آپ نے باب 1 میں پڑھا ہے کہ پیمانہ (اسکیل) ہر قسم کے نقشوں کا ایک لازمی عنصر ہے۔ یہ اتنا اہم ہے کہ اگر لکیروں اور کثیرالاضلاع (پولی گون) کا ایک جال پیمانے کے بغیر ہو تو ہم اسے “خاکہ” (اسکیچ) کہتے ہیں۔ پیمانہ اتنا اہم کیوں ہے؟ اس کا کیا مطلب ہے؟ نقشے پر پیمانہ ظاہر کرنے کے مختلف طریقے کون سے ہیں؟ فاصلے اور رقبہ ناپنے میں پیمانہ کتنا مفید ہے؟ یہ کچھ ایسے سوالات ہیں جن پر موجودہ باب میں بات کی جائے گی۔

فرہنگ

مقسم (ڈینومینیٹر): کسر میں لکیر کے نیچے والا عدد۔ مثال کے طور پر، کسر $1: 50,000,50,000$ میں ڈینومینیٹر ہے۔
مقسم علیہ (نیومیریٹر): کسر میں لکیر کے اوپر والا عدد۔ مثال کے طور پر، کسر $1: 50,000,1$ میں نیومیریٹر ہے۔
نمائندہ کسر (ریپریزنٹیٹو فرکشن): نقشے یا پلان کے پیمانے کو ظاہر کرنے کا ایک طریقہ جو ایک کسر کی صورت میں ہوتا ہے اور نقشے یا پلان پر اکائی فاصلے اور زمین پر اسی اکائیوں میں ناپے گئے فاصلے کے درمیان تناسب کو ظاہر کرتا ہے۔

پیمانہ (اسکیل) کیا ہے؟

آپ نے ضرور ایسے نقشے دیکھے ہوں گے جن پر ایک پیمانہ نما پٹی (اسکیل بار) ہوتی ہے جس پر برابر تقسیمات ہوتی ہیں، ہر ایک پر کلومیٹر یا میل میں قدریں لکھی ہوتی ہیں۔ ان تقسیمات کا استعمال نقشے پر زمینی فاصلہ معلوم کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، نقشے کا پیمانہ نقشے اور اس پر دکھائی گئی زمین کی پوری سطح یا کسی حصے کے درمیان تعلق فراہم کرتا ہے۔ ہم اس تعلق کو نقشے پر دو نقاط کے درمیان فاصلے اور زمین پر انہی دو نقاط کے درمیان متعلقہ فاصلے کے تناسب کے طور پر بھی ظاہر کر سکتے ہیں۔

کم از کم تین طریقے ہیں جن میں یہ تعلق ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ یہ ہیں:

1۔ بیان پیمانہ (اسٹیٹمنٹ آف اسکیل)

2۔ نمائندہ کسر (آر ایف)

3۔ خطی یا گرافیکی پیمانہ (گرافیکل اسکیل)

پیمانے کے ان طریقوں میں سے ہر ایک کے فوائد اور حدود ہیں۔ لیکن ان مسائل پر بات کرنے سے پہلے، آئیے یہ سمجھ لیں کہ پیمانہ عام طور پر پیمائش کے کسی ایک نظام میں ظاہر کیا جاتا ہے۔ آپ نے ضرور پڑھا ہوگا اور/یا زمین پر دو نقاط کے درمیان خطی فاصلے ناپنے کے لیے کلومیٹر، میٹر، سینٹی میٹر وغیرہ کا استعمال کیا ہوگا۔ آپ نے میل، فرلانگ، گز، فٹ وغیرہ کے بارے میں بھی سنا ہوگا۔ یہ دنیا کے مختلف ممالک میں استعمال ہونے والے فاصلوں کی پیمائش کے دو مختلف نظام ہیں۔ جہاں پہلا نظام میٹرک نظام پیمائش کہلاتا ہے اور فی الحال بھارت اور دنیا کے بہت سے دوسرے ممالک میں استعمال ہوتا ہے، وہیں دوسرا نظام انگریزی نظام پیمائش کے نام سے جانا جاتا ہے اور ریاستہائے متحدہ امریکہ اور مملکت متحدہ دونوں میں رائج ہے۔ بھارت بھی 1957 سے پہلے خطی فاصلے ناپنے/ظاہر کرنے کے لیے اس نظام کا استعمال کرتا تھا۔ ان نظاموں کی پیمائش کی اکائیاں باکس 2.1 میں دی گئی ہیں۔

پیمانے کے طریقے

جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، نقشے کا پیمانہ پیمانے کے ایک یا ایک سے زیادہ طریقوں کے امتزاج سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ ان طریقوں کو کیسے استعمال کیا جاتا ہے اور ان کے فوائد اور حدود کیا ہیں۔

باکس 2.1 پیمائش کے نظام

میٹرک نظام پیمائش
$1 \mathrm{~km} \quad=1000$ میٹر
1 میٹر $=100$ سینٹی میٹر
1 سینٹی میٹر $=10$ ملی میٹر
انگریزی نظام پیمائش
1 میل $=8$ فرلانگ
1 فرلانگ $=220$ گز
1 گز $=3$ فٹ
1 فٹ $=12$ انچ

1۔ بیان پیمانہ (اسٹیٹمنٹ آف اسکیل): نقشے کا پیمانہ تحریری بیان کی شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کسی نقشے پر ایک تحریری بیان ظاہر ہو کہ $1 \mathrm{~cm}$، $10 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کرتا ہے، تو اس کا مطلب ہے کہ اس نقشے پر $1 \mathrm{~cm}$ کا فاصلہ متعلقہ زمینی فاصلے کے $10 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کر رہا ہے۔ اسے پیمائش کے کسی دوسرے نظام میں بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے، مثلاً 1 انچ 10 میل کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ تینوں طریقوں میں سب سے آسان ہے۔ تاہم، یہ بات نوٹ کی جا سکتی ہے کہ جو لوگ ایک نظام سے واقف ہیں وہ پیمائش کے دوسرے نظام میں دیے گئے بیان پیمانے کو نہیں سمجھ سکتے۔ اس طریقے کی ایک اور حد یہ ہے کہ اگر نقشہ چھوٹا یا بڑا کر دیا جائے تو پیمانہ غیر متعلق ہو جائے گا اور ایک نیا پیمانہ بنانا پڑے گا۔

2۔ گرافیکی یا بار پیمانہ: دوسری قسم کا پیمانہ نقشے کے فاصلے اور متعلقہ زمینی فاصلے کو ایک لکیری پٹی کے ذریعے ظاہر کرتا ہے جس پر پرائمری اور سیکنڈری تقسیمات نشان زد ہوتی ہیں۔ اسے گرافیکل اسکیل یا بار اسکیل کہا جاتا ہے (شکل 2.1)۔ یہ بات نوٹ کی جا سکتی ہے کہ شکل 2.1 میں بار اسکیل پر دکھائی گئی پیمانے کی قدریں صرف کلومیٹر اور میٹر میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ ایک اور بار اسکیل میں قدریں میل اور فرلانگ میں دکھائی جا سکتی ہیں۔ لہٰذا، بیان پیمانے کے طریقے کی طرح، یہ طریقہ بھی صرف ان لوگوں کے لیے محدود استعمال رکھتا ہے جو اسے سمجھ سکتے ہیں۔ تاہم، بیان پیمانے کے طریقے کے برعکس، گرافیکل اسکیل اس وقت بھی درست رہتا ہے جب نقشہ چھوٹا یا بڑا کر دیا جائے۔ یہ نقشے کے پیمانے کے گرافیکل طریقے کا منفرد فائدہ ہے۔

شکل 2.1

3۔ نمائندہ کسر (آر ایف): پیمانے کی تیسری قسم آر ایف ہے۔ یہ نقشے کے فاصلے اور متعلقہ زمینی فاصلے کے درمیان تعلق لمبائی کی اکائیوں میں ظاہر کرتی ہے۔ پیمانے کو ظاہر کرنے کے لیے اکائیوں کا استعمال اسے سب سے زیادہ ہمہ گیر طریقہ بناتا ہے۔

آر ایف عام طور پر کسر کی شکل میں دکھایا جاتا ہے کیونکہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ حقیقی دنیا کو نقشے پر فٹ ہونے کے لیے کتنا چھوٹا کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، 1 : 24,000 کی کسر ظاہر کرتی ہے کہ نقشے پر لمبائی کی ایک اکائی زمین پر اسی اکائیوں کے 24,000 کی نمائندگی کرتی ہے، یعنی نقشے پر ایک $\mathrm{mm}$، ایک $\mathrm{cm}$ یا ایک انچ بالترتیب زمین کے $24,000 \mathrm{~mm}, 24,000 \mathrm{~cm}$ اور 24,000 انچ کی نمائندگی کرتا ہے۔ تاہم، یہ بات نوٹ کی جا سکتی ہے کہ اکائیوں کی کسر کو میٹرک یا انگریزی نظام میں تبدیل کرتے وقت، رواج کے مطابق عام طور پر سینٹی میٹر یا انچ کی اکائیاں استعمال ہوتی ہیں۔ آر ایف میں پیمانے کو اکائیوں میں ظاہر کرنے کی یہ خوبی اسے عالمی سطح پر قابل قبول اور قابل استعمال طریقہ بناتی ہے۔ آئیے آر ایف کی عالمگیر نوعیت کو واضح کرنے کے لیے $1: 36,000$ کا آر ایف لیتے ہیں۔

اگر دیا گیا پیمانہ $1: 36,000$ ہے، تو میٹرک نظام سے واقف شخص دی گئی اکائیوں کو $\mathrm{cm}$ میں تبدیل کر کے پڑھے گا، یعنی نقشے پر 1 اکائی کے فاصلے کو $1 \mathrm{~cm}$ اور زمینی فاصلے پر 36,000 اکائیوں کے فاصلے کو $36,000 \mathrm{~cm}$ کے طور پر۔ ان اقدار کو بعد میں بیان پیمانے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، یعنی $1 \mathrm{~cm}$، 360 میٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ (مقام پر 100 سے تقسیم کر کے)۔ نقشے کا ایک اور صارف جو پیمائش کے انگریزی نظام سے واقف ہے، وہ نقشے کے پیمانے کو اپنے لیے موزوں بیان پیمانے میں تبدیل کر کے سمجھے گا اور نقشے کے پیمانے کو 1 انچ 1,000 گز کی نمائندگی کرتا ہے کے طور پر پڑھے گا۔ مذکورہ بیان پیمانہ مقام میں 36,000 اکائیوں کو 36 (ایک گز میں انچ کی تعداد) سے تقسیم کر کے حاصل کیا جائے گا۔

پیمانے کی تبدیلی

اگر آپ نے پیمانے کے مختلف طریقوں کے فوائد اور حدود کو غور سے پڑھا ہے، تو آپ کے لیے بیان پیمانے کو نمائندہ کسر میں تبدیل کرنا اور اس کے برعکس کرنا مشکل نہیں ہوگا۔

بیان پیمانے کو آر ایف میں تبدیل کرنا

مسئلہ دیے گئے بیان پیمانے 1 انچ 4 میل کی نمائندگی کرتا ہے کو آر ایف میں تبدیل کریں۔

حل دیے گئے بیان پیمانے کو درج ذیل مراحل کا استعمال کرتے ہوئے آر ایف میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

1 انچ 4 میل کی نمائندگی کرتا ہے

یا $\quad 1$ انچ $4 \times 63,360$ انچ کی نمائندگی کرتا ہے (1 میل $=63,360$ انچ)

یا $\quad 1$ انچ 253,440 انچ کی نمائندگی کرتا ہے

نوٹ: اب ہم “انچ” کی اصطلاح کو “یونٹس” سے بدل سکتے ہیں اور اسے اس طرح پڑھ سکتے ہیں:

1 یونٹ 253,440 یونٹس کی نمائندگی کرتا ہے

جواب آر ایف $1: 253,440$

آر ایف کو بیان پیمانے میں تبدیل کرنا

مسئلہ آر ایف $1: 253,440$ کو بیان پیمانے میں تبدیل کریں (میٹرک نظام میں)

حل دی گئی آر ایف $1: 253,440$ کو درج ذیل مراحل کا استعمال کرتے ہوئے بیان پیمانے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے:

$1: 253,440$ کا مطلب ہے کہ

نقشے پر 1 یونٹ زمین پر 253,440 یونٹس کی نمائندگی کرتا ہے۔

یا $\quad 1 \mathrm{~cm}$، 253,440/100,000 $(1 \mathrm{~km}=100,000$ سینٹی میٹر) کی نمائندگی کرتا ہے۔

یا $\quad 1 \mathrm{~cm}$، $2.5344 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کرتا ہے۔

2 اعشاریہ تک گول کرنے کے بعد، جواب ہوگا:

جواب $1 \mathrm{~cm}$، $2.53 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کرتا ہے۔

گرافیکی/بار پیمانے کی تعمیر

مسئلہ 1 $1: 50,000$ کے پیمانے پر بنائے گئے نقشے کے لیے ایک گرافیکل اسکیل بنائیں اور فاصلے کلومیٹر اور میٹر میں پڑھیں۔

نوٹ: $\quad$ رواج کے مطابق، گرافیکل اسکیل بنانے کے لیے تقریباً $15 \mathrm{~cm}$ کی لمبائی لی جاتی ہے۔

حسابات گرافیکل اسکیل کے لیے لکیر کی لمبائی حاصل کرنے کے لیے، ان مراحل پر عمل کیا جا سکتا ہے:

$1: 50,000$ کا مطلب ہے کہ

نقشے کا 1 یونٹ زمین پر 50,000 یونٹس کی نمائندگی کرتا ہے۔

یا $\quad 1 \mathrm{~cm}$، $50,000 \mathrm{~cm}$ کی نمائندگی کرتا ہے۔

یا $\quad 15 \mathrm{~cm}$، $50,000 \times 15 / 100,000 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کرتا ہے۔

یا $\quad 15 \mathrm{~cm}$، $7.5 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کرتا ہے۔

چونکہ $7.5(\mathrm{~km})$ کی قدر گول عدد نہیں ہے، ہم 5 یا $10(\mathrm{~km})$ کو گول عدد کے طور پر چن سکتے ہیں۔ موجودہ صورت میں، ہم 5 کو گول عدد کے طور پر چنتے ہیں۔

$5 \mathrm{~km}$ دکھانے کے لیے لکیر کی لمبائی کا تعین کرنے کے لیے، درج ذیل حسابات کرنے ہوں گے:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ کو $15 \mathrm{~cm}$ کی لکیر سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

$\quad 5 \mathrm{~km}$ کو $15 \times 5 / 7.5$ کی لکیر سے ظاہر کیا جائے گا۔

یا $\quad 5 \mathrm{~km}$ کو $10 \mathrm{~cm}$ کی لکیر سے ظاہر کیا جائے گا۔

تعمیر گرافیکل اسکیل درج ذیل طریقے سے بنایا جا سکتا ہے:

$10 \mathrm{~cm}$ کی سیدھی لکیر کھینچیں اور اسے 5 برابر حصوں میں تقسیم کریں اور 0 کے نشان سے دائیں جانب کے 4 حصوں میں سے ہر ایک کے لیے $1 \mathrm{~km}$ کی قدر تفویض کریں۔ نیز انتہائی بائیں جانب کے حصے کو 10 برابر حصوں میں تقسیم کریں اور ہر تقسیم کو 100 میٹر کی قدر سے نشان زد کریں، 0 سے شروع کرتے ہوئے۔ (آپ اسے 2، 4، یا 5 حصوں میں بھی تقسیم کر سکتے ہیں اور ہر ذیلی تقسیم کو بالترتیب 0 سے 500، 250، یا 200 میٹر کی قدر تفویض کر سکتے ہیں)۔

شکل 2.2

مسئلہ 2 ایک گرافیکل اسکیل بنائیں جب دیا گیا بیان پیمانہ 1 انچ 1 میل کی نمائندگی کرتا ہے ہو اور فاصلے میل اور فرلانگ میں پڑھیں۔

نوٹ: $\quad$ رواج کے مطابق، گرافیکل اسکیل بنانے کے لیے تقریباً 6 انچ کی لمبائی لی جاتی ہے۔

حسابات گرافیکل اسکیل کے لیے لکیر کی لمبائی حاصل کرنے کے لیے، ان مراحل پر عمل کیا جا سکتا ہے:

1 انچ 1 میل کی نمائندگی کرتا ہے

یا 6 انچ 6 میل کی نمائندگی کرتا ہے

تعمیر گرافیکل اسکیل درج ذیل مراحل میں بنایا جا سکتا ہے:

6 انچ کی سیدھی لکیر کھینچیں اور اسے 6 برابر حصوں میں تقسیم کریں اور دائیں جانب کے 5 حصوں میں سے ہر ایک کے لیے 1 میل کی قدر تفویض کریں۔ نیز انتہائی بائیں جانب کے حصے کو 4 برابر حصوں میں تقسیم کریں اور ہر تقسیم کو 2 میل کی قدر سے نشان زد کریں، 0 سے شروع کرتے ہوئے۔

شکل 2.3

مسئلہ 3 ایک گرافیکل اسکیل بنائیں جب دی گئی آر ایف 1 : 50,000 ہو اور فاصلے میل اور فرلانگ میں پڑھیں۔

حسابات گرافیکل اسکیل کے لیے لکیر کی لمبائی حاصل کرنے کے لیے، ان مراحل پر عمل کیا جا سکتا ہے:

$1: 50,000$ کا مطلب ہے کہ

1 یونٹ 50,000 یونٹس کی نمائندگی کرتا ہے

یا 1 انچ 50,000 انچ کی نمائندگی کرتا ہے۔

یا 6 انچ $50,000 \times 6 / 63,360$ میل کی نمائندگی کرتا ہے۔

$=6$ انچ 4.73 میل کی نمائندگی کرتا ہے۔

چونکہ 4.73 (میل) کا عدد گول عدد نہیں ہے، ہم 5 کو گول عدد کے طور پر لیتے ہیں۔

$5 \mathrm{~km}$ دکھانے کے لیے لکیر کی لمبائی کا تعین کرنے کے لیے، درج ذیل حسابات کرنے ہوں گے:

4.73 میل کو 6 انچ کی لکیر سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

5 میل کو $6 \times 5 / 4.73$ کی لکیر سے ظاہر کیا جائے گا۔

$=5$ میل کو 6.34 انچ کی لکیر سے ظاہر کیا جائے گا۔

تعمیر گرافیکل اسکیل درج ذیل مراحل میں بنایا جا سکتا ہے:

5 میل دکھانے کے لیے گرافیکل اسکیل بنانے کے لیے ہمیں 6.34 انچ کی لکیر کھینچنے اور اسے 5 برابر حصوں میں تقسیم کرنے کی ضرورت ہے۔ سوال یہ ہے کہ 6.3 انچ کی غیر مساوی لکیر کو 5 برابر حصوں میں کیسے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے ہم درج ذیل طریقہ استعمال کر سکتے ہیں:

• 6.3 انچ کی سیدھی لکیر کھینچیں۔
• لکیروں کے شروع اور اختتامی نقاط سے $40^{\circ}$ یا $45^{\circ}$ کے زاویے پر لکیریں کھینچیں اور انہیں 1 یا 1.5 انچ کے 5 برابر حصوں میں تقسیم کریں۔
• دو لکیروں پر نشان زد تقسیمات کو ملانے والی نقطے دار لکیریں کھینچیں۔
• پرائمری اسکیل پر ان لکیروں کے تقاطع (انٹرسیکشن) کو نشان زد کریں۔

ایسا کرنے سے، آپ 6.3 انچ کی غیر مساوی لکیر کو 5 برابر حصوں میں تقسیم کر دیں گے۔ آپ پرائمری اسکیل پر انتہائی بائیں حصے کو 4 یا 8 حصوں میں تقسیم کرنے کے لیے اسی طریقے کو دہرا سکتے ہیں تاکہ فرلانگ کی تعداد دکھائی جا سکے جو 1 میل کے برابر ہیں۔

شکل 2.4 گرافیکل اسکیل میں برابر تقسیمات کی تعمیر

مشق

1۔ نیچے دیے گئے چار متبادلات میں سے صحیح جواب منتخب کریں:

(i) پیمانے کا کون سا طریقہ ایک عالمگیر طریقہ ہے؟
(الف) سادہ بیان
(ب) نمائندہ کسر
(ج) گرافیکل اسکیل
(د) ان میں سے کوئی نہیں

(ii) پیمانے میں نقشے کا فاصلہ کس نام سے بھی جانا جاتا ہے؟
(الف) مقسم علیہ (نیومیریٹر)
(ب) مقسم (ڈینومینیٹر)
(ج) بیان پیمانہ
(د) نمائندہ کسر

(iii) پیمانے میں ‘مقسم علیہ (نیومیریٹر)’ کس کی نمائندگی کرتا ہے؟
(الف) زمینی فاصلہ
(ب) نقشے کا فاصلہ
(ج) دونوں فاصلے
(د) ان میں سے کوئی نہیں

2۔ درج ذیل سوالات کے جواب تقریباً 30 الفاظ میں دیں:

(i) پیمائش کے دو مختلف نظام کون سے ہیں؟
(ii) میٹرک اور انگریزی نظام میں بیان پیمانے کی ایک ایک مثال دیں۔
(iii) نمائندہ کسر کے طریقے کو عالمگیر طریقہ کیوں کہا جاتا ہے؟
(iv) گرافیکل طریقے کے اہم فوائد کیا ہیں؟

3۔ دیے گئے بیان پیمانے کو نمائندہ کسر (آر ایف) میں تبدیل کریں۔

(i) $5 \mathrm{~cm}$، $10 \mathrm{~km}$ کی نمائندگی کرتا ہے۔
(ii) 2 انچ 4 میل کی نمائندگی کرتے ہیں۔
(iii) 1 انچ 1 گز کی نمائندگی کرتا ہے۔
(iv) $1 \mathrm{~cm}$، 100 میٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔

4۔ دی گئی نمائندہ کسر (آر ایف) کو قوسین میں دکھائے گئے پیمائش کے نظام میں بیان پیمانے میں تبدیل کریں:

(i) $1: 100,000$ (کلومیٹر میں)
(ii) $1: 31680$ (فرلانگ میں)
(iii) $1: 126,720$ (میل میں)
(iv) $1: 50,000$ (میٹر میں)

5۔ ایک گرافیکل اسکیل بنائیں جب دی گئی آر ایف $1: 50,000$ ہو اور فاصلے کلومیٹر اور میٹر میں پڑھیں۔