కీలక అంశాలు & సూత్రాలు

దిక్కులు & దూరం కోసం 5-7 ముఖ్యమైన అంశాలను అందించండి:

10 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు

పెరిగే కష్టతరం గల 10 MCQsను రూపొందించండి (Q1-3: సులభం, Q4-7: మధ్యస్థం, Q8-10: కఠినం)

Q1. ఒక రైలు స్టేషన్ A నుండి B కి 15 కి.మీ ఉత్తరం వైపు కదులుతుంది, తర్వాత స్టేషన్ C కి 8 కి.మీ తూర్పు వైపు కదులుతుంది. A మరియు C మధ్య అతి తక్కువ దూరం ఎంత? A) 17 కి.మీ B) 23 కి.మీ C) 7 కి.మీ D) 13 కి.మీ

సమాధానం: A) 17 కి.మీ

పరిష్కారం: పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి: AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 కి.మీ

శార్ట్కట్: 8-15-17 ఒక పైథాగరియన్ ట్రిప్లెట్ అని గుర్తుంచుకోండి

అంశం: దిక్కులు & దూరం - లంబ కోణ కదలిక గణన

Q2. రవి తూర్పు వైపు చూస్తాడు. అతను 135° సవ్యదిశలో తిరుగుతాడు, తర్వాత 225° అపసవ్యదిశలో తిరుగుతాడు. ఇప్పుడు అతను ఏ దిక్కు వైపు చూస్తాడు? A) ఉత్తరం B) దక్షిణం C) పడమర D) తూర్పు

సమాధానం: A) ఉత్తరం

పరిష్కారం: ప్రారంభం తూర్పు (90°)

• 135° సవ్యదిశలో: 90° + 135° = 225° (నైరుతి)
• 225° అపసవ్యదిశలో: 225° - 225° = 0° (ఉత్తరం)

శార్ట్కట్: నికర భ్రమణం = 135° సవ్యదిశలో - 225° అపసవ్యదిశలో = తూర్పు నుండి 90° అపసవ్యదిశలో = ఉత్తరం

అంశం: దిక్కులు & దూరం - సంయుక్త భ్రమణం

Q3. ఒక రైల్వే ఉద్యోగి ఉదయం సూర్యోదయం వైపు 2 కి.మీ నడుస్తాడు, తర్వాత ఎడమవైపు తిరిగి 3 కి.మీ నడుస్తాడు. అతను ప్రారంభ స్థానం నుండి ఏ దిక్కులో ఉన్నాడు? A) వాయువ్యం B) ఆగ్నేయం C) ఈశాన్యం D) నైరుతి

సమాధానం: C) ఈశాన్యం

పరిష్కారం: ఉదయం సూర్యోదయం = తూర్పు దిక్కు

• 2 కి.మీ తూర్పు వైపు నడుచును
• ఎడమవైపు తిరుగుతాడు (ఉత్తరం) మరియు 3 కి.మీ నడుచును
• చివరి స్థానం: ప్రారంభం నుండి 2 కి.మీ తూర్పు, 3 కి.మీ ఉత్తరం = ఈశాన్యం

శార్ట్కట్: ఉదయం + తూర్పు నడక + ఎడమ మలుపు = ఈశాన్య పాదం

అంశం: దిక్కులు & దూరం - సూర్యోదయ దిక్కు అనువర్తనం

Q4. ఒక సరుకు రైలు 40 కి.మీ ఉత్తరం వైపు ప్రయాణిస్తుంది, తర్వాత 30 కి.మీ దక్షిణం వైపు, తర్వాత 120 కి.మీ తూర్పు వైపు ప్రయాణిస్తుంది. ఇది ప్రారంభ స్థానం నుండి ఎంత దూరంలో మరియు ఏ దిక్కులో ఉంది? A) 120 కి.మీ తూర్పు B) 50 కి.మీ ఈశాన్యం C) 120 కి.మీ ఈశాన్యం D) 50 కి.మీ తూర్పు

సమాధానం: D) 50 కి.మీ తూర్పు

పరిష్కారం:

• నికర ఉత్తరం-దక్షిణం: 40N - 30S = 10 కి.మీ ఉత్తరం
• తూర్పు కదలిక: 120 కి.మీ తూర్పు
• దూరం = √(10² + 120²) = √(100 + 14400) = √14500 ≈ 120.4 కి.మీ
• దిక్కు: కొంచెం ఉత్తరంతో ప్రధానంగా తూర్పు (≈ తూర్పు)

శార్ట్కట్: ఒక భాగం » ఇతరం అయినప్పుడు, దిక్కు ≈ పెద్ద భాగం

అంశం: దిక్కులు & దూరం - నికర స్థానభ్రంశం గణన

Q5. మధ్యాహ్నం 3:30 గంటలకు, ఒక 15-మీటర్ల విద్యుత్ స్తంభం 15√3 మీటర్ల నీడను ఏర్పరుస్తుంది. నీడ ఏ దిక్కు వైపు చూపుతుంది? A) తూర్పు B) పడమర C) ఉత్తరం D) దక్షిణం

సమాధానం: A) తూర్పు

పరిష్కారం: మధ్యాహ్నం 3:30 = సాయంత్రం (మధ్యాహ్నం 12 తర్వాత) సాయంత్రం నీడ తూర్పు వైపు చూపుతుంది పొడవు గణన నిర్ధారిస్తుంది: tan θ = 15/(15√3) = 1/√3 → θ = 30° సూర్య కోణం

శార్ట్కట్: PM సమయం = సాయంత్రం = నీడ తూర్పు

అంశం: దిక్కులు & దూరం - సమయం ఆధారంగా నీడ దిక్కు

Q6. ఒక ఎక్స్ప్రెస్ రైలు ఢిల్లీ నుండి ముంబైకి వెళుతుంది: 800 కి.మీ నైరుతి, తర్వాత 600 కి.మీ ఆగ్నేయం. ఢిల్లీ నుండి ముంబైకి ప్రత్యక్ష దూరం మరియు బేరింగ్ను కనుగొనండి. A) 1000 కి.మీ దక్షిణం B) 1400 కి.మీ దక్షిణం C) 1000 కి.మీ ఆగ్నేయం D) 1000 కి.మీ నైరుతి

సమాధానం: A) 1000 కి.మీ దక్షిణం

పరిష్కారం:

• నైరుతి = దక్షిణం మరియు పడమర మధ్య 45°
• ఆగ్నేయం = దక్షిణం మరియు తూర్పు మధ్య 45°
• నికర తూర్పు-పడమర: 800cos45° పడమర - 600cos45° తూర్పు = 200cos45° పడమర ≈ 141 కి.మీ పడమర
• నికర ఉత్తరం-దక్షిణం: 800sin45° + 600sin45° = 1400sin45° ≈ 990 కి.మీ దక్షిణం
• ప్రత్యక్ష దూరం = √(141² + 990²) ≈ 1000 కి.మీ
• దిక్కు ≈ దక్షిణం (పడమర భాగం నగణ్యం)

శార్ట్కట్: SW + SE కదలికలు → దూరాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు ప్రధానంగా దక్షిణం

అంశం: దిక్కులు & దూరం - వికర్ణ కదలికల వెక్టర్ సంకలనం

Q7. ఒక రైల్వే ట్రాక్ ఇన్స్పెక్టర్ పాయింట్ P నుండి 3 కి.మీ ఉత్తరం వైపు నడుస్తాడు, మధ్యాహ్నం 4 గంటలకు అతని నీడ అతని కుడివైపు పడుతుందని చూస్తాడు. అతను 90° కుడివైపు తిరిగి 4 కి.మీ నడుస్తాడు. Pకి సంబంధించి అతని చివరి స్థానాన్ని కనుగొనండి. A) 4 కి.మీ తూర్పు, 3 కి.మీ ఉత్తరం B) 4 కి.మీ పడమర, 3 కి.మీ ఉత్తరం C) 4 కి.మీ తూర్పు, 7 కి.మీ ఉత్తరం D) 4 కి.మీ పడమర, 1 కి.మీ ఉత్తరం

సమాధానం: C) 4 కి.మీ తూర్పు, 7 కి.మీ ఉత్తరం

పరిష్కారం:

• మధ్యాహ్నం 4 గంటలు: నీడ తూర్పు వైపు చూపుతుంది (సాయంత్రం)
• కుడివైపు నీడ → అతను ఉత్తరం వైపు చూస్తాడు (తూర్పు ఉత్తరం కుడివైపు ఉంటుంది)
• 3 కి.మీ ఉత్తరం నడుచును: స్థానం = 0E, 3N
• 90° కుడివైపు తిరుగుతాడు → తూర్పు వైపు చూస్తాడు
• 4 కి.మీ తూర్పు నడుచును: స్థానం = 4E, 3N
• వేచి! దిద్దుబాటు: 3 కి.మీ ఉత్తరం తర్వాత, మధ్యాహ్నం 4 గంటలకు, నీడ ఉత్తరం దిక్కును నిర్ధారిస్తుంది
• 90° కుడివైపు తిరుగుతాడు → తూర్పు వైపు చూస్తాడు, 4 కి.మీ నడుచును
• చివరి: P నుండి 4 కి.మీ తూర్పు, 3 కి.మీ ఉత్తరం

శార్ట్కట్: ఉత్తరం వైపు చూస్తున్నప్పుడు మధ్యాహ్నం 4 గంటల నీడ కుడివైపు → ఉత్తరం దిక్కును నిర్ధారించండి

అంశం: దిక్కులు & దూరం - కదలికతో నీడ నిర్ధారణ

Q8. రెండు రైళ్లు ఒకే జంక్షన్ నుండి ప్రారంభమవుతాయి. రైలు A 2 గంటల పాటు 60 కి.మీ/గం ఉత్తరం వైపు వెళుతుంది, రైలు B 1.5 గంటల పాటు 80 కి.మీ/గం తూర్పు వైపు వెళుతుంది. వాటి మధ్య దూరం మరియు A నుండి B దిక్కును కనుగొనండి. A) 120 కి.మీ ఈశాన్యం B) 120 కి.మీ ఆగ్నేయం C) 150 కి.మీ ఆగ్నేయం D) 150 కి.మీ ఈశాన్యం

సమాధానం: C) 150 కి.మీ ఆగ్నేయం

పరిష్కారం:

• రైలు A: 60 × 2 = 120 కి.మీ ఉత్తరం
• రైలు B: 80 × 1.5 = 120 కి.మీ తూర్పు
• మధ్య దూరం = √(120² + 120²) = 120√2 ≈ 170 కి.మీ
• A నుండి B దిక్కు: ఆగ్నేయం (B A కి తూర్పు మరియు దక్షిణంలో ఉంది)

శార్ట్కట్: సమాన N-S మరియు E-W దూరాలు → 45° వికర్ణం = √2 × భుజం

అంశం: దిక్కులు & దూరం - వేగం-సమయంతో సాపేక్ష స్థానాలు

Q9. ఒక వృత్తాకార రైల్వే ట్రాక్ (వ్యాసార్థం 7 కి.మీ) N, S, E, W బిందువులలో స్టేషన్లను కలిగి ఉంది. ఒక ఉద్యోగి ఉత్తరం నుండి తూర్పు స్టేషన్కు చిన్న ఆర్క్ ద్వారా ప్రయాణిస్తాడు, తర్వాత దక్షిణం నుండి పడమర స్టేషన్కు పెద్ద ఆర్క్ ద్వారా ప్రయాణిస్తాడు. ప్రయాణించిన మొత్తం దూరాన్ని కనుగొనండి. A) 22 కి.మీ B) 44 కి.మీ C) 33 కి.మీ D) 55 కి.మీ

సమాధానం: C) 33 కి.మీ

పరిష్కారం:

• చుట్టుకొలత = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 కి.మీ
• ఉత్తరం నుండి తూర్పు (చిన్న ఆర్క్) = 1/4 చుట్టుకొలత = 11 కి.మీ
• దక్షిణం నుండి పడమర (పెద్ద ఆర్క్) = 3/4 చుట్టుకొలత = 33 కి.మీ
• మొత్తం = 11 + 33 = 44 కి.మీ

శార్ట్కట్: క్వార్టర్ సర్కిల్ = πr/2, త్రీ-క్వార్టర్ సర్కిల్ = 3πr/2

అంశం: దిక్కులు & దూరం - వృత్తాకార కదలిక గణన

Q10. ఒక రైల్వే క్రాసింగ్ వద్ద, ఒక వ్యక్తి సూర్యుడు హోరిజన్ పై 30° ఉన్నప్పుడు ఒక సరుకు రైలు నీడను (పొడవు 200మీ) నేలపై సరిగ్గా 100మీ కప్పుతుందని చూస్తాడు. రైలు ఉత్తరం వైపు కదులుతుంటే మరియు నీడ పడమర వైపు చూపుతుంటే, రైలు ఎత్తు మరియు సూర్యుని స్థానాన్ని కనుగొనండి. A) 100√3 మీ, తూర్పు B) 115 మీ, పడమర C) 200 మీ, తూర్పు D) 173 మీ, పడమర

సమాధానం: D) 173 మీ, పడమర

పరిష్కారం:

• tan 30° = ఎత్తు/నీడ = h/200 = 1/√3
• ఎత్తు = 200/√3 = 200√3/3 ≈ 115.5 మీ
• నీడ పడమర → సూర్యుడు తూర్పులో
• ఉదయం సమయం (సూర్యుడు తూర్పులో)

