ଦ୍ରୁତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ସମୀକ୍ଷା

ରେଳବାଇ ପରୀକ୍ଷାରେ ଜ୍ୟାମିତି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଞ୍ଚଟି ମୂଳ ଧାରଣା ଉପରେ ଗଠିତ: କୋଣ, ତ୍ରିଭୁଜ, ଚତୁର୍ଭୁଜ, ବୃତ୍ତ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ।

• ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଥିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ 180°, ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଚାରିପାଖରେ 360° ହୁଏ; ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ରେଖା ସମାନ୍ତର ହୁଏ, ଏକ ଛେଦକ ସମାନ ସଂଗତ କୋଣ ଏବଂ ଅନୁପୂରକ ଅନ୍ତଃସଂଲଗ୍ନ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ।
• ତ୍ରିଭୁଜ ସତ୍ୟ: ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ = 180°; ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = ବିପରୀତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ; ପାଇଥାଗୋରାସ (a² + b² = c²) ପ୍ରାୟ ପ୍ରତିବର୍ଷ ପରୀକ୍ଷା କରାଯାଏ; ସର୍ବସମତା ନିୟମ (SSS/SAS/ASA/RHS) ଏବଂ ସଦୃଶତା (AAA) ଅନୁପାତୀ ବାହୁ ସ୍ଥାପନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।
• ବିଶେଷ ତ୍ରିଭୁଜ—45°-45°-90° ବାହୁ 1:1:√2 ଏବଂ 30°-60°-90° ବାହୁ 1:√3:2—ଗଣନା ସମୟ ବଞ୍ଚାଏ।
• ଚତୁର୍ଭୁଜ: ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ/କୋଣ ସମାନ, କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ; ରମ୍ବସର କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ; ଆୟତର କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ; ବର୍ଗ ଏହି ସମସ୍ତ ଗୁଣକୁ ମିଶାଇଥାଏ।
• ବୃତ୍ତ: କେନ୍ଦ୍ରରେ କୋଣ = ଏକା ଚାପ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ପରିଧିରେ କୋଣର 2 ଗୁଣ; ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତରେ କୋଣ = 90°; ଏକ ବାହ୍ୟ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ସ୍ପର୍ଶକଗୁଡ଼ିକ ସମାନ; ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ⟂ ସ୍ପର୍ଶକ।
• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ଆୟତ l×b, ତ୍ରିଭୁଜ ½bh, ବୃତ୍ତ πr², ଟ୍ରାପିଜିୟମ ½(a+b)h) ଏବଂ ଆୟତନ (ସିଲିଣ୍ଡର πr²h, ଶଙ୍କୁ ⅓πr²h, ଗୋଲକ 4/3πr³) 1-ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନରେ ବାରମ୍ବାର ପଚରାଯାଏ। ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ମନେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ଦୀର୍ଘ ଗଣନା ଏଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ସମମିତି କିମ୍ବା “କାଟି ଏବଂ ଲଗାଇବା” କୌଶଳ ଖୋଜନ୍ତୁ।

ଅଭ୍ୟାସ ସେଟ – 25 ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ

1. ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣ 42° ଏବଂ 68° ଅଟେ। ତୃତୀୟ କୋଣଟି ହେଉଛି
   A. 50°
   B. 60°
   C. 70°
   D. 80°

AnswerCorrect: Option C. ଯୋଗଫଳ = 180° ⇒ 180 – 42 – 68 = 70°.

2. ଯଦି ଏକ ବର୍ଗର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ 10% ବୃଦ୍ଧି ପାଏ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ
   A. 10%
   B. 21%
   C. 25%
   D. 30%

AnswerCorrect: Option B. ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (1.1)² = 1.21 ⇒ 21% ବୃଦ୍ଧି.

3. 9 cm × 12 cm ଆୟତର କର୍ଣ୍ଣ ହେଉଛି
   A. 10 cm
   B. 12 cm
   C. 13 cm
   D. 15 cm

AnswerCorrect: Option D. √(9²+12²)=√225=15 cm.

4. ଏକ ରମ୍ବସରେ, ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ 8 cm ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି 6 cm ଅଟେ। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି
   A. 12 cm²
   B. 24 cm²
   C. 36 cm²
   D. 48 cm²

AnswerCorrect: Option B. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 8 × 6 = 24 cm².

5. ଏକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 cm ଅଟେ। ଆନୁମାନିକ ପରିଧି ହେଉଛି (π = 22/7)
   A. 22 cm
   B. 44 cm
   C. 66 cm
   D. 88 cm

AnswerCorrect: Option B. 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.

6. 15 cm ଏବଂ 20 cm ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଅଧିକରଣ ହେଉଛି
   A. 23 cm
   B. 24 cm
   C. 25 cm
   D. 26 cm

AnswerCorrect: Option C. √(15²+20²)=√625=25 cm.

7. ଏକ କୋଣ ଏହାର ପୂରକ କୋଣଠାରୁ 30° ଅଧିକ ଅଟେ। କୋଣଟି ହେଉଛି
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 75°

AnswerCorrect: Option C. x + (x – 30) = 90 ⇒ x = 60°.

8. 12-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି
   A. 180°
   B. 360°
   C. 720°
   D. 1800°

AnswerCorrect: Option B. ଯେକୌଣସି ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା 360° ଅଟେ।

9. 5 m ଲମ୍ବା ଏକ ମେଢ଼ି 4 m ଉଚ୍ଚତା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପହଞ୍ଚେ। ମେଢ଼ିର ପାଦଦଣ୍ଡ କାନ୍ଥରୁ କେତେ ଦୂରରେ ଅଛି?
   A. 2 m
   B. 3 m
   C. 4 m
   D. 5 m

AnswerCorrect: Option B. √(5²–4²)=√9=3 m.

10. 14 cm ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି (π = 22/7)
    A. 77 cm²
    B. 154 cm²
    C. 308 cm²
    D. 616 cm²

AnswerCorrect: Option A. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = 7 cm, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 22/7 × 7² = 77 cm².

11. ଦୁଇଟି ସମକେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 cm ଏବଂ 12 cm ଅଟେ। ବୃହତ୍ତର ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା, ଯାହା କ୍ଷୁଦ୍ରତର ବୃତ୍ତକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରେ, ତାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି
    A. 10 cm
    B. 12 cm
    C. 16 cm
    D. 22 cm

AnswerCorrect: Option C. ଅର୍ଦ୍ଧ-ଜ୍ୟା = √(12²–5²)=√119≈10.9, ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଜ୍ୟା ≈ 21.8 ≈ 22 cm (ନିକଟତମ ବିକଳ୍ପ)। ସଠିକ୍: 2√119 ≈ 21.8 cm, କିନ୍ତୁ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ 22 cm ନିକଟତମ। ତଥାପି, ସଠିକ୍ ଗଣନା ଦେଇଥାଏ 2√(12²-5²)=2√119≈21.9 cm; କୌଣସି ବିକଳ୍ପ ସଠିକ୍ ମେଳ ଖାଉନାହିଁ, କିନ୍ତୁ 22 cm ହେଉଛି ଅଭିପ୍ରେତ ଆନୁମାନିକ ମାନ। (ପରୀକ୍ଷାରେ ସାଧାରଣତଃ 22 cm ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ)।

12. ΔABC ରେ, DE ∥ BC ଯେଉଁଠାରେ AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 2 cm। ତେବେ EC ହେଉଛି
    A. 3 cm
    B. 4 cm
    C. 5 cm
    D. 6 cm

AnswerCorrect: Option B. ମୌଳିକ ଅନୁପାତିକତା ଅନୁସାରେ: 3/6 = 2/EC ⇒ EC = 4 cm.

13. 6 cm ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି
    A. 9√3 cm²
    B. 18√3 cm²
    C. 24 cm²
    D. 36 cm²

AnswerCorrect: Option A. (√3/4)a² = (√3/4)×36 = 9√3 cm².

14. 1 m ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ 2 m ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବେଲନାକାର ଟ୍ୟାଙ୍କି ଧାରଣ କରିପାରେ (π = 3.14)
    A. 6.28 L
    B. 628 L
    C. 6280 L
    D. 62800 L

AnswerCorrect: Option C. ଆୟତନ = 3.14×1²×2 = 6.28 m³ = 6280 L (1 m³ = 1000 L).

15. ଏକ ଷଡ୍ଭୁଜରେ କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    A. 6
    B. 9
    C. 12
    D. 15

AnswerCorrect: Option B. n(n–3)/2 = 6×3/2 = 9.

16. 14 cm ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହୋଇଛି। ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ କିନ୍ତୁ ବୃତ୍ତ ବାହାରେ ଥିବା ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି (π = 22/7)
    A. 42 cm²
    B. 84 cm²
    C. 126 cm²
    D. 154 cm²

AnswerCorrect: Option B. ବର୍ଗ = 196 cm², ବୃତ୍ତ = 154 cm², ପାର୍ଥକ୍ୟ = 42 cm². (ବିକଳ୍ପ A 42 cm², ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର A.)

17. ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ଅନୁପାତ 2:3:4:5 ଅଟେ। ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ କୋଣ ହେଉଛି
    A. 120°
    B. 135°
    C. 150°
    D. 160°

AnswerCorrect: Option C. ଯୋଗଫଳ = 360°; 5x = 5/14×360 = 150°.

18. 70 cm ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଚକ 200 ପରିକ୍ରମଣ କରେ। ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା ହେଉଛି
    A. 220 m
    B. 440 m
    C. 880 m
    D. 1760 m

AnswerCorrect: Option B. ପରିଧି = πd = 2.2 m; ଦୂରତା = 200×2.2 = 440 m.

19. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ, ଗୋଟିଏ କୋଣ 34° ଅଟେ। ଅନ୍ୟ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଟି ହେଉଛି
    A. 56°
    B. 66°
    C. 90°
    D. 146°

AnswerCorrect: Option A. 90 – 34 = 56°.

20. ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବାହୁ 10 cm ଏବଂ 6 cm ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ 8 cm ଅଟେ। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି
    A. 24 cm²
    B. 30 cm²
    C. 48 cm²
    D. 60 cm²

AnswerCorrect: Option C. 10,6,8 ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ପାଇଁ ହେରୋନ୍ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ⇒ s=12, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √(12×4×6×2)=√576=24 cm²; ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର = 2×24 = 48 cm².

21. ଏକ ଶଙ୍କୁର ଉଚ୍ଚତା 24 cm ଏବଂ ତିର୍ଯ୍ୟକ୍ ଉଚ୍ଚତା 25 cm ଅଟେ। ଏହାର ଆୟତନ ହେଉଛି (π = 22/7)
    A. 1232 cm³
    B. 1848 cm³
    C. 2464 cm³
    D. 3080 cm³

AnswerCorrect: Option A. r = √(25²–24²)=7 cm; V = ⅓πr²h = ⅓×22/7×49×24 = 1232 cm³.

22. 3 cm ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଗୋଲକକୁ ତରଳାଇ 1 cm ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡରରେ ପୁନଃନିର୍ମାଣ କରାଯାଏ। ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା ହେଉଛି
    A. 12 cm
    B. 24 cm
    C. 36 cm
    D. 48 cm

AnswerCorrect: Option C. ଆୟତନ ସମାନ କରନ୍ତୁ: 4/3π×3³ = π×1²×h ⇒ h = 36 cm.

23. କେନ୍ଦ୍ରରେ ଏକ ଜ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ 110° ଅଟେ। ପରିଧିରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ହେଉଛି
    A. 55°
    B. 110°
    C. 220°
    D. 125°

AnswerCorrect: Option A. ପରିଧିରେ କୋଣ = ½ × 110° = 55°.

24. ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମର ସମାନ୍ତର ବାହୁ 8 cm ଏବଂ 14 cm ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 5 cm ଅଟେ। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି
    A. 55 cm²
    B. 60 cm²
    C. 65 cm²
    D. 70 cm²

AnswerCorrect: Option A. ½(8+14)×5 = 55 cm².

25. ଏକ ଘଣ୍ଟାର ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟା 7 cm ଲମ୍ବା ଅଟେ। 30 ମିନିଟ୍ରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି (π = 22/7)
    A. 77 cm²
    B. 154 cm²
    C. 231 cm²
    D. 308 cm²

AnswerCorrect: Option A. 30 ମିନିଟ୍ = ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½πr² = ½×22/7×49 = 77 cm².

ଦ୍ରୁତ ସରଳ ପଦ୍ଧତି ଏବଂ ଟିପ୍ସ

1. 3-4-5 ପରିବାର: ଯେକୌଣସି ଗୁଣିତକ (6-8-10, 9-12-15…) ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ—ବର୍ଗମୂଳ ନେବାର ଆବଶ୍ୟକତା ନାହିଁ।
2. π ଆନୁମାନିକ ମାନ: 22/7 1% ତ୍ରୁଟି ଦେଇଥାଏ; ଦ୍ରୁତ ଗୁଣନ ପାଇଁ, π ≈ 3.1 ଏବଂ ଯଦି ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ହୁଏ ତେବେ 1% ଅତିରିକ୍ତ ଯୋଡ଼ନ୍ତୁ।
3. କୋଣ ଖୋଜା: ଯେତେବେଳେ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଦେଖାଯାଏ, ସମସ୍ତ ସଂଗତ/ଏକାନ୍ତର କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ଏକସାଙ୍ଗରେ ସମାନ ଚିହ୍ନିତ କରନ୍ତୁ—ପୁନର୍ବାର ପଢ଼ିବା ସମୟ ବଞ୍ଚାଏ।
4. ସମମିତି ଦ୍ୱାରା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ: ରମ୍ବସ/ଘୁଡ଼ାଶୀଳା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ d₁ d₂; ମନେରଖନ୍ତୁ କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ତେଣୁ ଆପଣ ଏହାକୁ ଚାରୋଟି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରିପାରିବେ।
5. ପରିକ୍ରମଣରୁ ଦୂରତା: ଦୂରତା = ପରିକ୍ରମଣ ସଂଖ୍ୟା × π × ବ୍ୟାସ—ଶେଷରେ cm → m ରୂପାନ୍ତର କରିବା ଭୁଲିବେ ନାହିଁ।
6. ଶଙ୍କୁ ଏବଂ ଗୋଲକ ଆୟତନ ଅନୁପାତ: ଶଙ୍କୁ ସିଲିଣ୍ଡରର ⅓ ଅଟେ; ଗୋଲକ 4/3 πr³—ଦ୍ରୁତ ଭାବରେ ଗୁଣନୀୟକ ଅନୁମାନ କରିବା ପାଇଁ 4, 3, 2 (ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକ ପାଇଁ) ମନେ ରଖନ୍ତୁ।
7. ଘଣ୍ଟାର କଣ୍ଟା: ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟା 60 ମିନିଟ୍ରେ 360° ଅତିକ୍ରମ କରେ → ପ୍ରତି ମିନିଟରେ 6°; ଘଣ୍ଟା କଣ୍ଟା ପ୍ରତି ମିନିଟରେ 0.5°; ଆପେକ୍ଷିକ ଗତି 5.5°/ମିନିଟ୍—କଣ୍ଟା ମଧ୍ୟରେ କୋଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଉପଯୋଗୀ।
8. ଅସଙ୍ଗତ ଏକକ ବାଦ ଦିଅନ୍ତୁ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେବେହେଲେ cm ରେ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ଆୟତନ କେବେହେଲେ cm² ରେ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ—ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରେ ଏକକ ଅସଙ୍ଗତି ଚିହ୍ନଟ କରି 1-2 ବିକଳ୍ପ ତ୍ୟାଗ କରନ୍ତୁ।

ଏକ ସୂତ୍ର ହସ୍ତପତ୍ର ରଖନ୍ତୁ: ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ପରିସୀମା, ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଆୟତନ; ପରୀକ୍ଷା ପୂର୍ବରୁ 30-ସେକେଣ୍ଡ ଦୃଷ୍ଟିପାତ ଦୃଶ୍ୟ ସ୍ମୃତି ସ୍ଥାପନ କରେ।