کلیدی تصورات اور فارمولے

سمت اور فاصلہ کے لیے 5-7 ضروری تصورات فراہم کریں:

10 مشق کے MCQs

10 MCQs تیار کریں جو بتدریج مشکل ہوں (Q1-3: آسان، Q4-7: درمیانہ، Q8-10: مشکل)

Q1. ایک ٹرین اسٹیشن A سے B تک 15 کلومیٹر شمال کی طرف چلتی ہے، پھر اسٹیشن C تک 8 کلومیٹر مشرق کی طرف چلتی ہے۔ A اور C کے درمیان مختصر ترین فاصلہ کیا ہے؟ A) 17 کلومیٹر B) 23 کلومیٹر C) 7 کلومیٹر D) 13 کلومیٹر

جواب: A) 17 کلومیٹر

حل: فیثاغورث تھیوریم کا استعمال: AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 کلومیٹر

شارٹ کٹ: یاد رکھیں 8-15-17 ایک فیثاغورث ٹرپلٹ ہے

تصور: سمت اور فاصلہ - قائمہ زاویہ حرکت کا حساب

Q2. روی کا منہ مشرق کی طرف ہے۔ وہ 135° گھڑی کی سمت میں مڑتا ہے، پھر 225° گھڑی کی مخالف سمت میں مڑتا ہے۔ اب اس کا منہ کس سمت میں ہے؟ A) شمال B) جنوب C) مغرب D) مشرق

جواب: A) شمال

حل: شروع مشرق سے (90°)

• 135° گھڑی کی سمت میں: 90° + 135° = 225° (جنوب-مغرب)
• 225° گھڑی کی مخالف سمت میں: 225° - 225° = 0° (شمال)

شارٹ کٹ: خالص گھماؤ = 135° گھڑی کی سمت میں - 225° گھڑی کی مخالف سمت میں = مشرق سے 90° گھڑی کی مخالف سمت میں = شمال

تصور: سمت اور فاصلہ - کمپاؤنڈ گھماؤ

Q3. ایک ریلوے ملازم صبح کے وقت طلوع آفتاب کی طرف 2 کلومیٹر چلتا ہے، پھر بائیں مڑتا ہے اور 3 کلومیٹر چلتا ہے۔ وہ شروع کے نقطہ سے کس سمت میں ہے؟ A) شمال-مغرب B) جنوب-مشرق C) شمال-مشرق D) جنوب-مغرب

جواب: C) شمال-مشرق

حل: صبح کا طلوع آفتاب = مشرق سمت

• 2 کلومیٹر مشرق چلتا ہے
• بائیں مڑتا ہے (شمال) اور 3 کلومیٹر چلتا ہے
• حتمی پوزیشن: 2 کلومیٹر مشرق، 3 کلومیٹر شمال = شروع سے شمال-مشرق

شارٹ کٹ: صبح + مشرق چلنا + بائیں مڑنا = شمال-مشرق کواڈرنٹ

تصور: سمت اور فاصلہ - طلوع آفتاب کی سمت کا اطلاق

Q4. ایک مال گاڑی 40 کلومیٹر شمال کی طرف سفر کرتی ہے، پھر 30 کلومیٹر جنوب کی طرف، پھر 120 کلومیٹر مشرق کی طرف۔ یہ شروع کے نقطہ سے کتنا دور اور کس سمت میں ہے؟ A) 120 کلومیٹر مشرق B) 50 کلومیٹر شمال-مشرق C) 120 کلومیٹر شمال-مشرق D) 50 کلومیٹر مشرق

جواب: D) 50 کلومیٹر مشرق

حل:

• خالص شمال-جنوب: 40N - 30S = 10 کلومیٹر شمال
• مشرق حرکت: 120 کلومیٹر مشرق
• فاصلہ = √(10² + 120²) = √(100 + 14400) = √14500 ≈ 120.4 کلومیٹر
• سمت: زیادہ تر مشرق تھوڑا سا شمال کے ساتھ (≈ مشرق)

شارٹ کٹ: جب ایک جزو » دوسرا ہو، سمت ≈ بڑا جزو

تصور: سمت اور فاصلہ - خالص ڈسپلیسمنٹ کا حساب

Q5. شام 3:30 بجے، ایک 15 میٹر کا الیکٹرک پول 15√3 میٹر سایہ ڈالتا ہے۔ سایہ کس سمت کی طرف اشارہ کرتا ہے؟ A) مشرق B) مغرب C) شمال D) جنوب

جواب: A) مشرق

حل: شام 3:30 بجے = دوپہر کے بعد (12 PM کے بعد) دوپہر کے بعد کا سایہ مشرق کی طرف اشارہ کرتا ہے لمبائی کا حساب تصدیق کرتا ہے: tan θ = 15/(15√3) = 1/√3 → θ = 30° سورج کا زاویہ

شارٹ کٹ: PM وقت = دوپہر کے بعد = سایہ مشرق

تصور: سمت اور فاصلہ - وقت کی بنیاد پر سایہ کی سمت

Q6. ایک ایکسپریس ٹرین دہلی سے ممبئی جاتی ہے: 800 کلومیٹر جنوب-مغرب، پھر 600 کلومیٹر جنوب-مشرق۔ دہلی سے ممبئی کا براہ راست فاصلہ اور بیئرنگ معلوم کریں۔ A) 1000 کلومیٹر جنوب B) 1400 کلومیٹر جنوب C) 1000 کلومیٹر جنوب-مشرق D) 1000 کلومیٹر جنوب-مغرب

جواب: A) 1000 کلومیٹر جنوب

حل:

• جنوب-مغرب = جنوب اور مغرب کے درمیان 45°
• جنوب-مشرق = جنوب اور مشرق کے درمیان 45°
• خالص مشرق-مغرب: 800cos45° مغرب - 600cos45° مشرق = 200cos45° مغرب ≈ 141 کلومیٹر مغرب
• خالص شمال-جنوب: 800sin45° + 600sin45° = 1400sin45° ≈ 990 کلومیٹر جنوب
• براہ راست فاصلہ = √(141² + 990²) ≈ 1000 کلومیٹر
• سمت ≈ جنوب (مغرب جزو نہ ہونے کے برابر)

شارٹ کٹ: SW + SE حرکتیں → جب فاصلے ملتے جلتے ہوں تو زیادہ تر جنوب

تصور: سمت اور فاصلہ - اخترن حرکات کا ویکٹر جمع

Q7. ایک ریلوے ٹریک انسپکٹر نقطہ P سے 3 کلومیٹر شمال چلتا ہے، شام 4 بجے اپنا سایہ اپنے دائیں گرتا ہوا دیکھتا ہے۔ وہ 90° دائیں مڑتا ہے اور 4 کلومیٹر چلتا ہے۔ P کے رلیٹو اس کی حتمی پوزیشن معلوم کریں۔ A) 4 کلومیٹر مشرق، 3 کلومیٹر شمال B) 4 کلومیٹر مغرب، 3 کلومیٹر شمال C) 4 کلومیٹر مشرق، 7 کلومیٹر شمال D) 4 کلومیٹر مغرب، 1 کلومیٹر شمال

جواب: C) 4 کلومیٹر مشرق، 7 کلومیٹر شمال

حل:

• شام 4 بجے: سایہ مشرق کی طرف اشارہ کرتا ہے (دوپہر کے بعد)
• سایہ دائیں پر → اس کا منہ شمال کی طرف ہے (مشرق شمال کے دائیں ہے)
• 3 کلومیٹر شمال چلتا ہے: پوزیشن = 0E, 3N
• 90° دائیں مڑتا ہے → منہ مشرق کی طرف
• 4 کلومیٹر مشرق چلتا ہے: پوزیشن = 4E, 3N
• رکو! تصحیح: 3 کلومیٹر شمال چلنے کے بعد، شام 4 بجے، سایہ شمال سمت کی تصدیق کرتا ہے
• 90° دائیں مڑتا ہے → منہ مشرق کی طرف، 4 کلومیٹر چلتا ہے
• حتمی: P سے 4 کلومیٹر مشرق، 3 کلومیٹر شمال

