12.1 పరిచయం

తరగతి IX నుండి, మీరు దీర్ఘఘనం, శంఖువు, స్థూపం మరియు గోళం వంటి కొన్ని ఘనపదార్థాలతో (Fig. 12.1 చూడండి) పరిచయం కలిగి ఉన్నారు. వాటి ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘనపరిమాణాలను ఎలా కనుగొనాలో కూడా మీరు నేర్చుకున్నారు.

Fig. 12.1

మన రోజువారీ జీవితంలో, పైన చూపిన ప్రాథమిక ఘనపదార్థాలలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కలయికతో తయారైన అనేక ఘనపదార్థాలను మనం చూస్తూ ఉంటాం.

మీరు ఖచ్చితంగా ఒక ట్రక్కును దాని వెనుక భాగంలో ఒక కంటైనర్ ఉండేలా (Fig. 12.2 చూడండి) చూసి ఉంటారు, అది ఒక ప్రదేశం నుండి మరొక ప్రదేశానికి నూనె లేదా నీటిని రవాణా చేస్తుంది. ఇది పైన పేర్కొన్న నాలుగు ప్రాథమిక ఘనపదార్థాల ఆకారంలో ఉందా? ఇది ఒక స్థూపం మరియు దాని రెండు చివర్లలో రెండు అర్ధగోళాలతో తయారు చేయబడిందని మీరు ఊహించవచ్చు.

Fig. 12.2

మళ్ళీ, మీరు Fig. 12.3 లో ఉన్న వస్తువు వంటి వస్తువును చూసి ఉండవచ్చు. దానికి పేరు పెట్టగలరా? ఒక టెస్ట్ ట్యూబ్, సరియైనది! మీరు మీ సైన్స్ ప్రయోగశాలలో దానిని ఉపయోగించి ఉంటారు. ఈ ట్యూబ్ కూడా ఒక స్థూపం మరియు ఒక అర్ధగోళం యొక్క కలయిక. అదేవిధంగా, ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, మీరు పైన పేర్కొన్న ఘనపదార్థాల కలయికతో తయారు చేయబడిన కొన్ని పెద్ద మరియు అందమైన భవనాలు లేదా స్మారక చిహ్నాలను చూసి ఉండవచ్చు.

ఏదైనా కారణంగా మీరు అటువంటి వస్తువుల ఉపరితల వైశాల్యాలు, లేదా ఘనపరిమాణాలు, లేదా సామర్థ్యాలను కనుగొనాలనుకుంటే, మీరు దానిని ఎలా చేస్తారు? ఇవి మీరు ఇప్పటికే అధ్యయనం చేసిన ఏ ఘనపదార్థాల కిందా వర్గీకరించలేము.

Fig. 12.3

ఈ అధ్యాయంలో, అటువంటి వస్తువుల ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘనపరిమాణాలను ఎలా కనుగొనాలో మీరు చూస్తారు.

12.2 ఘనపదార్థాల కలయిక యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం

Fig. 12.2 లో చూపిన కంటైనర్ను పరిశీలిద్దాం. అటువంటి ఘనపదార్థం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని మనం ఎలా కనుగొంటాము? ఇప్పుడు, మనం ఒక కొత్త సమస్యను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, దానిని మనం ఇంతకు ముందు పరిష్కరించిన చిన్న సమస్యలుగా విభజించగలమా అని మొదట ప్రయత్నిస్తాము. ఈ ఘనపదార్థం ఒక స్థూపం మరియు దాని రెండు చివర్లలో అతుక్కొన్న రెండు అర్ధగోళాలతో తయారు చేయబడిందని మనం చూడగలం. మనం ముక్కలన్నింటినీ కలిపిన తర్వాత, Fig. 12.4 లో మనకు ఉన్నట్లుగా ఇది కనిపిస్తుంది.

Fig. 12.4

మనం కొత్తగా ఏర్పడిన వస్తువు యొక్క ఉపరితలాన్ని పరిశీలిస్తే, రెండు అర్ధగోళాల వక్ర ఉపరితలాలు మరియు స్థూపం యొక్క వక్ర ఉపరితలం మాత్రమే మనం చూడగలం.