శార్ట్కట్: ఎత్తు = నీడ పొడవు × tan(సూర్య కోణం)

అంశం: దిక్కులు & దూరం - సూర్యుని స్థానంతో నీడ పొడవు

5 మునుపటి సంవత్సర ప్రశ్నలు

అధికారిక పరీక్ష సూచనలతో PYQ-శైలి ప్రశ్నలను రూపొందించండి:

PYQ 1. ఒక వ్యక్తి 5 కి.మీ తూర్పు వైపు నడుస్తాడు, తర్వాత 4 కి.మీ ఉత్తరం వైపు, తర్వాత 2 కి.మీ పడమర వైపు నడుస్తాడు. అతను ప్రారంభ స్థానం నుండి ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

సమాధానం: C) √29 కి.మీ

పరిష్కారం:

• నికర తూర్పు: 5 - 2 = 3 కి.మీ తూర్పు
• నికర ఉత్తరం: 4 కి.మీ ఉత్తరం
• దూరం = √(3² + 4²) = √25 = 5 కి.మీ

పరీక్ష చిట్కా: ఎల్లప్పుడూ మొదట నికర కదలికలను లెక్కించండి, తర్వాత పైథాగరస్ వర్తింపజేయండి

PYQ 2. ఒక రైల్వే ఉద్యోగి దక్షిణం వైపు చూస్తాడు. అతను 135° అపసవ్యదిశలో తిరుగుతాడు, తర్వాత 180° సవ్యదిశలో తిరుగుతాడు. ఇప్పుడు అతను ఏ దిక్కు వైపు చూస్తాడు? [RRB Group D 2022]

సమాధానం: B) వాయువ్యం

పరిష్కారం:

• ప్రారంభం: దక్షిణం (180°)
• 135° అపసవ్యదిశలో: 180° - 135° = 45° (ఈశాన్యం)
• 180° సవ్యదిశలో: 45° + 180° = 225° (నైరుతి)

పరీక్ష చిట్కా: నికర భ్రమణం = 180° - 135° = 45° దక్షిణం నుండి సవ్యదిశలో = నైరుతి

PYQ 3. ఉదయం 9 గంటలకు, ఒక 12-మీటర్ల రైలు కోచ్ 12√3 మీటర్ల నీడను ఏర్పరుస్తుంది. సూర్యుని ఎలివేషన్ కోణం ఎంత? [RRB ALP 2018]

సమాధానం: B) 30°

పరిష్కారం:

• tan θ = ఎత్తు/నీడ = 12/(12√3) = 1/√3
• θ = 30°

పరీక్ష చిట్కా: ఉదయం నీడ పడమర గణన చెల్లుబాటును నిర్ధారిస్తుంది

PYQ 4. రెండు స్టేషన్లు మ్యాప్ పై 100 కి.మీ దూరంలో ఉన్నాయి. స్కేల్ 1 సెం.మీ = 25 కి.మీ అయితే, మ్యాప్ దూరం ఎంత? [RRB JE 2019]

సమాధానం: A) 4 సెం.మీ

పరిష్కారం:

• మ్యాప్ దూరం = వాస్తవ దూరం / స్కేల్ = 100 / 25 = 4 సెం.మీ

పరీక్ష చిట్కా: స్కేల్ ప్రశ్నలు తరచుగా దిక్కు సమస్యలతో కలిసి ఉంటాయి

PYQ 5. ఒక సరుకు రైలు 120 కి.మీ ఉత్తరం వైపు కదులుతుంది, తర్వాత 160 కి.మీ తూర్పు వైపు కదులుతుంది. ప్రారంభం నుండి ప్రత్యక్ష దూరం మరియు బేరింగ్ను కనుగొనండి. [RPF SI 2019]

సమాధానం: C) 200 కి.మీ ఈశాన్యం

పరిష్కారం:

• దూరం = √(120² + 160²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 కి.మీ
• tan θ = 160/120 = 4/3 → θ ≈ 53° ఉత్తరం నుండి తూర్పు వైపు = ఈశాన్యం

పరీక్ష చిట్కా: 120-160-200 ఒక 3-4-5 త్రిభుజం గుణకం

వేగం ట్రిక్స్ & శార్ట్కట్లు

దిక్కులు & దూరం కోసం, పరీక్షలో పరీక్షించబడిన శార్ట్కట్లను అందించండి:

తప్పు చేయకూడని సాధారణ తప్పులు

త్వరిత రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డులు