आपने अध्याय 1 में पढ़ा है कि मापनी (स्केल) सभी प्रकार के नक्शों का एक अनिवार्य तत्व है। यह इतना महत्वपूर्ण है कि यदि रेखाओं और बहुभुजों के जाल पर मापनी न दी गई हो तो हम उसे “रफ़ा” कहते हैं। मापनी इतनी महत्वपूर्ण क्यों है? इसका क्या अर्थ है? नक्शे पर मापनी दिखाने की विभिन्न विधियाँ क्या हैं? दूरी और क्षेत्रफल मापने में मापनी कितनी उपयोगी है? ये कुछ ऐसे प्रश्न हैं जिन पर इस अध्याय में विचार किया जाएगा।

शब्दावली

हर: भिन्न में रेखा के नीचे वाली संख्या। उदाहरण के लिए, 1:50,000 भिन्न में 50,000 हर है।
अंश: भिन्न में रेखा के ऊपर वाली संख्या। उदाहरण के लिए, 1:50,000 भिन्न में 1 अंश है।
प्रतिनिधि भिन्न: नक्शे या योजना की मापनी की एक विधि जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है और जो नक्शे या योजना पर एक इकटी दूरी तथा जमीन पर उसी इकाई में मापी गई दूरी के बीच अनुपात दर्शाता है।

मापनी क्या है?

आपने ऐसे नक्शे तो देखे ही होंगे जिनमें बराबर विभाजनों वाली मापनी-पट्टी होती है और प्रत्येक विभाजन पर किलोमीटर या मील के अंक अंकित होते हैं। इन विभाजनों का उपयोग नक्शे पर भूमि की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, नक्शे की मापनी नक्शे तथा उस पर दर्शाए गए पृथ्वी के सम्पूर्ण या किसी भाग के बीच सम्बन्ध प्रदान करती है। हम इस सम्बन्ध को नक्शे पर दो बिन्दुओं के बीच की दूरी तथा जमीन पर उन्हीं दो बिन्दुओं के बीच की संगत दूरी के अनुपात के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं।

इस संबंध को व्यक्त करने के कम से कम तीन तरीके हैं। ये हैं:

1. स्केल का कथन

2. प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.)

3. आलेखीय स्केल

स्केल के इन तरीकों में से प्रत्येक के कुछ लाभ और सीमाएँ हैं। लेकिन इन मुद्दों को उठाने से पहले, आइए समझें कि स्केल सामान्यतः मापन की किसी एक प्रणाली में व्यक्त किया जाता है। आपने ज़मीन पर दो बिंदुओं के बीच की रेखीय दूरी मापने के लिए किलोमीटर, मीटर, सेंटीमीटर आदि पढ़ा और/या प्रयोग किया होगा। आपने मील, फरलॉन्ग, गज, फुट आदि के बारे में भी सुना होगा। ये दुनिया के विभिन्न देशों में प्रयोग होने वाली दूरी मापने की दो भिन्न प्रणालियाँ हैं। जहाँ पहली प्रणाली को मीट्रिक मापन प्रणाली कहा जाता है और वर्तमान में भारत तथा दुनिया के कई अन्य देशों में प्रयोग होती है, वहीं दूसरी प्रणाली को अंग्रेज़ी मापन प्रणाली कहा जाता है और यह संयुक्त राज्य अमेरिका तथा यूनाइटेड किंगडम दोनों में प्रचलित है। भारत ने भी 1957 से पहले रेखीय दूरी मापने/दिखाने के लिए इस प्रणाली का प्रयोग किया था। इन प्रणालियों की मापन इकाइयाँ बॉक्स 2.1 में दी गई हैं।

स्केल की विधियाँ

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मानचित्र का स्केल एक या एक से अधिक स्केल विधियों के संयोजन का प्रयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। आइए देखें कि ये विधियाँ कैसे प्रयोग की जाती हैं और इनके क्या लाभ तथा सीमाएँ हैं।

बॉक्स 2.1 मापन की प्रणालियाँ

मापन की मीट्रिक प्रणाली
$1 \mathrm{~km} \quad=1000$ मीटर
1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर
1 सेंटीमीटर $=10$ मिलीमीटर
मापन की अंग्रेज़ी प्रणाली
1 मील $=8$ फरलॉन्ग
1 फरलॉन्ग $=220$ गज
1 गज $=3$ फुट
1 फुट $=12$ इंच

1. स्केल का कथन: किसी मानचित्र का स्केल लिखित कथन के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी मानचित्र पर यह लिखित कथन दिया गया है कि $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $10 \mathrm{~km}$, तो इसका अर्थ है कि उस मानचित्र पर $1 \mathrm{~cm}$ की दूरी भूमि पर संगत $10 \mathrm{~km}$ की दूरी को दर्शाती है। इसे किसी अन्य मापन प्रणाली में भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे 1 इंच दर्शाता है 10 मील। यह तीनों विधियों में सबसे सरल है। हालांकि, यह ध्यान रखना चाहिए कि एक प्रणाली से परिचित लोग किसी अन्य मापन प्रणाली में दिए गए स्केल के कथन को समझ नहीं पा सकते। इस विधि की एक अन्य सीमा यह है कि यदि मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है, तो स्केल व्यर्थ हो जाएगा और एक नया स्केल तैयार करना होगा।

2. ग्राफ़िकल या बार स्केल: दूसरे प्रकार की स्केल एक लाइन बार का उपयोग करके मानचित्र की दूरियों और संगत भूमि की दूरियों को प्राथमिक और द्वितीयक विभाजनों के साथ दर्शाती है। इसे ग्राफ़िकल स्केल या बार स्केल कहा जाता है (चित्र 2.1)। यह ध्यान दिया जा सकता है कि चित्र 2.1 में दिखाए गए बार स्केल पर स्केल रीडिंग केवल किलोमीटर और मीटर में ही दी गई हैं। किसी अन्य बार स्केल में रीडिंग माइल और फर्लांग में भी दिखाई जा सकती हैं। इसलिए, स्केल के कथन विधि की तरह, यह विधि भी केवल उन लोगों के लिए सीमित उपयोग में आती है जो इसे समझ सकते हैं। हालांकि, स्केल के कथन विधि के विपरीत, ग्राफ़िकल स्केल तब भी वैध रहता है जब मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है। यह मानचित्र स्केल की ग्राफ़िकल विधि का अनोखा लाभ है।

चित्र 2.1

3. प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.): तीसरे प्रकार की स्केल R. F. है। यह मानचित्र की दूरी और संगत भूमि की दूरी के बीच लंबाई की इकाइयों में संबंध दर्शाती है। स्केल को व्यक्त करने के लिए इकाइयों के उपयोग से यह सबसे बहुउपयोगी विधि बन जाती है।

R. F. आमतौर पर भिन्न के रूप में दिखाया जाता है क्योंकि यह दर्शाता है कि वास्तविक दुनिया को मानचित्र पर समायोजित करने के लिए कितना घटाया गया है। उदाहरण के लिए, 1 : 24,000 की भिन्न दर्शाती है कि मानचित्र पर लंबाई की एक इकाई जमीन पर उसी इकाइयों की 24,000 इकाइयों को दर्शाती है, अर्थात् मानचित्र पर एक $\mathrm{mm}$, एक $\mathrm{cm}$ या एक इंच क्रमशः जमीन पर $24,000 \mathrm{~mm}$, 24,000 $\mathrm{cm}$ और 24,000 इंच को दर्शाता है। यह, हालांकि, ध्यान दिया जा सकता है कि जबकि इकाइयों की भिन्न को मेट्रिक या अंग्रेजी प्रणालियों में बदलते समय, सेंटीमीटर या इंच में इकाइयों का उपयोग सामान्य रूप से परंपरा के अनुसार किया जाता है। R. F. में इकाइयों में पैमाने को व्यक्त करने की यह गुणवत्ता इसे एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकार्य और उपयोगी विधि बनाती है। आइए R. F. को $1: 36,000$ लेते हैं ताकि R. F. की सार्वभौमिक प्रकृति को विस्तार से समझाया जा सके।

यदि दिया गया स्केल 1 : 36,000 है, तो मीट्रिक पद्धति से परिचित व्यक्ति दिए गए मात्रक को सेंटीमीटर में बदलकर पढ़ेगा, अर्थात् मानचित्र पर 1 इकाई की दूरी को 1 सेमी० और भूमि पर 36,000 इकाई की दूरी को 36,000 सेमी०। इन मानों को बाद में स्केल के कथन में बदला जा सकता है, अर्थात् 1 सेमी० 360 मीटर का प्रतिनिधित्व करता है। (इन मानों को हर के अंश को 100 से भाग देकर, अर्थात् एक मीटर में सेंटीमीटरों की संख्या से)। मानचित्र का एक अन्य उपयोगकर्ता, जो अंग्रेज़ी मापन पद्धति से परिचित है, मानचित्र के स्केल को अपने लिए सुविधाजनक स्केल के कथन में बदलकर समझेगा और मानचित्र स्केल को 1 इंच = 1,000 गज के रूप में पढ़ेगा। उपरोक्त स्केल का कथन प्राप्त किया जाएगा 36,000 को 36 से भाग देकर (गज में इंचों की संख्या)।

नोट: अब हम “इंच” वाले वर्ण को “यूनिट” से बदल सकते हैं और इसे इस प्रकार पढ़ सकते हैं:

1 यूनिट 253,440 यूनिट्स को दर्शाता है

उत्तर आर. एफ. $1: 253,440$

आर. एफ. को स्टेटमेंट ऑफ स्केल में

समस्या आर. एफ. $1: 253,440$ को स्टेटमेंट ऑफ स्केल में बदलें (मीट्रिक सिस्टम में)

हल दिए गए आर. एफ. $1: 253,440$ को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके स्टेटमेंट ऑफ स्केल में बदला जा सकता है:

$1: 253,440$ का अर्थ है कि

1 यूनिट मानचित्र पर 253,440 यूनिट्स जमीन पर दर्शाती है।

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है 253,440/100,000 $(1 \mathrm{~km}=100,000$ cm)

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $2.5344 \mathrm{~km}$

2 दशमलव तक राउंड करने पर उत्तर होगा:

उत्तर $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $2.53 \mathrm{~km}$

ग्राफिकल/बार स्केल का निर्माण

समस्या 1 एक मानचित्र के लिए ग्राफिकल स्केल बनाएं जो $1: 50,000$ के स्केल पर बनाया गया है और दूरी को किलोमीटर और मीटर में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए लगभग $15 \mathrm{~cm}$ की लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

1 यूनिट मानचित्र पर 50,000 यूनिट्स जमीन पर दर्शाती है

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $50,000 \mathrm{~cm}$

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $50,000 \times 15 / 100,000 \mathrm{~km}$

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $7.5 \mathrm{~km}$

चूँकि $7.5(\mathrm{~km})$ का मान एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 या $10(\mathrm{~km})$ को गोल संख्या चुन सकते हैं। वर्तमान स्थिति में हम 5 को गोल संख्या चुनते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने वाली रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गणनाएँ की जानी हैं:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ को $15 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया गया है

$\quad 5 \mathrm{~km}$ को $15 \times 5 / 7.5$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

या $\quad 5 \mathrm{~km}$ को $10 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित का पालन करके बनाया जा सकता है

$10 \mathrm{~cm}$ की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें और 0 चिह्न से दाईं ओर के 4 भागों में प्रत्येक के लिए $1 \mathrm{~km}$ का मान निर्धारित करें। साथ ही बाएं छोर के भाग को 10 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 0 से शुरू करते हुए 100 मीटर के मान से चिह्नित करें। (आप इसे 2, 4 या 5 भागों में भी विभाजित कर सकते हैं और प्रत्येक उप-भाग को क्रमशः 0 से 500, 250 या 200 मीटर का मान दे सकते हैं।

आकृति 2.2

समस्या 2 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया स्केल कथन 1 इंच = 1 माइल है और दूरियों को माइलों और फर्लांगों में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल खींचने के लिए लगभग 6 इंच की लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

1 इंच 1 मील को दर्शाता है

या 6 इंच 6 मील को दर्शाते हैं

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

6 इंच की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 6 बराबर भागों में विभाजित करें और दाईं ओर के 5 भागों में प्रत्येक के लिए 1 मील का मान निर्धारित करें। सबसे बाईं ओर के भाग को भी 4 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 0 से शुरू करते हुए 2 मील के मान से चिह्नित करें।