కాబట్టి, కొత్త ఘనపదార్థం యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం ప్రతి వ్యక్తిగత భాగాల వక్ర ఉపరితల వైశాల్యాల మొత్తం. ఇది ఇలా ఇస్తుంది,

కొత్త ఘనపదార్థం యొక్క TSA $=$ ఒక అర్ధగోళం యొక్క CSA + స్థూపం యొక్క CSA + మరొక అర్ధగోళం యొక్క CSA

ఇక్కడ TSA, CSA లు వరుసగా ‘మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం’ మరియు ‘వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం’ అనే పదాలను సూచిస్తాయి.

ఇప్పుడు మరొక పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం. మనం ఒక అర్ధగోళం మరియు ఒక శంఖువును కలిపి ఒక బొమ్మను తయారు చేస్తున్నామని అనుకుందాం. మనం వెళ్లే దశలను చూద్దాం.

మొదట, మనం ఒక శంఖువు మరియు ఒక అర్ధగోళాన్ని తీసుకొని వాటి సమతల ముఖాలను కలుపుతాము. ఇక్కడ, బొమ్మకు మృదువైన ఉపరితలం ఉండాలి కాబట్టి, శంఖువు యొక్క భూమి వ్యాసార్థాన్ని అర్ధగోళం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా తీసుకుంటాము. కాబట్టి, దశలు Fig. 12.5 లో చూపిన విధంగా ఉంటాయి.

Fig. 12.5

మన ప్రయత్నం చివరిలో, మనకు ఒక మంచి గుండ్రని అడుగు ఉన్న బొమ్మ లభించింది. ఇప్పుడు ఈ బొమ్మ యొక్క ఉపరితలాన్ని రంగు వేయడానికి మనకు ఎంత పెయింట్ అవసరమో తెలుసుకోవాలనుకుంటే, మనకు ఏమి తెలుసుకోవాలి? బొమ్మ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం తెలుసుకోవాలి, ఇందులో అర్ధగోళం యొక్క CSA మరియు శంఖువు యొక్క CSA ఉంటాయి.

కాబట్టి, మనం ఇలా చెప్పగలం:

బొమ్మ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం $=$ అర్ధగోళం యొక్క CSA + శంఖువు యొక్క CSA

ఇప్పుడు, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : రషీద్కు పుట్టినరోజు బహుమతిగా ఒక ఆట గరిటె (లట్టు) లభించింది, అది ఆశ్చర్యకరంగా దానిపై రంగు లేకుండా ఉంది. అతను దానిని తన క్రేయాన్లతో రంగు వేయాలనుకున్నాడు. ఆ గరిటె ఒక శంఖువు పైన ఒక అర్ధగోళం ఉండే ఆకారంలో ఉంది (Fig 12.6 చూడండి). మొత్తం గరిటె యొక్క ఎత్తు $5 \mathrm{~cm}$ మరియు గరిటె యొక్క వ్యాసం $3.5 \mathrm{~cm}$. అతను రంగు వేయవలసిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ తీసుకోండి)

Fig. 12.6

సాధన : ఈ గరిటె Fig. 12.5 లో మనం చర్చించిన వస్తువు వలె ఉంది. కాబట్టి, మనం అక్కడ చేరుకున్న ఫలితాన్ని సౌకర్యంగా ఉపయోగించుకోవచ్చు. అది:

$ \text { బొమ్మ యొక్క TSA }=\text { అర్ధగోళం యొక్క CSA }+ \text { శంఖువు యొక్క CSA } $

ఇప్పుడు, అర్ధగోళం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

అలాగే, శంఖువు యొక్క ఎత్తు = గరిటె యొక్క ఎత్తు - అర్ధగోళాకార భాగం యొక్క ఎత్తు (వ్యాసార్థం)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

కాబట్టి, శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (సుమారుగా)

అందువల్ల, శంఖువు యొక్క CSA $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

ఇది గరిటె యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని ఇస్తుంది

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

‘గరిటె యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం’ శంఖువు మరియు అర్ధగోళం యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాల మొత్తం కాదని మీరు గమనించవచ్చు.

