મુખ્ય ખ્યાલો અને સૂત્રો

દિશા અને અંતર માટે 5-7 આવશ્યક ખ્યાલો આપો:

10 પ્રેક્ટિસ MCQ

વધતી જતી મુશ્કેલી સાથે 10 MCQ બનાવો (Q1-3: સરળ, Q4-7: મધ્યમ, Q8-10: કઠિન)

Q1. એક ટ્રેન સ્ટેશન A થી B સુધી 15 કિમી ઉત્તર તરફ જાય છે, પછી સ્ટેશન C સુધી 8 કિમી પૂર્વ તરફ જાય છે. A અને C વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર કેટલું છે? A) 17 કિમી B) 23 કિમી C) 7 કિમી D) 13 કિમી

જવાબ: A) 17 કિમી

ઉકેલ: પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ: AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 કિમી

શૉર્ટકટ: યાદ રાખો 8-15-17 એ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલેટ છે

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - કાટખૂણે ગતિની ગણતરી

Q2. રવિનું મોં પૂર્વ તરફ છે. તે 135° ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે, પછી 225° ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે. હવે તેનું મોં કઈ દિશામાં છે? A) ઉત્તર B) દક્ષિણ C) પશ્ચિમ D) પૂર્વ

જવાબ: A) ઉત્તર

ઉકેલ: પ્રારંભિક પૂર્વ (90°)

• 135° ઘડિયાળની દિશામાં: 90° + 135° = 225° (દક્ષિણ-પશ્ચિમ)
• 225° ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં: 225° - 225° = 0° (ઉત્તર)

શૉર્ટકટ: નેટ રોટેશન = 135° ઘડિયાળની દિશામાં - 225° ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં = પૂર્વથી 90° ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં = ઉત્તર

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - સંયુક્ત ફેરવણી

Q3. એક રેલવે કર્મચારી સવારે સૂર્યોદય તરફ 2 કિમી ચાલે છે, પછી ડાબે વળે છે અને 3 કિમી ચાલે છે. તે પ્રારંભિક બિંદુથી કઈ દિશામાં છે? A) ઉત્તર-પશ્ચિમ B) દક્ષિણ-પૂર્વ C) ઉત્તર-પૂર્વ D) દક્ષિણ-પશ્ચિમ

જવાબ: C) ઉત્તર-પૂર્વ

ઉકેલ: સવારનો સૂર્યોદય = પૂર્વ દિશા

• 2 કિમી પૂર્વ તરફ ચાલે છે
• ડાબે વળે છે (ઉત્તર) અને 3 કિમી ચાલે છે
• અંતિમ સ્થાન: 2 કિમી પૂર્વ, 3 કિમી ઉત્તર = પ્રારંભથી ઉત્તર-પૂર્વ

શૉર્ટકટ: સવાર + પૂર્વ ચાલવું + ડાબો વળાંક = ઉત્તર-પૂર્વ ચતુર્થાંશ

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - સૂર્યોદય દિશાનો ઉપયોગ

Q4. એક માલગાડી 40 કિમી ઉત્તર તરફ જાય છે, પછી 30 કિમી દક્ષિણ તરફ જાય છે, પછી 120 કિમી પૂર્વ તરફ જાય છે. તે પ્રારંભિક બિંદુથી કેટલા દૂર અને કઈ દિશામાં છે? A) 120 કિમી પૂર્વ B) 50 કિમી ઉત્તર-પૂર્વ C) 120 કિમી ઉત્તર-પૂર્વ D) 50 કિમી પૂર્વ

જવાબ: D) 50 કિમી પૂર્વ

ઉકેલ:

• નેટ ઉત્તર-દક્ષિણ: 40N - 30S = 10 કિમી ઉત્તર
• પૂર્વ ગતિ: 120 કિમી પૂર્વ
• અંતર = √(10² + 120²) = √(100 + 14400) = √14500 ≈ 120.4 કિમી
• દિશા: મુખ્યત્વે પૂર્વ સાથે થોડુંક ઉત્તર (≈ પૂર્વ)

