10.1 भूमिका

जब हम नीचे दिखाए गए कुछ समतल आकृतियों के बारे में बात करते हैं तो हम उनके क्षेत्रों और उनकी सीमाओं के बारे में सोचते हैं। उनकी तुलना करने के लिए हमें कुछ मापों की आवश्यकता होती है। अब हम इन पर विचार करते हैं।

10.2 परिमाप

निम्नलिखित आकृतियों (चित्र 10.1) को देखें। आप इन्हें एक तार या धागे से बना सकते हैं।

यदि आप प्रत्येक स्थिति में बिंदु $S$ से शुरू करते हैं और रेखाखंडों के साथ चलते हैं तो आप फिर से बिंदु $S$ पर पहुँच जाते हैं। आपने प्रत्येक स्थिति (a), (b) और (c) में आकृति का एक पूरा चक्कर लगा लिया है।

तय की गई दूरी आकृति को बनाने के लिए प्रयुक्त तार की लंबाई के बराबर है।

इस दूरी को बंद आकृति का परिमाप कहा जाता है। यह आकृतियों को बनाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई है।

परिमाप का विचार हमारे दैनिक जीवन में व्यापक रूप से प्रयोग किया जाता है।

• एक किसान जो अपने खेत के चारों ओर बाड़ लगाना चाहता है।
• एक इंजीनियर जो एक घर के चारों ओर चहारदीवारी बनाने की योजना बनाता है।
• एक व्यक्ति जो खेल आयोजित करने के लिए एक ट्रैक तैयार करता है।

ये सभी लोग ‘परिमाप’ के विचार का उपयोग करते हैं।

ऐसी पाँच स्थितियों के उदाहरण दीजिए जहाँ आपको परिमाप जानने की आवश्यकता होती है।

परिमाप वह दूरी है जो एक बंद आकृति बनाने वाली सीमा के साथ तय की जाती है जब आप आकृति के चारों ओर एक बार जाते हैं।

यह करके देखें

1. अपनी अध्ययन मेज के ऊपरी सतह की चारों भुजाओं की लंबाई मापिए और लिखिए।

AB= _______ सेमी
BC= _______ सेमी
CD= _______ सेमी
DA= _______ सेमी

अब, चारों भुजाओं की लंबाइयों का योग

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी

$=$ ______सेमी

परिमाप क्या है?

2. अपनी नोटबुक के एक पृष्ठ की चारों भुजाओं की लंबाई मापिए और लिखिए। चारों भुजाओं की लंबाइयों का योग

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी

$=$ ______सेमी

पृष्ठ का परिमाप क्या है?

3. मीरा एक पार्क में गई जो $150 m$ लंबा और $80 m$ चौड़ा है। उसने इसकी सीमा पर एक पूरा चक्कर लगाया। उसके द्वारा तय की गई दूरी क्या है?

4. निम्नलिखित आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए:

तो, आप किसी भी बंद आकृति का परिमाप कैसे ज्ञात करेंगे जो पूरी तरह से रेखाखंडों से बनी है? बस सभी भुजाओं (जो रेखाखंड हैं) की लंबाइयों का योग ज्ञात कीजिए।

10.2.1 एक आयत का परिमाप

आइए एक आयत $ABCD$ (चित्र 10.2) पर विचार करें जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $15 cm$ और $9 cm$ है। इसका परिमाप क्या होगा?

आयत का परिमाप $=$ इसकी चारों भुजाओं की लंबाइयों का योग।

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

याद रखें कि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं इसलिए AB = CD, AD = BC

यह करके देखें

निम्नलिखित आयतों का परिमाप ज्ञात कीजिए:

आयत की लंबाई	आयत की चौड़ाई	सभी भुजाओं को जोड़कर परिमाप	$2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$ द्वारा परिमाप
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

इसलिए, उपरोक्त उदाहरण से, हम देखते हैं कि एक आयत का परिमाप $=$ लंबाई + चौड़ाई + लंबाई + चौड़ाई अर्थात एक आयत का परिमाप $=\mathbf{2} \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$

आइए अब इस विचार के व्यावहारिक अनुप्रयोग देखें:

उदाहरण 1 : शबाना एक आयताकार टेबल कवर (चित्र 10.3) के चारों ओर फीता लगाना चाहती है, जो $3 m$ लंबा और $2 m$ चौड़ा है। शबाना द्वारा आवश्यक फीते की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार टेबल कवर की लंबाई $=3 m$

आयताकार टेबल कवर की चौड़ाई $=2 m$

शबाना टेबल कवर के चारों ओर फीता लगाना चाहती है। इसलिए, आवश्यक फीते की लंबाई आयताकार टेबल कवर के परिमाप के बराबर होगी।

अब, आयताकार टेबल कवर का परिमाप

$=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

इसलिए, आवश्यक फीते की लंबाई $10 m$ है।

उदाहरण 2 : एक एथलीट एक आयताकार पार्क, जो $50 m$ लंबा और $25 m$ चौड़ा है, का 10 चक्कर लगाता है। उसके द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार पार्क की लंबाई $=50 m$

आयताकार पार्क की चौड़ाई $=25 m$

एक चक्कर में एथलीट द्वारा तय की गई कुल दूरी पार्क के परिमाप के बराबर होगी।

अब, आयताकार पार्क का परिमाप

$=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

इसलिए, एक चक्कर में एथलीट द्वारा तय की गई दूरी $150 m$ है।

अतः, 10 चक्करों में तय दूरी $=10 \times 150 m=1500 m$

एथलीट द्वारा तय की गई कुल दूरी $1500 m$ है।

उदाहरण 3 : एक आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $150 cm$ और $1 m$ है।

हल : लंबाई $=150 cm$

$ \text{ चौड़ाई }=1 m=100 cm $

आयत का परिमाप

$=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

उदाहरण 4 : एक किसान के पास लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $240 m$ और $180 m$ वाला एक आयताकार खेत है। वह इसे चित्र 10.4 में दिखाए अनुसार 3 चक्कर रस्सी से घेरना चाहता है। उसे कितनी लंबाई की रस्सी का उपयोग करना चाहिए?

हल: किसान को उस खेत के परिमाप का तीन गुना घेरना है। इसलिए, आवश्यक रस्सी की कुल लंबाई उसके परिमाप की तीन गुनी है।

खेत का परिमाप $=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

आवश्यक रस्सी की कुल लंबाई $=3 \times 840 m=2520 m$

उदाहरण 5 : लंबाई $250 m$ और चौड़ाई $175 m$ वाले एक आयताकार पार्क की ₹ 12 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार पार्क की लंबाई $=250 m$

आयताकार पार्क की चौड़ाई $=175 m$

बाड़ लगाने की लागत की गणना करने के लिए हमें परिमाप की आवश्यकता है।

आयत का परिमाप $=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

बाड़ लगाने की लागत $1 m$ पार्क $=₹ 12$

इसलिए, पार्क की बाड़ लगाने की कुल लागत

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 सम आकृतियों का परिमाप

इस उदाहरण पर विचार करें।

बिस्वमित्र एक वर्गाकार चित्र (चित्र 10.5) जिसकी भुजा $1 m$ है, के चारों ओर रंगीन टेप लगाना चाहता है जैसा कि दिखाया गया है। उसे आवश्यक रंगीन टेप की लंबाई क्या होगी?

चूँकि बिस्वमित्र वर्गाकार चित्र के चारों ओर रंगीन टेप लगाना चाहता है, उसे चित्र फ्रेम का परिमाप ज्ञात करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार, आवश्यक टेप की लंबाई

$=$ वर्ग का परिमाप $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

अब, हम जानते हैं कि वर्ग की सभी चार भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए इसे चार बार जोड़ने के स्थान पर, हम एक भुजा की लंबाई को 4 से गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, आवश्यक टेप की लंबाई $=4 \times 1 m=4 m$

इस उदाहरण से, हम देखते हैं कि

एक वर्ग का परिमाप $=\mathbf{4} \times$ एक भुजा की लंबाई

ऐसे और वर्ग बनाइए और उनके परिमाप ज्ञात कीजिए।

अब, समबाहु त्रिभुज (चित्र 10.6) को देखिए जिसकी प्रत्येक भुजा $4 cm$ के बराबर है। क्या हम इसका परिमाप ज्ञात कर सकते हैं?

इस समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

इसलिए, हम पाते हैं कि

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=3 \times$ एक भुजा की लंबाई

वर्ग और समबाहु त्रिभुज में क्या समानता है? वे ऐसी आकृतियाँ हैं जिनकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की और सभी कोण समान माप के होते हैं। ऐसी आकृतियों को सम बंद आकृतियाँ कहा जाता है। इस प्रकार, एक वर्ग और एक समबाहु त्रिभुज सम बंद आकृतियाँ हैं।

यह करके देखें

अपने आस-पास से विभिन्न वस्तुएँ ढूँढ़िए जिनकी आकृतियाँ सम हैं और उनके परिमाप ज्ञात कीजिए।

आपने पाया कि,

एक वर्ग का परिमाप $=4 \times$ एक भुजा की लंबाई

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=3 \times$ एक भुजा की लंबाई

तो, एक सम पंचभुज का परिमाप क्या होगा?

एक सम पंचभुज की पाँच बराबर भुजाएँ होती हैं।

इसलिए, एक सम पंचभुज का परिमाप $=5 \times$ एक भुजा की लंबाई और एक सम षट्भुज का परिमाप _______ होगा और एक सम अष्टभुज का परिमाप _______ होगा।

उदाहरण 6 : शैना द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए यदि वह भुजा $70 m$ वाले एक वर्गाकार पार्क के तीन चक्कर लगाती है।

हल : वर्गाकार पार्क का परिमाप $=4 \times$ एक भुजा की लंबाई $=4 \times 70 m=280 m$

एक चक्कर में तय दूरी $=280 m$

इसलिए, तीन चक्करों में तय दूरी $=3 \times 280 m=840 m$

उदाहरण 7 : पिंकी भुजा $75 m$ वाले एक वर्गाकार मैदान के चारों ओर दौड़ती है, बॉब लंबाई $160 m$ और चौड़ाई $105 m$ वाले एक आयताकार मैदान के चारों ओर दौड़ता है। कौन अधिक दूरी तय करता है और कितनी?

हल : एक चक्कर में पिंकी द्वारा तय दूरी $=$ वर्ग का परिमाप

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ एक भुजा की लंबाई } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

एक चक्कर में बॉब द्वारा तय दूरी $=$ आयत का परिमाप

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ लंबाई }+ \text{ चौड़ाई }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

तय दूरी में अंतर $=530 m-300 m=230 m$।

इसलिए, बॉब $230 m$ अधिक दूरी तय करता है।

उदाहरण 8 : एक सम पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा $3 cm$ है।

हल : इस सम बंद आकृति की 5 भुजाएँ हैं, प्रत्येक की लंबाई $3 cm$ है। इस प्रकार, हम पाते हैं

सम पंचभुज का परिमाप $=5 \times 3 cm=15 cm$

उदाहरण 9 : एक सम षट्भुज का परिमाप $18 cm$ है। इसकी एक भुजा कितनी लंबी है?

हल : परिमाप $=18 cm$

एक सम षट्भुज की 6 भुजाएँ होती हैं, इसलिए हम एक भुजा की लंबाई प्राप्त करने के लिए परिमाप को 6 से विभाजित कर सकते हैं।

षट्भुज की एक भुजा $=18 cm \div 6=3 cm$

इसलिए, सम षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $3 cm$ है।

प्रश्नावली 10.1

1. निम्नलिखित आकृतियों में से प्रत्येक का परिमाप ज्ञात कीजिए:

2. $40 cm$ और $10 cm$ भुजाओं वाले एक आयताकार डिब्बे के ढक्कन के चारों ओर टेप लगा हुआ है। आवश्यक टेप की लंबाई क्या है?

3. एक मेज की ऊपरी सतह का माप $2 m 25 cm$ और $1 m 50 cm$ है। मेज की ऊपरी सतह का परिमाप क्या है?

4. लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $32 cm$ और $21 cm$ वाली एक फोटो को फ्रेम करने के लिए आवश्यक लकड़ी की पट्टी की लंबाई क्या है?

5. आयताकार भूखंड का माप $0.7 km$ और $0.5 km$ है। प्रत्येक भुजा को 4 पंक्तियों वाले तार से घेरा जाना है। आवश्यक तार की लंबाई क्या है?

6. निम्नलिखित आकृतियों में से प्रत्येक का परिमाप ज्ञात कीजिए:

(a) भुजाएँ $3 cm, 4 cm$ और $5 cm$ वाला एक त्रिभुज।
(b) भुजा $9 cm$ वाला एक समबाहु त्रिभुज।
(c) समान भुजाएँ $8 cm$ प्रत्येक और तीसरी भुजा $6 cm$ वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज।

7. भुजाएँ $10 cm, 14 cm$ और $15 cm$ मापने वाले एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

8. प्रत्येक भुजा $8 m$ मापने वाले एक सम षट्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

9. उस वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप $20 m$ है।

10. एक सम पंचभुज का परिमाप $100 cm$ है। इसकी प्रत्येक भुजा कितनी लंबी है?

11. एक धागे की लंबाई $30 cm$ है। प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी यदि इस धागे का उपयोग निम्नलिखित को बनाने के लिए किया जाता है:

(a) एक वर्ग?
(b) एक समबाहु त्रिभुज?
(c) एक सम षट्भुज?

12. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ $12 cm$ और $14 cm$ हैं। त्रिभुज का परिमाप $36 cm$ है। इसकी तीसरी भुजा क्या है?

13. भुजा $250 m$ वाले एक वर्गाकार पार्क की बाड़ लगाने की लागत $₹ 20$ प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

14. लंबाई $175 m$ और चौड़ाई $125 m$ वाले एक आयताकार पार्क की बाड़ लगाने की लागत ₹ 12 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

15. स्वीटी भुजा $75 m$ वाले एक वर्गाकार पार्क के चारों ओर दौड़ती है। बुलबुल लंबाई $60 m$ और चौड़ाई $45 m$ वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करती है?

16. निम्नलिखित आकृतियों में से प्रत्येक का परिमाप क्या है? आप उत्तरों से क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

17. अवनीत 9 वर्गाकार फ़र्श पट्टियाँ खरीदता है, प्रत्येक की भुजा $\frac{1}{2} m$ है। वह उन्हें एक वर्ग के रूप में बिछाता है।

(a) उसकी व्यवस्था [चित्र 10.7(i)] का परिमाप क्या है?
(b) शारी को उसकी व्यवस्था पसंद नहीं है। वह उसे उन्हें एक क्रॉस के रूप में बिछाने के लिए कहती है। उसकी व्यवस्था [चित्र 10.7 (ii)] का परिमाप क्या है?
(c) किसका परिमाप अधिक है?
(d) अवनीत सोचता है कि क्या और अधिक परिमाप प्राप्त करने का कोई तरीका है। क्या आप ऐसा करने का कोई तरीका ढूँढ सकते हैं? (फ़र्श पट्टियाँ पूर्ण किनारों के साथ मिलनी चाहिए अर्थात उन्हें तोड़ा नहीं जा सकता।)

10.3 क्षेत्रफल

नीचे दी गई बंद आकृतियों (चित्र 10.8) को देखें। ये सभी एक समतल सतह के कुछ क्षेत्र को घेरती हैं। क्या आप बता सकते हैं कि कौन सी आकृति अधिक क्षेत्र घेरती है?

एक बंद आकृति द्वारा घेरे गए सतह की मात्रा को उसका क्षेत्रफल कहा जाता है।

तो, क्या आप बता सकते हैं, उपरोक्त आकृतियों में से किसका क्षेत्रफल अधिक है?

अब, चित्र 10.9 की संलग्न आकृतियों को देखें:

इनमें से किसका क्षेत्रफल अधिक है? केवल इन आकृतियों को देखकर बताना कठिन है। तो, आप क्या करते हैं?

उन्हें एक वर्गांकित कागज या ग्राफ पेपर पर रखिए जहाँ प्रत्येक वर्ग $1 cm \times 1 cm$ मापता है।

आकृति की रूपरेखा बनाइए।

आकृति द्वारा घेरे गए वर्गों को देखिए। उनमें से कुछ पूरी तरह से घिरे हैं, कुछ आधे, कुछ आधे से कम और कुछ आधे से अधिक।

क्षेत्रफल वह संख्या है जो उसे ढकने के लिए आवश्यक सेंटीमीटर वर्गों की है।

लेकिन एक छोटी समस्या है: वर्ग हमेशा आपके द्वारा मापे जाने वाले क्षेत्र में ठीक से फिट नहीं होते हैं। हम एक परंपरा अपनाकर इस कठिनाई से पार पाते हैं:

• एक पूर्ण वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई के रूप में लिया जाता है। यदि यह एक सेंटीमीटर वर्ग शीट है, तो एक पूर्ण वर्ग का क्षेत्रफल $1 sq ~cm$ होगा।
• उन क्षेत्रों के भागों को नजरअंदाज कर दें जो आधे वर्ग से कम हैं।
• यदि एक वर्ग का आधे से अधिक भाग किसी क्षेत्र में है, तो इसे एक वर्ग के रूप में गिनें।
• यदि वर्ग का ठीक आधा भाग गिना जाता है, तो उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई लें।

ऐसी परंपरा वांछित क्षेत्रफल का एक उचित अनुमान देती है।

उदाहरण 10 : चित्र 10.10 में दिखाई गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : यह आकृति रेखाखंडों से बनी है।

इसके अलावा, यह केवल पूर्ण वर्गों और अर्ध वर्गों से ढकी हुई है। यह हमारा काम सरल बनाता है।

(i) पूर्णतः भरे वर्ग $=3$
(ii) अर्ध भरे वर्ग $=3$

पूर्ण वर्गों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल

$=3 \times 1$ वर्ग इकाई $=3$ वर्ग इकाई

कुल क्षेत्रफल $=4 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

चित्र 10.10

उदाहरण 11 : वर्गों को गिनकर, आकृति $10.9 b$ के क्षेत्रफल का अनुमान लगाइए।

हल : ग्राफ शीट पर आकृति की रूपरेखा बनाइए। (चित्र 10.11)

कुल क्षेत्रफल $=11+3 \times \frac{1}{2}+7=19 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

वर्ग इसे कैसे ढकते हैं?

उदाहरण 12 : वर्गों को गिनकर, आकृति $10.9 a$ के क्षेत्रफल का अनुमान लगाइए।

हल : ग्राफ शीट पर आकृति की रूपरेखा बनाइए। इस प्रकार वर्ग आकृति को ढकते हैं (चित्र 10.12)।

यह करके देखें

1. ग्राफ पेपर पर कोई भी वृत्त बनाइए। वर्गों को गिनिए और उनका उपयोग वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए कीजिए।

2. ग्राफ पेपर पर पत्तियों, फूलों की पंखुड़ियों और अन्य ऐसी वस्तुओं की आकृतियों का पता लगाइए और उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 10.2

1. वर्गों को गिनकर निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

10.3.1 एक आयत का क्षेत्रफल

वर्गांकित कागज की सहायता से, क्या हम बता सकते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल क्या होगा जिसकी लंबाई $5 cm$ और चौड़ाई $3 cm$ है?

$1 cm \times 1 cm$ वर्गों वाले ग्राफ पेपर पर आयत बनाइए (चित्र 10.13)। आयत 15 वर्गों को पूरी तरह से ढक लेता है।

आयत का क्षेत्रफल $=15 sq cm$ जिसे $5 \times 3 sq cm$ अर्थात (लंबाई $\times$ चौड़ाई) के रूप में लिखा जा सकता है।

कुछ आयतों की भुजाओं के माप दिए गए हैं। उन्हें ग्राफ पेपर पर रखकर और वर्गों की संख्या गिनकर उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हम पाते हैं,

एक आयत का क्षेत्रफल $=($ लंबाई $\times$ चौड़ाई $)$

ग्राफ पेपर का उपयोग किए बिना, क्या हम एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं जिसकी लंबाई $6 cm$ और चौड़ाई $4 cm$ है?