ఉదాహరణ 2 : Fig. 12.7 లో చూపిన అలంకార బ్లాక్ రెండు ఘనపదార్థాలతో తయారు చేయబడింది - ఒక ఘనం మరియు ఒక అర్ధగోళం. బ్లాక్ యొక్క భూమి ఒక ఘనం, దీని అంచు $5 \mathrm{~cm}$, మరియు పైన ఉంచబడిన అర్ధగోళం యొక్క వ్యాసం $4.2 \mathrm{~cm}$. బ్లాక్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ తీసుకోండి)

Fig. 12.7

సాధన : ఘనం యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

అర్ధగోళం అతుక్కొన్న ఘనం యొక్క భాగం ఉపరితల వైశాల్యంలో చేర్చబడదు.

కాబట్టి, బ్లాక్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం $=$ ఘనం యొక్క TSA - అర్ధగోళం యొక్క భూమి వైశాల్యం + అర్ధగోళం యొక్క CSA

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 3 : ఒక కాష్ట టాయ్ రాకెట్ ఒక స్థూపం పైన ఒక శంఖువు అమర్చబడిన ఆకారంలో ఉంది, Fig. 12.8 లో చూపినట్లుగా. మొత్తం రాకెట్ యొక్క ఎత్తు $26 \mathrm{~cm}$, అయితే శంఖాకార భాగం యొక్క ఎత్తు $6 \mathrm{~cm}$. శంఖాకార భాగం యొక్క భూమి వ్యాసం $5 \mathrm{~cm}$, అయితే స్థూపాకార భాగం యొక్క భూమి వ్యాసం $3 \mathrm{~cm}$. శంఖాకార భాగాన్ని నారింజ రంగులో మరియు స్థూపాకార భాగాన్ని పసుపు రంగులో పెయింట్ చేయాలనుకుంటే, ఈ రంగులతో పెయింట్ చేయబడిన రాకెట్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=3.14$ తీసుకోండి)

Fig. 12.8

సాధన : శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థాన్ని $r$, శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తును $l$, శంఖువు యొక్క ఎత్తును $h$, స్థూపం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని $r^{\prime}$ మరియు స్థూపం యొక్క ఎత్తును $h^{\prime}$ చేత సూచిద్దాం. అప్పుడు $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ మరియు

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

ఇక్కడ, శంఖాకార భాగం దాని వృత్తాకార భూమిని స్థూపం యొక్క భూమిపై ఉంచుతుంది, కానీ శంఖువు యొక్క భూమి స్థూపం యొక్క భూమి కంటే పెద్దది. కాబట్టి, శంఖువు యొక్క భూమి యొక్క ఒక భాగం (ఒక వలయం) పెయింట్ చేయబడాలి.

కాబట్టి, నారింజ రంగులో పెయింట్ చేయవలసిన వైశాల్యం $=$ శంఖువు యొక్క CSA + శంఖువు యొక్క భూమి వైశాల్యం - స్థూపం యొక్క భూమి వైశాల్యం

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ఇప్పుడు, పసుపు రంగులో పెయింట్ చేయవలసిన వైశాల్యం $=$ స్థూపం యొక్క CSA + స్థూపం యొక్క ఒక భూమి యొక్క వైశాల్యం

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 4 : మయాంక్ తన తోట కోసం ఒక పక్షి స్నానపు తొట్టిని ఒక స్థూపం ఆకారంలో, ఒక చివర ఒక అర్ధగోళాకార పతనంతో తయారు చేశాడు (Fig. 12.9 చూడండి). స్థూపం యొక్క ఎత్తు $1.45 \mathrm{~m}$ మరియు దాని వ్యాసార్థం $30 \mathrm{~cm}$. పక్షి స్నానపు తొట్టి యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ తీసుకోండి)

