১০.১ ভূমিকা

যখন আমরা নিচে দেখানো কিছু সমতলীয় চিত্রের কথা বলি, তখন আমরা তাদের ক্ষেত্র এবং তাদের সীমানা সম্পর্কে চিন্তা করি। তাদের তুলনা করার জন্য আমাদের কিছু পরিমাপের প্রয়োজন। আমরা এখন এগুলি দেখব।

১০.২ পরিসীমা

নিচের চিত্রগুলি দেখুন (চিত্র ১০.১)। আপনি এগুলি একটি তার বা দড়ি দিয়ে তৈরি করতে পারেন।

যদি আপনি প্রতিটি ক্ষেত্রে $S$ বিন্দু থেকে শুরু করে রেখাংশ বরাবর চলতে থাকেন, তাহলে আপনি আবার $S$ বিন্দুতে পৌঁছাবেন। আপনি প্রতিটি ক্ষেত্রে (ক), (খ) ও (গ) চিত্রটির একটি সম্পূর্ণ চক্র সম্পন্ন করেছেন।

অতিক্রান্ত দূরত্বটি চিত্রটি আঁকার জন্য ব্যবহৃত তারের দৈর্ঘ্যের সমান।

এই দূরত্বটি বদ্ধ চিত্রের পরিসীমা নামে পরিচিত। এটি চিত্রগুলি গঠন করার জন্য প্রয়োজনীয় তারের দৈর্ঘ্য।

পরিসীমার ধারণাটি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

• একজন কৃষক যিনি তার ক্ষেত্রের চারপাশে বেড়া দিতে চান।
• একজন প্রকৌশলী যিনি একটি বাড়ির চারপাশে প্রাচীর নির্মাণের পরিকল্পনা করেন।
• একজন ব্যক্তি যিনি খেলাধুলা পরিচালনার জন্য একটি ট্র্যাক প্রস্তুত করেন।

এই সব মানুষই ‘পরিসীমা’ ধারণাটি ব্যবহার করেন।

পরিস্থিতির পাঁচটি উদাহরণ দিন যেখানে আপনাকে পরিসীমা জানার প্রয়োজন।

পরিসীমা হল একটি বদ্ধ চিত্র গঠনকারী সীমানা বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব যখন আপনি চিত্রটির চারপাশে একবার ঘুরে আসেন।

চেষ্টা করো

১. তোমার পড়ার টেবিলের টপের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য মেপে লেখো।

AB= _______ সেমি
BC= _______ সেমি
CD= _______ সেমি
DA= _______ সেমি

এখন, চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ সেমি+ _____ সেমি+ _____ সেমি+ _____ সেমি

$=$ ______সেমি

পরিসীমা কত?

২. তোমার নোটবুকের একটি পাতার চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য মেপে লেখো। চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ সেমি+ _____ সেমি+ _____ সেমি+ _____ সেমি

$=$ ______সেমি

পাতাটির পরিসীমা কত?

৩. মীরা একটি পার্কে গিয়েছিল যা $150 m$ দীর্ঘ এবং $80 m$ প্রশস্ত। সে এর সীমানা বরাবর একটি সম্পূর্ণ চক্র সম্পন্ন করল। সে কত দূরত্ব অতিক্রম করল?

৪. নিচের চিত্রগুলির পরিসীমা নির্ণয় করো:

সুতরাং, সম্পূর্ণরূপে রেখাংশ দ্বারা গঠিত যেকোনো বদ্ধ চিত্রের পরিসীমা আপনি কীভাবে বের করবেন? সহজভাবে সমস্ত বাহুর (যেগুলি রেখাংশ) দৈর্ঘ্যের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

১০.২.১ একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা

আসুন আমরা একটি আয়তক্ষেত্র $ABCD$ (চিত্র ১০.২) বিবেচনা করি যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $15 cm$ এবং $9 cm$। এর পরিসীমা কত হবে?

