মূল ধারণা ও সূত্র

দিক ও দূরত্বের জন্য ৫-৭টি অপরিহার্য ধারণা প্রদান করুন:

১০টি অনুশীলন এমসিকিউ

ক্রমবর্ধমান কঠিনতার সাথে ১০টি এমসিকিউ তৈরি করুন (প্রশ্ন ১-৩: সহজ, প্রশ্ন ৪-৭: মাঝারি, প্রশ্ন ৮-১০: কঠিন)

প্রশ্ন ১. একটি ট্রেন স্টেশন A থেকে B পর্যন্ত ১৫ কিমি উত্তর দিকে চলে, তারপর ৮ কিমি পূর্ব দিকে স্টেশন C-তে যায়। A এবং C-এর মধ্যে সবচেয়ে কম দূরত্ব কত? A) ১৭ কিমি B) ২৩ কিমি C) ৭ কিমি D) ১৩ কিমি

উত্তর: A) ১৭ কিমি

সমাধান: পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে: AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 কিমি

শর্টকাট: মনে রাখুন ৮-১৫-১৭ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - সমকোণী চলাচলের গণনা

প্রশ্ন ২. রবি পূর্ব দিকে মুখ করে। সে ১৩৫° ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরে, তারপর ২২৫° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে। এখন সে কোন দিকে মুখ করে? A) উত্তর B) দক্ষিণ C) পশ্চিম D) পূর্ব

উত্তর: A) উত্তর

সমাধান: শুরু পূর্ব (৯০°)

• ১৩৫° ঘড়ির কাঁটার দিকে: ৯০° + ১৩৫° = ২২৫° (দক্ষিণ-পশ্চিম)
• ২২৫° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে: ২২৫° - ২২৫° = ০° (উত্তর)

শর্টকাট: নেট ঘূর্ণন = ১৩৫° ঘড়ির কাঁটার দিকে - ২২৫° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে = পূর্ব থেকে ৯০° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে = উত্তর

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - যৌগিক ঘূর্ণন

প্রশ্ন ৩. একজন রেলওয়ে কর্মচারী সকালে সূর্যোদয়ের দিকে ২ কিমি হাঁটে, তারপর বাম দিকে ঘুরে ৩ কিমি হাঁটে। সে শুরুর বিন্দু থেকে কোন দিকে আছে? A) উত্তর-পশ্চিম B) দক্ষিণ-পূর্ব C) উত্তর-পূর্ব D) দক্ষিণ-পশ্চিম

উত্তর: C) উত্তর-পূর্ব

সমাধান: সকালের সূর্যোদয় = পূর্ব দিক

• ২ কিমি পূর্ব দিকে হাঁটে
• বাম দিকে ঘোরে (উত্তর) এবং ৩ কিমি হাঁটে
• চূড়ান্ত অবস্থান: শুরু থেকে ২ কিমি পূর্ব, ৩ কিমি উত্তর = উত্তর-পূর্ব

শর্টকাট: সকাল + পূর্ব দিকে হাঁটা + বাম দিকে ঘোরা = উত্তর-পূর্ব চতুর্ভুজ

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - সূর্যোদয়ের দিক প্রয়োগ

প্রশ্ন ৪. একটি মালগাড়ি ৪০ কিমি উত্তর দিকে যায়, তারপর ৩০ কিমি দক্ষিণ দিকে যায়, তারপর ১২০ কিমি পূর্ব দিকে যায়। এটি শুরুর বিন্দু থেকে কত দূরে এবং কোন দিকে আছে? A) ১২০ কিমি পূর্ব B) ৫০ কিমি উত্তর-পূর্ব C) ১২০ কিমি উত্তর-পূর্ব D) ৫০ কিমি পূর্ব

উত্তর: D) ৫০ কিমি পূর্ব

সমাধান:

• নেট উত্তর-দক্ষিণ: ৪০উ - ৩০দ = ১০ কিমি উত্তর
• পূর্ব চলাচল: ১২০ কিমি পূর্ব
• দূরত্ব = √(10² + 120²) = √(100 + 14400) = √14500 ≈ 120.4 কিমি
• দিক: সামান্য উত্তর সহ মূলত পূর্ব (≈ পূর্ব)

শর্টকাট: যখন একটি উপাদান » অন্যটি, দিক ≈ বড় উপাদান

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - নেট সরণ গণনা

প্রশ্ন ৫. বিকাল ৩:৩০ টায়, একটি ১৫-মিটার বৈদ্যুতিক খুঁটির ১৫√৩ মিটার ছায়া পড়ে। ছায়াটি কোন দিকে নির্দেশ করে? A) পূর্ব B) পশ্চিম C) উত্তর D) দক্ষিণ

উত্তর: A) পূর্ব

সমাধান: বিকাল ৩:৩০ = দুপুরের পর (১২ টার পর) দুপুরের পর ছায়া পূর্ব দিকে নির্দেশ করে দৈর্ঘ্য গণনা নিশ্চিত করে: tan θ = 15/(15√3) = 1/√3 → θ = 30° সূর্যের কোণ

শর্টকাট: PM সময় = দুপুরের পর = ছায়া পূর্ব

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - সময়ের উপর ভিত্তি করে ছায়ার দিক

প্রশ্ন ৬. একটি এক্সপ্রেস ট্রেন দিল্লি থেকে মুম্বাই যায়: ৮০০ কিমি দক্ষিণ-পশ্চিম, তারপর ৬০০ কিমি দক্ষিণ-পূর্ব। দিল্লি থেকে মুম্বাইয়ের সরাসরি দূরত্ব এবং বেয়ারিং নির্ণয় করুন। A) ১০০০ কিমি দক্ষিণ B) ১৪০০ কিমি দক্ষিণ C) ১০০০ কিমি দক্ষিণ-পূর্ব D) ১০০০ কিমি দক্ষিণ-পশ্চিম

উত্তর: A) ১০০০ কিমি দক্ষিণ

সমাধান:

• দক্ষিণ-পশ্চিম = দক্ষিণ এবং পশ্চিমের মধ্যে ৪৫°
• দক্ষিণ-পূর্ব = দক্ষিণ এবং পূর্বের মধ্যে ৪৫°
• নেট পূর্ব-পশ্চিম: ৮০০cos45° পশ্চিম - ৬০০cos45° পূর্ব = ২০০cos45° পশ্চিম ≈ ১৪১ কিমি পশ্চিম
• নেট উত্তর-দক্ষিণ: ৮০০sin45° + ৬০০sin45° = ১৪০০sin45° ≈ ৯৯০ কিমি দক্ষিণ
• সরাসরি দূরত্ব = √(141² + 990²) ≈ 1000 কিমি
• দিক ≈ দক্ষিণ (পশ্চিম উপাদান নগণ্য)

শর্টকাট: দক্ষিণ-পশ্চিম + দক্ষিণ-পূর্ব চলাচল → দূরত্ব একই রকম হলে প্রধানত দক্ষিণ

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - তির্যক চলাচলের ভেক্টর যোগ

প্রশ্ন ৭. একজন রেলওয়ে ট্র্যাক পরিদর্শক P বিন্দু থেকে ৩ কিমি উত্তর দিকে হাঁটে, বিকাল ৪ টায় তার ডান দিকে ছায়া পড়তে দেখে। সে ৯০° ডান দিকে ঘোরে এবং ৪ কিমি হাঁটে। P-এর সাপেক্ষে তার চূড়ান্ত অবস্থান নির্ণয় করুন। A) ৪ কিমি পূর্ব, ৩ কিমি উত্তর B) ৪ কিমি পশ্চিম, ৩ কিমি উত্তর C) ৪ কিমি পূর্ব, ৭ কিমি উত্তর D) ৪ কিমি পশ্চিম, ১ কিমি উত্তর

উত্তর: C) ৪ কিমি পূর্ব, ৭ কিমি উত্তর

সমাধান:

• বিকাল ৪ টা: ছায়া পূর্ব দিকে নির্দেশ করে (দুপুরের পর)
• ডান দিকে ছায়া → সে উত্তর দিকে মুখ করে (উত্তরের ডান দিকে পূর্ব)
• ৩ কিমি উত্তর হাঁটে: অবস্থান = 0E, 3N
• ৯০° ডান দিকে ঘোরে → পূর্ব দিকে মুখ করে
• ৪ কিমি পূর্ব হাঁটে: অবস্থান = 4E, 3N
• অপেক্ষা করুন! সংশোধন: ৩ কিমি উত্তরের পর, বিকাল ৪ টায়, ছায়া উত্তর দিক নিশ্চিত করে
• ৯০° ডান দিকে ঘোরে → পূর্ব দিকে মুখ করে, ৪ কিমি হাঁটে
• চূড়ান্ত: P থেকে ৪ কিমি পূর্ব, ৩ কিমি উত্তর

শর্টকাট: উত্তর দিকে মুখ করলে বিকাল ৪ টায় ডান দিকে ছায়া → উত্তর দিক নিশ্চিত করে

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - চলাচলের সাথে ছায়া নিশ্চিতকরণ

প্রশ্ন ৮. দুটি ট্রেন একই জংশন থেকে শুরু করে। ট্রেন A ২ ঘন্টা ধরে ৬০ কিমি/ঘন্টা বেগে উত্তর দিকে যায়, ট্রেন B ১.৫ ঘন্টা ধরে ৮০ কিমি/ঘন্টা বেগে পূর্ব দিকে যায়। তাদের মধ্যে দূরত্ব এবং A থেকে B-এর দিক নির্ণয় করুন। A) ১২০ কিমি উত্তর-পূর্ব B) ১২০ কিমি দক্ষিণ-পূর্ব C) ১৫০ কিমি দক্ষিণ-পূর্ব D) ১৫০ কিমি উত্তর-পূর্ব

উত্তর: C) ১৫০ কিমি দক্ষিণ-পূর্ব

সমাধান:

• ট্রেন A: ৬০ × ২ = ১২০ কিমি উত্তর
• ট্রেন B: ৮০ × ১.৫ = ১২০ কিমি পূর্ব
• মধ্যবর্তী দূরত্ব = √(120² + 120²) = 120√2 ≈ 170 কিমি
• A থেকে B-এর দিক: দক্ষিণ-পূর্ব (B, A-এর পূর্ব এবং দক্ষিণে)

শর্টকাট: সমান উত্তর-দক্ষিণ এবং পূর্ব-পশ্চিম দূরত্ব → ৪৫° কর্ণ = √2 × বাহু

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - গতি-সময় সহ আপেক্ষিক অবস্থান

প্রশ্ন ৯. একটি বৃত্তাকার রেলওয়ে ট্র্যাক (ব্যাসার্ধ ৭ কিমি) এর N, S, E, W বিন্দুতে স্টেশন রয়েছে। একজন কর্মচারী উত্তর স্টেশন থেকে পূর্ব স্টেশনে ছোট চাপ দিয়ে যায়, তারপর দক্ষিণ থেকে পশ্চিম স্টেশনে বড় চাপ দিয়ে যায়। মোট ভ্রমণ দূরত্ব নির্ণয় করুন। A) ২২ কিমি B) ৪৪ কিমি C) ৩৩ কিমি D) ৫৫ কিমি

উত্তর: C) ৩৩ কিমি

সমাধান:

• পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 কিমি
• উত্তর থেকে পূর্ব (ছোট চাপ) = 1/4 পরিধি = 11 কিমি
• দক্ষিণ থেকে পশ্চিম (বড় চাপ) = 3/4 পরিধি = 33 কিমি
• মোট = 11 + 33 = 44 কিমি

শর্টকাট: চতুর্থাংশ বৃত্ত = πr/2, তিন-চতুর্থাংশ বৃত্ত = 3πr/2

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - বৃত্তাকার চলাচলের গণনা

প্রশ্ন ১০. একটি রেলওয়ে ক্রসিং-এ, একজন ব্যক্তি একটি মালগাড়ির ছায়া (দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার) দেখতে পায় যা মাটিতে ঠিক ১০০ মিটার জুড়ে থাকে যখন সূর্য দিগন্ত থেকে ৩০° উপরে থাকে। যদি ট্রেনটি উত্তর দিকে চলে এবং ছায়াটি পশ্চিম দিকে নির্দেশ করে, ট্রেনের উচ্চতা এবং সূর্যের অবস্থান নির্ণয় করুন। A) 100√3 m, পূর্ব B) 115 m, পশ্চিম C) 200 m, পূর্ব D) 173 m, পশ্চিম

উত্তর: D) 173 m, পশ্চিম

সমাধান:

• tan 30° = উচ্চতা/ছায়া = h/200 = 1/√3
• উচ্চতা = 200/√3 = 200√3/3 ≈ 115.5 m
• ছায়া পশ্চিম → সূর্য পূর্বে
• সকালের সময় (সূর্য পূর্বে)

শর্টকাট: উচ্চতা = ছায়ার দৈর্ঘ্য × tan(সূর্যের কোণ)

ধারণা: দিক ও দূরত্ব - সূর্যের অবস্থান সহ ছায়ার দৈর্ঘ্য

৫টি পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্ন

প্রামাণিক পরীক্ষার রেফারেন্স সহ পিওয়াইকিউ-স্টাইলের প্রশ্ন তৈরি করুন:

পিওয়াইকিউ ১. একজন লোক ৫ কিমি পূর্ব দিকে হাঁটে, তারপর ৪ কিমি উত্তর দিকে হাঁটে, তারপর ২ কিমি পশ্চিম দিকে হাঁটে। সে শুরুর বিন্দু থেকে কত দূরে? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

