দ্ৰুত তত্ত্ব পুনৰালোচনা

ৰেলৱে পৰীক্ষাৰ জ্যামিতি প্ৰশ্নসমূহ পাঁচটা মূল ধাৰণাৰ ওপৰত গঢ় লৈ উঠে: কোণ, ত্ৰিভুজ, চতুৰ্ভুজ, বৃত্ত আৰু পৰিমিতি।

• এডাল সৰল ৰেখাত থকা কোণবোৰৰ যোগফল ১৮০°, এটা বিন্দুৰ চাৰিওফালে ৩৬০°; যেতিয়া দুডাল ৰেখা সমান্তৰাল হয়, এডাল ছেদকৰ দ্বাৰা সমান অনুৰূপ কোণ আৰু সম্পূৰক অন্তঃস্থ মিত্ৰ কোণ সৃষ্টি হয়।
• ত্ৰিভুজৰ তথ্য: অন্তঃস্থ কোণবোৰৰ যোগফল = ১৮০°; বহিঃস্থ কোণ = বিপৰীত অন্তঃস্থ কোণবোৰৰ যোগফল; পাইথাগোৰাছ (a² + b² = c²) প্ৰায় প্ৰতিবছৰে পৰীক্ষা কৰা হয়; সৰ্বসমতা নিয়ম (SSS/SAS/ASA/RHS) আৰু সদৃশতা (AAA) আনুপাতিক বাহু স্থাপন কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
• বিশেষ ত্ৰিভুজ—৪৫°-৪৫°-৯০° বাহু ১:১:√২ আৰু ৩০°-৬০°-৯০° বাহু ১:√৩:২—গণনাৰ সময় বচায়।
• চতুৰ্ভুজ: সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু/কোণ সমান, কৰ্ণবোৰ পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে; ৰম্বাছৰ কৰ্ণবোৰ পৰস্পৰ লম্ব; আয়তৰ কৰ্ণবোৰ সমান; বৰ্গই সকলো একত্ৰিত কৰে।
• বৃত্ত: কেন্দ্ৰস্থ কোণ = একেটা চাপে আগবঢ়োৱা পৰিধিৰ কোণৰ ২ গুণ; অৰ্ধবৃত্তৰ কোণ = ৯০°; বাহ্যিক বিন্দুৰ পৰা অঁকা স্পৰ্শকবোৰ সমান; ব্যাসাৰ্ধ ⟂ স্পৰ্শক।
• পৰিমিতি: কালি (আয়ত l×b, ত্ৰিভুজ ½bh, বৃত্ত πr², ট্ৰেপিজিয়াম ½(a+b)h) আৰু আয়তন (চিলিণ্ডাৰ πr²h, শংকু ⅓πr²h, গোলক 4/3πr³) প্ৰায়ে ১-মানৰ সমস্যাত সোধা হয়। সূত্ৰবোৰ মুখস্থ কৰক আৰু দীঘলীয়া গণনাৰ পৰা বাচি থাকিবলৈ সমমিতি বা “কাটি আৰু লগোৱা” কৌশল বিচাৰক।

অনুশীলন সংহতি – ২৫টা MCQ

1. এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা কোণ ৪২° আৰু ৬৮°। তৃতীয় কোণটো হ’ব
   A. ৫০°
   B. ৬০°
   C. ৭০°
   D. ৮০°

AnswerCorrect: Option C. যোগফল = ১৮০° ⇒ ১৮০ – ৪২ – ৬৮ = ৭০°।

2. যদি বৰ্গৰ প্ৰতিটো বাহু ১০% বৃদ্ধি কৰা হয়, ইয়াৰ কালি বৃদ্ধি হয়
   A. ১০%
   B. ২১%
   C. ২৫%
   D. ৩০%

AnswerCorrect: Option B. নতুন কালি = (১.১)² = ১.২১ ⇒ ২১% বৃদ্ধি।

3. ৯ চে.মি. × ১২ চে.মি. আয়তৰ কৰ্ণটো হ’ব
   A. ১০ চে.মি.
   B. ১২ চে.মি.
   C. ১৩ চে.মি.
   D. ১৫ চে.মি.

AnswerCorrect: Option D. √(৯²+১২²)=√২২৫=১৫ চে.মি.।

4. ৰম্বাছ এটাত, এটা কৰ্ণ ৮ চে.মি. আৰু আনটো ৬ চে.মি.। ইয়াৰ কালি হ’ব
   A. ১২ চে.মি.²
   B. ২৪ চে.মি.²
   C. ৩৬ চে.মি.²
   D. ৪৮ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option B. কালি = ½ × ৮ × ৬ = ২৪ চে.মি.²।

5. বৃত্ত এটাৰ ব্যাসাৰ্ধ ৭ চে.মি.। পৰিধিৰ আনুমানিক মান (π = ২২/৭)
   A. ২২ চে.মি.
   B. ৪৪ চে.মি.
   C. ৬৬ চে.মি.
   D. ৮৮ চে.মি.

AnswerCorrect: Option B. ২πr = ২ × ২২/৭ × ৭ = ৪৪ চে.মি.।

6. সমকোণী ত্ৰিভুজ এটাৰ ভূমি ১৫ চে.মি. আৰু লম্ব ২০ চে.মি. হ’লে অতিভুজটো হ’ব
   A. ২৩ চে.মি.
   B. ২৪ চে.মি.
   C. ২৫ চে.মি.
   D. ২৬ চে.মি.

AnswerCorrect: Option C. √(১৫²+২০²)=√৬২৫=২৫ চে.মি.।

7. এটা কোণ ইয়াৰ সম্পূৰক কোণতকৈ ৩০° বেছি। কোণটো হ’ব
   A. ৩০°
   B. ৪৫°
   C. ৬০°
   D. ৭৫°

AnswerCorrect: Option C. x + (x – ৩০) = ৯০ ⇒ x = ৬০°।

8. ১২-বাহু বিশিষ্ট বহুভুজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণবোৰৰ যোগফল হ’ব
   A. ১৮০°
   B. ৩৬০°
   C. ৭২০°
   D. ১৮০০°

AnswerCorrect: Option B. উত্তল বহুভুজৰ বাবে বহিঃস্থ কোণবোৰৰ যোগফল সদায় ৩৬০°।

9. ৫ মি. দীঘল মইদুৰ এটা ৪ মি. ওখ ঠাইত উপনীত হয়। ইয়াৰ ভৰি দুখন দেৱালৰ পৰা কিমান দূৰত?
   A. ২ মি.
   B. ৩ মি.
   C. ৪ মি.
   D. ৫ মি.

AnswerCorrect: Option B. √(৫²–৪²)=√৯=৩ মি.।

10. ১৪ চে.মি. ব্যাসৰ অৰ্ধবৃত্তৰ কালি (π = ২২/৭)
    A. ৭৭ চে.মি.²
    B. ১৫৪ চে.মি.²
    C. ৩০৮ চে.মি.²
    D. ৬১৬ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option A. ব্যাসাৰ্ধ = ৭ চে.মি., কালি = ½ × ২২/৭ × ৭² = ৭৭ চে.মি.²।

11. দুটা এককেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ৫ চে.মি. আৰু ১২ চে.মি.। ডাঙৰ বৃত্তটোৰ এডাল জ্যাই সৰু বৃত্তটোক স্পৰ্শ কৰিলে জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ব
    A. ১০ চে.মি.
    B. ১২ চে.মি.
    C. ১৬ চে.মি.
    D. ২২ চে.মি.

AnswerCorrect: Option C. জ্যাডালৰ আধা = √(১২²–৫²)=√১১৯≈১০.৯, সম্পূৰ্ণ জ্যা ≈ ২১.৮ ≈ ২২ চে.মি. (সৰ্বনিকটৱৰ্তী বিকল্প)। সঠিক: ২√১১৯ ≈ ২১.৮ চে.মি., কিন্তু দিয়া বিকল্পবোৰৰ ভিতৰত ২২ চে.মি. সৰ্বনিকটৱৰ্তী। অৱশ্যে, সঠিক গণনাই ২√(১২²-৫²)=২√১১৯≈২১.৯ চে.মি. দিয়ে; কোনোৱেই সঠিকভাৱে নিমিলে, কিন্তু ২২ চে.মি. হৈছে উদ্দেশ্যৰ আনুমানিক মান। (পৰীক্ষাত সাধাৰণতে ২২ চে.মি. গ্ৰহণ কৰা হয়)।

12. ΔABC ত, DE ∥ BC, AD = ৩ চে.মি., DB = ৬ চে.মি., AE = ২ চে.মি.। তেতিয়া EC হ’ব
    A. ৩ চে.মি.
    B. ৪ চে.মি.
    C. ৫ চে.মি.
    D. ৬ চে.মি.

AnswerCorrect: Option B. মৌলিক আনুপাতিকতাৰ নিয়ম মতে: ৩/৬ = ২/EC ⇒ EC = ৪ চে.মি.।

13. ৬ চে.মি. বাহুৰ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কালি হ’ব
    A. ৯√৩ চে.মি.²
    B. ১৮√৩ চে.মি.²
    C. ২৪ চে.মি.²
    D. ৩৬ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option A. (√৩/৪)a² = (√৩/৪)×৩৬ = ৯√৩ চে.মি.²।

14. ১ মি. ব্যাসাৰ্ধ আৰু ২ মি. উচ্চতাৰ চিলিণ্ডাৰ আকৃতিৰ টেংকী এটাই ধৰিব পাৰে (π = ৩.১৪)
    A. ৬.২৮ লি.
    B. ৬২৮ লি.
    C. ৬২৮০ লি.
    D. ৬২৮০০ লি.

AnswerCorrect: Option C. আয়তন = ৩.১৪×১²×২ = ৬.২৮ মি.³ = ৬২৮০ লি. (১ মি.³ = ১০০০ লি.)।

15. ষড়ভুজ এটাত কৰ্ণৰ সংখ্যা হ’ব
    A. ৬
    B. ৯
    C. ১২
    D. ১৫

AnswerCorrect: Option B. n(n–৩)/২ = ৬×৩/২ = ৯।

16. ১৪ চে.মি. বাহুৰ বৰ্গ এটাত বৃত্ত এটা অন্তৰ্লিখিত কৰা হৈছে। বৰ্গটোৰ ভিতৰত কিন্তু বৃত্তটোৰ বাহিৰত থকা অংশৰ কালি (π = ২২/৭)
    A. ৪২ চে.মি.²
    B. ৮৪ চে.মি.²
    C. ১২৬ চে.মি.²
    D. ১৫৪ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option B. বৰ্গ = ১৯৬ চে.মি.², বৃত্ত = ১৫৪ চে.মি.², পাৰ্থক্য = ৪২ চে.মি.²। (বিকল্প A হৈছে ৪২ চে.মি.², গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ A।)

17. চতুৰ্ভুজ এটাৰ কোণবোৰৰ অনুপাত ২:৩:৪:৫। সৰ্ববৃহৎ কোণটো হ’ব
    A. ১২০°
    B. ১৩৫°
    C. ১৫০°
    D. ১৬০°

AnswerCorrect: Option C. যোগফল = ৩৬০°; ৫x = ৫/১৪×৩৬০ = ১৫০°।

18. ৭০ চে.মি. ব্যাসৰ ৰেলৰ চক্ৰ এটাই ২০০ পৰিক্ৰমণ কৰে। অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব হ’ব
    A. ২২০ মি.
    B. ৪৪০ মি.
    C. ৮৮০ মি.
    D. ১৭৬০ মি.

AnswerCorrect: Option B. পৰিধি = πd = ২.২ মি.; দূৰত্ব = ২০০×২.২ = ৪৪০ মি.।

19. সমকোণী ত্ৰিভুজ এটাত, এটা কোণ ৩৪°। আনটো সূক্ষ্মকোণ হ’ব
    A. ৫৬°
    B. ৬৬°
    C. ৯০°
    D. ১৪৬°

AnswerCorrect: Option A. ৯০ – ৩৪ = ৫৬°।

20. সামান্তৰিক এটাৰ বাহু ১০ চে.মি. আৰু ৬ চে.মি. আৰু এটা কৰ্ণ ৮ চে.মি.। ইয়াৰ কালি হ’ব
    A. ২৪ চে.মি.²
    B. ৩০ চে.মি.²
    C. ৪৮ চে.মি.²
    D. ৬০ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option C. ১০,৬,৮ বাহুৰ ত্ৰিভুজটোত হেৰ’নৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰক ⇒ s=১২, কালি = √(১২×৪×৬×২)=√৫৭৬=২৪ চে.মি.²; সামান্তৰিক = ২×২৪ = ৪৮ চে.মি.²।

21. শংকু এটাৰ উচ্চতা ২৪ চে.মি. আৰু তিৰ্যক উচ্চতা ২৫ চে.মি.। ইয়াৰ আয়তন (π = ২২/৭)
    A. ১২৩২ চে.মি.³
    B. ১৮৪৮ চে.মি.³
    C. ২৪৬৪ চে.মি.³
    D. ৩০৮০ চে.মি.³

AnswerCorrect: Option A. r = √(২৫²–২৪²)=৭ চে.মি.; V = ⅓πr²h = ⅓×২২/৭×৪৯×২৪ = ১২৩২ চে.মি.³।

22. ৩ চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটা গলাই ১ চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চিলিণ্ডাৰ এটা পুনৰ গঢ় দিয়া হ’ল। চিলিণ্ডাৰটোৰ উচ্চতা হ’ব
    A. ১২ চে.মি.
    B. ২৪ চে.মি.
    C. ৩৬ চে.মি.
    D. ৪৮ চে.মি.

AnswerCorrect: Option C. আয়তন সমান কৰক: ৪/৩π×৩³ = π×১²×h ⇒ h = ৩৬ চে.মি.।

23. কেন্দ্ৰত জ্যাডালে আগবঢ়োৱা কোণ ১১০°। পৰিধিত আগবঢ়োৱা কোণটো হ’ব
    A. ৫৫°
    B. ১১০°
    C. ২২০°
    D. ১২৫°

AnswerCorrect: Option A. পৰিধিৰ কোণ = ½ × ১১০° = ৫৫°।

24. ট্ৰেপিজিয়াম এটাৰ সমান্তৰাল বাহু ৮ চে.মি. আৰু ১৪ চে.মি. আৰু উচ্চতা ৫ চে.মি.। ইয়াৰ কালি হ’ব
    A. ৫৫ চে.মি.²
    B. ৬০ চে.মি.²
    C. ৬৫ চে.মি.²
    D. ৭০ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option A. ½(৮+১৪)×৫ = ৫৫ চে.মি.²।

25. ঘড়ীৰ মিনিট কাঁটাডাল ৭ চে.মি. দীঘল। ৩০ মিনিটত ইয়াৰ দ্বাৰা বেষ্টিত কালি (π = ২২/৭)
    A. ৭৭ চে.মি.²
    B. ১৫৪ চে.মি.²
    C. ২৩১ চে.মি.²
    D. ৩০৮ চে.মি.²

AnswerCorrect: Option A. ৩০ মিনিট = অৰ্ধবৃত্ত, কালি = ½πr² = ½×২২/৭×৪৯ = ৭৭ চে.মি.²।

দ্ৰুত শৰ্টকাট আৰু টিপছ

1. ৩-৪-৫ পৰিয়াল: যিকোনো গুণিতক (৬-৮-১০, ৯-১২-১৫…) হৈছে সমকোণী ত্ৰিভুজ—বৰ্গমূল ল’বৰ প্ৰয়োজন নাই।
2. πৰ আনুমানিক মান: ২২/৭ ৱে ১% ত্ৰুটি দিয়ে; দ্ৰুত পূৰণৰ বাবে, π ≈ ৩.১ আৰু যদি বিকল্পবোৰ ওচৰা-উচৰি হয় তেন্তে ১% অতিৰিক্ত যোগ কৰক।
3. কোণৰ সন্ধান: যেতিয়াই সমান্তৰাল ৰেখা ওলায়, সকলো অনুৰূপ/একে পৰ্যায়ৰ কোণ সমান বুলি একেবাৰে চিহ্নিত কৰক—পুনৰ পঢ়াৰ পৰা ৰক্ষা পৰে।
4. সমমিতিৰে কালি: ৰম্বাছ/চিলা চৰাইৰ কালি = ½ d₁ d₂; মনত ৰাখিব যে কৰ্ণবোৰ পৰস্পৰ লম্ব গতিকে ইয়াক চাৰিটা সমকোণী ত্ৰিভুজলৈ ভাগ কৰিব পাৰি।
5. পৰিক্ৰমণৰ পৰা দূৰত্ব: দূৰত্ব = পৰিক্ৰমণৰ সংখ্যা × π × ব্যাস—শেষত চে.মি. → মি. লৈ ৰূপান্তৰ কৰিবলৈ নাপাহৰিব।
6. শংকু আৰু গোলকৰ আয়তনৰ অনুপাত: শংকু হৈছে চিলিণ্ডাৰৰ ⅓; গোলক হৈছে ৪/৩ πr³—অৰ্ধগোলকৰ বাবে ৪, ৩, ২ মনত ৰাখি দ্ৰুতভাৱে উৎপাদক অনুমান কৰিবলৈ।
7. ঘড়ীৰ কাঁটা: মিনিট কাঁটাই ৬০ মিনিটত ৩৬০° বেষ্টন কৰে → প্ৰতি মিনিটত ৬°; ঘণ্টা কাঁটাই প্ৰতি মিনিটত ০.৫°; আপেক্ষিক গতি ৫.৫°/মিনিট—কাঁটা দুটাৰ মাজৰ কোণৰ প্ৰশ্নৰ বাবে উপযোগী।
8. অযৌক্তিক একক বৰ্জন কৰক: কালি কেতিয়াও চে.মি.ত হ’ব নোৱাৰে, আয়তন কেতিয়াও চে.মি.²ত হ’ব নোৱাৰে—বিকল্পবোৰত এককৰ অসামঞ্জস্য চাই ১-২টা বিকল্প তৎক্ষণাৎ বৰ্জন কৰিব পাৰি।

সূত্ৰৰ পাম-কাৰ্ড এখন ৰাখক: এফালে কালি আৰু পৰিসীমা, আনফালে আয়তন; পৰীক্ষাৰ আগতে ৩০ ছেকেণ্ড চকু ফুৰাই দৃশ্য স্মৃতি স্থাপন কৰক।