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $=$ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

মনে রাখবে একটি আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি সমান, তাই AB = CD, AD = BC

চেষ্টা করো

নিচের আয়তক্ষেত্রগুলির পরিসীমা নির্ণয় করো:

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য	আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ	সমস্ত বাহু যোগ করে পরিসীমা	$2 \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)$ দ্বারা পরিসীমা
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

সুতরাং, উপরের উদাহরণ থেকে আমরা লক্ষ্য করি যে একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $=$ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ + দৈর্ঘ্য + প্রস্থ অর্থাৎ একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $=\mathbf{2} \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)$

আসুন এখন এই ধারণার ব্যবহারিক প্রয়োগগুলি দেখি:

উদাহরণ ১ : শাবানা একটি আয়তাকার টেবিল কভারের (চিত্র ১০.৩) চারপাশে ফিতার কিনারা লাগাতে চায়, যা $3 m$ দীর্ঘ এবং $2 m$ প্রশস্ত। শাবানার প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান : আয়তাকার টেবিল কভারের দৈর্ঘ্য $=3 m$

আয়তাকার টেবিল কভারের প্রস্থ $=2 m$

শাবানা টেবিল কভারের চারপাশে ফিতার কিনারা লাগাতে চায়। সুতরাং, প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য হবে আয়তাকার টেবিল কভারের পরিসীমার সমান।

এখন, আয়তাকার টেবিল কভারের পরিসীমা

$=2 \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

সুতরাং, প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য হল $10 m$।

উদাহরণ ২ : একজন অ্যাথলিট একটি আয়তাকার পার্কের, যা $50 m$ দীর্ঘ এবং $25 m$ প্রশস্ত, ১০ চক্র সম্পন্ন করে। তার দ্বারা অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান : আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য $=50 m$

আয়তাকার পার্কের প্রস্থ $=25 m$

অ্যাথলিট দ্বারা এক চক্রে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব হবে পার্কের পরিসীমা।

এখন, আয়তাকার পার্কের পরিসীমা

$=2 \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

সুতরাং, অ্যাথলিট দ্বারা এক চক্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব হল $150 m$।

অতএব, ১০ চক্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=10 \times 150 m=1500 m$

অ্যাথলিট দ্বারা অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব হল $1500 m$।

উদাহরণ ৩ : একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় করো যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $150 cm$ এবং $1 m$।

সমাধান : দৈর্ঘ্য $=150 cm$

$ \text{ প্রস্থ }=1 m=100 cm $

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা

$=2 \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

উদাহরণ ৪ : একজন কৃষকের একটি আয়তাকার ক্ষেত্র আছে যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $240 m$ এবং $180 m$। তিনি চিত্র ১০.৪-এ দেখানো হিসাবে ৩ পাক দড়ি দিয়ে এটি বেড়া দিতে চান। তাকে অবশ্যই ব্যবহার করতে হবে এমন দড়ির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: কৃষককে সেই ক্ষেত্রের পরিসীমার তিনগুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে। সুতরাং, প্রয়োজনীয় দড়ির মোট দৈর্ঘ্য হল এর পরিসীমার তিনগুণ।

ক্ষেত্রের পরিসীমা $=2 \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

প্রয়োজনীয় দড়ির মোট দৈর্ঘ্য $=3 \times 840 m=2520 m$

উদাহরণ ৫ : $250 m$ দৈর্ঘ্য এবং $175 m$ প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার পার্কের প্রতি মিটারে ₹ ১২ হারে বেড়া দেয়ার খরচ নির্ণয় করো।

সমাধান : আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য $=250 m$

আয়তাকার পার্কের প্রস্থ $=175 m$

বেড়া দেয়ার খরচ গণনা করার জন্য আমাদের পরিসীমা প্রয়োজন।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $=2 \times($ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

বেড়া দেয়ার খরচ $1 m$ পার্কের $=₹ 12$ প্রতি

অতএব, পার্কটি বেড়া দেয়ার মোট খরচ

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

১০.২.২ সুষম আকৃতির পরিসীমা

এই উদাহরণটি বিবেচনা করো।

বিশ্বামিত্র $1 m$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার ছবির (চিত্র ১০.৫) চারপাশে রঙিন ফিতা লাগাতে চায়, যেমন দেখানো হয়েছে। তার প্রয়োজনীয় রঙিন ফিতার দৈর্ঘ্য কত হবে?

