पहेली और बूझो की कक्षा में बच्चों के बीच गर्मी की छुट्टियों के दौरान उनके द्वारा देखे गए स्थानों के बारे में एक सामान्य चर्चा हुई। कोई अपने गाँव ट्रेन से गया, फिर बस से, और अंत में बैलगाड़ी से। एक छात्र ने हवाई जहाज से यात्रा की थी। एक अन्य ने अपनी छुट्टियों के कई दिन अपने चाचा की नाव में मछली पकड़ने की यात्राओं पर जाते हुए बिताए।

शिक्षक ने तब उन्हें समाचार पत्र के लेख पढ़ने के लिए कहा जिनमें मंगल ग्रह की मिट्टी पर चलने वाले और प्रयोग करने वाले छोटे पहियों वाले वाहनों का उल्लेख था। इन वाहनों को अंतरिक्ष यान द्वारा मंगल ग्रह तक ले जाया गया था!

इस बीच, पहेली प्राचीन भारत की कहानियाँ पढ़ रही थी और वह जानना चाहती थी कि पहले के समय में लोग एक स्थान से दूसरे स्थान तक कैसे यात्रा करते थे।

7.1 परिवहन की कहानी

बहुत समय पहले लोगों के पास परिवहन का कोई साधन नहीं था। वे केवल पैदल चलते थे और सामान अपनी पीठ पर ढोते थे। बाद में उन्होंने परिवहन के लिए जानवरों का उपयोग करना शुरू किया।

पानी के माध्यम से परिवहन के लिए, प्राचीन काल से ही नावों का उपयोग किया जाता रहा है। शुरुआत में, नावें लकड़ी के साधारण लट्ठे होती थीं जिनमें एक खोखला गड्ढा बनाया जा सकता था। बाद में, लोगों ने लकड़ी के विभिन्न टुकड़ों को एक साथ जोड़ना और नावों को आकार देना सीखा। ये आकार

पानी में रहने वाले जानवरों के आकार की नकल करते थे। अध्याय 5 और 6 में मछली के इस धारारेखीय आकार पर हमारी चर्चा को याद करें।

पहिये के आविष्कार ने परिवहन के तरीकों में एक बड़ा बदलाव लाया। पहिये के डिजाइन में हजारों वर्षों में सुधार हुआ। जानवरों का उपयोग उन गाड़ियों को खींचने के लिए किया जाता था जो पहियों पर चलती थीं।

19वीं शताब्दी की शुरुआत तक, लोग अभी भी एक स्थान से दूसरे स्थान तक जाने के लिए जानवरों, नावों और जहाजों पर निर्भर थे। भाप इंजन के आविष्कार ने परिवहन के नए साधनों के विकास को प्रेरित किया। भाप इंजन से चलने वाली गाड़ियों और वैगनों के लिए रेलमार्ग बनाए गए। बाद में आए

चित्र 7.1 परिवहन के कुछ साधन

मोटर कार, ट्रक और बस जैसे ऑटोमोबाइल। पानी पर परिवहन के साधन के रूप में मोटर चालित नावों और जहाजों का उपयोग किया जाने लगा। 1900 के शुरुआती वर्षों में हवाई जहाजों का विकास हुआ। इन्हें बाद में यात्रियों और सामान को ले जाने के लिए सुधारा गया। इलेक्ट्रिक ट्रेनें, मोनोरेल, सुपरसोनिक हवाई जहाज और अंतरिक्ष यान 20वीं सदी के कुछ योगदान हैं।

चित्र 7.1 परिवहन के विभिन्न तरीकों में से कुछ को दर्शाता है। उन्हें सही क्रम में रखें - परिवहन के सबसे प्रारंभिक तरीकों से लेकर सबसे हाल के तरीकों तक।

क्या परिवहन के कोई प्रारंभिक तरीके हैं जो आज उपयोग में नहीं हैं?

7.2 यह डेस्क कितनी चौड़ी है?

लोग कैसे जानते थे कि उन्होंने कितनी दूरी तय की है?
$\quad$ आप कैसे जानेंगे कि क्या आप अपने स्कूल तक पूरा रास्ता पैदल चल सकते हैं या क्या आपको अपने स्कूल पहुँचने के लिए बस या रिक्शा लेना होगा? जब आपको कुछ खरीदने की आवश्यकता होती है, तो क्या आपके लिए बाजार तक पैदल चलना संभव है? आप इन सवालों के जवाब कैसे जानेंगे?