Fig. 12.9

సాధన : $h$ స్థూపం యొక్క ఎత్తుగా ఉండనివ్వండి, మరియు $r$ స్థూపం మరియు అర్ధగోళం యొక్క సాధారణ వ్యాసార్థంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, పక్షి స్నానపు తొట్టి యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం $=$ స్థూపం యొక్క CSA + అర్ధగోళం యొక్క CSA

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ఘనపదార్థాల కలయిక యొక్క ఘనపరిమాణం

మునుపటి విభాగంలో, రెండు ప్రాథమిక ఘనపదార్థాల కలయికతో తయారు చేయబడిన ఘనపదార్థాల ఉపరితల వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మనం చర్చించాము. ఇక్కడ, వాటి ఘనపరిమాణాలను ఎలా లెక్కించాలో మనం చూస్తాము. ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడంలో, మనం రెండు అంశాల ఉపరితల వైశాల్యాలను కలపలేదని గమనించవచ్చు, ఎందుకంటే వాటిని కలిపే ప్రక్రియలో ఉపరితల వైశాల్యంలో కొంత భాగం అదృశ్యమైంది. అయితే, మనం ఘనపరిమాణాన్ని లెక్కించేటప్పుడు ఇది జరగదు. రెండు ప్రాథమిక ఘనపదార్థాలను కలపడం ద్వారా ఏర్పడిన ఘనపదార్థం యొక్క ఘనపరిమాణం వాస్తవానికి అంశాల ఘనపరిమాణాల మొత్తంగా ఉంటుంది, క్రింది ఉదాహరణలలో మనం చూస్తాము.

ఉదాహరణ 5 : శాంత ఒక పరిశ్రమను ఒక షెడ్లో నడుపుతుంది, ఇది ఒక దీర్ఘఘనం పైన ఒక అర్ధ స్థూపం ఆకారంలో ఉంది (Fig. 12.12 చూడండి). షెడ్ యొక్క భూమి కొలతలు $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$, మరియు దీర్ఘఘనాకార భాగం యొక్క ఎత్తు $8 \mathrm{~m}$ అయితే, షెడ్ నిల్వ చేయగల గాలి ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. ఇంకా, షెడ్లోని యంత్రాలు మొత్తం $300 \mathrm{~m}^{3}$ స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తాయని మరియు 20 మంది కార్మికులు ఉన్నారని అనుకుందాం, వారిలో ప్రతి ఒక్కరు సగటున $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తారు. అప్పుడు, షెడ్లో ఎంత గాలి ఉంది? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ తీసుకోండి)

Fig. 12.12

సాధన : షెడ్ లోపలి గాలి ఘనపరిమాణం (ఎవరూ లేదా యంత్రాలు లేనప్పుడు) దీర్ఘఘనం లోపల మరియు అర్ధ స్థూపం లోపల ఉన్న గాలి ఘనపరిమాణాల మొత్తంగా ఇవ్వబడుతుంది.

ఇప్పుడు, దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు వరుసగా $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ మరియు $8 \mathrm{~m}$. అలాగే, అర్ధ స్థూపం యొక్క వ్యాసం $7 \mathrm{~m}$ మరియు దాని ఎత్తు $15 \mathrm{~m}$.

కాబట్టి, అవసరమైన ఘనపరిమాణం $=$ దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం $+\dfrac{1}{2}$ స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

తరువాత, యంత్రాలు ఆక్రమించిన మొత్తం స్థలం $=300 \mathrm{~m}^{3}$

మరియు కార్మికులు ఆక్రమించిన మొత్తం స్థలం $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