যেহেতু বিশ্বামিত্র বর্গাকার ছবির চারপাশে রঙিন ফিতা লাগাতে চায়, তাই তাকে ছবির ফ্রেমের পরিসীমা বের করতে হবে।

সুতরাং, প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য

$=$ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

এখন, আমরা জানি যে একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুই সমান, সুতরাং, চারবার যোগ করার পরিবর্তে, আমরা একটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে ৪ দ্বারা গুণ করতে পারি। সুতরাং, প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য $=4 \times 1 m=4 m$

এই উদাহরণ থেকে আমরা দেখি যে

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $=\mathbf{4} \times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

এরকম আরও বর্গক্ষেত্র আঁকো এবং তাদের পরিসীমা নির্ণয় করো।

এখন, সমবাহু ত্রিভুজটি দেখো (চিত্র ১০.৬) যার প্রতিটি বাহু $4 cm$ সমান। আমরা কি এর পরিসীমা বের করতে পারি?

এই সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

সুতরাং, আমরা দেখি যে

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা $=3 \times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যে মিল কী? এগুলি এমন চিত্র যাদের সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং সব কোণের পরিমাপ সমান। এই ধরনের চিত্রগুলি সুষম বদ্ধ চিত্র নামে পরিচিত। সুতরাং, একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি সমবাহু ত্রিভুজ হল সুষম বদ্ধ চিত্র।

চেষ্টা করো

তোমার চারপাশ থেকে বিভিন্ন বস্তু খুঁজে বের করো যেগুলির সুষম আকৃতি আছে এবং তাদের পরিসীমা নির্ণয় করো।

তুমি দেখেছ যে,

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $=4 \times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা $=3 \times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

সুতরাং, একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিসীমা কত হবে?

একটি সুষম পঞ্চভুজের পাঁচটি বাহু সমান।

অতএব, একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিসীমা $=5 \times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা হবে _______ এবং একটি অষ্টভুজের পরিসীমা হবে _______।

উদাহরণ ৬ : শাইনার দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করো যদি সে $70 m$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার পার্কের তিন চক্র সম্পন্ন করে।

সমাধান : বর্গাকার পার্কের পরিসীমা $=4 \times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $=4 \times 70 m=280 m$

এক চক্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=280 m$

অতএব, তিন চক্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=3 \times 280 m=840 m$

উদাহরণ ৭ : পিংকি $75 m$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার মাঠের চারপাশে দৌড়ায়, বব $160 m$ দৈর্ঘ্য এবং $105 m$ প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের চারপাশে দৌড়ায়। কে বেশি দূরত্ব অতিক্রম করে এবং কতটা বেশি?

সমাধান : পিংকি দ্বারা এক চক্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=$ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

বব দ্বারা এক চক্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=$ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ দৈর্ঘ্য }+ \text{ প্রস্থ }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য $=530 m-300 m=230 m$।

অতএব, বব $230 m$ বেশি দূরত্ব অতিক্রম করে।

উদাহরণ ৮ : একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিসীমা নির্ণয় করো যার প্রতিটি বাহুর পরিমাপ $3 cm$।

সমাধান : এই সুষম বদ্ধ চিত্রটির ৫টি বাহু আছে, প্রতিটির দৈর্ঘ্য $3 cm$। সুতরাং, আমরা পাই

সুষম পঞ্চভুজের পরিসীমা $=5 \times 3 cm=15 cm$

উদাহরণ ৯ : একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা $18 cm$। এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান : পরিসীমা $=18 cm$

