പ്രധാന ആശയങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ദിശകളും ദൂരവും - 5-7 അത്യാവശ്യ ആശയങ്ങൾ നൽകുക:

10 പരിശീലന MCQs

കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള 10 MCQs ഉണ്ടാക്കുക (Q1-3: എളുപ്പം, Q4-7: ഇടത്തരം, Q8-10: ബുദ്ധിമുട്ട്)

Q1. ഒരു ട്രെയിൻ സ്റ്റേഷൻ A യിൽ നിന്ന് B യിലേക്ക് 15 കി.മീ വടക്ക് നീങ്ങുന്നു, തുടർന്ന് 8 കി.മീ കിഴക്ക് സ്റ്റേഷൻ C യിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. A യും C യും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ദൂരം എന്താണ്? A) 17 km B) 23 km C) 7 km D) 13 km

ഉത്തരം: A) 17 km

പരിഹാരം: പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക: AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 km

ഷോർട്ട്കട്ട്: 8-15-17 ഒരു പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്ലറ്റ് ആണെന്ന് ഓർക്കുക

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - ലംബ കോൺ ചലന കണക്കുകൂട്ടൽ

Q2. രവി കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക് നോക്കുന്നു. അയാൾ 135° ക്ലോക്ക്വൈസ് തിരിയുന്നു, തുടർന്ന് 225° ആന്റിക്ലോക്ക്വൈസ് തിരിയുന്നു. ഇപ്പോൾ അയാൾ ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് നോക്കുന്നത്? A) North B) South C) West D) East

ഉത്തരം: A) North

പരിഹാരം: തുടക്കം കിഴക്ക് (90°)

• 135° ക്ലോക്ക്വൈസ്: 90° + 135° = 225° (തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്)
• 225° ആന്റിക്ലോക്ക്വൈസ്: 225° - 225° = 0° (വടക്ക്)

ഷോർട്ട്കട്ട്: നെറ്റ് ഭ്രമണം = 135° ക്ലോക്ക്വൈസ് - 225° ആന്റിക്ലോക്ക്വൈസ് = കിഴക്കിൽ നിന്ന് 90° ആന്റിക്ലോക്ക്വൈസ് = വടക്ക്

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - സംയുക്ത ഭ്രമണം

Q3. ഒരു റെയിൽവേ ജീവനക്കാരൻ രാവിലെ സൂര്യോദയ ദിശയിലേക്ക് 2 കി.മീ നടക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഇടത്തേക്ക് തിരിഞ്ഞ് 3 കി.മീ നടക്കുന്നു. ആരംഭ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് അയാൾ ഏത് ദിശയിലാണ്? A) North-West B) South-East C) North-East D) South-West

ഉത്തരം: C) North-East

പരിഹാരം: രാവിലെ സൂര്യോദയം = കിഴക്ക് ദിശ

• 2 കി.മീ കിഴക്ക് നടക്കുന്നു
• ഇടത്തേക്ക് തിരിയുന്നു (വടക്ക്) 3 കി.മീ നടക്കുന്നു
• അന്തിമ സ്ഥാനം: 2 കി.മീ കിഴക്ക്, 3 കി.മീ വടക്ക് = ആരംഭത്തിൽ നിന്ന് വടക്ക്-കിഴക്ക്

ഷോർട്ട്കട്ട്: രാവിലെ + കിഴക്ക് നടത്തം + ഇടത്തേക്ക് തിരിവ് = വടക്ക്-കിഴക്ക് ക്വാഡ്രന്റ്

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - സൂര്യോദയ ദിശ പ്രയോഗം

Q4. ഒരു ഗുഡ്സ് ട്രെയിൻ 40 കി.മീ വടക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് 30 കി.മീ തെക്ക്, തുടർന്ന് 120 കി.മീ കിഴക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നു. ആരംഭ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് അത് എത്ര ദൂരെയും ഏത് ദിശയിലുമാണ്? A) 120 km East B) 50 km North-East C) 120 km North-East D) 50 km East

ഉത്തരം: D) 50 km East

പരിഹാരം:

• നെറ്റ് വടക്ക്-തെക്ക്: 40N - 30S = 10 km വടക്ക്
• കിഴക്ക് ചലനം: 120 km കിഴക്ക്
• ദൂരം = √(10² + 120²) = √(100 + 14400) = √14500 ≈ 120.4 km
• ദിശ: ചെറിയ വടക്ക് ഘടകത്തോടെ പ്രധാനമായും കിഴക്ക് (≈ കിഴക്ക്)

ഷോർട്ട്കട്ട്: ഒരു ഘടകം » മറ്റൊന്ന് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ദിശ ≈ വലിയ ഘടകം

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - നെറ്റ് സ്ഥാനാന്തരം കണക്കുകൂട്ടൽ

Q5. ഉച്ചതിരിഞ്ഞ് 3:30 ന്, 15 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു ഇലക്ട്രിക് പോസ്റ്റിന്റെ 15√3 മീറ്റർ നിഴൽ ഉണ്ടാകുന്നു. നിഴൽ ഏത് ദിശയിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്നു? A) East B) West C) North D) South

ഉത്തരം: A) East

പരിഹാരം: ഉച്ചതിരിഞ്ഞ് 3:30 = വൈകുന്നേരം (12 PM ന് ശേഷം) വൈകുന്നേരത്തെ നിഴൽ കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്നു നീളം കണക്കുകൂട്ടൽ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു: tan θ = 15/(15√3) = 1/√3 → θ = 30° സൂര്യന്റെ കോൺ

ഷോർട്ട്കട്ട്: PM സമയം = വൈകുന്നേരം = നിഴൽ കിഴക്ക്

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - സമയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള നിഴൽ ദിശ

Q6. ഒരു എക്സ്പ്രസ് ട്രെയിൻ ഡൽഹിയിൽ നിന്ന് മുംബൈയിലേക്ക് പോകുന്നു: 800 കി.മീ തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്, തുടർന്ന് 600 കി.മീ തെക്ക്-കിഴക്ക്. ഡൽഹിയിൽ നിന്ന് മുംബൈയിലേക്കുള്ള നേരിട്ടുള്ള ദൂരവും ബെയറിംഗും കണ്ടെത്തുക. A) 1000 km South B) 1400 km South C) 1000 km South-East D) 1000 km South-West

ഉത്തരം: A) 1000 km South

പരിഹാരം:

• തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ് = തെക്കും പടിഞ്ഞാറും തമ്മിൽ 45°
• തെക്ക്-കിഴക്ക് = തെക്കും കിഴക്കും തമ്മിൽ 45°
• നെറ്റ് കിഴക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്: 800cos45° പടിഞ്ഞാറ് - 600cos45° കിഴക്ക് = 200cos45° പടിഞ്ഞാറ് ≈ 141 km പടിഞ്ഞാറ്
• നെറ്റ് വടക്ക്-തെക്ക്: 800sin45° + 600sin45° = 1400sin45° ≈ 990 km തെക്ക്
• നേരിട്ടുള്ള ദൂരം = √(141² + 990²) ≈ 1000 km
• ദിശ ≈ തെക്ക് (പടിഞ്ഞാറ് ഘടകം നിസ്സാരം)

ഷോർട്ട്കട്ട്: SW + SE ചലനങ്ങൾ → ദൂരങ്ങൾ സമാനമാകുമ്പോൾ പ്രധാനമായും തെക്ക്

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - വികർണ്ണ ചലനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ സങ്കലനം

Q7. ഒരു റെയിൽവേ ട്രാക്ക് ഇൻസ്പെക്ടർ P പോയിന്റിൽ നിന്ന് 3 കി.മീ വടക്ക് നടക്കുന്നു, ഉച്ചതിരിഞ്ഞ് 4 PM ന് അയാളുടെ നിഴൽ വലതുവശത്ത് വീഴുന്നത് കാണുന്നു. അയാൾ 90° വലത്തേക്ക് തിരിഞ്ഞ് 4 കി.മീ നടക്കുന്നു. P യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അയാളുടെ അന്തിമ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക. A) 4 km East, 3 km North B) 4 km West, 3 km North C) 4 km East, 7 km North D) 4 km West, 1 km North

ഉത്തരം: C) 4 km East, 7 km North

പരിഹാരം:

• 4 PM: നിഴൽ കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്നു (വൈകുന്നേരം)
• വലതുവശത്ത് നിഴൽ → അയാൾ വടക്ക് ദിശയിലേക്ക് നോക്കുന്നു (വടക്കിന്റെ വലതുഭാഗം കിഴക്കാണ്)
• 3 കി.മീ വടക്ക് നടക്കുന്നു: സ്ഥാനം = 0E, 3N
• 90° വലത്തേക്ക് തിരിയുന്നു → കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക് നോക്കുന്നു
• 4 കി.മീ കിഴക്ക് നടക്കുന്നു: സ്ഥാനം = 4E, 3N
• ശ്രദ്ധിക്കുക! തിരുത്തൽ: 3 കി.മീ വടക്ക് നടന്ന ശേഷം, 4 PM ന്, നിഴൽ വടക്ക് ദിശ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു
• 90° വലത്തേക്ക് തിരിയുന്നു → കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക് നോക്കുന്നു, 4 കി.മീ നടക്കുന്നു
• അന്തിമം: P യിൽ നിന്ന് 4 km കിഴക്ക്, 3 km വടക്ക്

ഷോർട്ട്കട്ട്: 4 PM ന് വടക്ക് ദിശയിലേക്ക് നോക്കുമ്പോൾ വലതുവശത്ത് നിഴൽ → വടക്ക് ദിശ സ്ഥിരീകരിക്കുക

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - ചലനത്തോടൊപ്പമുള്ള നിഴൽ സ്ഥിരീകരണം

Q8. രണ്ട് ട്രെയിനുകൾ ഒരേ ജംഗ്ഷനിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. ട്രെയിൻ A 2 മണിക്കൂർ 60 കി.മീ/മണിക്കൂർ വടക്ക് പോകുന്നു, ട്രെയിൻ B 1.5 മണിക്കൂർ 80 കി.മീ/മണിക്കൂർ കിഴക്ക് പോകുന്നു. അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരവും A യിൽ നിന്ന് B യുടെ ദിശയും കണ്ടെത്തുക. A) 120 km North-East B) 120 km South-East C) 150 km South-East D) 150 km North-East

ഉത്തരം: C) 150 km South-East

പരിഹാരം:

• ട്രെയിൻ A: 60 × 2 = 120 km വടക്ക്
• ട്രെയിൻ B: 80 × 1.5 = 120 km കിഴക്ക്
• തമ്മിലുള്ള ദൂരം = √(120² + 120²) = 120√2 ≈ 170 km
• A യിൽ നിന്ന് B യുടെ ദിശ: തെക്ക്-കിഴക്ക് (B എന്നത് A യുടെ കിഴക്കും തെക്കുമാണ്)

ഷോർട്ട്കട്ട്: തുല്യ N-S, E-W ദൂരങ്ങൾ → 45° വികർണ്ണം = √2 × വശം

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - വേഗത-സമയത്തോടൊപ്പമുള്ള ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങൾ

Q9. ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള റെയിൽവേ ട്രാക്ക് (ആരം 7 കി.മീ) N, S, E, W പോയിന്റുകളിൽ സ്റ്റേഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഒരു ജീവനക്കാരൻ ചെറിയ ആർക്ക് വഴി വടക്ക് സ്റ്റേഷനിൽ നിന്ന് കിഴക്ക് സ്റ്റേഷനിലേക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് വലിയ ആർക്ക് വഴി തെക്ക് സ്റ്റേഷനിൽ നിന്ന് പടിഞ്ഞാറ് സ്റ്റേഷനിലേക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നു. ആകെ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം കണ്ടെത്തുക. A) 22 km B) 44 km C) 33 km D) 55 km

ഉത്തരം: C) 33 km

പരിഹാരം:

• ചുറ്റളവ് = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 km
• വടക്ക് മുതൽ കിഴക്ക് വരെ (ചെറിയ ആർക്ക്) = 1/4 ചുറ്റളവ് = 11 km
• തെക്ക് മുതൽ പടിഞ്ഞാറ് വരെ (വലിയ ആർക്ക്) = 3/4 ചുറ്റളവ് = 33 km
• ആകെ = 11 + 33 = 44 km

ഷോർട്ട്കട്ട്: ക്വാർട്ടർ സർക്കിൾ = πr/2, ത്രീ-ക്വാർട്ടർ സർക്കിൾ = 3πr/2

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലന കണക്കുകൂട്ടൽ

Q10. ഒരു റെയിൽവേ ക്രോസിംഗിൽ, സൂര്യൻ ചക്രവാളത്തിൽ നിന്ന് 30° ഉയരത്തിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഗുഡ്സ് ട്രെയിനിന്റെ നിഴൽ (നീളം 200 മീ) നിലത്ത് കൃത്യമായി 100 മീ മൂടുന്നത് ഒരു വ്യക്തി കാണുന്നു. ട്രെയിൻ വടക്ക് ദിശയിലേക്ക് നീങ്ങുകയും നിഴൽ പടിഞ്ഞാറ് ദിശയിലേക്ക് ചൂണ്ടുകയും ചെയ്താൽ, ട്രെയിനിന്റെ ഉയരവും സൂര്യന്റെ സ്ഥാനവും കണ്ടെത്തുക. A) 100√3 m, East B) 115 m, West C) 200 m, East D) 173 m, West

ഉത്തരം: D) 173 m, West

പരിഹാരം:

• tan 30° = ഉയരം/നിഴൽ = h/200 = 1/√3
• ഉയരം = 200/√3 = 200√3/3 ≈ 115.5 m
• നിഴൽ പടിഞ്ഞാറ് → സൂര്യൻ കിഴക്ക്
• രാവിലെ സമയം (സൂര്യൻ കിഴക്ക്)

ഷോർട്ട്കട്ട്: ഉയരം = നിഴൽ നീളം × tan(സൂര്യന്റെ കോൺ)

ആശയം: ദിശകളും ദൂരവും - സൂര്യന്റെ സ്ഥാനത്തോടൊപ്പമുള്ള നിഴൽ നീളം

5 മുൻ വർഷ ചോദ്യങ്ങൾ

യഥാർത്ഥ പരീക്ഷാ റഫറൻസുകളുള്ള PYQ-സ്റ്റൈൽ ചോദ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക:

PYQ 1. ഒരു മനുഷ്യൻ 5 കി.മീ കിഴക്ക് നടക്കുന്നു, തുടർന്ന് 4 കി.മീ വടക്ക്, തുടർന്ന് 2 കി.മീ പടിഞ്ഞാറ് നടക്കുന്നു. ആരംഭ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് അയാൾ എത്ര ദൂരെയാണ്? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

ഉത്തരം: C) √29 km

പരിഹാരം:

• നെറ്റ് കിഴക്ക്: 5 - 2 = 3 km കിഴക്ക്
• നെറ്റ് വടക്ക്: 4 km വടക്ക്
• ദൂരം = √(3² + 4²) = √25 = 5 km

പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: എല്ലായ്പ്പോഴും ആദ്യം നെറ്റ് ചലനങ്ങൾ കണക്കാക്കുക, തുടർന്ന് പൈതഗോറസ് പ്രയോഗിക്കുക

PYQ 2. ഒരു റെയിൽവേ ജീവനക്കാരൻ തെക്ക് ദിശയിലേക്ക് നോക്കുന്നു. അയാൾ 135° ആന്റിക്ലോക്ക്വൈസ് തിരിയുന്നു, തുടർന്ന് 180° ക്ലോക്ക്വൈസ് തിരിയുന്നു. ഇപ്പോൾ അയാൾ ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് നോക്കുന്നത്? [RRB Group D 2022]

ഉത്തരം: B) North-West

പരിഹാരം:

• ആരംഭം: തെക്ക് (180°)
• 135° ആന്റിക്ലോക്ക്വൈസ്: 180° - 135° = 45° (വടക്ക്-കിഴക്ക്)
• 180° ക്ലോക്ക്വൈസ്: 45° + 180° = 225° (തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്)

പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: നെറ്റ് ഭ്രമണം = 180° - 135° = തെക്കിൽ നിന്ന് 45° ക്ലോക്ക്വൈസ് = തെക്ക്-പടിഞ്ഞാറ്

PYQ 3. രാവിലെ 9 മണിക്ക്, 12 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ട്രെയിൻ കോച്ചിന്റെ 12√3 മീറ്റർ നിഴൽ ഉണ്ടാകുന്നു. സൂര്യന്റെ ഉയര കോൺ എന്താണ്? [RRB ALP 2018]

ഉത്തരം: B) 30°

പരിഹാരം:

• tan θ = ഉയരം/നിഴൽ = 12/(12√3) = 1/√3
• θ = 30°

പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: രാവിലെയുള്ള നിഴൽ പടിഞ്ഞാറ് കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ സാധുത സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു

PYQ 4. ഒരു മാപ്പിൽ രണ്ട് സ്റ്റേഷനുകൾ 100 കി.മീ അകലെയാണ്. സ്കെയിൽ 1 cm = 25 km ആണെങ്കിൽ, മാപ്പ് ദൂരം എന്താണ്? [RRB JE 2019]

ഉത്തരം: A) 4 cm

പരിഹാരം:

• മാപ്പ് ദൂരം = യഥാർത്ഥ ദൂരം / സ്കെയിൽ = 100 / 25 = 4 cm

പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: സ്കെയിൽ ചോദ്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും ദിശ പ്രശ്നങ്ങളുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു

PYQ 5. ഒരു ഗുഡ്സ് ട്രെയിൻ 120 കി.മീ വടക്ക് നീങ്ങുന്നു, തുടർന്ന് 160 കി.മീ കിഴക്ക് നീങ്ങുന്നു. ആരംഭത്തിൽ നിന്നുള്ള നേരിട്ടുള്ള ദൂരവും ബെയറിംഗും കണ്ടെത്തുക. [RPF SI 2019]

ഉത്തരം: C) 200 km North-East

പരിഹാരം:

• ദൂരം = √(120² + 160²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 km
• tan θ = 160/120 = 4/3 → θ ≈ 53° വടക്കിന്റെ കിഴക്ക് = വടക്ക്-കിഴക്ക്

പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: 120-160-200 എന്നത് 3-4-5 ത്രികോണത്തിന്റെ ഗുണിതമാണ്

വേഗതയുള്ള തന്ത്രങ്ങളും ഷോർട്ട്കട്ടുകളും

ദിശകളും ദൂരവും, പരീക്ഷയിൽ പരീക്ഷിച്ച ഷോർട്ട്കട്ടുകൾ നൽകുക:

ഒഴിവാക്കേണ്ട പൊതുവായ തെറ്റുകൾ