यह जानना अक्सर महत्वपूर्ण होता है कि कोई स्थान कितना दूर है, ताकि हमें यह अंदाजा हो सके कि हम उस स्थान तक कैसे पहुँचेंगे - पैदल चलकर, बस या ट्रेन, जहाज, हवाई जहाज या यहाँ तक कि अंतरिक्ष यान से भी!

कभी-कभी, ऐसी वस्तुएँ होती हैं जिनकी लंबाई या चौड़ाई हमें जानने की आवश्यकता होती है।

पहेली और बूझो की कक्षा में, बड़ी डेस्क हैं जिन्हें दो छात्रों द्वारा साझा किया जाना है। पहेली और बूझो एक डेस्क साझा करते हैं, लेकिन अक्सर यह आपत्ति करते रहते हैं कि दूसरा डेस्क का बड़ा हिस्सा इस्तेमाल कर रहा है। शिक्षक के सुझाव पर, उन्होंने डेस्क की लंबाई मापने, उसके ठीक बीच में एक निशान बनाने और डेस्क के दो हिस्सों को अलग करने के लिए एक रेखा खींचने का फैसला किया।

पहेली और बूझो दोनों को अपने दोस्तों के साथ गिल्ली डंडा खेलना बहुत पसंद है। बूझो अपने साथ गिल्ली और डंडे का एक सेट लाया।

यहाँ बताया गया है कि उन्होंने डंडे और गिल्ली का उपयोग करके डेस्क की लंबाई मापने की कोशिश कैसे की (चित्र 7.2)।

डेस्क की लंबाई दो डंडों की लंबाई और गिल्ली की दो लंबाई के बराबर प्रतीत होती है। डेस्क के बीच में एक रेखा खींचने से उनमें से प्रत्येक डेस्क के आधे हिस्से से खुश हो जाता है जो एक डंडे और एक गिल्ली की लंबाई के बराबर है। कुछ दिनों बाद, अंकित रेखा मिट जाती है। बूझो के पास अब गिल्ली और डंडे का एक नया सेट है क्योंकि उसने अपना पुराना सेट खो दिया है। यहाँ बताया गया है कि गिल्ली और डंडे का उपयोग करके डेस्क की लंबाई कैसे मापी जाती है (चित्र 7.3)।

चित्र 7.2 गिल्ली और डंडे से डेस्क की लंबाई मापना

चित्र 7.3 गिल्ली और डंडे के एक अलग सेट से डेस्क की लंबाई मापना

नमस्ते! अब, जब नए सेट की गिल्ली और डंडे से मापा जाता है, तो डेस्क की लंबाई लगभग दो डंडों की लंबाई, एक गिल्ली की लंबाई और एक छोटी सी लंबाई अभी भी बची हुई प्रतीत होती है। यह एक गिल्ली की लंबाई से कम है। अब क्या?

आप पहेली और बूझो को पूरी डेस्क की लंबाई मापने के लिए क्या सुझाव देंगे? क्या वे लंबाई मापने के लिए क्रिकेट विकेट और बेल्स का उपयोग कर सकते हैं या क्या आपको लगता है कि इससे समान समस्या उत्पन्न हो सकती है?

एक चीज जो वे कर सकते हैं वह है धागे की एक छोटी लंबाई लेना और उस पर दो बिंदु अंकित करना। यह एक धागे की लंबाई होगी। वे डेस्क की चौड़ाई को धागे की लंबाई में माप सकते हैं (चित्र 7.4)। वे धागे की लंबाई से कम दूरी मापने के लिए धागे का उपयोग कैसे कर सकते हैं? वे धागे को मोड़ सकते हैं और उसे $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{8}$ ‘धागे की लंबाई’ में चिह्नित कर सकते हैं। अब, शायद पहेली और बूझो धागे का उपयोग करके डेस्क की सटीक लंबाई माप सकते हैं।

आप कहेंगे कि उन्हें अपने ज्यामिति बॉक्स में पैमाने का उपयोग करना चाहिए और अपनी समस्या का समाधान करना चाहिए? हाँ, बिल्कुल!

बूझो ऐसे मानक पैमाने बनने से पहले लोग दूरी मापने के तरीके के बारे में पढ़ रहा है

चित्र 7.4 धागे की लंबाई से डेस्क की लंबाई मापना

और वह दूरी मापने के विभिन्न तरीकों का पालन करने की कोशिश कर रहा है।

ऐसे कई अवसर आते हैं जब हमें लंबाई और दूरी मापने की आवश्यकता होती है। दर्जी को यह जानने के लिए कपड़े की लंबाई मापने की आवश्यकता होती है कि क्या कुर्ता सिलने के लिए यह पर्याप्त है। एक बढ़ई को यह जानने के लिए अलमारी की ऊंचाई और चौड़ाई मापने की आवश्यकता होती है कि उसे इसका दरवाजा बनाने के लिए कितनी लकड़ी की आवश्यकता होगी। किसान को यह जानने के लिए अपनी जमीन की लंबाई और चौड़ाई या क्षेत्रफल जानने की आवश्यकता होती है कि वह कितना बीज बो सकता है और उसकी फसलों के लिए कितने पानी की आवश्यकता होगी।

