ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଓ ସୂତ୍ର

ଦିଗ ଓ ଦୂରତା ପାଇଁ ୫-୭ଟି ମୌଳିକ ଧାରଣା ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ MCQs

ବୃଦ୍ଧିପ୍ରାପ୍ତ କଠିନତା ସହିତ ୧୦ଟି MCQs ଉତ୍ପାଦନ କରନ୍ତୁ (Q1-3: ସହଜ, Q4-7: ମଧ୍ୟମ, Q8-10: କଠିନ)

Q1. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଷ୍ଟେସନ୍ A ରୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ୧୫ କି.ମି. ଉତ୍ତରକୁ ଗତି କରେ, ତା’ପରେ ଷ୍ଟେସନ୍ C ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ୮ କି.ମି. ପୂର୍ବକୁ ଗତି କରେ। A ଓ C ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଦୂରତା କେତେ? A) ୧୭ କି.ମି. B) ୨୩ କି.ମି. C) ୭ କି.ମି. D) ୧୩ କି.ମି.

ଉତ୍ତର: A) ୧୭ କି.ମି.

ସମାଧାନ: ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବ୍ୟବହାର କରି: AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 କି.ମି.

ଶର୍ଟକଟ୍: ମନେରଖନ୍ତୁ ୮-୧୫-୧୭ ଏକ ପାଇଥାଗୋରିଆନ୍ ଟ୍ରିପ୍ଲେଟ୍

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ସମକୋଣ ଗତି ଗଣନା

Q2. ରବି ପୂର୍ବ ଆଡ଼କୁ ମୁହଁ କରିଛି। ସେ ୧୩୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ଦିଗରେ ଘୂରେ, ତା’ପରେ ୨୨୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ବିପରୀତ ଦିଗରେ ଘୂରେ। ସେ ବର୍ତ୍ତମାନ କେଉଁ ଦିଗକୁ ମୁହଁ କରିଛି? A) ଉତ୍ତର B) ଦକ୍ଷିଣ C) ପଶ୍ଚିମ D) ପୂର୍ବ

ଉତ୍ତର: A) ଉତ୍ତର

ସମାଧାନ: ଆରମ୍ଭ ପୂର୍ବ (୯୦°)

• ୧୩୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ଦିଗରେ: ୯୦° + ୧୩୫° = ୨୨୫° (ଦକ୍ଷିଣ-ପଶ୍ଚିମ)
• ୨୨୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ବିପରୀତ ଦିଗରେ: ୨୨୫° - ୨୨୫° = ୦° (ଉତ୍ତର)

ଶର୍ଟକଟ୍: ନିଟ୍ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ = ୧୩୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ଦିଗରେ - ୨୨୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ବିପରୀତ ଦିଗରେ = ପୂର୍ବରୁ ୯୦° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ବିପରୀତ ଦିଗରେ = ଉତ୍ତର

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ଯୌଗିକ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ

Q3. ଜଣେ ରେଳ କର୍ମଚାରୀ ସକାଳେ ସୂର୍ଯ୍ୟୋଦୟ ଆଡ଼କୁ ୨ କି.ମି. ଚାଲେ, ତା’ପରେ ବାମ ମୋଡ଼ ନେଇ ୩ କି.ମି. ଚାଲେ। ସେ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁରୁ କେଉଁ ଦିଗରେ ଅଛନ୍ତି? A) ଉତ୍ତର-ପଶ୍ଚିମ B) ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ C) ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ D) ଦକ୍ଷିଣ-ପଶ୍ଚିମ

ଉତ୍ତର: C) ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ

ସମାଧାନ: ସକାଳ ସୂର୍ଯ୍ୟୋଦୟ = ପୂର୍ବ ଦିଗ

• ୨ କି.ମି. ପୂର୍ବକୁ ଚାଲେ
• ବାମ ମୋଡ଼ ନିଏ (ଉତ୍ତର) ଓ ୩ କି.ମି. ଚାଲେ
• ଅନ୍ତିମ ସ୍ଥାନ: ୨ କି.ମି. ପୂର୍ବ, ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତର = ଆରମ୍ଭରୁ ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ

ଶର୍ଟକଟ୍: ସକାଳ + ପୂର୍ବ ଚାଲା + ବାମ ମୋଡ଼ = ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ ଚତୁର୍ଥାଂଶ

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ସୂର୍ଯ୍ୟୋଦୟ ଦିଗର ପ୍ରୟୋଗ

Q4. ଏକ ମାଲଗାଡ଼ି ୪୦ କି.ମି. ଉତ୍ତରକୁ ଯାଏ, ତା’ପରେ ୩୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣକୁ ଯାଏ, ତା’ପରେ ୧୨୦ କି.ମି. ପୂର୍ବକୁ ଯାଏ। ଏହା ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁରୁ କେତେ ଦୂର ଓ କେଉଁ ଦିଗରେ ଅଛି? A) ୧୨୦ କି.ମି. ପୂର୍ବ B) ୫୦ କି.ମି. ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ C) ୧୨୦ କି.ମି. ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ D) ୫୦ କି.ମି. ପୂର୍ବ

ଉତ୍ତର: D) ୫୦ କି.ମି. ପୂର୍ବ

ସମାଧାନ:

• ନିଟ୍ ଉତ୍ତର-ଦକ୍ଷିଣ: ୪୦N - ୩୦S = ୧୦ କି.ମି. ଉତ୍ତର
• ପୂର୍ବ ଗତି: ୧୨୦ କି.ମି. ପୂର୍ବ
• ଦୂରତା = √(10² + 120²) = √(100 + 14400) = √14500 ≈ 120.4 କି.ମି.
• ଦିଗ: ଅଧିକାଂଶ ପୂର୍ବ ସହିତ ସାମାନ୍ୟ ଉତ୍ତର (≈ ପୂର୍ବ)

ଶର୍ଟକଟ୍: ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ଉପାଦାନ » ଅନ୍ୟ, ଦିଗ ≈ ବଡ଼ ଉପାଦାନ

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ନିଟ୍ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ଗଣନା

Q5. ଅପରାହ୍ନ ୩:୩୦ ଟାରେ, ଏକ ୧୫-ମିଟର ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଖୁଣ୍ଟ ୧୫√୩ ମିଟର ଛାୟା ସୃଷ୍ଟି କରେ। ଛାୟା କେଉଁ ଦିଗକୁ ଟାଣେ? A) ପୂର୍ବ B) ପଶ୍ଚିମ C) ଉତ୍ତର D) ଦକ୍ଷିଣ

ଉତ୍ତର: A) ପୂର୍ବ

ସମାଧାନ: ୩:୩୦ PM = ଅପରାହ୍ନ (ମଧ୍ୟାହ୍ନ ୧୨ ଟା ପରେ) ଅପରାହ୍ନରେ ଛାୟା ପୂର୍ବ ଦିଗକୁ ଟାଣେ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଗଣନା ନିଶ୍ଚିତ କରେ: tan θ = 15/(15√3) = 1/√3 → θ = 30° ସୂର୍ଯ୍ୟ କୋଣ

ଶର୍ଟକଟ୍: PM ସମୟ = ଅପରାହ୍ନ = ଛାୟା ପୂର୍ବ

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ସମୟ ଉପରେ ଆଧାରିତ ଛାୟା ଦିଗ

Q6. ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସ୍ ଟ୍ରେନ୍ ଦିଲ୍ଲୀରୁ ମୁମ୍ବାଇ ଯାଏ: ୮୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପଶ୍ଚିମ, ତା’ପରେ ୬୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ। ଦିଲ୍ଲୀରୁ ମୁମ୍ବାଇ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସିଧା ଦୂରତା ଓ ବେୟାରିଂ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) ୧୦୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ B) ୧୪୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ C) ୧୦୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ D) ୧୦୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପଶ୍ଚିମ

ଉତ୍ତର: A) ୧୦୦୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ

ସମାଧାନ:

• ଦକ୍ଷିଣ-ପଶ୍ଚିମ = ଦକ୍ଷିଣ ଓ ପଶ୍ଚିମ ମଧ୍ୟରେ ୪୫°
• ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ = ଦକ୍ଷିଣ ଓ ପୂର୍ବ ମଧ୍ୟରେ ୪୫°
• ନିଟ୍ ପୂର୍ବ-ପଶ୍ଚିମ: ୮୦୦cos45° ପଶ୍ଚିମ - ୬୦୦cos45° ପୂର୍ବ = ୨୦୦cos45° ପଶ୍ଚିମ ≈ ୧୪୧ କି.ମି. ପଶ୍ଚିମ
• ନିଟ୍ ଉତ୍ତର-ଦକ୍ଷିଣ: ୮୦୦sin45° + ୬୦୦sin45° = ୧୪୦୦sin45° ≈ ୯୯୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ
• ସିଧା ଦୂରତା = √(141² + 990²) ≈ ୧୦୦୦ କି.ମି.
• ଦିଗ ≈ ଦକ୍ଷିଣ (ପଶ୍ଚିମ ଉପାଦାନ ନଗଣ୍ୟ)

ଶର୍ଟକଟ୍: SW + SE ଗତି → ଦୂରତା ସମାନ ହେଲେ ପ୍ରଧାନତଃ ଦକ୍ଷିଣ

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ତିର୍ଯ୍ୟକ୍ ଗତିର ଭେକ୍ଟର ଯୋଗ

Q7. ଜଣେ ରେଳ ଟ୍ରାକ୍ ନିରୀକ୍ଷକ P ବିନ୍ଦୁରୁ ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତରକୁ ଚାଲେ, ଅପରାହ୍ନ ୪ ଟାରେ ତାଙ୍କ ଛାୟା ତାଙ୍କ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ପଡ଼ିବା ଦେଖେ। ସେ ୯୦° ଡାହାଣ ମୋଡ଼ ନିଏ ଓ ୪ କି.ମି. ଚାଲେ। P ସହିତ ତାଙ୍କର ଅନ୍ତିମ ସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) ୪ କି.ମି. ପୂର୍ବ, ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତର B) ୪ କି.ମି. ପଶ୍ଚିମ, ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତର C) ୪ କି.ମି. ପୂର୍ବ, ୭ କି.ମି. ଉତ୍ତର D) ୪ କି.ମି. ପଶ୍ଚିମ, ୧ କି.ମି. ଉତ୍ତର

ଉତ୍ତର: C) ୪ କି.ମି. ପୂର୍ବ, ୭ କି.ମି. ଉତ୍ତର

ସମାଧାନ:

• ୪ PM: ଛାୟା ପୂର୍ବ ଦିଗକୁ ଟାଣେ (ଅପରାହ୍ନ)
• ଡାହାଣରେ ଛାୟା → ସେ ଉତ୍ତର ଆଡ଼କୁ ମୁହଁ କରିଛନ୍ତି (ପୂର୍ବ ଉତ୍ତରର ଡାହାଣ)
• ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତରକୁ ଚାଲେ: ସ୍ଥାନ = 0E, 3N
• ୯୦° ଡାହାଣ ମୋଡ଼ ନିଏ → ପୂର୍ବ ଆଡ଼କୁ ମୁହଁ କରେ
• ୪ କି.ମି. ପୂର୍ବକୁ ଚାଲେ: ସ୍ଥାନ = 4E, 3N
• ଅପେକ୍ଷା! ସଂଶୋଧନ: ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତର ପରେ, ୪ PM ରେ, ଛାୟା ଉତ୍ତର ଦିଗ ନିଶ୍ଚିତ କରେ
• ୯୦° ଡାହାଣ ମୋଡ଼ ନିଏ → ପୂର୍ବ ଆଡ଼କୁ ମୁହଁ କରେ, ୪ କି.ମି. ଚାଲେ
• ଅନ୍ତିମ: P ରୁ ୪ କି.ମି. ପୂର୍ବ, ୩ କି.ମି. ଉତ୍ତର

ଶର୍ଟକଟ୍: ୪ PM ରେ ଉତ୍ତର ଆଡ଼କୁ ମୁହଁ କରିଥିଲେ ଡାହାଣରେ ଛାୟା → ଉତ୍ତର ଦିଗ ନିଶ୍ଚିତ କରେ

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ଗତି ସହିତ ଛାୟା ନିଶ୍ଚିତକରଣ

Q8. ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ ଏକା ଜଙ୍କସନ୍ ରୁ ଆରମ୍ଭ କରେ। ଟ୍ରେନ୍ A ୨ ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ ୬୦ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଉତ୍ତରକୁ ଯାଏ, ଟ୍ରେନ୍ B ୧.୫ ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ ୮୦ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ପୂର୍ବକୁ ଯାଏ। ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ଓ A ରୁ B ର ଦିଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) ୧୨୦ କି.ମି. ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ B) ୧୨୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ C) ୧୫୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ D) ୧୫୦ କି.ମି. ଉତ୍ତର-ପୂର୍ବ

ଉତ୍ତର: C) ୧୫୦ କି.ମି. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ

ସମାଧାନ:

• ଟ୍ରେନ୍ A: ୬୦ × ୨ = ୧୨୦ କି.ମି. ଉତ୍ତର
• ଟ୍ରେନ୍ B: ୮୦ × ୧.୫ = ୧୨୦ କି.ମି. ପୂର୍ବ
• ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = √(120² + 120²) = 120√2 ≈ 170 କି.ମି.
• A ରୁ B ର ଦିଗ: ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ (B, A ର ପୂର୍ବ ଓ ଦକ୍ଷିଣରେ ଅଛି)

ଶର୍ଟକଟ୍: ସମାନ N-S ଓ E-W ଦୂରତା → ୪୫° ତିର୍ଯ୍ୟକ୍ = √2 × ବାହୁ

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ବେଗ-ସମୟ ସହିତ ଆପେକ୍ଷିକ ସ୍ଥାନ

Q9. ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ରେଳ ଟ୍ରାକ୍ (ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ୭ କି.ମି.) ର N, S, E, W ବିନ୍ଦୁରେ ଷ୍ଟେସନ୍ ଅଛି। ଜଣେ କର୍ମଚାରୀ ଉତ୍ତର ଷ୍ଟେସନ୍ ରୁ ପୂର୍ବ ଷ୍ଟେସନ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଛୋଟ ଚାପ ଦେଇ ଯାଏ, ତା’ପରେ ଦକ୍ଷିଣ ଷ୍ଟେସନ୍ ରୁ ପଶ୍ଚିମ ଷ୍ଟେସନ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଡ଼ ଚାପ ଦେଇ ଯାଏ। ସେ ମୋଟ କେତେ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କଲେ? A) ୨୨ କି.ମି. B) ୪୪ କି.ମି. C) ୩୩ କି.ମି. D) ୫୫ କି.ମି.

ଉତ୍ତର: C) ୩୩ କି.ମି.

ସମାଧାନ:

• ପରିଧି = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 କି.ମି.
• ଉତ୍ତରରୁ ପୂର୍ବ (ଛୋଟ ଚାପ) = ୧/୪ ପରିଧି = ୧୧ କି.ମି.
• ଦକ୍ଷିଣରୁ ପଶ୍ଚିମ (ବଡ଼ ଚାପ) = ୩/୪ ପରିଧି = ୩୩ କି.ମି.
• ମୋଟ = ୧୧ + ୩୩ = ୪୪ କି.ମି.

ଶର୍ଟକଟ୍: ଚତୁର୍ଥାଂଶ ବୃତ୍ତ = πr/2, ତିନି-ଚତୁର୍ଥାଂଶ ବୃତ୍ତ = 3πr/2

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ବୃତ୍ତାକାର ଗତି ଗଣନା

Q10. ଏକ ରେଳ କ୍ରସିଂରେ, ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ଏକ ମାଲଗାଡ଼ିର ଛାୟା (ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୨୦୦ମି) ଭୂମି ଉପରେ ଠିକ୍ ୧୦୦ମି ଆଚ୍ଛାଦନ କରିବା ଦେଖେ ଯେତେବେଳେ ସୂର୍ଯ୍ୟ କ୍ଷିତିଜ ଉପରେ ୩୦° କୋଣରେ ଅଛି। ଯଦି ଟ୍ରେନ୍ ଉତ୍ତରକୁ ଗତି କରେ ଓ ଛାୟା ପଶ୍ଚିମ ଦିଗକୁ ଟାଣେ, ଟ୍ରେନ୍ ର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସୂର୍ଯ୍ୟର ସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 100√3 ମି, ପୂର୍ବ B) 115 ମି, ପଶ୍ଚିମ C) 200 ମି, ପୂର୍ବ D) 173 ମି, ପଶ୍ଚିମ

ଉତ୍ତର: D) 173 ମି, ପଶ୍ଚିମ

ସମାଧାନ:

• tan 30° = ଉଚ୍ଚତା/ଛାୟା = h/200 = 1/√3
• ଉଚ୍ଚତା = 200/√3 = 200√3/3 ≈ 115.5 ମି
• ଛାୟା ପଶ୍ଚିମ → ସୂର୍ଯ୍ୟ ପୂର୍ବରେ
• ସକାଳ ସମୟ (ସୂର୍ଯ୍ୟ ପୂର୍ବରେ)

ଶର୍ଟକଟ୍: ଉଚ୍ଚତା = ଛାୟା ଦୈର୍ଘ୍ୟ × tan(ସୂର୍ଯ୍ୟ କୋଣ)

ଧାରଣା: ଦିଗ ଓ ଦୂରତା - ସୂର୍ଯ୍ୟ ସ୍ଥାନ ସହିତ ଛାୟା ଦୈର୍ଘ୍ୟ

୫ଟି ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

ପ୍ରାମାଣିକ ପରୀକ୍ଷା ଆଧାର ସହିତ PYQ-ଶୈଳୀରେ ପ୍ରଶ୍ନ ଉତ୍ପାଦନ କରନ୍ତୁ:

PYQ 1. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ୫ କି.ମି. ପୂର୍ବକୁ ଚାଲେ, ତା’ପରେ ୪ କି.ମି. ଉତ୍ତରକୁ ଚାଲେ, ତା’ପରେ ୨ କି.ମି. ପଶ୍ଚିମକୁ ଚାଲେ। ସେ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁରୁ କେତେ ଦୂର ଅଛି? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

ଉତ୍ତର: C) √29 କି.ମି.

ସମାଧାନ:

• ନିଟ୍ ପୂର୍ବ: ୫ - ୨ = ୩ କି.ମି. ପୂର୍ବ
• ନିଟ୍ ଉତ୍ତର: ୪ କି.ମି. ଉତ୍ତର
• ଦୂରତା = √(3² + 4²) = √25 = 5 କି.ମି.

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସର୍ବଦା ପ୍ରଥମେ ନିଟ୍ ଗତି ଗଣନା କରନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ

PYQ 2. ଜଣେ ରେଳ କର୍ମଚାରୀ ଦକ୍ଷିଣ ଆଡ଼କୁ ମୁହଁ କରିଛି। ସେ ୧୩୫° ଘଡ଼ି କଣ୍ଟା ବିପରୀତ ଦିଗରେ ଘୂରେ, ତା’ପରେ ୧୮୦° ଘଡ଼