అందువల్ల, యంత్రాలు మరియు కార్మికులు ఉన్నప్పుడు గాలి ఘనపరిమాణం

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

ఉదాహరణ 6 : ఒక జ్యూస్ విక్రేత Fig. 12.13 లో చూపిన విధంగా గ్లాసులను ఉపయోగించి తన వినియోగదారులకు సేవ చేస్తున్నాడు. స్థూపాకార గ్లాస్ యొక్క అంతర్గత వ్యాసం $5 \mathrm{~cm}$, కానీ గ్లాస్ యొక్క అడుగు భాగంలో ఒక అర్ధగోళాకార ఉబ్బిన భాగం ఉంది, ఇది గ్లాస్ యొక్క సామర్థ్యాన్ని తగ్గించింది. ఒక గ్లాస్ యొక్క ఎత్తు $10 \mathrm{~cm}$ అయితే, గ్లాస్ యొక్క స్పష్టమైన సామర్థ్యం మరియు దాని వాస్తవ సామర్థ్యాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=3.14$ ఉపయోగించండి.)

Fig. 12.13

సాధన : గ్లాస్ యొక్క అంతర్గత వ్యాసం $=5 \mathrm{~cm}$ మరియు ఎత్తు $=10 \mathrm{~cm}$ కాబట్టి, గ్లాస్ యొక్క స్పష్టమైన సామర్థ్యం $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

కానీ గ్లాస్ యొక్క వాస్తవ సామర్థ్యం గ్లాస్ యొక్క అడుగు భాగంలో ఉన్న అర్ధగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం ద్వారా తక్కువగా ఉంటుంది.

అంటే, $\quad$ ఇది $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ తక్కువగా ఉంటుంది

కాబట్టి, గ్లాస్ యొక్క వాస్తవ సామర్థ్యం $=$ గ్లాస్ యొక్క స్పష్టమైన సామర్థ్యం - అర్ధగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 7 : ఒక ఘన బొమ్మ ఒక అర్ధగోళం పైన ఒక లంబ వృత్తాకార శంఖువు ఆకారంలో ఉంది. శంఖువు యొక్క ఎత్తు $2 \mathrm{~cm}$ మరియు భూమి యొక్క వ్యాసం $4 \mathrm{~cm}$. బొమ్మ యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని నిర్ణయించండి. ఒక లంబ వృత్తాకార స్థూపం బొమ్మను చుట్టుముట్టి ఉంటే, స్థూపం మరియు బొమ్మ యొక్క ఘనపరిమాణాల వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=3.14$ తీసుకోండి)

Fig. 12.14

సాధన : BPC అర్ధగోళంగా ఉండనివ్వండి మరియు ABC అర్ధగోళం యొక్క భూమిపై నిలబడి ఉన్న శంఖువుగా ఉండనివ్వండి (Fig. 12.14 చూడండి). అర్ధగోళం యొక్క వ్యాసార్థం BO (శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం కూడా) $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$.

కాబట్టి, బొమ్మ యొక్క ఘనపరిమాణం $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

ఇప్పుడు, లంబ వృత్తాకార స్థూపం EFGH ఇచ్చిన ఘనపదార్థాన్ని చుట్టుముట్టి ఉండనివ్వండి. లంబ వృత్తాకార స్థూపం యొక్క భూమి యొక్క వ్యాసార్థం $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$, మరియు దాని ఎత్తు

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

కాబట్టి, అవసరమైన ఘనపరిమాణం $=$ లంబ వృత్తాకార స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం - బొమ్మ యొక్క ఘనపరిమాణం

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

అందువల్ల, రెండు ఘనపరిమాణాల అవసరమైన వ్యత్యాసం $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$.

12.4 సారాంశం

ఈ అధ్యాయంలో, మీరు ఈ క్రింది అంశాలను అధ్యయనం చేసారు:

1. దీర్ఘఘనం, శంఖువు, స్థూపం, గోళం మరియు అర్ధగోళం అనే ప్రాథమిక ఘనపదార్థాలలో ఏవైనా రెండింటిని కలపడం ద్వారా ఏర్పడిన వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడం.

2. దీర్ఘఘనం, శంఖువు, స్థూపం, గోళం మరియు అర్ధగోళం లలో ఏవైనా రెండింటిని కలపడం ద్వారా ఏర్పడిన వస్తువుల ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనడం.