12.1 تعارف

آپ نویں جماعت سے کچھ ٹھوس اشیاء جیسے مکعب، مخروط، اسطوانہ اور کرہ (شکل 12.1 دیکھیں) سے واقف ہیں۔ آپ نے ان کے سطحی رقبے اور حجم نکالنے کا طریقہ بھی سیکھا ہے۔

شکل 12.1

ہماری روزمرہ کی زندگی میں، ہم بہت سی ایسی ٹھوس اشیاء دیکھتے ہیں جو اوپر دکھائے گئے بنیادی ٹھوس اشیاء میں سے دو یا زیادہ کے مجموعے سے بنی ہوتی ہیں۔

آپ نے ضرور ایک ٹرک دیکھا ہوگا جس کی پشت پر ایک کنٹینر لگا ہوا ہے (شکل 12.2 دیکھیں)، جو تیل یا پانی ایک جگہ سے دوسری جگہ لے جا رہا ہے۔ کیا یہ اوپر بیان کردہ چار بنیادی ٹھوس اشیاء میں سے کسی کی شکل میں ہے؟ آپ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ یہ ایک اسطوانہ اور دو نصف کرہ کو اس کے سروں پر لگا کر بنایا گیا ہے۔

شکل 12.2

پھر، آپ نے شکل 12.3 میں دکھائی گئی چیز ضرور دیکھی ہوگی۔ کیا آپ اس کا نام بتا سکتے ہیں؟ ایک ٹیسٹ ٹیوب، ٹھیک ہے! آپ نے اپنی سائنس لیبارٹری میں اس کا استعمال کیا ہوگا۔ یہ ٹیوب بھی ایک اسطوانہ اور ایک نصف کرہ کا مجموعہ ہے۔ اسی طرح، سفر کے دوران، آپ نے کچھ بڑی اور خوبصورت عمارتیں یا یادگاریں دیکھی ہوں گی جو اوپر بیان کردہ ٹھوس اشیاء کے مجموعے سے بنی ہیں۔

اگر کسی وجہ سے آپ کو ایسی اشیاء کے سطحی رقبے، یا حجم، یا گنجائش معلوم کرنی ہو، تو آپ یہ کیسے کریں گے؟ ہم انہیں آپ کے پہلے سے پڑھے ہوئے ٹھوس اشیاء میں سے کسی کے تحت درجہ بندی نہیں کر سکتے۔

شکل 12.3

اس باب میں، آپ دیکھیں گے کہ ایسی اشیاء کے سطحی رقبے اور حجم کیسے معلوم کیے جاتے ہیں۔

12.2 ٹھوس اشیاء کے مجموعے کا سطحی رقبہ

آئیے شکل 12.2 میں دکھائے گئے کنٹینر پر غور کریں۔ ہم ایسے ٹھوس کا سطحی رقبہ کیسے معلوم کریں؟ اب، جب بھی ہمارے سامنے کوئی نیا مسئلہ آتا ہے، ہم پہلے یہ دیکھنے کی کوشش کرتے ہیں کہ کیا ہم اسے چھوٹے مسائل میں توڑ سکتے ہیں جو ہم نے پہلے حل کیے ہیں۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ ٹھوس ایک اسطوانہ اور دو نصف کرہ کو دونوں سروں پر جوڑ کر بنایا گیا ہے۔ جب ہم تمام ٹکڑوں کو اکٹھا کر لیں گے تو یہ شکل 12.4 میں دکھائی گئی چیز کی طرح نظر آئے گا۔

شکل 12.4

اگر ہم نئی بننے والی شے کی سطح پر غور کریں، تو ہم صرف دو نصف کرہ کے خمیدہ سطحی رقبے اور اسطوانہ کے خمیدہ سطحی رقبے کو ہی دیکھ سکیں گے۔

لہٰذا، نئے ٹھوس کا کل سطحی رقبہ ہر ایک حصے کے خمیدہ سطحی رقبوں کا مجموعہ ہے۔ اس سے ملتا ہے،

نئے ٹھوس کا کل سطحی رقبہ $=$ ایک نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ + اسطوانہ کا خمیدہ سطحی رقبہ + دوسرے نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ

جہاں کل سطحی رقبہ اور خمیدہ سطحی رقبہ بالترتیب ‘کل سطحی رقبہ’ اور ‘خمیدہ سطحی رقبہ’ کے لیے ہیں۔

آئیے اب ایک اور صورت حال پر غور کریں۔ فرض کریں ہم ایک نصف کرہ اور ایک مخروط کو جوڑ کر ایک کھلونا بنا رہے ہیں۔ آئیے وہ مراحل دیکھیں جو ہم طے کریں گے۔

پہلے، ہم ایک مخروط اور ایک نصف کرہ لیں گے اور ان کی چپٹی سطحوں کو ایک ساتھ ملا دیں گے۔ یہاں، بلاشبہ، ہم مخروط کی بنیادی رداس کو نصف کرہ کی رداس کے برابر رکھیں گے، تاکہ کھلونے کی سطح ہموار رہے۔ لہٰذا، مراحل شکل 12.5 میں دکھائے گئے ہوں گے۔

شکل 12.5

اپنی کوشش کے اختتام پر، ہمیں ایک اچھا گول تہہ والا کھلونا مل گیا ہے۔ اب اگر ہم جاننا چاہیں کہ اس کھلونے کی سطح کو رنگنے کے لیے ہمیں کتنی پینٹ درکار ہوگی، تو ہمیں کیا جاننے کی ضرورت ہوگی؟ ہمیں کھلونے کا سطحی رقبہ معلوم کرنے کی ضرورت ہوگی، جو نصف کرہ کے خمیدہ سطحی رقبے اور مخروط کے خمیدہ سطحی رقبے پر مشتمل ہے۔

لہٰذا، ہم کہہ سکتے ہیں:

کھلونے کا کل سطحی رقبہ $=$ نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ + مخروط کا خمیدہ سطحی رقبہ

اب، آئیے کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : رشید کو اپنے سالگرہ کے تحفے میں ایک لٹو ملا، جس پر حیرت انگیز طور پر کوئی رنگ نہیں تھا۔ وہ اسے اپنے کریون سے رنگنا چاہتا تھا۔ لٹو ایک مخروط کی شکل کا ہے جس کے اوپر ایک نصف کرہ نصب ہے (شکل 12.6 دیکھیں)۔ پورے لٹو کی اونچائی $5 \mathrm{~cm}$ ہے اور لٹو کا قطر $3.5 \mathrm{~cm}$ ہے۔ رنگنے کے لیے درکار رقبہ معلوم کریں۔ ($\pi=\dfrac{22}{7}$ لیں)

شکل 12.6

حل : یہ لٹو بالکل اسی چیز کی طرح ہے جس پر ہم نے شکل 12.5 میں بحث کی تھی۔ لہٰذا، ہم وہاں پہنچے نتیجے کو آسانی سے استعمال کر سکتے ہیں۔ یعنی:

$ \text { کھلونے کا کل سطحی رقبہ }=\text { نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ }+ \text { مخروط کا خمیدہ سطحی رقبہ } $

اب، نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

نیز، مخروط کی اونچائی = لٹو کی اونچائی - نصف کرہ والے حصے کی اونچائی (رداس)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

لہٰذا، مخروط کا ترچھا ارتفاع $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (تقریباً)

لہٰذا، مخروط کا خمیدہ سطحی رقبہ $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

اس سے لٹو کا سطحی رقبہ ملتا ہے

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

آپ نوٹ کر سکتے ہیں کہ ‘لٹو کا کل سطحی رقبہ’ مخروط اور نصف کرہ کے کل سطحی رقبوں کا مجموعہ نہیں ہے۔

مثال 2 : شکل 12.7 میں دکھایا گیا آرائشی بلاک دو ٹھوس اشیاء - ایک مکعب اور ایک نصف کرہ - سے بنا ہے۔ بلاک کی بنیاد ایک مکعب ہے جس کا کنارہ $5 \mathrm{~cm}$ ہے، اور اوپر نصب نصف کرہ کا قطر $4.2 \mathrm{~cm}$ ہے۔ بلاک کا کل سطحی رقبہ معلوم کریں۔ ($\pi=\dfrac{22}{7}$ لیں)

شکل 12.7

حل : مکعب کا کل سطحی رقبہ $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$۔

نوٹ کریں کہ مکعب کا وہ حصہ جہاں نصف کرہ لگا ہوا ہے، سطحی رقبے میں شامل نہیں ہے۔

لہٰذا، بلاک کا سطحی رقبہ $=$ مکعب کا کل سطحی رقبہ - نصف کرہ کا بنیادی رقبہ + نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

مثال 3 : ایک لکڑی کا کھلونا راکٹ ایک مخروط کی شکل میں ہے جو ایک اسطوانہ پر نصب ہے، جیسا کہ شکل 12.8 میں دکھایا گیا ہے۔ پورے راکٹ کی اونچائی $26 \mathrm{~cm}$ ہے، جبکہ مخروطی حصے کی اونچائی $6 \mathrm{~cm}$ ہے۔ مخروطی حصے کی بنیاد کا قطر $5 \mathrm{~cm}$ ہے، جبکہ اسطوانہ نما حصے کی بنیاد کا قطر $3 \mathrm{~cm}$ ہے۔ اگر مخروطی حصے کو نارنجی اور اسطوانہ نما حصے کو پیلا رنگنا ہو، تو راکٹ کے ہر رنگ سے رنگے جانے والے رقبے معلوم کریں۔ ($\pi=3.14$ لیں)

شکل 12.8

حل : مخروط کی رداس کو $r$ سے، مخروط کے ترچھے ارتفاع کو $l$ سے، مخروط کی اونچائی کو $h$ سے، اسطوانہ کی رداس کو $r^{\prime}$ سے اور اسطوانہ کی اونچائی کو $h^{\prime}$ سے ظاہر کریں۔ پھر $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ اور

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

یہاں، مخروطی حصہ اپنی دائرہ نما بنیاد کو اسطوانہ کی بنیاد پر رکھتا ہے، لیکن مخروط کی بنیاد اسطوانہ کی بنیاد سے بڑی ہے۔ لہٰذا، مخروط کی بنیاد کا ایک حصہ (ایک انگوٹھی) رنگنا ہوگا۔

لہٰذا، نارنجی رنگنے کے لیے رقبہ $=$ مخروط کا خمیدہ سطحی رقبہ + مخروط کا بنیادی رقبہ - اسطوانہ کا بنیادی رقبہ

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

اب، پیلا رنگنے کے لیے رقبہ $=$ اسطوانہ کا خمیدہ سطحی رقبہ + اسطوانہ کے ایک بنیاد کا رقبہ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

مثال 4 : مایانک نے اپنے باغ کے لیے ایک پرندوں کے نہانے کی جگہ اسطوانہ کی شکل میں بنائی جس کے ایک سرے پر ایک نصف کرہ نما گڑھا ہے (شکل 12.9 دیکھیں)۔ اسطوانہ کی اونچائی $1.45 \mathrm{~m}$ ہے اور اس کی رداس $30 \mathrm{~cm}$ ہے۔ پرندوں کے نہانے کی جگہ کا کل سطحی رقبہ معلوم کریں۔ ($\pi=\dfrac{22}{7}$ لیں)

شکل 12.9

حل : فرض کریں $h$ اسطوانہ کی اونچائی ہے، اور $r$ اسطوانہ اور نصف کرہ کی مشترکہ رداس ہے۔ پھر، پرندوں کے نہانے کی جگہ کا کل سطحی رقبہ $=$ اسطوانہ کا خمیدہ سطحی رقبہ + نصف کرہ کا خمیدہ سطحی رقبہ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ٹھوس اشیاء کے مجموعے کا حجم

پچھلے حصے میں، ہم نے بحث کی تھی کہ دو بنیادی ٹھوس اشیاء کے مجموعے سے بنی ٹھوس اشیاء کا سطحی رقبہ کیسے معلوم کیا جائے۔ یہاں، ہم دیکھیں گے کہ ان کے حجم کا حساب کیسے لگایا جائے۔ یہ نوٹ کیا جا سکتا ہے کہ سطحی رقبہ کا حساب لگاتے وقت، ہم نے دونوں اجزاء کے سطحی رقبوں کو نہیں جوڑا، کیونکہ انہیں جوڑنے کے عمل میں سطحی رقبے کا کچھ حصہ غائب ہو گیا تھا۔ تاہم، جب ہم حجم کا حساب لگائیں گے تو ایسا نہیں ہوگا۔ دو بنیادی ٹھوس اشیاء کو جوڑ کر بننے والے ٹھوس کا حجم درحقیقت اجزاء کے حجم کا مجموعہ ہوگا، جیسا کہ ہم نیچے دی گئی مثالوں میں دیکھیں گے۔

مثال 5 : شانتا ایک صنعت چلاتی ہے جو ایک شیڈ میں ہے جو ایک مکعب نما شکل پر ایک نصف اسطوانہ کے ساتھ نصب ہے (شکل 12.12 دیکھیں)۔ اگر شیڈ کی بنیاد کی پیمائش $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ ہے، اور مکعب نما حصے کی اونچائی $8 \mathrm{~m}$ ہے، تو شیڈ میں موجود ہوا کا حجم معلوم کریں۔ مزید، فرض کریں کہ شیڈ میں مشینری کل $300 \mathrm{~m}^{3}$ جگہ گھیرتی ہے، اور وہاں 20 کارکن ہیں، جن میں سے ہر ایک اوسطاً تقریباً $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ جگہ گھیرتا ہے۔ پھر، شیڈ میں کتنی ہوا ہے؟ ($\pi=\dfrac{22}{7}$ لیں)

شکل 12.12

حل : شیڈ کے اندر ہوا کا حجم (جب وہاں کوئی لوگ یا مشینری نہ ہو) مکعب نما اور نصف اسطوانہ کے اندر موجود ہوا کے حجم کے مجموعے سے دیا جاتا ہے۔

اب، مکعب نما کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی بالترتیب $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ اور $8 \mathrm{~m}$ ہیں۔ نیز، نصف اسطوانہ کا قطر $7 \mathrm{~m}$ ہے اور اس کی اونچائی $15 \mathrm{~m}$ ہے۔

لہٰذا، مطلوبہ حجم $=$ مکعب نما کا حجم $+\dfrac{1}{2}$ اسطوانہ کا حجم

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

اگلا، مشینری کے ذریعہ گھیری گئی کل جگہ $=300 \mathrm{~m}^{3}$

اور کارکنوں کے ذریعہ گھیری گئی کل جگہ $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

لہٰذا، جب مشینری اور کارکن موجود ہوں تو ہوا کا حجم

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

مثال 6 : ایک جوس فروش اپنے گاہکوں کو گلاس استعمال کرتے ہوئے جوس پیش کر رہا تھا جیسا کہ شکل 12.13 میں دکھایا گیا ہے۔ اسطوانہ نما گلاس کا اندرونی قطر $5 \mathrm{~cm}$ تھا، لیکن گلاس کی تہہ پر ایک نصف کرہ نما ابھرا ہوا حصہ تھا جس نے گلاس کی گنجائش کم کر دی تھی۔ اگر گلاس کی اونچائی $10 \mathrm{~cm}$ تھی، تو گلاس کی ظاہری گنجائش اور اس کی اصل گنجائش معلوم کریں۔ ($\pi=3.14$ استعمال کریں۔)

شکل 12.13

حل : چونکہ گلاس کا اندرونی قطر $=5 \mathrm{~cm}$ اور اونچائی $=10 \mathrm{~cm}$ ہے، لہٰذا گلاس کی ظاہری گنجائش $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

لیکن گلاس کی اصل گنجائش گلاس کی تہہ پر موجود نصف کرہ کے حجم سے کم ہے۔

یعنی، $\quad$ یہ $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ سے کم ہے

لہٰذا، گلاس کی اصل گنجائش $=$ گلاس کی ظاہری گنجائش - نصف کرہ کا حجم

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

مثال 7 : ایک ٹھوس کھلونا ایک نصف کرہ کے اوپر ایک صحیح دائری مخروط نصب ہونے کی شکل میں ہے۔ مخروط کی اونچائی $2 \mathrm{~cm}$ ہے اور بنیاد کا قطر $4 \mathrm{~cm}$ ہے۔ کھلونے کا حجم معلوم کریں۔ اگر ایک صحیح دائری اسطوانہ کھلونے کے گرد محیط ہو، تو اسطوانہ اور کھلونے کے حجم کا فرق معلوم کریں۔ ($\pi=3.14$ لیں)

شکل 12.14

حل : فرض کریں BPC نصف کرہ ہے اور ABC مخروط ہے جو نصف کرہ کی بنیاد پر کھڑا ہے (شکل 12.14 دیکھیں)۔ نصف کرہ (اور اسی طرح مخروط) کی رداس BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$ ہے۔

لہٰذا، کھلونے کا حجم $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

اب، فرض کریں صحیح دائری اسطوانہ EFGH دیے گئے ٹھوس کے گرد محیط ہے۔ صحیح دائری اسطوانہ کی بنیاد کی رداس $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$ ہے، اور اس کی اونچائی ہے

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

لہٰذا، مطلوبہ حجم $=$ صحیح دائری اسطوانہ کا حجم - کھلونے کا حجم

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

لہٰذا، دو حجم کا مطلوبہ فرق $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$۔

12.4 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. کسی ایسی شے کا سطحی رقبہ معلوم کرنا جو دو بنیادی ٹھوس اشیاء، یعنی مکعب، مخروط، اسطوانہ، کرہ اور نصف کرہ میں سے کسی دو کے مجموعے سے بنی ہو۔

2. مکعب، مخروط، اسطوانہ، کرہ اور نصف کرہ میں سے کسی دو کے مجموعے سے بنی اشیاء کا حجم معلوم کرنا۔