10.1 પ્રસ્તાવના

જ્યારે આપણે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે કેટલાક સમતલ આકારો વિશે વાત કરીએ છીએ ત્યારે આપણે તેમના પ્રદેશો અને તેમની સીમાઓ વિશે વિચારીએ છીએ. તેમની તુલના કરવા માટે આપણને કેટલાક માપની જરૂર છે. હવે આપણે આમાં શોધખોળ કરીએ.

10.2 પરિમિતિ

નીચેની આકૃતિઓ (આકૃતિ 10.1) જુઓ. તમે તેમને તાર અથવા દોરડાથી બનાવી શકો છો.

જો તમે દરેક કિસ્સામાં બિંદુ $S$ થી શરૂઆત કરો અને રેખાખંડો સાથે આગળ વધો તો તમે ફરીથી બિંદુ $S$ પર પહોંચો છો. તમે દરેક કિસ્સામાં (a), (b) અને (c) આકારનો એક સંપૂર્ણ ચક્કર લગાવ્યો છે.

કાપવામાં આવેલું અંતર આકૃતિ દોરવા માટે વપરાયેલા તારની લંબાઈ જેટલું છે.

આ અંતર બંધ આકૃતિની પરિમિતિ તરીકે ઓળખાય છે. તે આકૃતિઓ બનાવવા માટે જરૂરી તારની લંબાઈ છે.

પરિમિતિનો ખ્યાલ આપણા રોજિંદા જીવનમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

• એક ખેડૂત જે તેના ખેતરની વાડ કરવા માંગે છે.
• એક ઇજનેર જે ઘરની બધી બાજુએ કોઠાની દિવાલ બનાવવાની યોજના બનાવે છે.
• એક વ્યક્તિ જે રમત-ગમત યોજવા માટે ટ્રેક તૈયાર કરે છે.

આ બધા લોકો ‘પરિમિતિ’ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે.

પાંચ ઉદાહરણો આપો જ્યાં તમારે પરિમિતિ જાણવાની જરૂર છે.

પરિમિતિ એ બંધ આકૃતિ બનાવતી સીમા સાથે કાપવામાં આવેલું અંતર છે જ્યારે તમે આકૃતિની આસપાસ એક વાર જાઓ છો.

આ પ્રયાસ કરો

1. તમારા અભ્યાસ કરવાના ટેબલની ટોચની ચાર બાજુઓની લંબાઈ માપો અને લખો.

AB= _______ સેમી
BC= _______ સેમી
CD= _______ સેમી
DA= _______ સેમી

હવે, ચાર બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ સેમી+ _____ સેમી+ _____ સેમી+ _____ સેમી

$=$ ______સેમી

પરિમિતિ શું છે?

2. તમારી નોટબુકના એક પાનાની ચાર બાજુઓની લંબાઈ માપો અને લખો. ચાર બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ સેમી+ _____ સેમી+ _____ સેમી+ _____ સેમી

$=$ ______સેમી

પાનાની પરિમિતિ શું છે?

3. મીરા $150 m$ લાંબા અને $80 m$ પહોળા એક પાર્કમાં ગઈ. તેણીએ તેની સીમા પર એક સંપૂર્ણ ચક્કર લગાવ્યો. તેણીએ કાપેલું અંતર શું છે?

4. નીચેની આકૃતિઓની પરિમિતિ શોધો:

તો, તમે સંપૂર્ણપણે રેખાખંડોથી બનેલી કોઈપણ બંધ આકૃતિની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધશો? ફક્ત બધી બાજુઓ (જે રેખાખંડો છે) ની લંબાઈનો સરવાળો શોધો.

10.2.1 લંબચોરસની પરિમિતિ

ચાલો એક લંબચોરસ $ABCD$ (આકૃતિ 10.2) ધ્યાનમાં લઈએ જેની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $15 cm$ અને $9 cm$ છે. તેની પરિમિતિ શું હશે?

લંબચોરસની પરિમિતિ $=$ તેની ચાર બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો.

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

યાદ રાખો કે લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે તેથી AB = CD, AD = BC

આ પ્રયાસ કરો

નીચેના લંબચોરસની પરિમિતિ શોધો:

લંબચોરસની લંબાઈ	લંબચોરસની પહોળાઈ	બધી બાજુઓ ઉમેરીને પરિમિતિ	$2 \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)$ દ્વારા પરિમિતિ
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

આમ, કહેલા ઉદાહરણ પરથી, આપણે નોંધીએ છીએ કે લંબચોરસની પરિમિતિ $=$ લંબાઈ + પહોળાઈ + લંબાઈ + પહોળાઈ એટલે કે લંબચોરસની પરિમિતિ $=\mathbf{2} \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)$

ચાલો હવે આ ખ્યાલના વ્યવહારિક ઉપયોગો જોઈએ:

ઉદાહરણ 1 : શબાના એક લંબચોરસ ટેબલ કવર (આકૃતિ 10.3)ની આસપાસ, જે $3 m$ લાંબો અને $2 m$ પહોળો છે, તેની આસપાસ લેસની કિનારી મૂકવા માંગે છે. શબાનાને જરૂરી લેસની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ : લંબચોરસ ટેબલ કવરની લંબાઈ $=3 m$

લંબચોરસ ટેબલ કવરની પહોળાઈ $=2 m$

શબાના ટેબલ કવરની આસપાસ લેસની કિનારી મૂકવા માંગે છે. તેથી, જરૂરી લેસની લંબાઈ લંબચોરસ ટેબલ કવરની પરિમિતિ જેટલી હશે.

હવે, લંબચોરસ ટેબલ કવરની પરિમિતિ

$=2 \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

તેથી, જરૂરી લેસની લંબાઈ $10 m$ છે.

ઉદાહરણ 2 : એક એથ્લીટ $50 m$ લાંબા અને $25 m$ પહોળા લંબચોરસ પાર્કના 10 ચક્કર લગાવે છે. તેના દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર શોધો.

ઉકેલ : લંબચોરસ પાર્કની લંબાઈ $=50 m$

લંબચોરસ પાર્કની પહોળાઈ $=25 m$

એથ્લીટ દ્વારા એક ચક્કરમાં કાપેલું કુલ અંતર પાર્કની પરિમિતિ હશે.

હવે, લંબચોરસ પાર્કની પરિમિતિ

$=2 \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

તેથી, એથ્લીટ દ્વારા એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $150 m$ છે.

તેથી, 10 ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $=10 \times 150 m=1500 m$

એથ્લીટ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $1500 m$ છે.

ઉદાહરણ 3 : એક લંબચોરસની પરિમિતિ શોધો જેની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $150 cm$ અને $1 m$ છે.

ઉકેલ : લંબાઈ $=150 cm$

$ \text{ પહોળાઈ }=1 m=100 cm $

લંબચોરસની પરિમિતિ

$=2 \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

ઉદાહરણ 4 : એક ખેડૂત પાસે લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $240 m$ અને $180 m$ ધરાવતું લંબચોરસ ખેતર છે. તે આકૃતિ 10.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે તેની આસપાસ 3 ચક્કર દોરડાથી વાડ કરવા માંગે છે. તેને જરૂરી દોરડાની કુલ લંબાઈ કેટલી હશે?

ઉકેલ: ખેડૂતે તે ખેતરની પરિમિતિ કરતાં ત્રણ ગણું અંતર કાપવાનું છે. તેથી, જરૂરી દોરડાની કુલ લંબાઈ તેની પરિમિતિની ત્રણ ગણી છે.

ખેતરની પરિમિતિ $=2 \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

દોરડાની જરૂરી કુલ લંબાઈ $=3 \times 840 m=2520 m$

ઉદાહરણ 5 : $250 m$ લંબાઈ અને $175 m$ પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસ પાર્કની ₹ 12 પ્રતિ મીટરના દરે વાડ કરવાનો ખર્ચ શોધો.

ઉકેલ : લંબચોરસ પાર્કની લંબાઈ $=250 m$

લંબચોરસ પાર્કની પહોળાઈ $=175 m$

વાડ કરવાનો ખર્ચ ગણતરી કરવા માટે આપણને પરિમિતિની જરૂર છે.

લંબચોરસની પરિમિતિ $=2 \times($ લંબાઈ + પહોળાઈ $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

વાડ કરવાનો ખર્ચ $1 m$ પાર્ક $=₹ 12$

તેથી, પાર્કની વાડ કરવાનો કુલ ખર્ચ

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 નિયમિત આકારોની પરિમિતિ

આ ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો.

બિસ્વામિત્ર $1 m$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ ચિત્ર (આકૃતિ 10.5)ની આસપાસ, બતાવ્યા પ્રમાણે, રંગીન ટેપ લગાવવા માંગે છે. તેને જરૂરી રંગીન ટેપની લંબાઈ કેટલી હશે?