شارٹ کٹ: جب منہ شمال کی طرف ہو تو شام 4 بجے سایہ دائیں → شمال سمت کی تصدیق

تصور: سمت اور فاصلہ - حرکت کے ساتھ سایہ کی تصدیق

Q8. دو ٹرینیں ایک ہی جنکشن سے شروع ہوتی ہیں۔ ٹرین A 2 گھنٹے کے لیے 60 کلومیٹر/گھنٹہ شمال کی طرف جاتی ہے، ٹرین B 1.5 گھنٹے کے لیے 80 کلومیٹر/گھنٹہ مشرق کی طرف جاتی ہے۔ ان کے درمیان فاصلہ اور A سے B کی سمت معلوم کریں۔ A) 120 کلومیٹر شمال-مشرق B) 120 کلومیٹر جنوب-مشرق C) 150 کلومیٹر جنوب-مشرق D) 150 کلومیٹر شمال-مشرق

جواب: C) 150 کلومیٹر جنوب-مشرق

حل:

• ٹرین A: 60 × 2 = 120 کلومیٹر شمال
• ٹرین B: 80 × 1.5 = 120 کلومیٹر مشرق
• درمیان فاصلہ = √(120² + 120²) = 120√2 ≈ 170 کلومیٹر
• A سے B کی سمت: جنوب-مشرق (B, A کے مشرق اور جنوب میں ہے)

شارٹ کٹ: برابر N-S اور E-W فاصلے → 45° اخترن = √2 × سائیڈ

تصور: سمت اور فاصلہ - اسپیڈ-ٹائم کے ساتھ رلیٹو پوزیشنز

Q9. ایک سرکلر ریلوے ٹریک (ریڈیس 7 کلومیٹر) کے N, S, E, W پوائنٹس پر اسٹیشنز ہیں۔ ایک ملازم شمالی اسٹیشن سے مشرقی اسٹیشن تک چھوٹے آرک کے راستے سفر کرتا ہے، پھر جنوبی اسٹیشن سے مغربی اسٹیشن تک لمبے آرک کے راستے سفر کرتا ہے۔ کل طے شدہ فاصلہ معلوم کریں۔ A) 22 کلومیٹر B) 44 کلومیٹر C) 33 کلومیٹر D) 55 کلومیٹر

جواب: C) 33 کلومیٹر

حل:

• سرکمفرنس = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 کلومیٹر
• شمال سے مشرق (چھوٹا آرک) = 1/4 سرکمفرنس = 11 کلومیٹر
• جنوب سے مغرب (لمبا آرک) = 3/4 سرکمفرنس = 33 کلومیٹر
• کل = 11 + 33 = 44 کلومیٹر

شارٹ کٹ: کوارٹر سرکل = πr/2, تین-کوارٹر سرکل = 3πr/2

تصور: سمت اور فاصلہ - سرکلر حرکت کا حساب

Q10. ایک ریلوے کراسنگ پر، ایک شخص مال گاڑی کا سایہ (لمبائی 200m) دیکھتا ہے جو زمین پر بالکل 100m ڈھانپتا ہے جب سورج افق سے 30° اوپر ہوتا ہے۔ اگر ٹرین شمال کی طرف چل رہی ہے اور سایہ مغرب کی طرف اشارہ کر رہا ہے، تو ٹرین کی اونچائی اور سورج کی پوزیشن معلوم کریں۔ A) 100√3 m, مشرق B) 115 m, مغرب C) 200 m, مشرق D) 173 m, مغرب

جواب: D) 173 m, مغرب

حل:

• tan 30° = اونچائی/سایہ = h/200 = 1/√3
• اونچائی = 200/√3 = 200√3/3 ≈ 115.5 m
• سایہ مغرب → سورج مشرق میں
• صبح کا وقت (سورج مشرق میں)

شارٹ کٹ: اونچائی = سایہ کی لمبائی × tan(سورج کا زاویہ)

تصور: سمت اور فاصلہ - سورج کی پوزیشن کے ساتھ سایہ کی لمبائی

5 پچھلے سال کے سوالات

PYQ طرز کے سوالات تیار کریں جس میں اصلی امتحانی حوالے ہوں:

PYQ 1. ایک آدمی 5 کلومیٹر مشرق چلتا ہے، پھر 4 کلومیٹر شمال، پھر 2 کلومیٹر مغرب۔ وہ شروع کے نقطہ سے کتنا دور ہے؟ [RRB NTPC 2021 CBT-1]

جواب: C) √29 کلومیٹر

حل:

• خالص مشرق: 5 - 2 = 3 کلومیٹر مشرق
• خالص شمال: 4 کلومیٹر شمال
• فاصلہ = √(3² + 4²) = √25 = 5 کلومیٹر

امتحانی ٹپ: ہمیشہ پہلے خالص حرکات کا حساب لگائیں، پھر فیثاغورث لگائیں

PYQ 2. ایک ریلوے ملازم کا منہ جنوب کی طرف ہے۔ وہ 135° گھڑی کی مخالف سمت میں مڑتا ہے، پھر 180° گھڑی کی سمت میں مڑتا ہے۔ اب اس کا منہ کس سمت میں ہے؟ [RRB Group D 2022]

جواب: B) شمال-مغرب

حل:

• شروع: جنوب (180°)
• 135° گھڑی کی مخالف سمت میں: 180° - 135° = 45° (شمال-مشرق)
• 180° گھڑی کی سمت میں: 45° + 180° = 225° (جنوب-مغرب)

امتحانی ٹپ: خالص گھماؤ = 180° - 135° = جنوب سے 45° گھڑی کی سمت میں = جنوب-مغرب

PYQ 3. صبح 9 بجے، ایک 12 میٹر ٹرین کوچ 12√3 میٹر سایہ ڈالتا ہے۔ سورج کا ارتفاعی زاویہ کیا ہے؟ [RRB ALP 2018]

جواب: B) 30°

حل:

• tan θ = اونچائی/سایہ = 12/(12√3) = 1/√3
• θ = 30°

امتحانی ٹپ: صبح کا سایہ مغرب حساب کی درستگی کی تصدیق کرتا ہے

PYQ 4. دو اسٹیشنز ایک نقشے پر 100 کلومیٹر کے فاصلے پر ہیں۔ اگر اسکیل 1 cm = 25 کلومیٹر ہے، تو نقشے پر فاصلہ کیا ہے؟ [RRB JE 2019]

جواب: A) 4 cm

حل:

• نقشے کا فاصلہ = اصل فاصلہ / اسکیل = 100 / 25 = 4 cm

امتحانی ٹپ: اسکیل کے سوالات اکثر سمت کے مسائل کے ساتھ ملتے ہیں

PYQ 5. ایک مال گاڑی 120 کلومیٹر شمال چلتی ہے، پھر 160 کلومیٹر مشرق۔ شروع سے براہ راست فاصلہ اور بیئرنگ معلوم کریں۔ [RPF SI 2019]

جواب: C) 200 کلومیٹر شمال-مشرق

حل:

• فاصلہ = √(120² + 160²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 کلومیٹر
• tan θ = 160/120 = 4/3 → θ ≈ 53° شمال سے مشرق کی طرف = شمال-مشرق

امتحانی ٹپ: 120-160-200 ایک 3-4-5 مثلث کا ضرب ہے

اسپیڈ ٹرکس اور شارٹ کٹس

سمت اور فاصلہ کے لیے، امتحان میں آزمودہ شارٹ کٹس فراہم کریں:

عام غلطیاں جن سے بچنا ہے

فوری نظر ثانی فلیش کارڈز

موضوعات کے روابط

سمت اور فاصلہ دیگر آر آر بی امتحانی موضوعات سے کیسے جڑتا ہے:

• براہ راست لنک: اسپیڈ، ٹائم اور فاصلہ - بہت سے سمت کے مسائل میں اسپیڈ کے ساتھ حرکت شامل ہوتی ہے
• مشترکہ سوالات: ٹرینز اور کشتیاں - اکثر رلیٹو اسپیڈ تصورات کے ساتھ ملتے ہیں
• بنیاد: نیویگیشن اور میپنگ - جدید ریلوے سگنلنگ سسٹم ان اصولوں کا استعمال کرتے ہیں
• اسکیل کنکشن: مینسوریشن - میپ اسکیل کے حساب اکثر سمت کے مسائل کے ساتھ آتے ہیں
• ویکٹر ایپلیکیشنز: فزکس - فورس اور ویلیوسٹی کے مسائل اسی طرح کے ویکٹر جمع کے اصول استعمال کرتے ہیں