गुणोत्तर प्रमाण युक्त्या - जलद पुनरावृत्ती
गुणोत्तर-प्रमाण ट्रिक्स – झटपट पुनरावलोकन
महत्त्वाचे मुद्दे (एकओळी)
- गुणोत्तर = a : b ⇒ अपूर्णांक = a/b ; नेहमी सर्वात सोप्या रूपात छाटा.
- प्रमाण ⇒ दोन गुणोत्तरे समान ठेवले: a : b :: c : d ⇒ a·d = b·c (क्रॉस-गुणाकार).
- a : b आणि c : d यांचे संयुक्त गुणोत्तर a·c : b·d आहे.
- a : b चे द्विगुणित गुणोत्तर = a² : b²; उप-द्विगुणित = √a : √b.
- त्रिगुणित व उप-त्रिगुणित अनुक्रमे घन व घनमूलांप्रमाणे असतात.
- इन्व्हर्टेंडो – दोन्ही बाजूंचे उलटे करा: a/b = c/d ⇒ b/a = d/c.
- अल्टर्नेंडो – मध्यांना बदला: a/b = c/d ⇒ a/c = b/d.
- कॉम्पोनेंडो – दोन्ही बाजूंना 1 जोडा: a/b = c/d ⇒ (a+b)/b = (c+d)/d.
- डिव्हिडेंडो – 1 वजा करा: (a–b)/b = (c–d)/d.
- कॉम्पोनेंडो-डिव्हिडेंडो – (a+b)/(a–b) = (c+d)/(c–d); 2-चल समीकरणांसाठी सर्वात जलद शॉर्टकट.
- जर A : B = x : y आणि B : C = y : z ⇒ A : B : C = x : y : z (चेन-लिंक).
- ₹X ला m : n : p या गुणोत्तरात विभागायचे असल्यास, पहिला हिस्सा = X·m/(m+n+p).
- दोन्ही पदांमध्ये समान संख्या जोडल्यास/वजा केल्यास गुणोत्तर बदलते; शॉर्टकट वापरा: (a±k)/(b±k) = नवीन गुणोत्तर.
- a, b, c यांचा चौथा समानुपाती d असा की a : b = c : d.
- a व c यांचा मध्य समानुपाती = √(a·c).
- a, b यांचा तिसरा समानुपाती c असा की a : b = b : c.
- A·B या गुणाकारातील टक्केवारी बदल जर A↑x% आणि B↓y% ⇒ सुमारे (x–y –xy/100)%.
- नकाशा-स्केल प्रश्नांमध्ये, 1 : r ⇒ 1 सेमी = r सेमी; आधी एकक रूपांतर करा.
- भागीदारी नफा वाटा ∝ (भांडवल × वेळ); वेळ एकसमान एककात मांडा.
- स्पष्ट नसल्यास पूर्णांक मूल्ये गृहित धरू नका—नेहमी LCM-अनुकूल संख्या घ्या.
महत्त्वाचे सूत्रे/नियम
| सूत्र/नियम |
उपयोग |
| क्रॉस-प्रॉडक्ट तपासणी |
a:b::c:d ⇔ ad = bc |
| संयुक्त गुणोत्तर |
(a:b)(c:d)(e:f) = ace : bdf |
| कॉम्पोनेन्डो-डिव्हिडेन्डो |
जर a/b = c/d, तर (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) |
| रक्कम Q ला m:n मध्ये विभागणे |
पहिला वाटा = Q·m/(m+n) |
| चेन नियम (3 गुणोत्तरे) |
A:B = x:y आणि B:C = y:z ⇒ A:B:C = x:y:z |
| भागीदारी वाटा |
(भांडवल × महिने) गुणोत्तर = नफा गुणोत्तर |
| चौथा समानुपाती |
a:b = c:x ⇒ x = bc/a |
| मध्य समानुपाती |
x = √(ab) |
| तिसरा समानुपाती |
a:b = b:x ⇒ x = b²/a |
| गुणोत्तरातील % बदल |
नवीन – जुना / जुना × 100 |
स्मरण ट्रिक्स
- C-D मॅजिक: कॉम्पोनेन्डो-डिव्हिडेन्डो → “क्रॉस-अॅड, क्रॉस-सब्ट्रॅक्ट, नंतर क्रॉस-डिव्हाइड.”
- समानुपात = गुणाकार: “P-P हँडशेक” – बाह्य गुणाकार = आंतरिक गुणाकार.
- चेन-लिंक: “B दोनदा – टाकून द्या; A C E … पहिले ठेवा.”
- भागीदारी: “CM = PM” (Capital × Months = Profit Money).
- LCM हॅक: गुणोत्तरांची बेरीज LCM घाबरते – अपूर्णांक दूर करण्यासाठी लगतच्या हरांचा LCM घ्या.
सामान्य चुका
| चूक |
योग्य दृष्टिकोण |
| गुणोत्तर कमी अंशात आणायचे विसरणे |
नेहमी म.सा.व. (HCF) ने भागा |
| 4 पदे तपासण्याआधी क्रॉस-गुणाकार करणे |
a,b,c,d गुणोत्तरात आहेत हे प्रथम सुनिश्चित करा |
| 3 चलांवर C-D लागू करणे |
C-D फक्त 2-चल गुणोत्तर समतेसाठी वापरा |
| नकाशा-स्केल वेगवेगळ्या एककांत घेणे |
दोन्ही बाजूंना समान एककात रूपांतरित करा (से.मी./कि.मी.) |
| गुणोत्तरासाठी अंकगणितीय सरासरीऐवजी भूमितीय सरासरी वापरणे |
मध्य गुणोत्तरासाठी √(ab) लागते |
शेवटच्या क्षणी टिप्स
- पहिल्या 5 सेकंदात: “गुणोत्तरात विभागते”, “वाटा”, “गुणोत्तर” हे कीवर्ड ओळखा आणि योग्य सूत्र टॅग करा.
- C-D शॉर्टकट 90 सेकंद वाचवतो – जेव्हा समान (ax±b)/(cx±d) रूप दिसते तेव्हा वापरा.
- % आधारित गुणोत्तर प्रश्नांसाठी 100 ही आधार किंमत घ्या – संख्या पूर्णांक राहतात.
- डावा टोक व उजवा टोक गुणाकार (ad) वर/खाली लिहा जेणेकरून क्रॉस-गुणाकार चूक टळेल.
- पर्याय खूप दूर असल्यास अचूक गणना ऐवजी जवळच्या सोप्या गुणोत्तराने अंदाज लावा.
झटपट सराव (5 MCQs)
1. जर 3 : 7 हे (3+x) : (7+x) यासमान असेल, तर x शोधा.
⇒ 3(7+x)=7(3+x) ⇒ 21+3x=21+7x ⇒ x=0
उत्तर: 0
2. ₹2,640 ला 5 : 3 : 2 या गुणोत्तरात विभागा; सर्वात मोठा वाटा किती?
सर्वात मोठा = 2640×5/10 = ₹1,320
उत्तर: 1320
3. 18 व 8 यांच्यातील मध्य गुणोत्तर किती?
√(18×8)=√144=12
उत्तर: 12
4. जर A:B=2:3, B:C=4:5 असेल, तर A:C काढा.
A:C = (2×4):(3×5)=8:15
उत्तर: 8:15
5. 5,8,15 यांचा चौथा समानुपाती कोणता?
5:8=15:x ⇒ x=(8×15)/5=24
उत्तर: 24
BETA
