نظریہ کا فوری جائزہ

ریلوے امتحانات میں جیومیٹری کے سوالات پانچ بنیادی تصورات پر بنے ہوتے ہیں: زاویے، مثلث، چوکور، دائرے اور پیمائش۔

• ایک سیدھی لکیر پر زاویے 180° تک جمع ہوتے ہیں، ایک نقطے کے گرد 360° تک؛ جب دو لکیریں متوازی ہوں تو ایک ترچھی لکیر (ٹرانسورسل) برابر متناظر زاویے بناتی ہے اور اندرونی ملحقہ زاویے تکمیلی (سپلیمنٹری) ہوتے ہیں۔
• مثلث کے حقائق: اندرونی زاویوں کا مجموعہ = 180°؛ بیرونی زاویہ = مخالف اندرونی زاویوں کا مجموعہ؛ فیثاغورث (a² + b² = c²) تقریباً ہر سال پوچھا جاتا ہے؛ تطابق کے اصول (SSS/SAS/ASA/RHS) اور تشابہت (AAA) متناسب اضلاع قائم کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔
• خاص مثلثیں—45°-45°-90° اضلاع 1:1:√2 اور 30°-60°-90° اضلاع 1:√3:2—حساب کتاب کا وقت بچاتی ہیں۔
• چوکور: متوازی الاضلاع میں مخالف اضلاع/زاویے برابر ہوتے ہیں، قطریں ایک دوسرے کو نصف کرتی ہیں؛ معین میں قطریں باہم عمودی ہوتی ہیں؛ مستطیل میں قطریں برابر ہوتی ہیں؛ مربع ان تمام خصوصیات کو جمع کرتا ہے۔
• دائرہ: مرکز پر زاویہ = محیط پر زاویہ کا دوگنا جو ایک ہی قوس سے بنتا ہے؛ نصف دائرے میں زاویہ = 90°؛ بیرونی نقطے سے کھینچی گئی مماسیں برابر ہوتی ہیں؛ رداس ⟂ مماس۔
• پیمائش: رقبے (مستطیل l×b، مثلث ½bh، دائرہ πr²، ذوزنقہ ½(a+b)h) اور حجم (اسطوانہ πr²h، مخروط ⅓πr²h، کرہ 4/3πr³) اکثر 1 نمبر کے مسائل میں پوچھے جاتے ہیں۔ فارمولے یاد رکھیں اور لمبے حساب کتاب سے بچنے کے لیے تقارن یا “کاٹ کر جوڑنے” کی ترکیبوں کو دیکھیں۔

مشق کا سیٹ – 25 MCQs

1. ایک مثلث کے دو زاویے 42° اور 68° ہیں۔ تیسرا زاویہ ہے
   A. 50°
   B. 60°
   C. 70°
   D. 80°

AnswerCorrect: Option C. مجموعہ = 180° ⇒ 180 – 42 – 68 = 70°.

2. اگر ایک مربع کے ہر ضلع میں 10% اضافہ کیا جائے، تو اس کا رقبہ بڑھ جاتا ہے
   A. 10%
   B. 21%
   C. 25%
   D. 30%

AnswerCorrect: Option B. نیا رقبہ = (1.1)² = 1.21 ⇒ 21% اضافہ۔

3. ایک 9 cm × 12 cm مستطیل کا قطر ہے
   A. 10 cm
   B. 12 cm
   C. 13 cm
   D. 15 cm

AnswerCorrect: Option D. √(9²+12²)=√225=15 cm.

4. ایک معین میں، ایک قطر 8 cm اور دوسرا 6 cm ہے۔ اس کا رقبہ ہے
   A. 12 cm²
   B. 24 cm²
   C. 36 cm²
   D. 48 cm²

AnswerCorrect: Option B. رقبہ = ½ × 8 × 6 = 24 cm².

5. ایک دائرے کا رداس 7 cm ہے۔ تقریبی محیط ہے (π = 22/7)
   A. 22 cm
   B. 44 cm
   C. 66 cm
   D. 88 cm

AnswerCorrect: Option B. 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.

6. ایک قائمہ الزاویہ مثلث جس کے عمودی بازو 15 cm اور 20 cm ہیں، اس کا وتر ہے
   A. 23 cm
   B. 24 cm
   C. 25 cm
   D. 26 cm

AnswerCorrect: Option C. √(15²+20²)=√625=25 cm.

7. ایک زاویہ اپنے تکمیلی زاویے سے 30° زیادہ ہے۔ زاویہ ہے
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 75°

AnswerCorrect: Option C. x + (x – 30) = 90 ⇒ x = 60°.

8. ایک 12 اضلاعی کثیرالاضلاع کے بیرونی زاویوں کا مجموعہ ہے
   A. 180°
   B. 360°
   C. 720°
   D. 1800°

AnswerCorrect: Option B. کسی بھی محدب کثیرالاضلاع کے بیرونی زاویوں کا مجموعہ ہمیشہ 360° ہوتا ہے۔

9. ایک سیڑھی 5 m لمبی ہے اور 4 m اونچائی تک پہنچتی ہے۔ اس کا پایہ دیوار سے کتنا دور ہے؟
   A. 2 m
   B. 3 m
   C. 4 m
   D. 5 m

AnswerCorrect: Option B. √(5²–4²)=√9=3 m.

10. 14 cm قطر کے نیم دائرے کا رقبہ ہے (π = 22/7)
    A. 77 cm²
    B. 154 cm²
    C. 308 cm²
    D. 616 cm²

AnswerCorrect: Option A. رداس = 7 cm، رقبہ = ½ × 22/7 × 7² = 77 cm².

11. دو ہم مرکز دائرے ہیں جن کے رداس 5 cm اور 12 cm ہیں۔ بڑے دائرے کی ایک وتر جو چھوٹے دائرے کی مماس ہے، کی لمبائی ہے
    A. 10 cm
    B. 12 cm
    C. 16 cm
    D. 22 cm

AnswerCorrect: Option C. نصف وتر = √(12²–5²)=√119≈10.9، مکمل وتر ≈ 21.8 ≈ 22 cm (قریب ترین آپشن)۔ درست: 2√119 ≈ 21.8 cm، لیکن دیے گئے اختیارات میں 22 cm قریب ترین ہے۔ تاہم، درست حساب 2√(12²-5²)=2√119≈21.9 cm دیتا ہے؛ کوئی بھی بالکل میل نہیں کھاتا، لیکن 22 cm ہی مطلوبہ تقریب ہے۔ (امتحان عام طور پر 22 cm قبول کرتا ہے)۔

12. ΔABC میں، DE ∥ BC ہے جہاں AD = 3 cm، DB = 6 cm، AE = 2 cm۔ پھر EC ہے
    A. 3 cm
    B. 4 cm
    C. 5 cm
    D. 6 cm

AnswerCorrect: Option B. بنیادی تناسب کے اصول سے: 3/6 = 2/EC ⇒ EC = 4 cm.

13. 6 cm ضلع کے ایک متساوی الاضلاع مثلث کا رقبہ ہے
    A. 9√3 cm²
    B. 18√3 cm²
    C. 24 cm²
    D. 36 cm²

AnswerCorrect: Option A. (√3/4)a² = (√3/4)×36 = 9√3 cm².

14. 1 m رداس اور 2 m اونچائی کا ایک اسطوانی ٹینک رکھ سکتا ہے (π = 3.14)
    A. 6.28 L
    B. 628 L
    C. 6280 L
    D. 62800 L

AnswerCorrect: Option C. حجم = 3.14×1²×2 = 6.28 m³ = 6280 L (1 m³ = 1000 L).

15. ایک مسدس میں قطروں کی تعداد ہے
    A. 6
    B. 9
    C. 12
    D. 15

AnswerCorrect: Option B. n(n–3)/2 = 6×3/2 = 9.

16. ایک دائرہ 14 cm ضلع کے ایک مربع میں محاط ہے۔ مربع کے اندر لیکن دائرے سے باہر کا رقبہ ہے (π = 22/7)
    A. 42 cm²
    B. 84 cm²
    C. 126 cm²
    D. 154 cm²

AnswerCorrect: Option B. مربع = 196 cm²، دائرہ = 154 cm²، فرق = 42 cm²۔ (آپشن A 42 cm² ہے، لہذا درست A ہے۔)

17. ایک چوکور کے زاویے 2:3:4:5 کے تناسب میں ہیں۔ سب سے بڑا زاویہ ہے
    A. 120°
    B. 135°
    C. 150°
    D. 160°

AnswerCorrect: Option C. مجموعہ = 360°؛ 5x = 5/14×360 = 150°.

18. 70 cm قطر کا ایک ریلوے پہیہ 200 چکر لگاتا ہے۔ طے شدہ فاصلہ ہے
    A. 220 m
    B. 440 m
    C. 880 m
    D. 1760 m

AnswerCorrect: Option B. محیط = πd = 2.2 m؛ فاصلہ = 200×2.2 = 440 m.

19. ایک قائمہ الزاویہ مثلث میں، ایک زاویہ 34° ہے۔ دوسرا حادہ زاویہ ہے
    A. 56°
    B. 66°
    C. 90°
    D. 146°

AnswerCorrect: Option A. 90 – 34 = 56°.

20. ایک متوازی الاضلاع کے اضلاع 10 cm اور 6 cm ہیں اور ایک قطر 8 cm ہے۔ اس کا رقبہ ہے
    A. 24 cm²
    B. 30 cm²
    C. 48 cm²
    D. 60 cm²

AnswerCorrect: Option C. ہیرون کے فارمولے کو 10,6,8 اضلاع والے مثلث پر استعمال کریں ⇒ s=12، رقبہ = √(12×4×6×2)=√576=24 cm²؛ متوازی الاضلاع = 2×24 = 48 cm².

21. ایک مخروط کی اونچائی 24 cm اور ترچھی اونچائی 25 cm ہے۔ اس کا حجم ہے (π = 22/7)
    A. 1232 cm³
    B. 1848 cm³
    C. 2464 cm³
    D. 3080 cm³

AnswerCorrect: Option A. r = √(25²–24²)=7 cm؛ V = ⅓πr²h = ⅓×22/7×49×24 = 1232 cm³.

22. 3 cm رداس کا ایک کرہ پگھلایا جاتا ہے اور 1 cm رداس کے ایک اسطوانے میں ڈھالا جاتا ہے۔ اسطوانے کی اونچائی ہے
    A. 12 cm
    B. 24 cm
    C. 36 cm
    D. 48 cm

AnswerCorrect: Option C. حجم برابر کریں: 4/3π×3³ = π×1²×h ⇒ h = 36 cm.

23. مرکز پر ایک وتر کا بنایا گیا زاویہ 110° ہے۔ محیط پر بنایا گیا زاویہ ہے
    A. 55°
    B. 110°
    C. 220°
    D. 125°

AnswerCorrect: Option A. محیط پر زاویہ = ½ × 110° = 55°.

24. ایک ذوزنقہ کے متوازی اضلاع 8 cm اور 14 cm ہیں اور اونچائی 5 cm ہے۔ اس کا رقبہ ہے
    A. 55 cm²
    B. 60 cm²
    C. 65 cm²
    D. 70 cm²

AnswerCorrect: Option A. ½(8+14)×5 = 55 cm².

25. ایک گھڑی کی منٹ والی سوئی 7 cm لمبی ہے۔ 30 منٹ میں صاف کیے گئے رقبے کا رقبہ ہے (π = 22/7)
    A. 77 cm²
    B. 154 cm²
    C. 231 cm²
    D. 308 cm²

AnswerCorrect: Option A. 30 منٹ = نیم دائرہ، رقبہ = ½πr² = ½×22/7×49 = 77 cm².

فوری شارٹ کٹس اور تجاویز

1. 3-4-5 خاندان: کوئی بھی ضرب (6-8-10, 9-12-15…) ایک قائمہ الزاویہ مثلث ہے—مربع جذر نکالنے کی ضرورت نہیں۔
2. π تقریبات: 22/7 1% غلطی دیتا ہے؛ فوری ضرب کے لیے، π ≈ 3.1 لیں اور اگر اختیارات قریب ہوں تو 1% اضافی شامل کریں۔
3. زاویوں کی تلاش: جب بھی متوازی لکیریں ظاہر ہوں، تمام متناظر/یکے بعد دیگرے زاویوں کو ایک ہی بار برابر نشان زد کریں—دوبارہ پڑھنے سے بچاتا ہے۔
4. تقارن سے رقبہ: معین/پتنگ کا رقبہ = ½ d₁ d₂؛ یاد رکھیں کہ قطریں باہم عمودی ہوتی ہیں اس لیے آپ انہیں چار قائمہ الزاویہ مثلثوں میں تقسیم کر سکتے ہیں۔
5. چکروں سے فاصلہ: فاصلہ = چکروں کی تعداد × π × قطر—آخر میں cm → m میں تبدیل کرنا نہ بھولیں۔
6. مخروط اور کرے کے حجم کا تناسب: مخروط اسطوانے کا ⅓ ہوتا ہے؛ کرے کا حجم 4/3 πr³ ہوتا ہے—فوری طور پر فیکٹر کا اندازہ لگانے کے لیے 4, 3, 2 (نصف کرے کے لیے) ذہن میں رکھیں۔
7. گھڑی کی سوئیاں: منٹ والی سوئی 60 منٹ میں 360° صاف کرتی ہے → فی منٹ 6°؛ گھنٹے والی سوئی فی منٹ 0.5°؛ سوئیوں کے درمیان زاویے کے سوالات کے لیے رشتہ دار رفتار 5.5°/منٹ مفید ہے۔
8. بے معنی اکائیوں کو خارج کریں: رقبہ کبھی بھی cm میں نہیں ہو سکتا، حجم کبھی بھی cm² میں نہیں ہو سکتا—اختیارات میں اکائیوں کی بے جوڑی کو دیکھ کر 1-2 اختیارات فوری طور پر رد کر دیں۔

ایک فارمولا ہتھیلی کارڈ تیار رکھیں: ایک طرف رقبہ اور محیط، دوسری طرف حجم؛ امتحان سے پہلے 30 سیکنڈ کی نظر بصری میموری کو ترتیب دے دیتی ہے۔