કારણ કે બિસ્વામિત્ર ચોરસ ચિત્રની આસપાસ રંગીન ટેપ લગાવવા માંગે છે, તેને ચિત્ર ફ્રેમની પરિમિતિ શોધવાની જરૂર છે.

આમ, જરૂરી ટેપની લંબાઈ

$=$ ચોરસની પરિમિતિ $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

હવે, આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસની બધી ચાર બાજુઓ સમાન હોય છે, તેથી, તેને ચાર વાર ઉમેરવાને બદલે, આપણે એક બાજુની લંબાઈને 4 વડે ગુણી શકીએ છીએ. આમ, જરૂરી ટેપની લંબાઈ $=4 \times 1 m=4 m$

આ ઉદાહરણ પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે

ચોરસની પરિમિતિ $=\mathbf{4} \times$ બાજુની લંબાઈ

વધુ આવા ચોરસ દોરો અને તેમની પરિમિતિ શોધો.

હવે, સમબાજુ ત્રિકોણ (આકૃતિ 10.6) જુઓ જેની દરેક બાજુ $4 cm$ સમાન છે. શું આપણે તેની પરિમિતિ શોધી શકીએ?

આ સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

તેથી, આપણે શોધીએ છીએ કે

સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $=3 \times$ બાજુની લંબાઈ

ચોરસ અને સમબાજુ ત્રિકોણ વચ્ચે સમાનતા શું છે? તે બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની અને બધા ખૂણા સમાન માપના ધરાવતી આકૃતિઓ છે. આવી આકૃતિઓ નિયમિત બંધ આકૃતિઓ તરીકે ઓળખાય છે. આમ, ચોરસ અને સમબાજુ ત્રિકોણ નિયમિત બંધ આકૃતિઓ છે.

આ પ્રયાસ કરો

તમારી આસપાસથી વિવિધ વસ્તુઓ શોધો જે નિયમિત આકાર ધરાવતી હોય અને તેમની પરિમિતિ શોધો.

તમે શોધ્યું કે,

ચોરસની પરિમિતિ $=4 \times$ એક બાજુની લંબાઈ

સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $=3 \times$ એક બાજુની લંબાઈ

તો, નિયમિત પંચભુજની પરિમિતિ શું હશે?

નિયમિત પંચભુજની પાંચ સમાન બાજુઓ હોય છે.

તેથી, નિયમિત પંચભુજની પરિમિતિ $=5 \times$ એક બાજુની લંબાઈ અને નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ _______ હશે અને અષ્ટકોણની _______ હશે.

ઉદાહરણ 6 : શૈનાએ $70 m$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ પાર્કના ત્રણ ચક્કર લગાવ્યા હોય તો તેના દ્વારા કાપેલું અંતર શોધો.

ઉકેલ : ચોરસ પાર્કની પરિમિતિ $=4 \times$ બાજુની લંબાઈ $=4 \times 70 m=280 m$

એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $=280 m$

તેથી, ત્રણ ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $=3 \times 280 m=840 m$

ઉદાહરણ 7 : પિંકી $75 m$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ ખેતરની આસપાસ દોડે છે, બોબ $160 m$ લંબાઈ અને $105 m$ પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસ ખેતરની આસપાસ દોડે છે. કોણ વધુ અંતર કાપે છે અને કેટલું?

ઉકેલ : પિંકી દ્વારા એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $=$ ચોરસની પરિમિતિ

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ બાજુની લંબાઈ } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

બોબ દ્વારા એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $=$ લંબચોરસની પરિમિતિ

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ લંબાઈ }+ \text{ પહોળાઈ }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

કાપેલા અંતરમાં તફાવત $=530 m-300 m=230 m$.

તેથી, બોબ $230 m$ વધુ અંતર કાપે છે.

ઉદાહરણ 8 : નિયમિત પંચભુજની પરિમિતિ શોધો જેની દરેક બાજુ $3 cm$ માપની હોય.

ઉકેલ : આ નિયમિત બંધ આકૃતિમાં 5 બાજુઓ છે, દરેક $3 cm$ લંબાઈની છે. આમ, આપણને મળે છે

નિયમિત પંચભુજની પરિમિતિ $=5 \times 3 cm=15 cm$

ઉદાહરણ 9 : નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ $18 cm$ છે. તેની એક બાજુ કેટલી લાંબી છે?

ઉકેલ : પરિમિતિ $=18 cm$

નિયમિત ષટ્કોણની 6 બાજુઓ હોય છે, તેથી આપણે એક બાજુની લંબાઈ મેળવવા માટે પરિમિતિને 6 વડે ભાગી શકીએ છીએ.