একটি সুষম ষড়ভুজের ৬টি বাহু আছে, তাই আমরা একটি বাহুর দৈর্ঘ্য পেতে পরিসীমাকে ৬ দ্বারা ভাগ করতে পারি।

ষড়ভুজের একটি বাহু $=18 cm \div 6=3 cm$

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হল $3 cm$।

অনুশীলনী ১০.১

১. নিচের প্রতিটি চিত্রের পরিসীমা নির্ণয় করো:

২. $40 cm$ এবং $10 cm$ বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তাকার বাক্সের ঢাকনা চারপাশে ফিতা দিয়ে সিল করা হয়েছে। প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য কত?

৩. একটি টেবিল-টপের পরিমাপ $2 m 25 cm$ এবং $1 m 50 cm$। টেবিল-টপের পরিসীমা কত?

৪. যথাক্রমে $32 cm$ এবং $21 cm$ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বিশিষ্ট একটি ফটোগ্রাফ ফ্রেম করতে কাঠের ফালির কত দৈর্ঘ্য প্রয়োজন?

৫. একটি আয়তাকার জমির পরিমাপ $0.7 km$ এবং $0.5 km$। প্রতিটি পাশে ৪ সারি তার দিয়ে বেড়া দিতে হবে। প্রয়োজনীয় তারের দৈর্ঘ্য কত?

৬. নিচের প্রতিটি আকৃতির পরিসীমা নির্ণয় করো:

(ক) $3 cm, 4 cm$, $5 cm$ এবং $9 cm$ বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ।
(খ) $8 cm$ বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
(গ) সমান বাহু $6 cm$ প্রতিটি এবং তৃতীয় বাহু $10 cm, 14 cm$ বিশিষ্ট একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

৭. $15 cm$, $8 m$ এবং $20 m$ বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয় করো।

৮. প্রতিটি বাহুর পরিমাপ $100 cm$ বিশিষ্ট একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা নির্ণয় করো।

৯. বর্গক্ষেত্রের বাহু নির্ণয় করো যার পরিসীমা $30 cm$।

১০. একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিসীমা $12 cm$। এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

১১. একটি দড়ির টুকরো $14 cm$ দীর্ঘ। দড়িটি ব্যবহার করে নিচের আকৃতি গঠন করলে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে:

(ক) একটি বর্গক্ষেত্র?
(খ) একটি সমবাহু ত্রিভুজ?
(গ) একটি সুষম ষড়ভুজ?

১২. একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু $36 cm$ এবং $250 m$। ত্রিভুজটির পরিসীমা $₹ 20$। এর তৃতীয় বাহুটি কত?

১৩. $175 m$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার পার্কের প্রতি মিটারে $125 m$ হারে বেড়া দেয়ার খরচ নির্ণয় করো।

১৪. $75 m$ দৈর্ঘ্য এবং $60 m$ প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার পার্কের প্রতি মিটারে ₹ ১২ হারে বেড়া দেয়ার খরচ নির্ণয় করো।

১৫. সুইটি $45 m$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার পার্কের চারপাশে দৌড়ায়। বুলবুল $\frac{1}{2} m$ দৈর্ঘ্য এবং $1 cm \times 1 cm$ প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার পার্কের চারপাশে দৌড়ায়। কে কম দূরত্ব অতিক্রম করে?

১৬. নিচের প্রতিটি চিত্রের পরিসীমা কত? উত্তরের থেকে তুমি কী অনুমান করো?