मान लीजिए, आपसे पूछा जाता है कि आप कितने लंबे हैं? आप अपने सिर के शीर्ष से अपने पैरों की एड़ी तक एक सीधी रेखा की लंबाई बताना चाहते हैं।

यह कमरा कितना लंबा है?
यह डेस्क कितनी चौड़ी है?
दिल्ली से लखनऊ कितनी दूर है?
चंद्रमा पृथ्वी से कितनी दूर है?

इन सभी सवालों में एक बात समान है। वे सभी दो स्थानों के बीच की दूरी से संबंधित हैं। दोनों स्थान एक मेज के दोनों सिरों की तरह काफी करीब हो सकते हैं या वे जम्मू और कन्याकुमारी की तरह दूर हो सकते हैं।

आइए कुछ माप करके देखें कि जब हम दूरी या लंबाई मापते हैं तो हमें वास्तव में क्या करने की आवश्यकता है।

7.3 कुछ माप

गतिविधि 1

समूहों में काम करें और आप में से प्रत्येक इस गतिविधि को एक-एक करके करें। अपने पैर को लंबाई की इकाई के रूप में उपयोग करते हुए, कक्षा की लंबाई और चौड़ाई मापें। यह संभव है कि इन्हें मापते समय आपको कुछ हिस्सा मापने के लिए शेष मिले क्योंकि वह आपके पैर से छोटा है। अपने पैर के एक हिस्से की लंबाई मापने के लिए पहले की तरह एक धागे का उपयोग करें। अपनी टिप्पणियों को तालिका 7.1 में दर्ज करें।

तालिका 7.1 कक्षा की लंबाई और चौड़ाई मापना

गतिविधि 2

एक समूह में काम करें और आप में से प्रत्येक कक्षा में एक मेज या डेस्क की चौड़ाई मापने के लिए अपनी बित्ता (हथेली की चौड़ाई) को इकाई के रूप में उपयोग करें (चित्र 7.5)।

चित्र 7.5 बित्ता से मेज की चौड़ाई मापना

यहाँ भी, आप पा सकते हैं कि माप करने के लिए आपको अपने बित्ता के बराबर धागे की लंबाई और फिर इस धागे की लंबाई के भिन्नों की आवश्यकता है। सभी टिप्पणियों को तालिका 7.2 में दर्ज करें।

हम देखते हैं कि, माप का अर्थ है एक अज्ञात मात्रा की तुलना

तालिका 7.2 मेज की चौड़ाई मापना

किसी ज्ञात मात्रा से। इस ज्ञात निश्चित मात्रा को इकाई कहा जाता है। माप के परिणाम को दो भागों में व्यक्त किया जाता है। एक भाग एक संख्या है। दूसरा भाग माप की इकाई है। उदाहरण के लिए, यदि गतिविधि 1 में, कमरे की लंबाई आपके पैर की 12 लंबाई पाई जाती है, तो 12 संख्या है और ‘पैर की लंबाई’ माप के लिए चुनी गई इकाई है।

अब, तालिका 7.1 और 7.2 में दर्ज सभी मापों का अध्ययन करें। क्या सभी के पैर का उपयोग करके कमरे के सभी माप समान हैं? क्या मेज की चौड़ाई के बित्ता से किए गए सभी के माप समान हैं? शायद परिणाम भिन्न हो सकते हैं क्योंकि आपके बित्ता की लंबाई और आपके दोस्तों की लंबाई समान नहीं हो सकती है। इसी तरह, सभी छात्रों के लिए पैर की लंबाई थोड़ी भिन्न हो सकती है। इसलिए, जब आप अपने बित्ता या पैर की लंबाई को इकाई के रूप में उपयोग करके अपना माप दूसरों को बताते हैं, तो जब तक वे आपके बित्ता या पैर की लंबाई नहीं जानते, तब तक वे यह नहीं समझ पाएंगे कि वास्तविक लंबाई कितनी बड़ी है।

इसलिए हम देखते हैं कि माप की कुछ मानक इकाइयों की आवश्यकता है, जो व्यक्ति से व्यक्ति में न बदलें।