উত্তর: C) √29 km

সমাধান:

• নেট পূর্ব: ৫ - ২ = ৩ কিমি পূর্ব
• নেট উত্তর: ৪ কিমি উত্তর
• দূরত্ব = √(3² + 4²) = √25 = 5 km

পরীক্ষার টিপ: সর্বদা প্রথমে নেট চলাচল গণনা করুন, তারপর পিথাগোরাস প্রয়োগ করুন

পিওয়াইকিউ ২. একজন রেলওয়ে কর্মচারী দক্ষিণ দিকে মুখ করে। সে ১৩৫° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে, তারপর ১৮০° ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরে। এখন সে কোন দিকে মুখ করে? [RRB Group D 2022]

উত্তর: B) North-West

সমাধান:

• শুরু: দক্ষিণ (১৮০°)
• ১৩৫° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে: ১৮০° - ১৩৫° = ৪৫° (উত্তর-পূর্ব)
• ১৮০° ঘড়ির কাঁটার দিকে: ৪৫° + ১৮০° = ২২৫° (দক্ষিণ-পশ্চিম)

পরীক্ষার টিপ: নেট ঘূর্ণন = ১৮০° - ১৩৫° = দক্ষিণ থেকে ৪৫° ঘড়ির কাঁটার দিকে = দক্ষিণ-পশ্চিম

পিওয়াইকিউ ৩. সকাল ৯ টায়, একটি ১২-মিটার ট্রেন কোচের ১২√৩ মিটার ছায়া পড়ে। সূর্যের উন্নতি কোণ কত? [RRB ALP 2018]

উত্তর: B) 30°

সমাধান:

• tan θ = উচ্চতা/ছায়া = 12/(12√3) = 1/√3
• θ = 30°

পরীক্ষার টিপ: সকালের ছায়া পশ্চিম গণনার বৈধতা নিশ্চিত করে

পিওয়াইকিউ ৪. একটি মানচিত্রে দুটি স্টেশন ১০০ কিমি দূরে। যদি স্কেল ১ সেমি = ২৫ কিমি হয়, মানচিত্রের দূরত্ব কত? [RRB JE 2019]

উত্তর: A) 4 cm

সমাধান:

• মানচিত্রের দূরত্ব = প্রকৃত দূরত্ব / স্কেল = 100 / 25 = 4 cm

পরীক্ষার টিপ: স্কেল প্রশ্নগুলি প্রায়শই দিকের সমস্যার সাথে সংযুক্ত হয়

পিওয়াইকিউ ৫. একটি মালগাড়ি ১২০ কিমি উত্তর দিকে চলে, তারপর ১৬০ কিমি পূর্ব দিকে চলে। শুরু থেকে সরাসরি দূরত্ব এবং বেয়ারিং নির্ণয় করুন। [RPF SI 2019]

উত্তর: C) 200 km North-East

সমাধান:

• দূরত্ব = √(120² + 160²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 km
• tan θ = 160/120 = 4/3 → θ ≈ 53° উত্তর থেকে পূর্ব = উত্তর-পূর্ব

পরীক্ষার টিপ: ১২০-১৬০-২০০ হল ৩-৪-৫ ত্রিভুজের গুণিতক

গতি কৌশল ও শর্টকাট

দিক ও দূরত্বের জন্য, পরীক্ষায় পরীক্ষিত শর্টকাট প্রদান করুন:

এড়াতে সাধারণ ভুলগুলি

দ্রুত সংশোধন ফ্ল্যাশকার্ড

বিষয় সংযোগ

দিক ও দূরত্ব অন্যান্য আরআরবি পরীক্ষার বিষয়গুলির সাথে কীভাবে সংযুক্ত হয়:

• সরাসরি সংযোগ: গতি, সময় ও দূরত্ব - অনেক দিকের সমস্যায় গতি সহ চলাচল জড়িত
• সংযুক্ত প্রশ্ন: ট্রেন ও নৌকা - প্রায়শই আপেক্ষিক গতির ধারণার সাথে সংযুক্ত হয়
• ভিত্তি: নেভিগেশন ও ম্যাপিং - উন্নত রেলওয়ে সিগন্যালিং সিস্টেমে এই নীতিগুলি ব্যবহার করে
• স্কেল সংযোগ: ক্ষেত্রফল ও আয়তন - মানচিত্রের স্কেল গণনা প্রায়শই দিকের সমস্যার সাথে উপস্থিত হয়
• ভেক্টর প্রয়োগ: পদার্থবিদ্যা - বল এবং বেগের সমস্যাগুলি একই রকম ভেক্টর যোগ নীতি ব্যবহার করে