ષટ્કોણની એક બાજુ $=18 cm \div 6=3 cm$

તેથી, નિયમિત ષટ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $3 cm$ છે.

કસરત 10.1

1. નીચેની દરેક આકૃતિની પરિમિતિ શોધો :

2. $40 cm$ દ્વારા $10 cm$ બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસ બોક્સના ઢાંકણની આસપાસ ટેપ લગાવીને સીલ કરવામાં આવે છે. જરૂરી ટેપની લંબાઈ કેટલી છે?

3. ટેબલ-ટોપ $2 m 25 cm$ દ્વારા $1 m 50 cm$ માપે છે. ટેબલ-ટોપની પરિમિતિ શું છે?

4. લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $32 cm$ અને $21 cm$ ધરાવતા ફોટોગ્રાફને ફ્રેમ કરવા માટે જરૂરી લાકડાની પટ્ટીની લંબાઈ કેટલી છે?

5. લંબચોરસ જમીનના ટુકડાનું માપ $0.7 km$ દ્વારા $0.5 km$ છે. દરેક બાજુ 4 હાર તારથી વાડવાની છે. જરૂરી તારની લંબાઈ કેટલી છે?

6. નીચેના દરેક આકારની પરિમિતિ શોધો :

(a) $3 cm, 4 cm$ અને $5 cm$ બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ.
(b) $9 cm$ બાજુ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ.
(c) સમાન બાજુઓ $8 cm$ દરેક અને ત્રીજી બાજુ $6 cm$ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ.

7. $10 cm, 14 cm$ અને $15 cm$ માપની બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો.

8. દરેક બાજુ $8 m$ માપનો નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ શોધો.

9. ચોરસની બાજુ શોધો જેની પરિમિતિ $20 m$ છે.

10. નિયમિત પંચભુજની પરિમિતિ $100 cm$ છે. તેની દરેક બાજુ કેટલી લાંબી છે?

11. દોરડાનો એક ટુકડો $30 cm$ લાંબો છે. જો દોરડાનો ઉપયોગ નીચેના બનાવવા માટે થાય તો દરેક બાજુની લંબાઈ કેટલી હશે:

(a) ચોરસ?
(b) સમબાજુ ત્રિકોણ?
(c) નિયમિત ષટ્કોણ?

12. ત્રિકોણની બે બાજુઓ $12 cm$ અને $14 cm$ છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ $36 cm$ છે. તેની ત્રીજી બાજુ શું છે?

13. $250 m$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ પાર્કની $₹ 20$ પ્રતિ મીટરના દરે વાડ કરવાનો ખર્ચ શોધો.

14. $175 m$ લંબાઈ અને $125 m$ પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસ પાર્કની ₹ 12 પ્રતિ મીટરના દરે વાડ કરવાનો ખર્ચ શોધો.

15. સ્વીતી $75 m$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ પાર્કની આસપાસ દોડે છે. બુલબુલ $60 m$ લંબાઈ અને $45 m$ પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસ પાર્કની આસપાસ દોડે છે. કોણ ઓછું અંતર કાપે છે?

16. નીચેની દરેક આકૃતિની પરિમિતિ શું છે? તમે જવાબો પરથી શું અનુમાન લગાવો છો?

17. અવનીત 9 ચોરસ પેવિંગ સ્લેબ ખરીદે છે, દરેક $\frac{1}{2} m$ બાજુ ધરાવે છે. તે તેમને ચોરસના રૂપમાં મૂકે છે.

(a) તેની ગોઠવણીની પરિમિતિ શું છે [આકૃતિ 10.7(i)]?
(b) શારીને તેની ગોઠવણી ગમતી નથી. તે તેને ક્રોસ જેવા રૂપમાં મૂકવા માટે કહે છે. તેની ગોઠવણીની પરિમિતિ શું છે [આકૃતિ 10.7 (ii)]?
(c) કઈની પરિમિતિ વધુ છે?
(d) અવનીત આશ્ચર્ય પામે છે કે શું વધુ પરિમિતિ મેળવવાની કોઈ રીત છે. શું તમે આ કરવાની રીત શોધી શકો છો? (પેવિંગ સ્લેબ સંપૂર્ણ કિનારીઓ સાથે મળવી જોઈએ એટલે કે તે તૂટી શકતી નથી.)

10.3 ક્ષેત્રફળ

નીચે આપેલી બંધ આકૃતિઓ (આકૃતિ 10.8) જુઓ. તે બધી સપાટ સપાટ