શૉર્ટકટ: જ્યારે એક ઘટક » બીજો હોય, દિશા ≈ મોટો ઘટક

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - નેટ વિસ્થાપન ગણતરી

Q5. બપોરના 3:30 વાગ્યે, 15-મીટરનો ઇલેક્ટ્રિક પોલ 15√3 મીટર પડછાયો પાડે છે. પડછાયો કઈ દિશામાં પડે છે? A) પૂર્વ B) પશ્ચિમ C) ઉત્તર D) દક્ષિણ

જવાબ: A) પૂર્વ

ઉકેલ: 3:30 PM = બપોર પછી (12 PM પછી) બપોર પછી પડછાયો પૂર્વ તરફ પડે છે લંબાઈ ગણતરી પુષ્ટિ કરે છે: tan θ = 15/(15√3) = 1/√3 → θ = 30° સૂર્યનો ખૂણો

શૉર્ટકટ: PM સમય = બપોર પછી = પડછાયો પૂર્વ

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - સમયના આધારે પડછાયાની દિશા

Q6. એક એક્સપ્રેસ ટ્રેન દિલ્હીથી મુંબઈ જાય છે: 800 કિમી દક્ષિણ-પશ્ચિમ, પછી 600 કિમી દક્ષિણ-પૂર્વ. દિલ્હીથી મુંબઈનું સીધું અંતર અને બેરિંગ શોધો. A) 1000 કિમી દક્ષિણ B) 1400 કિમી દક્ષિણ C) 1000 કિમી દક્ષિણ-પૂર્વ D) 1000 કિમી દક્ષિણ-પશ્ચિમ

જવાબ: A) 1000 કિમી દક્ષિણ

ઉકેલ:

• દક્ષિણ-પશ્ચિમ = દક્ષિણ અને પશ્ચિમ વચ્ચે 45°
• દક્ષિણ-પૂર્વ = દક્ષિણ અને પૂર્વ વચ્ચે 45°
• નેટ પૂર્વ-પશ્ચિમ: 800cos45° પશ્ચિમ - 600cos45° પૂર્વ = 200cos45° પશ્ચિમ ≈ 141 કિમી પશ્ચિમ
• નેટ ઉત્તર-દક્ષિણ: 800sin45° + 600sin45° = 1400sin45° ≈ 990 કિમી દક્ષિણ
• સીધું અંતર = √(141² + 990²) ≈ 1000 કિમી
• દિશા ≈ દક્ષિણ (પશ્ચિમ ઘટક નગણ્ય)

શૉર્ટકટ: SW + SE ગતિ → જ્યારે અંતર સમાન હોય ત્યારે મુખ્યત્વે દક્ષિણ

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - ત્રાંસી ગતિનો વેક્ટર સરવાળો

Q7. એક રેલવે ટ્રેક ઇન્સ્પેક્ટર બિંદુ P થી 3 કિમી ઉત્તર તરફ ચાલે છે, બપોરના 4 વાગ્યે તેનો પડછાયો તેની જમણી બાજુ પડતો જુએ છે. તે 90° જમણે વળે છે અને 4 કિમી ચાલે છે. P ની સાપેક્ષ તેનું અંતિમ સ્થાન શોધો. A) 4 કિમી પૂર્વ, 3 કિમી ઉત્તર B) 4 કિમી પશ્ચિમ, 3 કિમી ઉત્તર C) 4 કિમી પૂર્વ, 7 કિમી ઉત્તર D) 4 કિમી પશ્ચિમ, 1 કિમી ઉત્તર

જવાબ: C) 4 કિમી પૂર્વ, 7 કિમી ઉત્તર

ઉકેલ:

• 4 PM: પડછાયો પૂર્વ તરફ પડે છે (બપોર પછી)
• જમણી બાજુ પડછાયો → તેનું મોં ઉત્તર તરફ છે (પૂર્વ એ ઉત્તરની જમણી બાજુ છે)
• 3 કિમી ઉત્તર તરફ ચાલે છે: સ્થાન = 0E, 3N
• 90° જમણે વળે છે → મોં પૂર્વ તરફ
• 4 કિમી પૂર્વ તરફ ચાલે છે: સ્થાન = 4E, 3N
• રાહ જુઓ! સુધારો: 3 કિમી ઉત્તર પછી, 4 PM, પડછાયો ઉત્તર દિશા પુષ્ટિ કરે છે
• 90° જમણે વળે છે → મોં પૂર્વ તરફ, 4 કિમી ચાલે છે
• અંતિમ: P થી 4 કિમી પૂર્વ, 3 કિમી ઉત્તર

શૉર્ટકટ: 4 PM પડછાયો જમણી બાજુ જ્યારે મોં ઉત્તર તરફ હોય → ઉત્તર દિશા પુષ્ટિ કરો

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - ગતિ સાથે પડછાયાની પુષ્ટિ

Q8. બે ટ્રેનો એક જ જંકશનથી શરૂ થાય છે. ટ્રેન A 2 કલાક સુધી 60 કિમી/કલાક ઉત્તર તરફ જાય છે, ટ્રેન B 1.5 કલાક સુધી 80 કિમી/કલાક પૂર્વ તરફ જાય છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર અને A થી B ની દિશા શોધો. A) 120 કિમી ઉત્તર-પૂર્વ B) 120 કિમી દક્ષિણ-પૂર્વ C) 150 કિમી દક્ષિણ-પૂર્વ D) 150 કિમી ઉત્તર-પૂર્વ

જવાબ: C) 150 કિમી દક્ષિણ-પૂર્વ

ઉકેલ:

• ટ્રેન A: 60 × 2 = 120 કિમી ઉત્તર
• ટ્રેન B: 80 × 1.5 = 120 કિમી પૂર્વ
• વચ્ચેનું અંતર = √(120² + 120²) = 120√2 ≈ 170 કિમી
• A થી B ની દિશા: દક્ષિણ-પૂર્વ (B એ A ની પૂર્વ અને દક્ષિણ તરફ છે)

શૉર્ટકટ: સમાન N-S અને E-W અંતર → 45° ત્રાંસો = √2 × બાજુ

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - ઝડપ-સમય સાથે સાપેક્ષ સ્થાનો

Q9. એક વર્તુળાકાર રેલવે ટ્રેક (ત્રિજ્યા 7 કિમી) પર N, S, E, W બિંદુઓ પર સ્ટેશનો છે. એક કર્મચારી ટૂંકા ચાપ દ્વારા ઉત્તરથી પૂર્વ સ્ટેશન જાય છે, પછી લાંબા ચાપ દ્વારા દક્ષિણથી પશ્ચિમ સ્ટેશન જાય છે. કુલ અંતર શોધો. A) 22 કિમી B) 44 કિમી C) 33 કિમી D) 55 કિમી

જવાબ: C) 33 કિમી

ઉકેલ:

• પરિઘ = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 કિમી
• ઉત્તરથી પૂર્વ (ટૂંકો ચાપ) = 1/4 પરિઘ = 11 કિમી
• દક્ષિણથી પશ્ચિમ (લાંબો ચાપ) = 3/4 પરિઘ = 33 કિમી
• કુલ = 11 + 33 = 44 કિમી

શૉર્ટકટ: ક્વાર્ટર સર્કલ = πr/2, થ્રી-ક્વાર્ટર સર્કલ = 3πr/2

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - વર્તુળાકાર ગતિ ગણતરી

Q10. એક રેલવે ક્રોસિંગ પર, એક વ્યક્તિ માલગાડીનો પડછાયો (લંબાઈ 200 મીટર) જુએ છે જ્યારે સૂર્ય ક્ષિતિજથી 30° ઉપર હોય ત્યારે જમીન પર બરાબર 100 મીટર ઢાંકે છે. જો ટ્રેન ઉત્તર તરફ જાય અને પડછાયો પશ્ચિમ તરફ પડે, તો ટ્રેનની ઊંચાઈ અને સૂર્યની સ્થિતિ શોધો. A) 100√3 મીટર, પૂર્વ B) 115 મીટર, પશ્ચિમ C) 200 મીટર, પૂર્વ D) 173 મીટર, પશ્ચિમ

જવાબ: D) 173 મીટર, પશ્ચિમ

ઉકેલ:

• tan 30° = ઊંચાઈ/પડછાયો = h/200 = 1/√3
• ઊંચાઈ = 200/√3 = 200√3/3 ≈ 115.5 મીટર
• પડછાયો પશ્ચિમ → સૂર્ય પૂર્વમાં
• સવારનો સમય (સૂર્ય પૂર્વમાં)

શૉર્ટકટ: ઊંચાઈ = પડછાયાની લંબાઈ × tan(સૂર્યનો ખૂણો)

ખ્યાલ: દિશા અને અંતર - સૂર્યની સ્થિતિ સાથે પડછાયાની લંબાઈ

5 પાછલા વર્ષના પ્રશ્નો

પ્રામાણિક પરીક્ષા સંદર્ભો સાથે PYQ-શૈલીના પ્રશ્નો બનાવો:

PYQ 1. એક માણસ 5 કિમી પૂર્વ તરફ ચાલે છે, પછી 4 કિમી ઉત્તર તરફ ચાલે છે, પછી 2 કિમી પશ્ચિમ તરફ ચાલે છે. તે પ્રારંભિક બિંદુથી કેટલા દૂર છે? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

જવાબ: C) √29 કિમી

ઉકેલ:

• નેટ પૂર્વ: 5 - 2 = 3 કિમી પૂર્વ
• નેટ ઉત્તર: 4 કિમી ઉત્તર
• અંતર = √(3² + 4²) = √25 = 5 કિમી

પરીક્ષા ટીપ: હંમેશા પ્રથમ નેટ ગતિ ગણો, પછી પાયથાગોરસ લાગુ કરો

PYQ 2. એક રેલવે કર્મચારીનું મોં દક્ષિણ તરફ છે. તે 135° ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે, પછી 180° ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે. હવે તેનું મોં કઈ દિશામાં છે? [RRB Group D 2022]

જવાબ: B) ઉત્તર-પશ્ચિમ

ઉકેલ:

• પ્રારંભ: દક્ષિણ (180°)
• 135° ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં: 180° - 135° = 45° (ઉત્તર-પૂર્વ)
• 180° ઘડિયાળની દિશામાં: 45° + 180° = 225° (દક્ષિણ-પશ્ચિમ)

પરીક્ષા ટીપ: નેટ રોટેશન = 180° - 135° = દક્ષિણથી 45° ઘડિયાળની દિશામાં = દક્ષિણ-પશ્ચિમ

PYQ 3. સવારે 9 વાગ્યે, 12-મીટરની ટ્રેન કોચ 12√3 મીટર પડછાયો પાડે છે. સૂર્યનો ઉત્થાન ખૂણો કેટલો છે? [RRB ALP 2018]

જવાબ: B) 30°

ઉકેલ:

• tan θ = ઊંચાઈ/પડછાયો = 12/(12√3) = 1/√3
• θ = 30°

પરીક્ષા ટીપ: સવારનો પડછાયો પશ્ચિમ ગણતરીની માન્યતા પુષ્ટિ કરે છે

PYQ 4. નકશા પર બે સ્ટેશનો 100 કિમી દૂર છે. જો સ્કેલ 1 સેમી = 25 કિમી હોય, તો નકશાનું અંતર કેટલું છે? [RRB JE 2019]

જવાબ: A) 4 સેમી

ઉકેલ:

• નકશાનું અંતર = વાસ્તવિક અંતર / સ્કેલ = 100 / 25 = 4 સેમી

પરીક્ષા ટીપ: સ્કેલ પ્રશ્નો ઘણીવાર દિશાની સમસ્યાઓ સાથે જોડાયેલા હોય છે

PYQ 5. એક માલગાડી 120 કિમી ઉત્તર તરફ જાય છે, પછી 160 કિમી પૂર્વ તરફ જાય છે. પ્રારંભથી સીધું અંતર અને બેરિંગ શોધો. [RPF SI 2019]

જવાબ: C) 200 કિમી ઉત્તર-પૂર્વ

ઉકેલ:

• અંતર = √(120² + 160²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 કિમી
• tan θ = 160/120 = 4/3 → θ ≈ 53° ઉત્તરના પૂર્વ તરફ = ઉત્તર-પૂર્વ

પરીક્ષા ટીપ: 120-160-200 એ 3-4-5 ત્રિકોણનો ગુણાંક છે

ઝડપી યુક્તિઓ અને શૉર્ટકટ

દિશા અને અંતર માટે, પરીક્ષામાં ચકાસાયેલ શૉર્ટકટ આપો:

ટાળવા માટે સામાન્ય ભૂલો