6. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ :

(a) ಬದಿಗಳು $3 cm, 4 cm$, $5 cm$ ಮತ್ತು $5 cm$ ಆಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ.
(b) ಬದಿಯು $9 cm$ ಆಗಿರುವ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ.
(c) ಸಮಾನ ಬದಿಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $8 cm$ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬದಿ $6 cm$ ಆಗಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ.

7. ಬದಿಗಳು $10 cm, 14 cm$, $15 cm$ ಮತ್ತು $15 cm$ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು $8 m$ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ ಷಡ್ಭುಜದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. ಪರಿಧಿಯು $20 m$ ಆಗಿರುವ ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. ಒಂದು ಸಮ ಪಂಚಭುಜದ ಪರಿಧಿಯು $100 cm$ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

11. ಒಂದು ದಾರದ ತುಂಡು $30 cm$ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ದಾರವನ್ನು ಬಳಸಿ ರೂಪಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು ಆಗುತ್ತದೆ :

(a) ಒಂದು ಚೌಕ?
(b) ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ?
(c) ಒಂದು ಸಮ ಷಡ್ಭುಜ?

12. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು $12 cm$ ಮತ್ತು $14 cm$ ಆಗಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯು $36 cm$ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಮೂರನೇ ಬದಿ ಎಷ್ಟು?

13. ಬದಿಯು $250 m$ ಆಗಿರುವ ಚದರ ಉದ್ಯಾನವನವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೀಟರಿಗೆ $₹ 20$ ರಂತೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ಖರ್ಚನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

14. ಉದ್ದ $175 m$ ಮತ್ತು ಅಗಲ $125 m$ ಆಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೀಟರಿಗೆ ₹ 12 ರಂತೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ಖರ್ಚನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

15. ಸ್ವೀಟಿ ಬದಿಯು $75 m$ ಆಗಿರುವ ಚದರ ಉದ್ಯಾನವನದ ಸುತ್ತ ಓಡುತ್ತಾಳೆ. ಬುಲ್ಬುಲ್ ಉದ್ದ $60 m$ ಮತ್ತು ಅಗಲ $45 m$ ಆಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಸುತ್ತ ಓಡುತ್ತಾಳೆ. ಯಾರು ಕಡಿಮೆ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ?

16. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳಿಂದ ನೀವು ಏನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೀರಿ?

17. ಅವ್ನೀತ್ 9 ಚದರ ಪೇವಿಂಗ್ ಸ್ಲ್ಯಾಬ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸುತ್ತಾನೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಬದಿಯು $\frac{1}{2} m$ ಆಗಿದೆ. ಅವನು ಅವುಗಳನ್ನು ಚೌಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸುತ್ತಾನೆ.

(a) ಅವನ ಜೋಡಣೆಯ ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು [ಚಿತ್ರ 10.7(i)]?
(b) ಶಾರಿಗೆ ಅವನ ಜೋಡಣೆ ಇಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಳು ಅವನನ್ನು ಅಡ್ಡ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳ ಜೋಡಣೆಯ ಪರಿಧಿ ಎಷ್ಟು [ಚಿತ್ರ 10.7 (ii)]?
(c) ಯಾವುದರ ಪರಿಧಿ ಹೆಚ್ಚು?
(d) ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮಾರ್ಗವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವ್ನೀತ್ ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡುತ್ತಾನೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? (ಪೇವಿಂಗ್ ಸ್ಲ್ಯಾಬ್ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.)

10.3 ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area)

ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು (ಚಿತ್ರ 10.8) ನೋಡಿ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಾಗಾದರೆ, ಮೇಲಿನ ಯಾವ ಆಕೃತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

ಈಗ, ಚಿತ್ರ 10.9 ರ ಪಕ್ಕದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ಈ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಹೇಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ನೀವು ಏನು ಮಾಡುತ್ತೀರಿ?

ಅವುಗಳನ್ನು ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕಾಗದ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್ ಪೇಪರ್ನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚೌಕವು $1 cm \times 1 cm$ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆಕೃತಿಯ