ज्यामिति अभ्यास
त्वरित सिद्धांत रिवीज़न
रेलवे परीक्षाओं में ज्यामिति प्रश्न पाँच मूल विचारों के आसपास बने होते हैं: कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त और क्षेत्रमिति।
- एक सीधी रेखा पर कोण 180° तक जोड़ते हैं, एक बिंदु के चारों ओर 360°; जब दो रेखाएँ समानांतर हों, तो एक तिर्यक रेखा समान संगत कोण बनाती है और आंतरिक सहायक कोण पूरक होते हैं।
- त्रिभुज तथ्य: आंतरिक कोणों का योग = 180°; बाह्य कोण = विपरीत आंतरिक कोणों का योग; पाइथागोरस (a² + b² = c²) लगभग हर वर्ष परीक्षित होता है; सर्वांगसमता नियम (SSS/SAS/ASA/RHS) और समरूपता (AAA) अनुपाती भुजाएँ स्थापित करने के लिए प्रयुक्त होते हैं।
- विशेष त्रिभुज—45°-45°-90° भुजाएँ 1:1:√2 और 30°-60°-90° भुजाएँ 1:√3:2—गणना समय बचाते हैं।
- चतुर्भुज: समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ/कोण समान, विकर्ण समद्विभाजित; समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत; आयत के विकर्ण समान; वर्ग सभी को जोड़ता है।
- वृत्त: केंद्र पर कोण = 2 × परिधि पर कोण जो एक ही चाप द्वारा अंतरित हो; अर्धवृत्त में कोण = 90°; बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ समान; त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा।
- क्षेत्रमिति: क्षेत्रफल (आयत l×b, त्रिभुज ½bh, वृत्त πr², समलंब ½(a+b)h) और आयतन (बेलन πr²h, शंकु ⅓πr²h, गोला 4/3πr³) 1-अंक प्रश्नों में बार-बार पूछे जाते हैं। सूत्र याद रखें और सममिति या “काट-और-चिपकाओ” चालों की तलाश करें लंबी गणनाओं से बचने के लिए।
अभ्यास सेट – 25 MCQs
- एक त्रिभुज के दो कोण 42° और 68° हैं। तीसरा कोण है
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
उत्तर
सही: विकल्प C। योग = 180° ⇒ 180 – 42 – 68 = 70°।- यदि एक वर्ग की प्रत्येक भुजा को 10% बढ़ा दिया जाए, तो इसका क्षेत्रफल बढ़ता है
A. 10%
B. 21%
C. 25%
D. 30%
उत्तर
सही: विकल्प B। नया क्षेत्रफल = (1.1)² = 1.21 ⇒ 21% वृद्धि।- 9 सेमी × 12 सेमी आयत का विकर्ण है
A. 10 सेमी
B. 12 सेमी
C. 13 सेमी
D. 15 सेमी
उत्तर
सही: विकल्प D। √(9²+12²)=√225=15 सेमी।- एक समचतुर्भुज में, एक विकर्ण 8 सेमी और दूसरा 6 सेमी है। इसका क्षेत्रफल है
A. 12 सेमी²
B. 24 सेमी²
C. 36 सेमी²
D. 48 सेमी²
उत्तर
सही: विकल्प B। क्षेत्रफल = ½ × 8 × 6 = 24 सेमी²।- एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। अनुमानित परिधि है (π = 22/7)
A. 22 सेमी
B. 44 सेमी
C. 66 सेमी
D. 88 सेमी
उत्तर
सही: विकल्प B। 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी।- एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 15 सेमी और 20 सेमी हैं, की कर्ण है
A. 23 सेमी
B. 24 सेमी
C. 25 सेमी
D. 26 सेमी
उत्तर
सही: विकल्प C। √(15²+20²)=√625=25 सेमी।- एक कोण अपने पूरक से 30° अधिक है। कोण है
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
उत्तर
सही: विकल्प C। x + (x – 30) = 90 ⇒ x = 60°।- 12-भुजीय बहुभुज के बाह्य कोणों का योग है
A. 180°
B. 360°
C. 720°
D. 1800°
उत्तर
सही: विकल्प B. किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग सदा 360° होता है।- 5 मी लंबी एक सीढ़ी 4 मी ऊँचाई तक पहुँचती है। पाद दीवार से कितनी दूर है?
A. 2 मी
B. 3 मी
C. 4 मी
D. 5 मी
उत्तर
सही: विकल्प B. √(5²–4²)=√9=3 मी।- व्यास 14 सेमी के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है (π = 22/7)
A. 77 सेमी²
B. 154 सेमी²
C. 308 सेमी²
D. 616 सेमी²
उत्तर
सही: विकल्प A. त्रिज्या = 7 सेमी, क्षेत्रफल = ½ × 22/7 × 7² = 77 सेमी²।- दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 12 सेमी हैं। बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, की लंबाई है
A. 10 सेमी
B. 12 सेमी
C. 16 सेमी
D. 22 सेमी
उत्तर
सही: विकल्प C. अर्ध-जीवा = √(12²–5²)=√119≈10.9, पूर्ण जीवा ≈ 21.8 ≈ 22 सेमी (निकटतम विकल्प)। सटीक: 2√119 ≈ 21.8 सेमी, पर विकल्पों में 22 सेमी निकटतम है। (परीक्षा सामान्यतः 22 सेमी को स्वीकार करती है)।- ΔABC में, DE ∥ BC है जिसमें AD = 3 सेमी, DB = 6 सेमी, AE = 2 सेमी है। तब EC है
A. 3 सेमी
B. 4 सेमी
C. 5 सेमी
D. 6 सेमी
उत्तर
सही: विकल्प B. आधारभूत समानुपात से: 3/6 = 2/EC ⇒ EC = 4 सेमी।- 6 सेमी भुजा के समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है
A. 9√3 सेमी²
B. 18√3 सेमी²
C. 24 सेमी²
D. 36 सेमी²
उत्तर
सही: विकल्प A. (√3/4)a² = (√3/4)×36 = 9√3 cm².- 1 m त्रिज्या और 2 m ऊँचाई वाला एक बेलनाकार टैंक रख सकता है (π = 3.14)
A. 6.28 L
B. 628 L
C. 6280 L
D. 62800 L
उत्तर
सही: विकल्प C. आयतन = 3.14×1²×2 = 6.28 m³ = 6280 L (1 m³ = 1000 L).- एक षट्भुज में विकर्णों की संख्या है
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
उत्तर
सही: विकल्प B. n(n–3)/2 = 6×3/2 = 9.- 14 cm भुजा वाले एक वर्ग में एक वृत्त अंतर्गत खींचा गया है। वर्ग के अंदर लेकिन वृत्त के बाहर का क्षेत्रफल है (π = 22/7)
A. 42 cm²
B. 84 cm²
C. 126 cm²
D. 154 cm²
उत्तर
सही: विकल्प B. वर्ग = 196 cm², वृत्त = 154 cm², अंतर = 42 cm². (विकल्प A 42 cm² है, इसलिए सही A है.)- एक चतुर्भुज के कोण अनुपात में 2:3:4:5 हैं। सबसे बड़ा कोण है
A. 120°
B. 135°
C. 150°
D. 160°
उत्तर
सही: विकल्प C. योग = 360°; 5x = 5/14×360 = 150°.- 70 cm व्यास वाली एक ट्रेन की पहिया 200 चक्कर लगाती है। तय की गई दूरी है
A. 220 m
B. 440 m
C. 880 m
D. 1760 m
उत्तर
सही: विकल्प B. परिधि = πd = 2.2 m; दूरी = 200×2.2 = 440 m.- एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण 34° है। दूसरा न्यून कोण है
A. 56°
B. 66°
C. 90°
D. 146°
उत्तर
सही: विकल्प A. 90 – 34 = 56°.- एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 10 सेमी और 6 सेमी हैं और एक विकर्ण 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल है
A. 24 सेमी²
B. 30 सेमी²
C. 48 सेमी²
D. 60 सेमी²
उत्तर
सही: विकल्प C. 10,6,8 भुजाओं वाले त्रिभुज पर हेरॉन ⇒ s=12, क्षेत्रफल = √(12×4×6×2)=√576=24 सेमी²; समांतर चतुर्भुज = 2×24 = 48 सेमी².- एक शंकु की ऊँचाई 24 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है। इसका आयतन है (π = 22/7)
A. 1232 सेमी³
B. 1848 सेमी³
C. 2464 सेमी³
D. 3080 सेमी³
उत्तर
सही: विकल्प A. r = √(25²–24²)=7 सेमी; V = ⅓πr²h = ⅓×22/7×49×24 = 1232 सेमी³.- 3 सेमी त्रिज्या का एक गोला पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या के बेलन में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई है
A. 12 सेमी
B. 24 सेमी
C. 36 सेमी
D. 48 सेमी
उत्तर
सही: विकल्प C. आयतन समान: 4/3π×3³ = π×1²×h ⇒ h = 36 सेमी.- एक जीवा द्वारा केंद्र पर बना कोण 110° है। परिधि पर बना कोण है
A. 55°
B. 110°
C. 220°
D. 125°
उत्तर
सही: विकल्प A. परिधि पर कोण = ½ × 110° = 55°.- एक समलंब की समानांतर भुजाएँ 8 सेमी और 14 सेमी हैं और ऊँचाई 5 सेमी है। इसका क्षेत्रफल है
A. 55 सेमी²
B. 60 सेमी²
C. 65 सेमी²
D. 70 सेमी²
उत्तर
सही: विकल्प A. ½(8+14)×5 = 55 सेमी².- एक घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। 30 मिनट में घिरा क्षेत्रफल है (π = 22/7)
A. 77 cm²
B. 154 cm²
C. 231 cm²
D. 308 cm²
Answer
Correct: Option A. 30 min = अर्ध-वृत्त, क्षेत्रफल = ½πr² = ½×22/7×49 = 77 cm².Quick Shortcuts & Tips
- 3-4-5 family: कोई भी गुणज (6-8-10, 9-12-15…) समकोण त्रिभुज है—वर्गमूल निकालने की जरूरत नहीं।
- π approximations: 22/7 से 1% त्रुटि; तेज गुणा के लिए, π ≈ 3.1 और यदि विकल्प पास-पास हों तो 1% अतिरिक्त जोड़ें।
- Angle hunts: जब भी समांतर रेखाएँ दिखें, एक ही बार में सभी संगत/एकांतर कोण बराबर चिह्नित करें—पुनः पढ़ने से बचाता है।
- Area by symmetry: समचतुर्भुज/पतंग का क्षेत्रफल = ½ d₁ d₂; याद रखें विकर्ण लंबवत होते हैं ताकि आप चार समकोण त्रिभुजों में विभाजित कर सकें।
- Revolutions to distance: दूरी = चक्करों की संख्या × π × व्यास—अंत में cm → m बदलना न भूलें।
- Cone & sphere volume ratio: शंकु बेलन का ⅓ है; गोला 4/3 πr³ है—4, 3, 2 (अर्धगोले के लिए) ध्यान में रखें ताकि तुरंत गुणांक अनुमान लगा सकें।
- Clock hands: मिनट की सुई 60 मिनट में 360° घूमती है → 6° प्रति मिनट; घंटे की सुई 0.5° प्रति मिनट; सापेक्ष चाल 5.5°/मिनट—सुइयों के बीच कोण वाले प्रश्नों के लिए उपयोगी।
- Eliminate absurd units: क्षेत्रफल कभी cm में नहीं हो सकता, आयतन कभी cm² में नहीं—विकल्पों में इकाई असंगति पकड़कर तुरंत 1-2 विकल्प खारिज करें।
Keep a formula palm-card: क्षेत्रफल और परिमाप एक ओर, आयतन दूसरी ओर; परीक्षा से पहले 30-सेकंड की झलक दृश्य स्मृति तय कर देती है।
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