आकृति 2.3

समस्या 3 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया R. F. 1 : 50,000 है और दूरियों को मील और फर्लांग में पढ़ें।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

1 इकाई 50,000 इकाइयों को दर्शाती है

या 1 इंच 50,000 इंच को दर्शाता है।

या 6 " $50,000 \times 6 / 63,360$ मील को दर्शाता है

$=6$ ’ 4.73 मील को दर्शाता है

चूंकि 4.73 (मील) एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 को गोल संख्या के रूप में लेते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने के लिए रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित गणना की जानी चाहिए:

4.73 मील को 6 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाता है

5 मील को $6 \times 5 / 4.73$ इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

$=5$ मील को 6.34 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

5 मील दिखाने के लिए एक ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए हमें 6.34 इंच की एक रेखा खींचनी होगी और उसे 5 बराबर भागों में विभाजित करना होगा। सवाल यह है कि 6.3 इंच की एक असमान रेखा को 5 बराबर भागों में कैसे विभाजित किया जाए। ऐसा करने के लिए हम निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं:

• 6.3 इंच की एक सीधी रेखा खींचें।

• रेखा के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं से $40^{\circ}$ या $45^{\circ}$ के कोण पर रेखाएं खींचें और उन्हें 1 या 1.5 इंच के 5 बराबर भागों में विभाजित करें।

• दो रेखाओं पर अंकित विभाजनों को जोड़ती हुई बिंदीदार रेखाएं खींचें।

• इन रेखाओं के प्राथमिक स्केल पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

ऐसा करने से, आप 6.3 इंच की असमान रेखा को 5 बराबर भागों में विभाजित कर देंगे। आप उसी तरह से प्राथमिक स्केल पर सबसे बाईं ओर वाले भाग को 4 या 8 भागों में विभाजित कर सकते हैं ताकि 1 मील के बराबर फर्लांग की संख्या दिखाई जा सके।

चित्र 2.4 ग्राफिकल स्केल में बराबर विभाजन की ड्राइंग

अभ्यास

1. नीचे दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

(i) निम्नलिखित स्केल की विधियों में से कौन सी एक सार्वभौमिक विधि है?
(a) सिंपल स्टेटमेंट
(b) रिप्रेजेंटेटिव फ्रैक्शन
(c) ग्राफिकल स्केल
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं

(ii) मानचित्र की दूरी पैमाने में इसे भी कहा जाता है:
(a) अंश
(b) हर
(c) पैमाने का कथन
(c) प्रतिनिधि भिन्न

(iii) पैमाने में ‘अंश’ दर्शाता है:
(a) भूमि की दूरी
(b) मानचित्र की दूरी
(c) दोनों दूरियाँ
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

2. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 30 शब्दों में दीजिए:

(i) मापन की दो भिन्न प्रणालियाँ कौन-सी हैं?
(ii) मीट्रिक तथा अंग्रेज़ी प्रणाली में पैमाने के कथन के एक-एक उदाहरण दीजिए।
(iii) प्रतिनिधि भिन्न विधि को सर्वव्यापी विधि क्यों कहा जाता है?
(iv) रेखीय विधि के प्रमुख लाभ क्या हैं?

3. दिए गए पैमाने के कथन को प्रतिनिधि भिन्न (R. F.) में बदलिए।

(i) $5 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $10 \mathrm{~km}$
(ii) 2 इंच दर्शाते हैं 4 मील
(iii) 1 इंच दर्शाता है 1 गज
(iv) $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है 100 मीटर

4. दी गई प्रतिनिधि भिन्न (R. F.) को कोष्ठक में दिखाई गई मापन प्रणाली में पैमाने के कथन में बदलिए:

(i) $1: 100,000$ (किलोमीटर में)
(ii) $1: 31680$ (फरलॉन्ग में)
(iii) $1: 126,720$ (मील में)
(iv) $1: 50,000$ (मीटर में)

5. जब दी गई R. F. $1: 50,000$ हो तो एक रेखीय पैमाना बनाइए और दूरियों को किलोमीटर तथा मीटर में पढ़िए।