మీరు అధ్యాయం 1లో చదివారు, స్కేల్ అనేది అన్ని రకాల మ్యాపులకు అత్యంత అవసరమైన అంశం. ఇది చాలా ముఖ్యమైనది, ఎంత ముఖ్యమంటే, రేఖలు మరియు బహుభుజుల నెట్వర్క్ ఒక స్కేల్ను కలిగి లేకపోతే, దానిని మనం “స్కెచ్” అని పిలుస్తాము. స్కేల్ ఎందుకు ఇంత ముఖ్యమైనది? దాని అర్థం ఏమిటి? మ్యాప్పు పై స్కేల్ను చూపించడానికి వివిధ పద్ధతులు ఏమిటి? దూరాలు మరియు వైశాల్యాన్ని కొలవడంలో స్కేల్ ఎంత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది? ఈ అధ్యాయంలో ఈ ప్రశ్నలను చర్చిద్దాం.

గ్లాసరీ

హారం (Denominator): భిన్నంలో రేఖ క్రింద ఉండే సంఖ్య. ఉదాహరణకు, $1: 50,000,50,000$ భిన్నంలో హారం.
లవం (Numerator): భిన్నంలో రేఖ పైన ఉండే సంఖ్య. ఉదాహరణకు, $1: 50,000,1$ భిన్నంలో లవం.
ప్రతినిధి భిన్నం (Representative Fraction): మ్యాపు లేదా ప్లాన్ యొక్క స్కేల్ను వ్యక్తపరచడానికి ఉపయోగించే ఒక పద్ధతి. ఇది మ్యాపు లేదా ప్లాన్పై ఒక యూనిట్ దూరానికి మరియు నేలపై అదే యూనిట్లలో కొలవబడిన దూరానికి మధ్య నిష్పత్తిని చూపించే భిన్నం రూపంలో ఉంటుంది.

స్కేల్ అంటే ఏమిటి?

మీరు తప్పకుండా స్కేల్ బార్ ఉన్న మ్యాప్లను చూసి ఉంటారు, అది సమాన విభాగాలను సూచిస్తుంది, ప్రతి విభాగం కిలోమీటర్లు లేదా మైళ్ళలో గుర్తించబడి ఉంటుంది. ఈ విభాగాలు మ్యాప్పు పై నేల దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగిస్తారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మ్యాప్ స్కేల్ మ్యాప్ మరియు దానిపై చూపబడిన భూమి ఉపరితలం మొత్తం లేదా ఒక భాగం మధ్య సంబంధాన్ని అందిస్తుంది. మ్యాప్పు పై రెండు బిందువుల మధ్య దూరాల నిష్పత్తి మరియు నేలపై అదే రెండు బిందువుల మధ్య దూరాల నిష్పత్తిగా కూడా ఈ సంబంధాన్ని వ్యక్తపరచవచ్చు.

ఈ సంబంధాన్ని వ్యక్తపరచడానికి కనీసం మూడు మార్గాలు ఉన్నాయి. అవి:

1. స్కేల్ ప్రకటన (Statement of Scale)

2. ప్రతినిధి భిన్నం (R. F.)

3. గ్రాఫికల్ స్కేల్ (Graphical Scale)

