द्रुत सिद्धांत पुनरावलोकन

रेल्वे परीक्षांमधील भूमिती प्रश्न पाच मूलभूत संकल्पनांभोवती बांधलेले असतात: कोन, त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ आणि क्षेत्रमिती.

• सरळ रेषेवरील कोनांची बेरीज १८०°, एका बिंदूभोवती ३६०° असते; जेव्हा दोन रेषा समांतर असतात, तेव्हा एका छेदिकेमुळे समान संगत कोन आणि पूरक असलेले आंतरकोन तयार होतात.
• त्रिकोण तथ्ये: आंतरकोनांची बेरीज = १८०°; बाह्यकोन = विरुद्ध आंतरकोनांची बेरीज; पायथागोरस प्रमेय (a² + b² = c²) प्रत्येक वर्षी चाचणीला येतो; एकरूपता नियम (SSS/SAS/ASA/RHS) आणि समरूपता (AAA) यांचा वापर प्रमाणबद्ध बाजू स्थापित करण्यासाठी केला जातो.
• विशेष त्रिकोण—४५°-४५°-९०° बाजू १:१:√२ आणि ३०°-६०°-९०° बाजू १:√३:२—गणना वेळ वाचवतात.
• चौकोन: समांतरभुज चौकोनातील विरुद्ध बाजू/कोन समान असतात, कर्ण परस्परांना दुभागतात; समभुज चौकोनातील कर्ण परस्पर लंब असतात; आयताचे कर्ण समान असतात; चौरसात सर्व गुणधर्म असतात.
• वर्तुळ: केंद्रस्थानी असलेला कोन = समान कंसाने काढलेला परिघावरील कोनाच्या दुप्पट; अर्धवर्तुळातील कोन = ९०°; बाह्य बिंदूपासून काढलेल्या स्पर्शिका समान असतात; त्रिज्या ⟂ स्पर्शिका.
• क्षेत्रमिती: क्षेत्रफळे (आयत l×b, त्रिकोण ½bh, वर्तुळ πr², समलंब चौकोन ½(a+b)h) आणि घनफळे (वृत्तचिती πr²h, शंकू ⅓πr²h, गोल 4/3πr³) हे १-गुणांच्या प्रश्नांमध्ये वारंवार विचारले जातात. सूत्रे लक्षात ठेवा आणि लांबलचक गणना टाळण्यासाठी सममिती किंवा “कट-आणि-पेस्ट” युक्त्या शोधा.

सराव संच – २५ बहुपर्यायी प्रश्न

1. त्रिकोणाचे दोन कोन ४२° आणि ६८° आहेत. तिसरा कोन आहे
   A. ५०°
   B. ६०°
   C. ७०°
   D. ८०°

AnswerCorrect: पर्याय C. बेरीज = १८०° ⇒ १८० – ४२ – ६८ = ७०°.

2. जर चौरसाची प्रत्येक बाजू १०% ने वाढवली, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती टक्क्यांनी वाढेल?
   A. १०%
   B. २१%
   C. २५%
   D. ३०%

AnswerCorrect: पर्याय B. नवीन क्षेत्रफळ = (१.१)² = १.२१ ⇒ २१% वाढ.

3. ९ सेमी × १२ सेमी आयताचा कर्ण आहे
   A. १० सेमी
   B. १२ सेमी
   C. १३ सेमी
   D. १५ सेमी

AnswerCorrect: पर्याय D. √(९²+१२²)=√२२५=१५ सेमी.

4. समभुज चौकोनात, एक कर्ण ८ सेमी आणि दुसरा ६ सेमी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ आहे
   A. १२ सेमी²
   B. २४ सेमी²
   C. ३६ सेमी²
   D. ४८ सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय B. क्षेत्रफळ = ½ × ८ × ६ = २४ सेमी².

5. वर्तुळाची त्रिज्या ७ सेमी आहे. अंदाजे परिघ आहे (π = २२/७)
   A. २२ सेमी
   B. ४४ सेमी
   C. ६६ सेमी
   D. ८८ सेमी

AnswerCorrect: पर्याय B. २πr = २ × २२/७ × ७ = ४४ सेमी.

6. काटकोन त्रिकोण ज्याचे लघुकोन १५ सेमी आणि २० सेमी आहेत, त्याचा कर्ण आहे
   A. २३ सेमी
   B. २४ सेमी
   C. २५ सेमी
   D. २६ सेमी

AnswerCorrect: पर्याय C. √(१५²+२०²)=√६२५=२५ सेमी.

7. एक कोन त्याच्या कोटिकोनापेक्षा ३०° ने मोठा आहे. तो कोन आहे
   A. ३०°
   B. ४५°
   C. ६०°
   D. ७५°

AnswerCorrect: पर्याय C. x + (x – ३०) = ९० ⇒ x = ६०°.

8. १२-बाजू असलेल्या बहुभुजाच्या बाह्यकोनांची बेरीज आहे
   A. १८०°
   B. ३६०°
   C. ७२०°
   D. १८००°

AnswerCorrect: पर्याय B. कोणत्याही उत्तल बहुभुजाच्या बाह्यकोनांची बेरीज नेहमी ३६०° असते.

9. ५ मीटर लांब शिडी ४ मीटर उंचीवर पोहोचते. तर तिचा पाय भिंटपासून किती दूर असेल?
   A. २ मी
   B. ३ मी
   C. ४ मी
   D. ५ मी

AnswerCorrect: पर्याय B. √(५²–४²)=√९=३ मी.

10. १४ सेमी व्यासाच्या अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ आहे (π = २२/७)
    A. ७७ सेमी²
    B. १५४ सेमी²
    C. ३०८ सेमी²
    D. ६१६ सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय A. त्रिज्या = ७ सेमी, क्षेत्रफळ = ½ × २२/७ × ७² = ७७ सेमी².

11. दोन संकेंद्रित वर्तुळांच्या त्रिज्या ५ सेमी आणि १२ सेमी आहेत. मोठ्या वर्तुळाच्या जीवेची लांबी, जी लहान वर्तुळाला स्पर्श करते, ती आहे
    A. १० सेमी
    B. १२ सेमी
    C. १६ सेमी
    D. २२ सेमी

AnswerCorrect: पर्याय C. अर्धी जीवा = √(१२²–५²)=√११९≈१०.९, पूर्ण जीवा ≈ २१.८ ≈ २२ सेमी (जवळचा पर्याय). नेमके: २√११९ ≈ २१.८ सेमी, परंतु दिलेल्या पर्यायांपैकी २२ सेमी जवळचा आहे. तथापि, नेमकी गणना २√(१२²-५²)=२√११९≈२१.९ सेमी देते; कोणताही पर्याय नेमका जुळत नाही, परंतु २२ सेमी हा अंदाजे उत्तर म्हणून अपेक्षित आहे. (परीक्षेत सामान्यतः २२ सेमी स्वीकारले जाते).

12. ΔABC मध्ये, DE ∥ BC आहे, AD = ३ सेमी, DB = ६ सेमी, AE = २ सेमी. तर EC आहे
    A. ३ सेमी
    B. ४ सेमी
    C. ५ सेमी
    D. ६ सेमी

AnswerCorrect: पर्याय B. मूलभूत प्रमाणानुसार: ३/६ = २/EC ⇒ EC = ४ सेमी.

13. ६ सेमी बाजू असलेल्या समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे
    A. ९√३ सेमी²
    B. १८√३ सेमी²
    C. २४ सेमी²
    D. ३६ सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय A. (√३/४)a² = (√३/४)×३६ = ९√३ सेमी².

14. १ मीटर त्रिज्या आणि २ मीटर उंची असलेल्या वृत्तचिती आकाराच्या टाकीमध्ये किती पाणी मावेल? (π = ३.१४)
    A. ६.२८ लीटर
    B. ६२८ लीटर
    C. ६२८० लीटर
    D. ६२८०० लीटर

AnswerCorrect: पर्याय C. घनफळ = ३.१४×१²×२ = ६.२८ मी³ = ६२८० लीटर (१ मी³ = १००० लीटर).

15. षटकोनातील कर्णांची संख्या आहे
    A. ६
    B. ९
    C. १२
    D. १५

AnswerCorrect: पर्याय B. n(n–३)/२ = ६×३/२ = ९.

16. १४ सेमी बाजू असलेल्या चौरसात एक वर्तुळ अंतर्लिखित केले आहे. चौरसाच्या आत परंतु वर्तुळाच्या बाहेर असलेले क्षेत्रफळ आहे (π = २२/७)
    A. ४२ सेमी²
    B. ८४ सेमी²
    C. १२६ सेमी²
    D. १५४ सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय B. चौरस = १९६ सेमी², वर्तुळ = १५४ सेमी², फरक = ४२ सेमी². (पर्याय A हा ४२ सेमी² आहे, म्हणून योग्य उत्तर A आहे.)

17. चौकोनाचे कोन २:३:४:५ या प्रमाणात आहेत. सर्वात मोठा कोन आहे
    A. १२०°
    B. १३५°
    C. १५०°
    D. १६०°

AnswerCorrect: पर्याय C. बेरीज = ३६०°; ५x = ५/१४×३६० = १५०°.

18. ७० सेमी व्यास असलेल्या रेल्वेच्या चाकाने २०० आवर्तने केली. तर कापलेले अंतर आहे
    A. २२० मी
    B. ४४० मी
    C. ८८० मी
    D. १७६० मी

AnswerCorrect: पर्याय B. परिघ = πd = २.२ मी; अंतर = २००×२.२ = ४४० मी.

19. काटकोन त्रिकोणात, एक कोन ३४° आहे. तर दुसरा लघुकोन आहे
    A. ५६°
    B. ६६°
    C. ९०°
    D. १४६°

AnswerCorrect: पर्याय A. ९० – ३४ = ५६°.

20. समांतरभुज चौकोनाच्या बाजू १० सेमी आणि ६ सेमी आहेत आणि एक कर्ण ८ सेमी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ आहे
    A. २४ सेमी²
    B. ३० सेमी²
    C. ४८ सेमी²
    D. ६० सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय C. १०,६,८ बाजू असलेल्या त्रिकोणासाठी हेरॉनचे सूत्र वापरा ⇒ s=१२, क्षेत्रफळ = √(१२×४×६×२)=√५७६=२४ सेमी²; समांतरभुज चौकोन = २×२४ = ४८ सेमी².

21. शंकूची उंची २४ सेमी आणि तिरकस उंची २५ सेमी आहे. त्याचे घनफळ आहे (π = २२/७)
    A. १२३२ सेमी³
    B. १८४८ सेमी³
    C. २४६४ सेमी³
    D. ३०८० सेमी³

AnswerCorrect: पर्याय A. r = √(२५²–२४²)=७ सेमी; V = ⅓πr²h = ⅓×२२/७×४९×२४ = १२३२ सेमी³.

22. ३ सेमी त्रिज्या असलेला गोल वितळवून १ सेमी त्रिज्या असलेल्या वृत्तचितीमध्ये पुनर्घडित केला जातो. तर वृत्तचितीची उंची आहे
    A. १२ सेमी
    B. २४ सेमी
    C. ३६ सेमी
    D. ४८ सेमी

AnswerCorrect: पर्याय C. घनफळ समान करा: ४/३π×३³ = π×१²×h ⇒ h = ३६ सेमी.

23. केंद्रस्थानी जीवेने काढलेला कोन ११०° आहे. तर परिघावर त्याच जीवेने काढलेला कोन आहे
    A. ५५°
    B. ११०°
    C. २२०°
    D. १२५°

AnswerCorrect: पर्याय A. परिघावरील कोन = ½ × ११०° = ५५°.

24. समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजू ८ सेमी आणि १४ सेमी आहेत आणि उंची ५ सेमी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ आहे
    A. ५५ सेमी²
    B. ६० सेमी²
    C. ६५ सेमी²
    D. ७० सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय A. ½(८+१४)×५ = ५५ सेमी².

25. घड्याळाच्या मिनिट काट्याची लांबी ७ सेमी आहे. ३० मिनिटांत त्याने वळवलेले क्षेत्रफळ आहे (π = २२/७)
    A. ७७ सेमी²
    B. १५४ सेमी²
    C. २३१ सेमी²
    D. ३०८ सेमी²

AnswerCorrect: पर्याय A. ३० मिनिटे = अर्धे वर्तुळ, क्षेत्रफळ = ½πr² = ½×२२/७×४९ = ७७ सेमी².

द्रुत सूटकट मार्ग आणि टिपा

1. ३-४-५ कुटुंब: कोणताही गुणाकार (६-८-१०, ९-१२-१५…) हा काटकोन त्रिकोण असतो—वर्गमूळ काढण्याची गरज नसते.
2. π अंदाजे मूल्य: २२/७ हे १% त्रुटी देते; द्रुत गुणाकारासाठी, π ≈ ३.१ आणि पर्याय जवळ असल्यास १% अतिरिक्त मिळवा.
3. कोन शोध: जेव्हा समांतर रेषा दिसतात, तेव्हा सर्व संगत/व्युत्क्रम कोन एकाच वेळी चिन्हांकित करा—पुन्हा वाचण्याची गरज राहत नाही.
4. सममितीने क्षेत्रफळ: समभुज चौकोन/पतंगाचे क्षेत्रफळ = ½ d₁ d₂; लक्षात ठेवा कर्ण परस्पर लंब असतात म्हणून तुम्ही त्यांना चार काटकोन त्रिकोणांमध्ये विभागू शकता.
5. आवर्तनांपासून अंतर: अंतर = आवर्तनांची संख्या × π × व्यास—शेवटी सेमी → मीटरमध्ये रूपांतर करणे विसरू नका.
6. शंकू आणि गोल यांचे घनफळ गुणोत्तर: शंकू हा वृत्तचितीच्या ⅓ असतो; गोलाचे घनफळ ४/३ πr³—घटकाचा अंदाज लावण्यासाठी ४, ३, २ (अर्धगोलासाठी) लक्षात ठेवा.
7. घड्याळाचे काटे: मिनिट काटा ६० मिनिटांत ३६०° वळतो → प्रति मिनिट ६°; तास काटा प्रति मिनिट ०.५°; सापेक्ष गती ५.५°/मिनिट—काट्यांमधील कोनाचे प्रश्न सोडवण्यासाठी उपयुक्त.
8. असंबद्ध एकक काढून टाका: क्षेत्रफळ कधीही सेमीमध्ये असू शकत नाही, घनफळ कधीही सेमी²मध्ये असू शकत नाही—पर्यायांमधील एकक विसंगती ओळखून १-२ पर्याय ताबडतोब नाकारा.

सूत्रांची हस्तपुस्तिका ठेवा: एका बाजूला क्षेत्रफळ आणि परिमिती, दुसऱ्या बाजूला घनफळ; परीक्षेपूर्वी ३०-सेकंदांचा नजर टाकल्यास दृश्य स्मृती तयार होते.