ઝડપી થિયરી રીકેપ

રેલવે પરીક્ષાઓમાં ભૂમિતિના પ્રશ્નો પાંચ મૂળભૂત વિચારોને લઈને બનાવવામાં આવે છે: કોણ, ત્રિકોણ, ચતુષ્કોણ, વર્તુળ અને મેન્સ્યુરેશન.

• સીધી રેખા પરના કોણોનો સરવાળો 180°, બિંદુની આસપાસ 360°; જ્યારે બે રેખાઓ સમાંતર હોય, ત્યારે એક તિર્યક રેખા સમાન સંગત કોણો અને પૂરક આંતરિક સંલગ્ન કોણો બનાવે છે.
• ત્રિકોણના તથ્યો: આંતરિક કોણોનો સરવાળો = 180°; બાહ્ય કોણ = વિરુદ્ધ આંતરિક કોણોનો સરવાળો; પાયથાગોરસ (a² + b² = c²) લગભગ દર વર્ષે પરીક્ષામાં આવે છે; સર્વાગ્મતાના નિયમો (SSS/SAS/ASA/RHS) અને સમરૂપતા (AAA) પ્રમાણભૂત બાજુઓ સેટ-અપ કરવા માટે વપરાય છે.
• વિશિષ્ટ ત્રિકોણ—45°-45°-90° બાજુઓ 1:1:√2 અને 30°-60°-90° બાજુઓ 1:√3:2—ગણતરીનો સમય બચાવે છે.
• ચતુષ્કોણ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામેની બાજુઓ/કોણો સમાન, કર્ણ એકબીજાને દુભાગે છે; સમચતુર્ભુજના કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે; લંબચોરસના કર્ણ સમાન હોય છે; ચોરસ બધાનું સંયોજન કરે છે.
• વર્તુળ: કેન્દ્ર પરનો કોણ = સમાન ચાપ દ્વારા પરિઘ પર બનતા કોણનો 2 ગણો; અર્ધવર્તુળમાં કોણ = 90°; બાહ્ય બિંદુમાંથી દોરેલ સ્પર્શકો સમાન હોય છે; ત્રિજ્યા ⟂ સ્પર્શક.
• મેન્સ્યુરેશન: ક્ષેત્રફળો (લંબચોરસ l×b, ત્રિકોણ ½bh, વર્તુળ πr², સમલંબ ચતુભુજ ½(a+b)h) અને ઘનફળો (સિલિન્ડર πr²h, શંકુ ⅓πr²h, ગોળો 4/3πr³) વારંવાર 1-માર્કના પ્રશ્નોમાં પૂછવામાં આવે છે. સૂત્રો યાદ રાખો અને લાંબી ગણતરીઓથી બચવા માટે સમપ્રમાણતા અથવા “કાપીને ચોંટાડવાની” યુક્તિઓ શોધો.

પ્રેક્ટિસ સેટ – 25 MCQs

1. ત્રિકોણના બે કોણ 42° અને 68° છે. ત્રીજો કોણ છે
   A. 50°
   B. 60°
   C. 70°
   D. 80°

AnswerCorrect: Option C. સરવાળો = 180° ⇒ 180 – 42 – 68 = 70°.

2. જો ચોરસની દરેક બાજુ 10% વધારવામાં આવે, તો તેનું ક્ષેત્રફળ કેટલા ટકા વધે?
   A. 10%
   B. 21%
   C. 25%
   D. 30%

AnswerCorrect: Option B. નવું ક્ષેત્રફળ = (1.1)² = 1.21 ⇒ 21% વધારો.

3. 9 cm × 12 cm લંબચોરસનો કર્ણ છે
   A. 10 cm
   B. 12 cm
   C. 13 cm
   D. 15 cm

AnswerCorrect: Option D. √(9²+12²)=√225=15 cm.

4. સમચતુર્ભુજમાં, એક કર્ણ 8 cm અને બીજો 6 cm છે. તેનું ક્ષેત્રફળ છે
   A. 12 cm²
   B. 24 cm²
   C. 36 cm²
   D. 48 cm²

AnswerCorrect: Option B. ક્ષેત્રફળ = ½ × 8 × 6 = 24 cm².

5. વર્તુળની ત્રિજ્યા 7 cm છે. અંદાજિત પરિઘ છે (π = 22/7)
   A. 22 cm
   B. 44 cm
   C. 66 cm
   D. 88 cm

AnswerCorrect: Option B. 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.

6. 15 cm અને 20 cm લંબાઈની બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણ છે
   A. 23 cm
   B. 24 cm
   C. 25 cm
   D. 26 cm

AnswerCorrect: Option C. √(15²+20²)=√625=25 cm.

7. એક કોણ તેના પૂરક કોણ કરતાં 30° વધારે છે. તે કોણ છે
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 75°

AnswerCorrect: Option C. x + (x – 30) = 90 ⇒ x = 60°.

8. 12 બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના બાહ્ય કોણોનો સરવાળો છે
   A. 180°
   B. 360°
   C. 720°
   D. 1800°

AnswerCorrect: Option B. કોઈપણ બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય કોણોનો સરવાળો હંમેશા 360° હોય છે.

9. 5 m લાંબી એક સીડી 4 m ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. સીડીનો પાયો દિવાલથી કેટલા અંતરે છે?
   A. 2 m
   B. 3 m
   C. 4 m
   D. 5 m

AnswerCorrect: Option B. √(5²–4²)=√9=3 m.

10. 14 cm વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે (π = 22/7)
    A. 77 cm²
    B. 154 cm²
    C. 308 cm²
    D. 616 cm²

AnswerCorrect: Option A. ત્રિજ્યા = 7 cm, ક્ષેત્રફળ = ½ × 22/7 × 7² = 77 cm².

11. બે સમકેન્દ્રિ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 5 cm અને 12 cm છે. મોટા વર્તુળની એક જીવા, જે નાના વર્તુળને સ્પર્શક છે, તેની લંબાઈ છે
    A. 10 cm
    B. 12 cm
    C. 16 cm
    D. 22 cm

AnswerCorrect: Option C. અર્ધ-જીવા = √(12²–5²)=√119≈10.9, સંપૂર્ણ જીવા ≈ 21.8 ≈ 22 cm (નજીકનો વિકલ્પ). ચોક્કસ: 2√119 ≈ 21.8 cm, પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાંથી 22 cm નજીકનો છે. જો કે, ચોક્કસ ગણતરી 2√(12²-5²)=2√119≈21.9 cm આપે છે; કોઈ પણ બરાબર મેળ ખાતો નથી, પરંતુ 22 cm એ અભિપ્રેત અંદાજ છે. (પરીક્ષામાં સામાન્ય રીતે 22 cm સ્વીકારવામાં આવે છે).

12. ΔABC માં, DE ∥ BC છે, AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 2 cm. તો EC છે
    A. 3 cm
    B. 4 cm
    C. 5 cm
    D. 6 cm

AnswerCorrect: Option B. મૂળ પ્રમાણિકતા દ્વારા: 3/6 = 2/EC ⇒ EC = 4 cm.

13. 6 cm બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે
    A. 9√3 cm²
    B. 18√3 cm²
    C. 24 cm²
    D. 36 cm²

AnswerCorrect: Option A. (√3/4)a² = (√3/4)×36 = 9√3 cm².

14. 1 m ત્રિજ્યા અને 2 m ઊંચાઈ ધરાવતું એક નળાકાર ટાંકી કેટલું પાણી ધરાવી શકે? (π = 3.14)
    A. 6.28 L
    B. 628 L
    C. 6280 L
    D. 62800 L

AnswerCorrect: Option C. ઘનફળ = 3.14×1²×2 = 6.28 m³ = 6280 L (1 m³ = 1000 L).

15. ષટ્કોણમાં કર્ણોની સંખ્યા છે
    A. 6
    B. 9
    C. 12
    D. 15

AnswerCorrect: Option B. n(n–3)/2 = 6×3/2 = 9.

16. 14 cm બાજુ ધરાવતા ચોરસમાં એક વર્તુળ અંકિત છે. ચોરસની અંદર પરંતુ વર્તુળની બહારનું ક્ષેત્રફળ છે (π = 22/7)
    A. 42 cm²
    B. 84 cm²
    C. 126 cm²
    D. 154 cm²

AnswerCorrect: Option B. ચોરસ = 196 cm², વર્તુળ = 154 cm², તફાવત = 42 cm². (વિકલ્પ A 42 cm² છે, તેથી સાચો જવાબ A છે.)

17. ચતુષ્કોણના કોણોનું પ્રમાણ 2:3:4:5 છે. સૌથી મોટો કોણ છે
    A. 120°
    B. 135°
    C. 150°
    D. 160°

AnswerCorrect: Option C. સરવાળો = 360°; 5x = 5/14×360 = 150°.

18. 70 cm વ્યાસ ધરાવતું ટ્રેનનું ચક્ર 200 આંટા ફરે છે. કાપેલું અંતર છે
    A. 220 m
    B. 440 m
    C. 880 m
    D. 1760 m

AnswerCorrect: Option B. પરિઘ = πd = 2.2 m; અંતર = 200×2.2 = 440 m.

19. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, એક કોણ 34° છે. બીજો લઘુકોણ છે
    A. 56°
    B. 66°
    C. 90°
    D. 146°

AnswerCorrect: Option A. 90 – 34 = 56°.

20. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ 10 cm અને 6 cm છે અને એક કર્ણ 8 cm છે. તેનું ક્ષેત્રફળ છે
    A. 24 cm²
    B. 30 cm²
    C. 48 cm²
    D. 60 cm²

AnswerCorrect: Option C. 10,6,8 બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે હેરોનનો ઉપયોગ કરો ⇒ s=12, ક્ષેત્રફળ = √(12×4×6×2)=√576=24 cm²; સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ = 2×24 = 48 cm².

21. એક શંકુની ઊંચાઈ 24 cm અને તિર્યક ઊંચાઈ 25 cm છે. તેનું ઘનફળ છે (π = 22/7)
    A. 1232 cm³
    B. 1848 cm³
    C. 2464 cm³
    D. 3080 cm³

AnswerCorrect: Option A. r = √(25²–24²)=7 cm; V = ⅓πr²h = ⅓×22/7×49×24 = 1232 cm³.

22. 3 cm ત્રિજ્યાનો એક ગોળો ઓગાળીને 1 cm ત્રિજ્યાના નળાકારમાં ફરીથી ઢાળવામાં આવે છે. નળાકારની ઊંચાઈ છે
    A. 12 cm
    B. 24 cm
    C. 36 cm
    D. 48 cm

AnswerCorrect: Option C. ઘનફળ સમાન કરો: 4/3π×3³ = π×1²×h ⇒ h = 36 cm.

23. કેન્દ્ર પર જીવા દ્વારા આંતરેલો કોણ 110° છે. પરિઘ પર આંતરેલો કોણ છે
    A. 55°
    B. 110°
    C. 220°
    D. 125°

AnswerCorrect: Option A. પરિઘ પરનો કોણ = ½ × 110° = 55°.

24. સમલંબ ચતુભુજની સમાંતર બાજુઓ 8 cm અને 14 cm અને ઊંચાઈ 5 cm છે. તેનું ક્ષેત્રફળ છે
    A. 55 cm²
    B. 60 cm²
    C. 65 cm²
    D. 70 cm²

AnswerCorrect: Option A. ½(8+14)×5 = 55 cm².

25. ઘડિયાળની મિનિટની સૂઈ 7 cm લાંબી છે. 30 મિનિટમાં ચીપડાયેલું ક્ષેત્રફળ છે (π = 22/7)
    A. 77 cm²
    B. 154 cm²
    C. 231 cm²
    D. 308 cm²

AnswerCorrect: Option A. 30 મિનિટ = અર્ધવર્તુળ, ક્ષેત્રફળ = ½πr² = ½×22/7×49 = 77 cm².

ઝડપી શૉર્ટકટ્સ અને ટીપ્સ

1. 3-4-5 કુટુંબ: કોઈપણ ગુણાંક (6-8-10, 9-12-15…) એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે—વર્ગમૂળ લેવાની જરૂર નથી.
2. π અંદાજો: 22/7 એ 1% ભૂલ આપે છે; ઝડપી ગુણાકાર માટે, π ≈ 3.1 અને જો વિકલ્પો નજીક હોય તો 1% વધારે ઉમેરો.
3. કોણ શોધ: જ્યારે પણ સમાંતર રેખાઓ દેખાય, ત્યારે એક જ વખતે બધા સંગત/એકાંતર કોણો સમાન ચિહ્નિત કરો—ફરીથી વાંચવાની જરૂર નથી.
4. સમપ્રમાણતા દ્વારા ક્ષેત્રફળ: સમચતુર્ભુજ/પતંગનું ક્ષેત્રફળ = ½ d₁ d₂; યાદ રાખો કે કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે તેથી તમે તેને ચાર કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકો છો.
5. આંટાથી અંતર: અંતર = આંટાઓની સંખ્યા × π × વ્યાસ—અંતે cm → m રૂપાંતર કરવાનું ભૂલશો નહીં.
6. શંકુ અને ગોળાના ઘનફળનું પ્રમાણ: શંકુ એ નળાકારનો ⅓ ભાગ છે; ગોળો 4/3 πr³ છે—ઝડપી ગુણકનો અંદાજ લગાવવા માટે 4, 3, 2 (અર્ધગોળા માટે) ધ્યાનમાં રાખો.
7. ઘડિયાળની સૂઈઓ: મિનિટની સૂઈ 60 મિનિટમાં 360° ચીપડે છે → 6° પ્રતિ મિનિટ; કલાકની સૂઈ 0.5° પ્રતિ મિનિટ; સાપેક્ષ ઝડપ 5.5°/મિનિટ—સૂઈઓ વચ્ચેના કોણના પ્રશ્નો માટે ઉપયોગી.
8. અસંગત એકમો દૂર કરો: ક્ષેત્રફળ ક્યારેય cm માં હોઈ શકે નહીં, ઘનફળ ક્યારેય cm² માં હોઈ શકે નહીં—વિકલ્પોમાં એકમનો મેળ ન ખાતો હોય તેને ઓળખીને 1-2 વિકલ્પો તરત જ નકારી દો.

એક સૂત્ર પામ-કાર્ડ રાખો: એક બાજુ ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ, બીજી બાજુ ઘનફળ; પરીક્ષા પહેલાં 30-સેકંડની નજર દ્રશ્ય મેમરી સેટ કરે છે.