స్కేల్ యొక్క ఈ పద్ధతులలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రయోజనాలు మరియు పరిమితులు కలిగి ఉంటాయి. కానీ ఈ విషయాలను చర్చించే ముందు, స్కేల్ సాధారణంగా కొలత యొక్క ఒక వ్యవస్థ లేదా మరొక వ్యవస్థలో వ్యక్తీకరించబడుతుందని అర్థం చేసుకుందాం. మీరు నేలపై రెండు బిందువుల మధ్య సరళ దూరాలను కొలవడానికి కిలోమీటర్, మీటర్, సెంటీమీటర్ మొదలైనవి చదివి మరియు/లేదా ఉపయోగించి ఉండాలి. మీరు మైళ్ళు, ఫర్లాంగ్లు, గజాలు, అడుగులు మొదలైన వాటి గురించి కూడా విని ఉండవచ్చు. ఇవి ప్రపంచంలోని వివిధ దేశాలలో ఉపయోగించే దూరాల కొలత యొక్క రెండు వేర్వేరు వ్యవస్థలు. మున్ముందు వ్యవస్థను మెట్రిక్ సిస్టమ్ ఆఫ్ మెజర్మెంట్ (మెట్రిక్ కొలత వ్యవస్థ)గా సూచిస్తారు మరియు ప్రస్తుతం భారతదేశం మరియు ప్రపంచంలోని అనేక ఇతర దేశాలలో ఉపయోగించబడుతుంది, తరువాతి వ్యవస్థను ఇంగ్లీష్ సిస్టమ్ ఆఫ్ మెజర్మెంట్ (ఇంగ్లీష్ కొలత వ్యవస్థ)గా పిలుస్తారు మరియు యునైటెడ్ స్టేట్స్ మరియు యునైటెడ్ కింగ్డమ్ రెండింటిలోనూ ప్రచలితంలో ఉంది. 1957కి ముందు, సరళ దూరాలను కొలవడం/చూపించడానికి భారతదేశం కూడా ఈ వ్యవస్థను ఉపయోగించేది. ఈ వ్యవస్థల కొలత యూనిట్లు బాక్స్ 2.1లో ఇవ్వబడ్డాయి.

స్కేల్ పద్ధతులు

పైన చెప్పినట్లుగా, మ్యాప్ యొక్క స్కేల్ ఒకటి లేదా ఒకటి కంటే ఎక్కువ స్కేల్ పద్ధతుల కలయికను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరించబడవచ్చు. ఈ పద్ధతులు ఎలా ఉపయోగించబడతాయో మరియు వాటి ప్రయోజనాలు మరియు పరిమితులు ఏమిటో చూద్దాం.

బాక్స్ 2.1 కొలత వ్యవస్థలు

మెట్రిక్ కొలత వ్యవస్థ (Metric System of Measurement)
$1 \mathrm{~km} \quad=1000$ మీటర్లు
1 మీటర్ $=100$ సెంటీమీటర్లు
1 సెంటీమీటర్ $=10$ మిల్లీమీటర్లు
ఇంగ్లీష్ కొలత వ్యవస్థ (English System of Measurement)
1 మైలు $=8$ ఫర్లాంగ్లు
1 ఫర్లాంగ్ $=220$ గజాలు
1 గజం $=3$ అడుగులు
1 అడుగు $=12$ అంగుళాలు

1. స్కేల్ ప్రకటన (Statement of Scale): మ్యాప్ యొక్క స్కేల్ వ్రాతపూర్వక ప్రకటన రూపంలో సూచించబడవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఒక మ్యాప్పు పై $1 \mathrm{~cm}$ $10 \mathrm{~km}$ని సూచిస్తుంది అని వ్రాతపూర్వక ప్రకటన కనిపిస్తే, ఆ మ్యాప్పు పై $1 \mathrm{~cm}$ దూరం సంబంధిత నేల దూరం యొక్క $10 \mathrm{~km}$ని సూచిస్తుంది అని అర్థం. దీనిని ఏదైనా ఇతర కొలత వ్యవస్థలో కూడా వ్యక్తపరచవచ్చు, అనగా 1 అంగుళం 10 మైళ్ళను సూచిస్తుంది. ఇది మూడు పద్ధతులలో సరళమైనది. అయితే, ఒక వ్యవస్థతో పరిచయం ఉన్న వ్యక్తులు మరొక కొలత వ్యవస్థలో ఇవ్వబడిన స్కేల్ ప్రకటనను అర్థం చేసుకోలేరు అని గమనించాలి. ఈ పద్ధతి యొక్క మరొక పరిమితి ఏమిటంటే, మ్యాప్ తగ్గించబడినా లేదా విస్తరించబడినా, స్కేల్ నిరుపయోగంగా మారుతుంది మరియు కొత్త స్కేల్ పని చేయాల్సి ఉంటుంది.

2. గ్రాఫికల్ లేదా బార్ స్కేల్ (Graphical or Bar Scale): రెండవ రకం స్కేల్ మ్యాప్ దూరాలు మరియు సంబంధిత నేల దూరాలను ప్రాథమిక మరియు ద్వితీయ విభాగాలతో గుర్తించబడిన ఒక లైన్ బార్ ఉపయోగించి చూపుతుంది. దీనిని గ్రాఫికల్ స్కేల్ లేదా బార్ స్కేల్ (Fig. 2.1) అని సూచిస్తారు. ఫిగర్ 2.1లో బార్ స్కేల్పై చూపిన విధంగా స్కేల్ రీడింగ్స్ కేవలం కిలోమీటర్లు మరియు మీటర్లలో మాత్రమే చదవబడతాయని గమనించాలి. మరొక బార్ స్కేల్లో రీడింగ్స్ మైళ్ళు మరియు ఫర్లాంగ్లలో చూపబడవచ్చు. అందువల్ల, స్కేల్ ప్రకటన పద్ధతి వలె, ఈ పద్ధతి కూడా దానిని అర్థం చేసుకోగల వారికి మాత్రమే పరిమిత ఉపయోగాన్ని కనుగొంటుంది. అయితే, స్కేల్ ప్రకటన పద్ధతి కాకుండా, మ్యాప్ తగ్గించబడినా లేదా విస్తరించబడినా గ్రాఫికల్ స్కేల్ చెల్లుబాటు అవుతుంది. ఇది మ్యాప్ స్కేల్ యొక్క గ్రాఫికల్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యేక ప్రయోజనం.

Figure 2.1

3. ప్రతినిధి భిన్నం ( R. F. ): మూడవ రకం స్కేల్ R. F. ఇది మ్యాప్ దూరం మరియు సంబంధిత నేల దూరం మధ్య సంబంధాన్ని పొడవు యూనిట్లలో చూపుతుంది. స్కేల్ను వ్యక్తపరచడానికి యూనిట్ల ఉపయోగం దీనిని అత్యంత బహుముఖ పద్ధతిగా చేస్తుంది.

R. F. సాధారణంగా భిన్నం రూపంలో చూపబడుతుంది, ఎందుకంటే నిజమైన ప్రపంచం మ్యాప్పు పై ఉంచడానికి ఎంత తగ్గించబడిందో ఇది చూపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, 1 : 24,000 భిన్నం మ్యాప్పు పై ఒక యూనిట్ పొడవు నేలపై అదే యూనిట్లలో 24,000ని సూచిస్తుందని చూపిస్తుంది, అనగా మ్యాప్పు పై ఒక $\mathrm{mm}$, ఒక $\mathrm{cm}$ లేదా ఒక అంగుళం వరుసగా నేల యొక్క $24,000 \mathrm{~mm}, 24,000 \mathrm{~cm}$ మరియు 24,000 అంగుళాలను సూచిస్తాయి. అయితే, యూనిట్ల భిన్నాన్ని మెట్రిక్ లేదా ఇంగ్లీష్ వ్యవస్థలుగా మార్చేటప్పుడు, సెంటీమీటర్ లేదా అంగుళంలోని యూనిట్లు సాధారణంగా ఆచారం ప్రకారం ఉపయోగించబడతాయని గమనించాలి. R. F.లో యూనిట్లలో స్కేల్ను వ్యక్తపరచే ఈ గుణం దీనిని సార్వత్రికంగా ఆమోదయోగ్యమైన మరియు ఉపయోగకరమైన పద్ధతిగా చేస్తుంది. R. F. యొక్క సార్వత్రిక స్వభావాన్ని వివరించడానికి $1: 36,000$ R. F. ను తీసుకుందాం.

ఇచ్చిన స్కేల్ $1: 36,000$ అయితే, మెట్రిక్ వ్యవస్థతో పరిచయం ఉన్న వ్యక్తి ఇచ్చిన యూనిట్లను $\mathrm{cm}$గా మార్చి చదువుతారు, అనగా మ్యాప్పు పై 1 యూనిట్ దూరం $1 \mathrm{~cm}$గా మరియు నేల దూరంలో 36,000 యూనిట్ల దూరం $36,000 \mathrm{~cm}$గా. ఈ విలువలు తరువాత స్కేల్ ప్రకటనగా మార్చబడవచ్చు, అనగా $1 \mathrm{~cm}$ 360 మీటర్లను సూచిస్తుంది. (హారంలోని విలువలను ఒక మీటరులోని సెంటీమీటర్ల సంఖ్యతో భాగించడం ద్వారా, అనగా 100). మ్యాప్ యొక్క మరొక వినియోగదారు, ఇంగ్లీష్ కొలత వ్యవస్థతో పరిచయం ఉన్నవాడు, దానిని తనకు సౌకర్యవంతమైన స్కేల్ ప్రకటనగా మార్చడం ద్వారా మ్యాప్ స్కేల్ను అర్థం చేసుకుంటాడు మరియు మ్యాప్ స్కేల్ను 1 అంగుళం 1,000 గజాలను సూచిస్తుంది అని చదువుతాడు. పేర్కొన్న స్కేల్ ప్రకటన 36,000 యూనిట్లను హారంలో 36తో భాగించడం ద్వారా (ఒక గజంలోని అంగుళాల సంఖ్య) పొందబడుతుంది.

స్కేల్ మార్పిడి

మీరు వివిధ స్కేల్ పద్ధతుల ప్రయోజనాలు మరియు పరిమితులను జాగ్రత్తగా చదివి ఉంటే, స్కేల్ ప్రకటనను ప్రతినిధి భిన్నంగా మార్చడం మరియు దీనికి విరుద్ధంగా మార్చడం మీకు కష్టంగా ఉండదు.

స్కేల్ ప్రకటనను R. F.గా మార్చడం

సమస్య 1 అంగుళం 4 మైళ్ళను సూచిస్తుంది అనే ఇచ్చిన స్కేల్ ప్రకటనను R. F.గా మార్చండి.

పరిష్కారం ఇచ్చిన స్కేల్ ప్రకటనను క్రింది దశలను ఉపయోగించి R. F.గా మార్చవచ్చు.

1 అంగుళం 4 మైళ్ళను సూచిస్తుంది

లేదా $\quad 1$ అంగుళం $4 \times 63,360$ అంగుళాలను సూచిస్తుంది ( 1 మైలు $=63,360$ అంగుళాలు)

లేదా $\quad 1$ అంగుళం 253,440 అంగుళాలను సూచిస్తుంది

గమనిక : మనం ఇప్పుడు “అంగుళాలు” అనే అక్షరాన్ని “యూనిట్లు"గా మార్చి దానిని ఇలా చదవవచ్చు :

1 యూనిట్ 253,440 యూనిట్లను సూచిస్తుంది

సమాధానం R. F. $1: 253,440$

R. F. ను స్కేల్ ప్రకటనగా మార్చడం

సమస్య R. F. $1: 253,440$ ను స్కేల్ ప్రకటనగా మార్చండి (మెట్రిక్ వ్యవస్థలో)

పరిష్కారం ఇచ్చిన R. F. $1: 253,440$ ను క్రింది దశలను ఉపయోగించి స్కేల్ ప్రకటనగా మార్చవచ్చు :

$1: 253,440$ అంటే

మ్యాప్పు పై 1 యూనిట్ నేలపై 253, 440 యూనిట్లను సూచిస్తుంది.

లేదా $\quad 1 \mathrm{~cm}$ 253, 440/100,000 $(1 \mathrm{~km}=100,000$ సెం.మీ)ని సూచిస్తుంది

లేదా $\quad 1 \mathrm{~cm}$ $2.5344 \mathrm{~km}$ని సూచిస్తుంది

2 దశాంశాల వరకు రౌండ్ ఆఫ్ చేసిన తర్వాత, సమాధానం ఇలా ఉంటుంది :

సమాధానం $1 \mathrm{~cm}$ $2.53 \mathrm{~km}$ని సూచిస్తుంది

గ్రాఫికల్/బార్ స్కేల్ నిర్మాణం

సమస్య 1 $1: 50,000$ స్కేల్లో గీయబడిన మ్యాప్ కోసం గ్రాఫికల్ స్కేల్ను నిర్మించండి మరియు దూరాలను కిలోమీటర్ మరియు మీటర్లలో చదవండి.

గమనిక: $\quad$ ఆచారం ప్రకారం, గ్రాఫికల్ స్కేల్ గీయడానికి దాదాపు $15 \mathrm{~cm}$ పొడవు తీసుకోబడుతుంది.

లెక్కలు గ్రాఫికల్ స్కేల్ కోసం లైన్ పొడవును పొందడానికి, ఈ దశలను అనుసరించవచ్చు:

$1: 50,000$ అంటే

మ్యాప్ యొక్క 1 యూనిట్ నేలపై 50,000 యూనిట్లను సూచిస్తుంది

లేదా $\quad 1 \mathrm{~cm}$ $50,000 \mathrm{~cm}$ని సూచిస్తుంది

లేదా $\quad 15 \mathrm{~cm}$ $50,000 \times 15 / 100,000 \mathrm{~km}$ని సూచిస్తుంది

లేదా $\quad 15 \mathrm{~cm}$ $7.5 \mathrm{~km}$ని సూచిస్తుంది

$7.5(\mathrm{~km})$ విలువ రౌండ్ సంఖ్య కాదు కాబట్టి, మనం 5 లేదా $10(\mathrm{~km})$ని రౌండ్ సంఖ్యగా ఎంచుకోవచ్చు. ప్రస్తుత సందర్భంలో, మనం 5ని రౌండ్ సంఖ్యగా ఎంచుకుంటాము.

$5 \mathrm{~km}$ని చూపించడానికి లైన్ పొడవును నిర్ణయించడానికి, క్రింది లెక్కలు చేయాలి:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ $15 \mathrm{~cm}$ పొడవు గల రేఖ ద్వారా సూచించబడుతుంది

$\quad 5 \mathrm{~km}$ $15 \times 5 / 7.5$ పొడవు గల రేఖ ద్వారా సూచించబడుతుంది

లేదా $\quad 5 \mathrm{~km}$ $10 \mathrm{~cm}$ పొడవు గల రేఖ ద్వారా సూచించబడుతుంది

నిర్మాణం గ్రాఫికల్ స్కేల్ క్రింది విధంగా నిర్మించబడుతుంది

$10 \mathrm{~cm}$ పొడవు గల సరళ రేఖను గీయండి మరియు దానిని 5 సమాన భాగాలుగా విభజించండి మరియు 0 గుర్తు నుండి 4 కుడి వైపు విభాగాలకు ప్రతి ఒక్కటి $1 \mathrm{~km}$ విలువను కేటాయించండి. అలాగే అత్యంత ఎడమ వైపు విభాగాన్ని 10 సమాన భాగాలుగా విభజించండి మరియు ప్రతి విభాగాన్ని 0 నుండి ప్రారంభించి 100 మీటర్ల విలువతో గుర్తించండి. (మీరు దానిని 2, 4, లేదా 5 భాగాలుగా కూడా విభజించవచ్చు మరియు 0 నుండి వరుసగా ప్రతి ఉపవిభాగానికి 500,250 , లేదా 200 మీటర్ల విలువను కేటాయించవచ్చు.

Figure 2.2

సమస్య 2 ఇచ్చిన స్కేల్ ప్రకటన 1 అంగుళం 1 మైలును సూచిస్తుంది అయినప్పుడు గ్రాఫికల్ స్కేల్ను నిర్మించండి మరియు దూరాలను మైళ్ళు మరియు ఫర్లాంగ్లలో చదవండి.

గమనిక: $\quad$ ఆచారం ప్రకారం, గ్రాఫికల్ స్కేల్ గీయడానికి దాదాపు 6 అంగుళాల పొడవు తీసుకోబడుతుంది.

లెక్కలు గ్రాఫికల్ స్కేల్ కోసం లైన్ పొడవును పొందడానికి, ఈ దశలను అనుసరించవచ్చు:

1 అంగుళం 1 మైలును సూచిస్తుంది

లేదా 6 అంగుళాలు 6 మైళ్ళను సూచిస్తాయి

నిర్మాణం గ్రాఫికల్ స్కేల్ క్రింది దశలలో నిర్మించబడుతుంది:

6 అంగుళాల సరళ రేఖను గీయండి మరియు దానిని 6 సమాన భాగాలుగా విభజించండి మరియు 5 కుడి వైపు విభాగాలకు ప్రతి ఒక్కటి 1 మైలు విలువను కేటాయించండి. అలాగే అత్యంత ఎడమ వైపు విభాగాన్ని 4 సమాన భాగాలుగా విభజించండి మరియు ప్రతి విభాగాన్ని 0 నుండి ప్రారంభించి 2 మైళ్ళ విలువతో గుర్తించండి.

Figure 2.3

సమస్య 3 ఇచ్చిన R. F. 1 : 50,000 అయినప్పుడు గ్రాఫికల్ స్కేల్ను నిర్మించండి మరియు దూరాలను మైళ్ళు మరియు ఫర్లాంగ్లలో చదవండి.

లెక్కలు గ్రాఫికల్ స్కేల్ కోసం లైన్ పొడవును పొందడానికి, ఈ దశలను అనుసరించవచ్చు:

$1: 50,000$ అంటే

1 యూనిట్ 50,000 యూనిట్లను సూచిస్తుంది

లేదా 1 అంగుళం 50,000 అంగుళాలను సూచిస్తుంది.

లేదా 6 " $50,000 \times 6 / 63,360$ మైళ్ళను సూచిస్తుంది

$=6$ ’ 4.73 మైళ్ళను సూచిస్తుంది

4.73 (మైళ్ళు) అనే సంఖ్య రౌండ్ సంఖ్య కాదు కాబట్టి, మనం 5ని రౌండ్ సంఖ్యగా తీసుకుంటాము.

$5 \mathrm{~km}$ని చూపించడానికి లైన్ పొడవును నిర్ణయించడానికి, క్రింది లెక్కలు చేయాలి :

4.73 మైళ్ళు 6 అంగుళాల పొడవు గల రేఖ ద్వారా సూచించబడతాయి

5 మైళ్ళు $6 \times 5 / 4.73$ పొడవు గల రేఖ ద్వారా సూచించబడతాయి

$=5$ మైళ్ళు 6.34 అంగుళాల పొడవు గల రేఖ ద్వారా సూచించబడతాయి

నిర్మాణం గ్రాఫికల్ స్కేల్ క్రింది దశలలో నిర్మించబడుతుంది:

5 మైళ్ళను చూపించడానికి గ్రాఫికల్ స్కేల్ను నిర్మించడానికి మనం 6.34 అంగుళాల రేఖను గీయాలి మరియు దానిని 5 సమాన భాగాలుగా విభజించాలి. 6.3 అంగుళాల అసమాన రేఖను 5 సమాన భాగాలుగా ఎలా విభజించవచ్చు అనేది ప్రశ్న. దీన్ని చేయడానికి మనం క్రింది విధానాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

• 6.3 అంగుళాల సరళ రేఖను గీయండి.

• రేఖల ప్రారంభ మరియు ముగింపు నోడ్ల నుండి $40^{\circ}$ లేదా $45^{\circ}$ కోణంలో రేఖలను గీయండి మరియు వాటిని 1 లేదా 1.5 అంగుళాల ప్రతి 5 సమాన భాగాలుగా విభజించండి.

• రెండు రేఖలపై గుర్తించబడిన విభాగాలను కలిపే చుక్కల రేఖలను గీయండి.

• ప్రాథమిక స్కేల్పై ఈ రేఖల ఖండన బిందువులను గుర్తించండి.

ఇలా చేయడం ద్వారా, మీరు 6.3 అంగుళాల అసమాన రేఖను 5 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తారు. 1 మైలుకు సమానమైన ఫర్లాంగ్ల సంఖ్యను చూపించడానికి మీరు ప్రాథమిక స్కేల్పై అత్యంత ఎడమ భాగాన్ని 4 లేదా 8 భాగాలుగా విభజించడానికి అదే విధంగా పునరావృతం చేయవచ్చు.

Figure 2.4 గ్రాఫికల్ స్కేల్లో సమాన విభాగాలను గీయడం

వ్యాయామం

1. క్రింద ఇవ్వబడిన నాలుగు ప్రత్యామ్నాయాల నుండి సరైన సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి:

(i) క్రింది స్కేల్ పద్ధతులల