দ্রুত তত্ত্ব পুনরালোচনা

রেলওয়ে পরীক্ষার জ্যামিতির প্রশ্নগুলি পাঁচটি মূল ধারণার উপর নির্মিত: কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত এবং পরিমিতি।

• একটি সরলরেখার উপর কোণগুলি ১৮০° পর্যন্ত যোগ করে, একটি বিন্দুর চারপাশে ৩৬০° পর্যন্ত যোগ করে; যখন দুটি রেখা সমান্তরাল হয়, একটি ছেদক সমান অনুরূপ কোণ এবং সম্পূরক অন্তঃস্থ মিত্র কোণ তৈরি করে।
• ত্রিভুজের তথ্য: অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = ১৮০°; বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি; পিথাগোরাস (a² + b² = c²) প্রায় প্রতি বছর পরীক্ষা করা হয়; সর্বসমতার নিয়ম (SSS/SAS/ASA/RHS) এবং সদৃশতা (AAA) আনুপাতিক বাহু স্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়।
• বিশেষ ত্রিভুজ—৪৫°-৪৫°-৯০° বাহু ১:১:√২ এবং ৩০°-৬০°-৯০° বাহু ১:√৩:২—গণনার সময় বাঁচায়।
• চতুর্ভুজ: সামান্তরিকের বিপরীত বাহু/কোণ সমান, কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে; রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পর লম্ব; আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি সমান; বর্গক্ষেত্র সবকিছু একত্রিত করে।
• বৃত্ত: কেন্দ্রস্থ কোণ = একই চাপ দ্বারা উৎপন্ন পরিধিস্থ কোণের ২ গুণ; অর্ধবৃত্তে কোণ = ৯০°; একটি বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শকগুলি সমান; ব্যাসার্ধ ⟂ স্পর্শক।
• পরিমিতি: ক্ষেত্রফল (আয়তক্ষেত্র l×b, ত্রিভুজ ½bh, বৃত্ত πr², ট্রাপিজিয়াম ½(a+b)h) এবং আয়তন (সিলিন্ডার πr²h, শঙ্কু ⅓πr²h, গোলক 4/3πr³) প্রায়শই ১-নম্বর সমস্যায় জিজ্ঞাসা করা হয়। সূত্রগুলি মুখস্থ করুন এবং দীর্ঘ গণনা এড়াতে প্রতিসাম্য বা “কাটা এবং আটকানো” কৌশল খুঁজুন।

অনুশীলন সেট – ২৫টি এমসিকিউ

1. একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ ৪২° এবং ৬৮°। তৃতীয় কোণটি হল
   A. ৫০°
   B. ৬০°
   C. ৭০°
   D. ৮০°

AnswerCorrect: Option C. সমষ্টি = ১৮০° ⇒ ১৮০ – ৪২ – ৬৮ = ৭০°।

2. যদি একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি পায়, তবে এর ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়
   A. ১০%
   B. ২১%
   C. ২৫%
   D. ৩০%

AnswerCorrect: Option B. নতুন ক্ষেত্রফল = (১.১)² = ১.২১ ⇒ ২১% বৃদ্ধি।

3. একটি ৯ সেমি × ১২ সেমি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ হল
   A. ১০ সেমি
   B. ১২ সেমি
   C. ১৩ সেমি
   D. ১৫ সেমি

AnswerCorrect: Option D. √(৯²+১২²)=√২২৫=১৫ সেমি।

4. একটি রম্বসে, একটি কর্ণ ৮ সেমি এবং অন্যটি ৬ সেমি। এর ক্ষেত্রফল হল
   A. ১২ সেমি²
   B. ২৪ সেমি²
   C. ৩৬ সেমি²
   D. ৪৮ সেমি²

AnswerCorrect: Option B. ক্ষেত্রফল = ½ × ৮ × ৬ = ২৪ সেমি²।

5. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি। আনুমানিক পরিধি হল (π = ২২/৭)
   A. ২২ সেমি
   B. ৪৪ সেমি
   C. ৬৬ সেমি
   D. ৮৮ সেমি

AnswerCorrect: Option B. ২πr = ২ × ২২/৭ × ৭ = ৪৪ সেমি।

6. একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার লম্ব ১৫ সেমি এবং ২০ সেমি, এর অতিভুজ হল
   A. ২৩ সেমি
   B. ২৪ সেমি
   C. ২৫ সেমি
   D. ২৬ সেমি

AnswerCorrect: Option C. √(১৫²+২০²)=√৬২৫=২৫ সেমি।

7. একটি কোণ তার পূরক কোণের চেয়ে ৩০° বেশি। কোণটি হল
   A. ৩০°
   B. ৪৫°
   C. ৬০°
   D. ৭৫°

AnswerCorrect: Option C. x + (x – ৩০) = ৯০ ⇒ x = ৬০°।

8. একটি ১২-বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি হল
   A. ১৮০°
   B. ৩৬০°
   C. ৭২০°
   D. ১৮০০°

AnswerCorrect: Option B. যেকোনো উত্তল বহুভুজের জন্য বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°।

9. একটি ৫ মিটার লম্বা মই ৪ মিটার উঁচুতে পৌঁছায়। মইয়ের পাদদেশ দেয়াল থেকে কত দূরে?
   A. ২ মি
   B. ৩ মি
   C. ৪ মি
   D. ৫ মি

AnswerCorrect: Option B. √(৫²–৪²)=√৯=৩ মি।

10. ১৪ সেমি ব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল হল (π = ২২/৭)
    A. ৭৭ সেমি²
    B. ১৫৪ সেমি²
    C. ৩০৮ সেমি²
    D. ৬১৬ সেমি²

AnswerCorrect: Option A. ব্যাসার্ধ = ৭ সেমি, ক্ষেত্রফল = ½ × ২২/৭ × ৭² = ৭৭ সেমি²।

11. দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি এবং ১২ সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের একটি জ্যা, যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তের স্পর্শক, তার দৈর্ঘ্য হল
    A. ১০ সেমি
    B. ১২ সেমি
    C. ১৬ সেমি
    D. ২২ সেমি

AnswerCorrect: Option C. অর্ধ-জ্যা = √(১২²–৫²)=√১১৯≈১০.৯, সম্পূর্ণ জ্যা ≈ ২১.৮ ≈ ২২ সেমি (নিকটতম বিকল্প)। সঠিক: ২√১১৯ ≈ ২১.৮ সেমি, কিন্তু বিকল্পগুলির মধ্যে ২২ সেমি সবচেয়ে কাছাকাছি। তবে, সঠিক গণনা দেয় ২√(১২²-৫²)=২√১১৯≈২১.৯ সেমি; কোনোটি ঠিক মেলে না, কিন্তু ২২ সেমি হল উদ্দিষ্ট আসন্ন মান। (পরীক্ষায় সাধারণত ২২ সেমি গ্রহণ করা হয়)।

12. ΔABC-তে, DE ∥ BC যেখানে AD = ৩ সেমি, DB = ৬ সেমি, AE = ২ সেমি। তাহলে EC হল
    A. ৩ সেমি
    B. ৪ সেমি
    C. ৫ সেমি
    D. ৬ সেমি

AnswerCorrect: Option B. মৌলিক আনুপাতিকতা দ্বারা: ৩/৬ = ২/EC ⇒ EC = ৪ সেমি।

13. ৬ সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল
    A. ৯√৩ সেমি²
    B. ১৮√৩ সেমি²
    C. ২৪ সেমি²
    D. ৩৬ সেমি²

AnswerCorrect: Option A. (√৩/৪)a² = (√৩/৪)×৩৬ = ৯√৩ সেমি²।

14. ১ মি ব্যাসার্ধ এবং ২ মি উচ্চতার একটি নলাকার ট্যাংক ধারণ করতে পারে (π = ৩.১৪)
    A. ৬.২৮ লি
    B. ৬২৮ লি
    C. ৬২৮০ লি
    D. ৬২৮০০ লি

AnswerCorrect: Option C. আয়তন = ৩.১৪×১²×২ = ৬.২৮ মি³ = ৬২৮০ লি (১ মি³ = ১০০০ লি)।

15. একটি ষড়ভুজে কর্ণের সংখ্যা হল
    A. ৬
    B. ৯
    C. ১২
    D. ১৫

AnswerCorrect: Option B. n(n–৩)/২ = ৬×৩/২ = ৯।

16. একটি ১৪ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত। বর্গক্ষেত্রের ভিতরে কিন্তু বৃত্তের বাইরের ক্ষেত্রফল হল (π = ২২/৭)
    A. ৪২ সেমি²
    B. ৮৪ সেমি²
    C. ১২৬ সেমি²
    D. ১৫৪ সেমি²

AnswerCorrect: Option B. বর্গক্ষেত্র = ১৯৬ সেমি², বৃত্ত = ১৫৪ সেমি², পার্থক্য = ৪২ সেমি²। (বিকল্প A হল ৪২ সেমি², তাই সঠিক হল A।)

17. একটি চতুর্ভুজের কোণগুলি ২:৩:৪:৫ অনুপাতে আছে। বৃহত্তম কোণটি হল
    A. ১২০°
    B. ১৩৫°
    C. ১৫০°
    D. ১৬০°

AnswerCorrect: Option C. সমষ্টি = ৩৬০°; ৫x = ৫/১৪×৩৬০ = ১৫০°।

18. ৭০ সেমি ব্যাসের একটি ট্রেনের চাকা ২০০ বার ঘোরে। অতিক্রান্ত দূরত্ব হল
    A. ২২০ মি
    B. ৪৪০ মি
    C. ৮৮০ মি
    D. ১৭৬০ মি

AnswerCorrect: Option B. পরিধি = πd = ২.২ মি; দূরত্ব = ২০০×২.২ = ৪৪০ মি।

19. একটি সমকোণী ত্রিভুজে, একটি কোণ ৩৪°। অপর সূক্ষ্মকোণটি হল
    A. ৫৬°
    B. ৬৬°
    C. ৯০°
    D. ১৪৬°

AnswerCorrect: Option A. ৯০ – ৩৪ = ৫৬°।

20. একটি সামান্তরিকের বাহু ১০ সেমি এবং ৬ সেমি এবং একটি কর্ণ ৮ সেমি। এর ক্ষেত্রফল হল
    A. ২৪ সেমি²
    B. ৩০ সেমি²
    C. ৪৮ সেমি²
    D. ৬০ সেমি²

AnswerCorrect: Option C. ১০,৬,৮ বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজে হেরনের সূত্র ব্যবহার করুন ⇒ s=১২, ক্ষেত্রফল = √(১২×৪×৬×২)=√৫৭৬=২৪ সেমি²; সামান্তরিক = ২×২৪ = ৪৮ সেমি²।

21. একটি শঙ্কুর উচ্চতা ২৪ সেমি এবং তির্যক উচ্চতা ২৫ সেমি। এর আয়তন হল (π = ২২/৭)
    A. ১২৩২ সেমি³
    B. ১৮৪৮ সেমি³
    C. ২৪৬৪ সেমি³
    D. ৩০৮০ সেমি³

AnswerCorrect: Option A. r = √(২৫²–২৪²)=৭ সেমি; V = ⅓πr²h = ⅓×২২/৭×৪৯×২৪ = ১২৩২ সেমি³।

22. ৩ সেমি ব্যাসার্ধের একটি গোলক গলিয়ে ১ সেমি ব্যাসার্ধের একটি সিলিন্ডারে পুনর্গঠন করা হয়। সিলিন্ডারের উচ্চতা হল
    A. ১২ সেমি
    B. ২৪ সেমি
    C. ৩৬ সেমি
    D. ৪৮ সেমি

AnswerCorrect: Option C. আয়তন সমান করুন: ৪/৩π×৩³ = π×১²×h ⇒ h = ৩৬ সেমি।

23. একটি জ্যা দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ১১০°। পরিধিতে উৎপন্ন কোণটি হল
    A. ৫৫°
    B. ১১০°
    C. ২২০°
    D. ১২৫°

AnswerCorrect: Option A. পরিধিস্থ কোণ = ½ × ১১০° = ৫৫°।

24. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু ৮ সেমি এবং ১৪ সেমি এবং উচ্চতা ৫ সেমি। এর ক্ষেত্রফল হল
    A. ৫৫ সেমি²
    B. ৬০ সেমি²
    C. ৬৫ সেমি²
    D. ৭০ সেমি²

AnswerCorrect: Option A. ½(৮+১৪)×৫ = ৫৫ সেমি²।

25. একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য ৭ সেমি। ৩০ মিনিটে অতিক্রান্ত ক্ষেত্রফল হল (π = ২২/৭)
    A. ৭৭ সেমি²
    B. ১৫৪ সেমি²
    C. ২৩১ সেমি²
    D. ৩০৮ সেমি²

AnswerCorrect: Option A. ৩০ মিনিট = অর্ধ-বৃত্ত, ক্ষেত্রফল = ½πr² = ½×২২/৭×৪৯ = ৭৭ সেমি²।

দ্রুত শর্টকাট এবং টিপস

1. ৩-৪-৫ পরিবার: যেকোনো গুণিতক (৬-৮-১০, ৯-১২-১৫…) হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ—বর্গমূল নেওয়ার প্রয়োজন নেই।
2. π আসন্ন মান: ২২/৭ ১% ত্রুটি দেয়; দ্রুত গুণের জন্য, π ≈ ৩.১ এবং যদি বিকল্পগুলি কাছাকাছি হয় তবে ১% অতিরিক্ত যোগ করুন।
3. কোণ খোঁজা: যখনই সমান্তরাল রেখা দেখা যায়, একবারে সমস্ত অনুরূপ/একান্তর কোণ সমান চিহ্নিত করুন—পুনরায় পড়ার সময় বাঁচায়।
4. প্রতিসাম্য দ্বারা ক্ষেত্রফল: রম্বস/ঘুড়ির ক্ষেত্রফল = ½ d₁ d₂; মনে রাখবেন কর্ণগুলি পরস্পর লম্ব তাই আপনি চারটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করতে পারেন।
5. ঘূর্ণন থেকে দূরত্ব: দূরত্ব = ঘূর্ণনের সংখ্যা × π × ব্যাস—শেষে সেমি → মি রূপান্তর করতে ভুলবেন না।
6. শঙ্কু এবং গোলকের আয়তনের অনুপাত: শঙ্কু হল সিলিন্ডারের ⅓; গোলক হল ৪/৩ πr³—দ্রুত গুণনীয়ক অনুমান করতে ৪, ৩, ২ (অর্ধগোলকের জন্য) মনে রাখুন।
7. ঘড়ির কাঁটা: মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে ৩৬০° অতিক্রম করে → প্রতি মিনিটে ৬°; ঘন্টার কাঁটা প্রতি মিনিটে ০.৫°; আপেক্ষিক গতি ৫.৫°/মিনিট—কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের প্রশ্নের জন্য দরকারী।
8. অযৌক্তিক একক বাদ দিন: ক্ষেত্রফল কখনই সেমিতে হতে পারে না, আয়তন কখনই সেমি²-এ হতে পারে না—বিকল্পগুলিতে একক অসঙ্গতি চিহ্নিত করে ১-২টি পছন্দ তাত্ক্ষণিকভাবে বাতিল করুন।

একটি সূত্রের পাম-কার্ড রাখুন: একপাশে ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা, অন্যপাশে আয়তন; পরীক্ষার আগে ৩০-সেকেন্ডের দৃষ্টিনিক্ষেপ দৃশ্য স্মৃতি স্থাপন করে।