১৭. অভিনীত $1 sq ~cm$ বাহুবিশিষ্ট ৯টি বর্গাকার পাথরের টাইল কেনে। সে সেগুলি একটি বর্গাকারে সাজায়।

(ক) তার সাজানোর পরিসীমা কত [চিত্র ১০.৭(i)]?
(খ) শারীর তার সাজানো পছন্দ করে না। সে তাকে ক্রসের মতো করে সাজাতে বলে। তার সাজানোর পরিসীমা কত [চিত্র ১০.৭ (ii)]?
(গ) কারটির পরিসীমা বেশি?
(ঘ) অভিনীত ভাবে যদি আরও বেশি পরিসীমা পাওয়ার কোনো উপায় থাকে। তুমি কি এটি করার একটি উপায় খুঁজে পেতে পারো? (পাথরের টাইলগুলি অবশ্যই সম্পূর্ণ প্রান্ত বরাবর মিলিত হবে অর্থাৎ সেগুলি ভাঙা যাবে না।)

১০.৩ ক্ষেত্রফল

নিচে দেওয়া বদ্ধ চিত্রগুলি (চিত্র ১০.৮) দেখো। এগুলি সবই একটি সমতল পৃষ্ঠের কিছু অঞ্চল দখল করে। তুমি বলতে পারো কোনটি বেশি অঞ্চল দখল করে?

একটি বদ্ধ চিত্র দ্বারা আবদ্ধ পৃষ্ঠের পরিমাণকে তার ক্ষেত্রফল বলে।

সুতরাং, তুমি বলতে পারো, উপরের চিত্রগুলির মধ্যে কোনটির ক্ষেত্রফল বেশি?

এখন, চিত্র ১০.৯-এর সংলগ্ন চিত্রগুলি দেখো:

এগুলির মধ্যে কোনটির ক্ষেত্রফল বেশি? শুধু দেখে বলা কঠিন। তাহলে তুমি কী করবে?

একটি স্কেলযুক্ত কাগজ বা গ্রাফ পেপারে রাখো যেখানে প্রতিটি বর্গ $\frac{1}{2}$ পরিমাপ করে।

চিত্রটির একটি রূপরেখা তৈরি করো।

চিত্র দ্বারা আবদ্ধ বর্গগুলি দেখো। তাদের মধ্যে কিছু সম্পূর্ণরূপে আবদ্ধ, কিছু অর্ধেক, কিছু অর্ধেকের কম এবং কিছু অর্ধেকের বেশি।

ক্ষেত্রফল হল সেন্টিমিটার বর্গের সংখ্যা যা এটি আবরণ করার জন্য প্রয়োজন।

কিন্তু একটি ছোট সমস্যা আছে: বর্গগুলি সর্বদা পরিমাপ করা ক্ষেত্রফলে ঠিকভাবে ফিট হয় না। আমরা একটি রীতিনীতি গ্রহণ করে এই অসুবিধা কাটিয়ে উঠি:

• একটি সম্পূর্ণ বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক হিসেবে নেওয়া হয়। যদি এটি একটি সেন্টিমিটার বর্গাকার শীট হয়, তবে একটি সম্পূর্ণ বর্গের ক্ষেত্রফল হবে $=3$।
• অর্ধেক বর্গের চেয়ে কম ক্ষেত্রফলের অংশগুলি উপেক্ষা করো।
• যদি একটি বর্গের অর্ধেকের বেশি একটি অঞ্চলে থাকে, তবে শুধু এটিকে একটি বর্গ হিসেবে গণনা করো।
• যদি ঠিক অর্ধেক বর্গ গণনা করা হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল $=3$ বর্গ একক হিসেবে নাও।

এই ধরনের একটি রীতিনীতি কাঙ্ক্ষিত ক্ষেত্রফলের একটি ন্যায্য অনুমান দেয়।

উদাহরণ ১০ : চিত্র ১০.১০-এ দেখানো আকৃতির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান : এই চিত্রটি রেখাংশ দ্বারা গঠিত।

তদুপরি, এটি শুধুমাত্র সম্পূর্ণ বর্গ এবং অর্ধেক বর্গ দ্বারা আবৃত। এটি আমাদের কাজ সহজ করে দেয়।

(ক) সম্পূর্ণরূপে পূর্ণ বর্গ $=3 \times 1$
(খ) অর্ধেক পূর্ণ বর্গ $=3$

সম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা আবৃত ক্ষেত্রফল

$=4 \frac{1}{2}$ বর্গ একক $10.9 b$ বর্গ একক

মোট ক্ষেত্রফল $=11+3 \times \frac{1}{2}+7=19 \frac{1}{2}$ বর্গ একক।

চিত্র ১০.১০

উদাহরণ ১১ : বর্গ গণনা করে, চিত্র $10.9 a$-এর ক্ষেত্রফল অনুমান করো।

সমাধান : একটি গ্রাফ শীটে চিত্রটির একটি রূপরেখা তৈরি করো। (চিত্র ১০.১১)

মোট ক্ষেত্রফল $5 cm$ বর্গ একক।

বর্গগুলি কীভাবে এটি আবরণ করে?

উদাহরণ ১২ : বর্গ গণনা করে, চিত্র $3 cm$-এর ক্ষেত্রফল অনুমান করো।

সমাধান : একটি গ্রাফ শীটে চিত্রটির একটি রূপরেখা তৈরি করো। বর্গগুলি কীভাবে চিত্রটি আবরণ করে তা এখানে দেখানো হল (চিত্র ১০.১২)।

চেষ্টা করো

১. একটি গ্রাফ পেপারে যেকোনো বৃত্ত আঁকো। বর্গগুলি গণনা করো এবং সেগুলি ব্যবহার করে বৃত্তাকার অঞ্চলের ক্ষেত্রফল অনুমান করো।

২. গ্রাফ পেপারে পাতার, ফুলের পাপড়ি এবং অন্যান্য বস্তুর আকৃতি ট্রেস করো এবং তাদের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

অনুশীলনী ১০.২

১. বর্গ গণনা করে নিচের চিত্রগুলির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো:

১০.৩.১ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

স্কেলযুক্ত কাগজের সাহায্যে, আমরা কি বলতে পারি, একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে যার দৈর্ঘ্য $1 cm \times 1 cm$ এবং প্রস্থ $=15 sq cm$?

$5 \times 3 sq cm$ বর্গ বিশিষ্ট একটি গ্রাফ পেপারে আয়তক্ষেত্রটি আঁকো (চিত্র ১০.১৩)। আয়তক্ষেত্রটি সম্পূর্ণরূপে ১৫টি বর্গ আবরণ করে।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\times$ যা $=($ হিসাবে লেখা যেতে পারে অর্থাৎ (দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ)।

কিছু আয়তক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপ দেওয়া আছে। সেগুলিকে একটি গ্রাফ পেপারে রেখে বর্গের সংখ্যা গণনা করে তাদের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

আমরা দেখি,

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $)$ দৈর্ঘ্য $6 cm$ প্রস্থ $4 cm$

গ্রাফ পেপার ব্যবহার না করে, আমরা কি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারি যার দৈর্ঘ্য $=$ এবং প্রস্থ $\times$?

হ্যাঁ, সম্ভব।

এ থেকে আমরা কী অনুমান করি?

আমরা দেখি যে,

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=6 cm \times 4 cm=24 sq cm$ দৈর্ঘ্য $4 cm$ প্রস্থ $=16 sq cm=4 \times 4 sq cm$।

চেষ্টা করো

১. তোমার শ্রেণিকক্ষের মেঝের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

২. তোমার বাড়ির যেকোনো একটি দরজার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

১০.৩.২ একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

আসুন এখন $=$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বিবেচনা করি (চিত্র ১০.১৪)।

এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

যদি আমরা এটিকে একটি সেন্টিমিটার গ্রাফ পেপারে রাখি, তাহলে আমরা কী দেখি?

এটি ১৬টি বর্গ আবরণ করে অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\times$

নিজে থেকে কয়েকটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য অনুমান করে তাদের ক্ষেত্রফল গণনা করো।

গ্রাফ পেপার ব্যবহার করে তাদের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

এ থেকে আমরা কী অনুমান করি?

আমরা দেখি যে প্রতিটি ক্ষেত্রে,

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $12 cm$ বাহু $4 cm$ বাহু

তুমি সমস্যা সমাধানে এটি একটি সূত্র হিসাবে ব্যবহার করতে পারো।

উদাহরণ ১৩ : একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $=12 cm$ এবং $=4 cm$।

সমাধান : আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $=$

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $\times$

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=12 cm \times 4 cm=48 sq cm$ দৈর্ঘ্য $8 m$ প্রস্থ $=8 m$।

উদাহরণ ১৪ : $=$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার প্লটের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান : বর্গক্ষেত্রের বাহু $\times$

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $36 sq cm$ বাহু $9 cm$ বাহু

$ =8 m \times 8 m=64 sq m . $

উদাহরণ ১৫ : একটি আয়তাকার কার্ডবোর্ডের ক্ষেত্রফল $=36 sq cm$ এবং এর দৈর্ঘ্য $=9 cm$। কার্ডবোর্ডের প্রস্থ কত?

সমাধান : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$

দৈর্ঘ্য $=$

প্রস্থ $\times$?

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\text{ Area }}{\text{ Length }}=\frac{36}{9}=4 cm$ দৈর্ঘ্য $4 cm$ প্রস্থ

সুতরাং, প্রস্থ $3 m$

অতএব, আয়তাকার কার্ডবোর্ডের প্রস্থ হল $4 m$।

উদাহরণ ১৬ : বব $0.5 m$ প্রশস্ত এবং $=4 m$ দীর্ঘ একটি ঘরের মেঝে বর্গাকার টাইল দিয়ে আবরণ করতে চায়। যদি প্রতিটি বর্গাকার টাইলের বাহু $=3 m$ হয়, তবে ঘরের মেঝে আবরণ করার জন্য প্রয়োজনীয় টাইলের সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান : টাইলের মোট ক্ষেত্রফল অবশ্যই ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফলের সমান হতে হবে।

ঘরের দৈর্ঘ্য $=$

ঘরের প্রস্থ $\times$

মেঝের ক্ষেত্রফল $=4 m \times 3 m=12 sq m$ দৈর্ঘ্য $=$ প্রস্থ $\times$

একটি বর্গাকার টাইলের ক্ষেত্রফল $=0.5 m \times 0.5 m$ বাহু $=0.25 sq m$ বাহু $=\dfrac{\text{ Area of the floor }}{\text{ Area of one tile }}=\dfrac{12}{0.25}=\dfrac{1200}{25}=48$

$1 m 25 cm$

প্রয়োজনীয় টাইলের সংখ্যা $2 m$ টাইল।

উদাহরণ ১৭ : $=2 m$ প্রশস্ত এবং $=1 m 25 cm=1 m+0.25 m=1.25 m$ দীর্ঘ একটি কাপড়ের টুকরোর বর্গ মিটারে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান : কাপড়ের দৈর্ঘ্য $25 cm=0.25 m$

কাপড়ের প্রস্থ $=$

(যেহেতু $\times$ )

কাপড়ের ক্ষেত্রফল $3 cm$ কাপড়ের দৈর্ঘ্য $4 cm$ কাপড়ের প্রস্থ

$ =2 m \times 1.25 m=2.50 sq~ m $

অনুশীলনী ১০.৩

১. আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো যাদের বাহুগুলি হল:

(ক) $12 m$ এবং $21 m$
(খ) $2 km$ এবং $3 km$
(গ) $2 m$ এবং $70 cm$
(ঘ) $10 cm$ এবং $14 cm$

২. বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো যাদের বাহুগুলি হল:

(ক) $5 m$
(খ) $9 m$
(গ) $6 m$

৩. তিনটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নিম্নরূপ দেওয়া আছে:

(ক) $17 m$ এবং $3 m$
(খ) $4 m$ এবং $14 m$
(গ) $50 m$ এবং $300 sq m$

কোনটির ক্ষেত্র