7.4 माप की मानक इकाइयाँ

प्राचीन काल में, पैर की लंबाई, उंगली की चौड़ाई और कदम की दूरी का उपयोग आमतौर पर माप की विभिन्न इकाइयों के रूप में किया जाता था।

सिंधु घाटी सभ्यता के लोगों ने लंबाई की बहुत अच्छी माप का उपयोग किया होगा क्योंकि हम खुदाई में पूर्णतः ज्यामितीय निर्माणों के साक्ष्य देखते हैं।

कोहनी से उंगलियों की युक्तियों तक की लंबाई के रूप में एक हाथ (क्यूबिट) का उपयोग प्राचीन मिस्र में किया जाता था और इसे दुनिया के अन्य हिस्सों में लंबाई की एक इकाई के रूप में भी स्वीकार किया जाता था।

लोगों ने दुनिया के विभिन्न हिस्सों में लंबाई की इकाई के रूप में “फुट” का भी उपयोग किया। उपयोग किए जाने वाले फुट की लंबाई क्षेत्र से क्षेत्र में थोड़ी भिन्न होती थी।

लोगों ने फैली हुई भुजा के सिरे और उनकी ठोड़ी के बीच की दूरी से कपड़े का एक “गज” मापा। रोमन लोग अपने कदम या पैरों से मापते थे।

प्राचीन भारत में, उपयोग की जाने वाली छोटी लंबाई माप थीं एक अंगुल (उंगली) या एक मुट्ठी। आज भी, हम भारत के कई शहरों में फूल विक्रेताओं को मालाओं के लिए लंबाई की इकाई के रूप में अपनी बांह का उपयोग करते देख सकते हैं। ऐसे कई शारीरिक अंग आज भी लंबाई की इकाई के रूप में उपयोग में हैं, जब सुविधाजनक हो।

हालाँकि, हर किसी के शारीरिक अंग थोड़े अलग आकार के हो सकते हैं। इससे माप में भ्रम पैदा होना चाहिए था। 1790 में, फ्रांसीसियों ने माप की एक मानक इकाई बनाई जिसे मीट्रिक प्रणाली कहा जाता है।

एकरूपता के लिए, दुनिया भर के वैज्ञानिकों ने माप की मानक इकाइयों के एक सेट को स्वीकार किया है। अब उपयोग की जाने वाली इकाइयों की प्रणाली को अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली (SI इकाइयाँ) के रूप में जाना जाता है। लंबाई की SI इकाई मीटर है। एक मीटर पैमाना चित्र 7.6 में दिखाया गया है। आपके ज्यामिति बॉक्स में $15 \mathrm{~cm}$ पैमाना भी दिखाया गया है।

प्रत्येक मीटर (m) को 100 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, जिसे सेंटीमीटर (cm) कहा जाता है। प्रत्येक सेंटीमीटर दस बराबर भागों में विभाजित होता है, जिसे मिलीमीटर $(\mathrm{mm})$ कहा जाता है। इस प्रकार,

$1 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~cm}$

$1 \mathrm{~cm}=10 \mathrm{~mm}$

बड़ी दूरियों को मापने के लिए, मीटर एक सुविधाजनक इकाई नहीं है। हम लंबाई की एक बड़ी इकाई को परिभाषित करते हैं। इसे किलोमीटर $(\mathrm{km})$ कहा जाता है।

$1 \mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}$

अब, हम एक मानक पैमाने का उपयोग करके और SI इकाइयों में मापकर अपनी सभी माप गतिविधियों को दोहरा सकते हैं। इससे पहले कि हम ऐसा करें, हमें लंबाई और दूरी मापने के सही तरीके को जानने की आवश्यकता है।

7.5 लंबाई का सही माप

हमारे दैनिक जीवन में हम विभिन्न प्रकार के मापने वाले उपकरणों का उपयोग करते हैं। हम लंबाई मापने के लिए एक मीटर पैमाने का उपयोग करते हैं।

चित्र 7.6 एक मीटर पैमाना और एक 15 सेमी पैमाना

एक दर्जी एक मापक टेप का उपयोग करता है, जबकि एक कपड़ा व्यापारी एक मीटर छड़ का उपयोग करता है। किसी वस्तु की लंबाई मापने के लिए, आपको एक उपयुक्त उपकरण चुनना चाहिए। उदाहरण के लिए, आप एक पेड़ की परिधि या अपनी छाती का आकार मीटर पैमाने से नहीं माप सकते। इसके लिए मापक टेप अधिक उपयुक्त है। छोटे मापों के लिए, जैसे आपकी पेंसिल की लंबाई, आप अपने ज्यामिति बॉक्स से $15 \mathrm{~cm}$ पैमाने का उपयोग कर सकते हैं।

लंबाई का माप लेते समय, हमें निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए:

1. पैमाने को वस्तु के साथ उसकी लंबाई के साथ संपर्क में रखें जैसा कि चित्र 7.7 में दिखाया गया है।

2. कुछ पैमानों में, सिरे टूटे हुए हो सकते हैं। आप शून्य चिह्न को स्पष्ट रूप से नहीं देख पा सकते हैं [चित्र 7.8 (a)]। ऐसे मामलों में, आपको

(a)

(b)

चित्र 7.7 मापी जाने वाली लंबाई के साथ पैमाने को रखने की विधि (a) सही और (b) गलत

पैमाने के शून्य चिह्न से माप लेने से बचना चाहिए। आप पैमाने के किसी अन्य पूर्ण चिह्न का उपयोग कर सकते हैं, मान लीजिए, $1.0 \mathrm{~cm}[$ [चित्र 7.8 (b)]। तब आपको इस चिह्न के पाठ्यांक को दूसरे सिरे के पाठ्यांक से घटाना होगा। उदाहरण के लिए, चित्र 7.8 (b) में एक सिरे पर पाठ्यांक $1.0 \mathrm{~cm}$ है और दूसरे सिरे पर यह $14.3 \mathrm{~cm}$ है। इसलिए, वस्तु की लंबाई $(14.3-1.0) \mathrm{cm}=13.3 \mathrm{~cm}$ है।

(a)

चित्र 7.8 (a) टूटे किनारे वाले पैमाने को रखने की गलत और (b) सही विधि

3. माप लेने के लिए आँख की सही स्थिति भी महत्वपूर्ण है। आपकी आँख ठीक उस बिंदु के सामने होनी चाहिए जहाँ माप लिया जाना है जैसा कि चित्र 7.9 में दिखाया गया है। स्थिति ’ $\mathrm{B}$ ’ आँख की सही स्थिति है। ध्यान दें कि स्थिति ’ $B$ ’ से, पाठ्यांक $7.5 \mathrm{~cm}$ है। स्थिति ’ $A$ ’ और ’ $C$ ’ से, पाठ्यांक भिन्न हो सकते हैं।

(A)

चित्र 7.9 पैमाने का पाठ्यांक लेने के लिए आँख की उचित स्थिति B है

गतिविधि 3

अपने सहपाठी की ऊंचाई पहले बित्ता से और फिर मीटर पैमाने से मापें। इसके लिए, अपने सहपाठी से दीवार के सहारे पीठ करके खड़े होने के लिए कहें। दीवार पर उसके सिर के ठीक ऊपर एक निशान बनाएं। अब, फर्श से दीवार पर इस निशान तक की दूरी को पहले अपने बित्ता से और फिर मीटर पैमाने से मापें। अन्य सभी छात्रों को इस लंबाई को इसी तरह से मापने दें। सभी टिप्पणियों को तालिका 7.3 में दर्ज करें।

तालिका 7.3 ऊंचाई का माप

विभिन्न छात्रों द्वारा प्राप्त परिणामों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें। कॉलम 2 के परिणाम एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं क्योंकि विभिन्न छात्रों के लिए बित्ता की लंबाई भिन्न हो सकती है।

कॉलम 3 के परिणामों को देखें जहाँ माप एक मानक पैमाने का उपयोग करके किए गए हैं। परिणाम अब एक दूसरे के करीब हो सकते हैं, लेकिन क्या वे बिल्कुल बराबर हैं? यदि नहीं, तो आपके विचार में यह अंतर क्यों है? आखिरकार, हर कोई एक ही पैमाने का उपयोग कर रहा है न कि अलग-अलग बित्तों का। यह माप लेने में छोटी त्रुटियों के कारण हो सकता है। उच्च कक्षाओं में हम माप में ऐसी त्रुटियों को जानने और संभालने के महत्व के बारे में सीखेंगे।

7.6 एक वक्र रेखा की लंबाई मापना

हम एक वक्र रेखा की लंबाई को सीधे मीटर पैमाने का उपयोग करके नहीं माप सकते। हम एक वक्र रेखा की लंबाई मापने के लिए एक धागे का उपयोग कर सकते हैं।

गतिविधि 4

वक्र रेखा AB की लंबाई मापने के लिए एक धागे का उपयोग करें (चित्र 7.10)। धागे के एक सिरे के पास एक गाँठ लगाएं। इस गाँठ को बिंदु A पर रखें। अब, धागे का एक छोटा सा हिस्सा रेखा के साथ रखें, इसे अपनी उंगलियों और अंगूठे का उपयोग करके तना ह