12.1 அறிமுகம்

ஒன்பதாம் வகுப்பிலிருந்து, நீங்கள் கனசதுரம், கூம்பு, உருளை மற்றும் கோளம் போன்ற சில திடப்பொருட்களைப் பற்றி அறிந்திருக்கிறீர்கள் (படம் 12.1 ஐப் பார்க்கவும்). அவற்றின் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவுகளைக் கண்டறியும் முறையையும் நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள்.

படம் 12.1

நம் அன்றாட வாழ்வில், மேலே காட்டப்பட்டுள்ள அடிப்படை திடப்பொருட்களில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றின் சேர்க்கையால் உருவாக்கப்பட்ட பல திடப்பொருட்களை நாம் சந்திக்கிறோம்.

பின்புறத்தில் ஒரு கொள்கலன் பொருத்தப்பட்ட ஒரு லாரியை நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம் (படம் 12.2 ஐப் பார்க்கவும்), அது ஒரு இடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு எண்ணெய் அல்லது நீரை எடுத்துச் செல்கிறது. இது மேலே குறிப்பிடப்பட்ட நான்கு அடிப்படை திடப்பொருட்களில் எதன் வடிவத்தில் உள்ளது? இது ஒரு உருளையுடன் இரண்டு அரைக்கோளங்கள் அதன் முனைகளாக இணைந்து உருவாக்கப்பட்டதாக நீங்கள் யூகிக்கலாம்.

படம் 12.2

மீண்டும், படம் 12.3 இல் உள்ளதைப் போன்ற ஒரு பொருளை நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம். அதற்கு பெயரிட முடியுமா? ஒரு சோதனைக் குழாய், சரியா! உங்கள் அறிவியல் ஆய்வகத்தில் நீங்கள் இதைப் பயன்படுத்தியிருக்கலாம். இந்தக் குழாயும் ஒரு உருளை மற்றும் ஒரு அரைக்கோளத்தின் சேர்க்கையாகும். இதேபோல், பயணம் செய்யும்போது, மேலே குறிப்பிடப்பட்ட திடப்பொருட்களின் சேர்க்கையால் உருவாக்கப்பட்ட சில பெரிய மற்றும் அழகான கட்டிடங்கள் அல்லது நினைவுச்சின்னங்களை நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம்.

ஏதேனும் காரணத்திற்காக அத்தகைய பொருள்களின் புறப்பரப்பு, அல்லது கனஅளவு, அல்லது கொள்ளளவைக் கண்டறிய விரும்பினால், அதை எப்படி செய்வீர்கள்? இவற்றை நீங்கள் ஏற்கனவே படித்த திடப்பொருட்களில் எந்த வகையிலும் சேர்க்க முடியாது.

படம் 12.3

இந்த அத்தியாயத்தில், அத்தகைய பொருள்களின் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவுகளை எவ்வாறு கண்டறிவது என்பதைப் பார்ப்பீர்கள்.

12.2 திடப்பொருட்களின் சேர்க்கையின் புறப்பரப்பு

படம் 12.2 இல் காணப்படும் கொள்கலனைக் கருத்தில் கொள்வோம். அத்தகைய திடப்பொருளின் புறப்பரப்பை நாம் எவ்வாறு கண்டறிவது? இப்போது, நாம் ஒரு புதிய சிக்கலை எதிர்கொள்ளும்போதெல்லாம், அதை நாம் முன்பு தீர்த்துள்ள சிறிய சிக்கல்களாக உடைக்க முடியுமா என்று முதலில் பார்க்க முயற்சிக்கிறோம். இந்த திடப்பொருள் ஒரு உருளையுடன் இரண்டு அரைக்கோளங்கள் இரு முனைகளிலும் ஒட்டப்பட்டதால் உருவானது என்பதை நாம் பார்க்கலாம். பகுதிகளை அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்த பிறகு, படம் 12.4 இல் நாம் பெறுவதைப் போலவே இது தோன்றும்.

படம் 12.4

புதிதாக உருவான பொருளின் மேற்பரப்பை நாம் கருத்தில் கொண்டால், இரண்டு அரைக்கோளங்களின் வளைந்த பரப்புகள் மற்றும் உருளையின் வளைந்த பரப்பு மட்டுமே நமக்குத் தெரியும்.

எனவே, புதிய திடப்பொருளின் மொத்த புறப்பரப்பு என்பது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட பகுதியின் வளைந்த பரப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இது பின்வருமாறு தருகிறது,

புதிய திடப்பொருளின் மொ.பு.ப $=$ ஒரு அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப + உருளையின் வ.பு.ப + மற்றொரு அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப

இங்கு, மொ.பு.ப, வ.பு.ப என்பன முறையே ‘மொத்த புறப்பரப்பு’ மற்றும் ‘வளைந்த புறப்பரப்பு’ ஆகியவற்றைக் குறிக்கின்றன.

இப்போது மற்றொரு சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஒரு அரைக்கோளம் மற்றும் ஒரு கூம்பை ஒன்றாக இணைத்து ஒரு பொம்மையை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாம் எடுக்கும் படிகளைப் பார்ப்போம்.

முதலில், நாம் ஒரு கூம்பு மற்றும் ஒரு அரைக்கோளத்தை எடுத்து அவற்றின் தட்டையான முகங்களை ஒன்றாக இணைப்போம். இங்கு, நிச்சயமாக, பொம்மை மென்மையான மேற்பரப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதற்காக கூம்பின் அடிப்பக்க ஆரம் அரைக்கோளத்தின் ஆரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, படிகள் படம் 12.5 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இருக்கும்.

படம் 12.5

எங்கள் முயற்சியின் முடிவில், நமக்கு ஒரு நல்ல வட்ட அடிப்பகுதியுள்ள பொம்மை கிடைத்துள்ளது. இப்போது இந்த பொம்மையின் மேற்பரப்பை வண்ணம் தீட்ட எவ்வளவு வண்ணப்பூச்சு தேவைப்படும் என்பதைக் கண்டறிய விரும்பினால், நமக்கு என்ன தெரிந்திருக்க வேண்டும்? பொம்மையின் புறப்பரப்பை நாம் அறிந்திருக்க வேண்டும், இது அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப மற்றும் கூம்பின் வ.பு.ப ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, நாம் கூறலாம்:

பொம்மையின் மொத்த புறப்பரப்பு $=$ அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப + கூம்பின் வ.பு.ப

இப்போது, சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : ரஷீத் தனது பிறந்தநாள் பரிசாக ஒரு சுழல் பொம்மை (லட்டு) பெற்றார், அது ஆச்சரியப்படும் விதமாக வண்ணமிடப்படவில்லை. அதைத் தனது வண்ணக்கோல்களால் வண்ணம் தீட்ட விரும்பினார். பொம்மை ஒரு கூம்பின் மேல் ஒரு அரைக்கோளம் அமைந்துள்ள வடிவத்தில் உள்ளது (படம் 12.6 ஐப் பார்க்கவும்). முழு பொம்மையின் உயரம் $5 \mathrm{~cm}$ மற்றும் பொம்மையின் விட்டம் $3.5 \mathrm{~cm}$. அவர் வண்ணம் தீட்ட வேண்டிய பரப்பைக் கண்டறியவும். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்)

படம் 12.6

தீர்வு : இந்த பொம்மை நாம் படம் 12.5 இல் விவாதித்த பொருளைப் போலவே உள்ளது. எனவே, நாம் அங்கு வந்த முடிவை வசதியாகப் பயன்படுத்தலாம். அதாவது:

$ \text { பொம்மையின் மொ.பு.ப }=\text { அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப }+ \text { கூம்பின் வ.பு.ப } $

இப்போது, அரைக்கோளத்தின் வளைந்த புறப்பரப்பு $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

மேலும், கூம்பின் உயரம் = பொம்மையின் உயரம் - அரைக்கோளப் பகுதியின் உயரம் (ஆரம்)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

எனவே, கூம்பின் சாய்வு உயரம் $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (தோராயமாக)

எனவே, கூம்பின் வ.பு.ப $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

இது பொம்மையின் புறப்பரப்பை பின்வருமாறு தருகிறது

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

‘பொம்மையின் மொத்த புறப்பரப்பு’ என்பது கூம்பு மற்றும் அரைக்கோளத்தின் மொத்த புறப்பரப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அல்ல என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : படம் 12.7 இல் காட்டப்பட்டுள்ள அலங்காரத் தொகுதி இரண்டு திடப்பொருட்களால் ஆனது - ஒரு கனசதுரம் மற்றும் ஒரு அரைக்கோளம். தொகுதியின் அடிப்பகுதி பக்கமான $5 \mathrm{~cm}$ கொண்ட ஒரு கனசதுரம், மேலே பொருத்தப்பட்டுள்ள அரைக்கோளத்தின் விட்டம் $4.2 \mathrm{~cm}$. தொகுதியின் மொத்த புறப்பரப்பைக் கண்டறியவும். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்)

படம் 12.7

தீர்வு : கனசதுரத்தின் மொத்த புறப்பரப்பு $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

அரைக்கோளம் பொருத்தப்பட்டுள்ள கனசதுரத்தின் பகுதி புறப்பரப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை என்பதைக் கவனிக்கவும்.

எனவே, தொகுதியின் புறப்பரப்பு $=$ கனசதுரத்தின் மொ.பு.ப - அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு + அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 3 : ஒரு மர பொம்மை ராக்கெட் ஒரு கூம்பு ஒரு உருளையின் மேல் பொருத்தப்பட்ட வடிவத்தில் உள்ளது, படம் 12.8 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. முழு ராக்கெட்டின் உயரம் $26 \mathrm{~cm}$, அதே நேரத்தில் கூம்புப் பகுதியின் உயரம் $6 \mathrm{~cm}$. கூம்புப் பகுதியின் அடிப்பகுதியின் விட்டம் $5 \mathrm{~cm}$, அதே நேரத்தில் உருளைப் பகுதியின் அடிப்பகுதியின் விட்டம் $3 \mathrm{~cm}$. கூம்புப் பகுதி ஆரஞ்சு நிறமாகவும், உருளைப் பகுதி மஞ்சள் நிறமாகவும் வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டும் என்றால், இந்த ஒவ்வொரு நிறங்களாலும் வண்ணம் தீட்டப்பட்ட ராக்கெட்டின் பரப்பைக் கண்டறியவும். ($\pi=3.14$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்)

படம் 12.8

தீர்வு : கூம்பின் ஆரத்தை $r$, கூம்பின் சாய்வு உயரத்தை $l$, கூம்பின் உயரத்தை $h$, உருளையின் ஆரத்தை $r^{\prime}$ மற்றும் உருளையின் உயரத்தை $h^{\prime}$ எனக் குறிப்போம். பிறகு $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ மற்றும்

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

இங்கு, கூம்புப் பகுதியின் வட்ட அடிப்பகுதி உருளையின் அடிப்பகுதியில் அமர்ந்துள்ளது, ஆனால் கூம்பின் அடிப்பகுதி உருளையின் அடிப்பகுதியை விட பெரியது. எனவே, கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஒரு பகுதி (ஒரு வளையம்) வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டும்.

எனவே, ஆரஞ்சு நிறத்தில் வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டிய பரப்பு $=$ கூம்பின் வ.பு.ப + கூம்பின் அடிப்பரப்பு - உருளையின் அடிப்பரப்பு

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

இப்போது, மஞ்சள் நிறத்தில் வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டிய பரப்பு $=$ உருளையின் வ.பு.ப + உருளையின் ஒரு அடிப்பரப்பின் பரப்பு

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 4 : மயங்க் தனது தோட்டத்திற்காக ஒரு பறவைக் குளியல் தொட்டியை ஒரு உருளையின் வடிவத்தில், ஒரு முனையில் ஒரு அரைக்கோள வடிவ குழிவுடன் உருவாக்கினார் (படம் 12.9 ஐப் பார்க்கவும்). உருளையின் உயரம் $1.45 \mathrm{~m}$ மற்றும் அதன் ஆரம் $30 \mathrm{~cm}$. பறவைக் குளியல் தொட்டியின் மொத்த புறப்பரப்பைக் கண்டறியவும். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்)

படம் 12.9

தீர்வு : $h$ உருளையின் உயரமாகவும், $r$ உருளை மற்றும் அரைக்கோளத்தின் பொதுவான ஆரமாகவும் இருக்கட்டும். பிறகு, பறவைக் குளியல் தொட்டியின் மொத்த புறப்பரப்பு $=$ உருளையின் வ.பு.ப + அரைக்கோளத்தின் வ.பு.ப

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 திடப்பொருட்களின் சேர்க்கையின் கனஅளவு

முந்தைய பகுதியில், இரண்டு அடிப்படை திடப்பொருட்களின் சேர்க்கையால் உருவானவற்றின் புறப்பரப்பை எவ்வாறு கண்டறிவது என்பதைப் பற்றி விவாதித்தோம். இங்கு, அவற்றின் கனஅளவுகளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைப் பார்ப்போம். புறப்பரப்பைக் கணக்கிடும்போது, இரு அங்கங்களின் புறப்பரப்புகளை நாம் கூட்டவில்லை என்பதைக் கவனிக்கலாம், ஏனெனில் அவற்றை இணைக்கும் செயல்பாட்டில் புறப்பரப்பின் சில பகுதிகள் மறைந்துவிட்டன. இருப்பினும், கனஅளவைக் கணக்கிடும்போது இது பொருந்தாது. இரண்டு அடிப்படை திடப்பொருட்களை இணைப்பதால் உருவான திடப்பொருளின் கனஅளவு உண்மையில் அங்கங்களின் கனஅளவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும், இது கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் நாம் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5 : ஷாந்தா ஒரு தொழிற்சாலையை ஒரு குடிசையில் நடத்துகிறார், அது ஒரு கனசதுரத்தின் மேல் ஒரு அரை உருளை அமைந்துள்ள வடிவத்தில் உள்ளது (படம் 12.12 ஐப் பார்க்கவும்). குடிசையின் அடிப்பகுதியின் பரிமாணங்கள் $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$, மற்றும் கனசதுரப் பகுதியின் உயரம் $8 \mathrm{~m}$ எனில், குடிசை வைத்திருக்கக்கூடிய காற்றின் கனஅளவைக் கண்டறியவும். மேலும், குடிசையில் உள்ள இயந்திரங்கள் மொத்தம் $300 \mathrm{~m}^{3}$ இடத்தை ஆக்கிரமித்துள்ளன, மேலும் 20 தொழிலாளர்கள் உள்ளனர், ஒவ்வொருவரும் சராசரியாக $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ இடத்தை ஆக்கிரமிக்கிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு, குடிசையில் எவ்வளவு காற்று உள்ளது? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்)

படம் 12.12

தீர்வு : குடிசையின் உள்ளே உள்ள காற்றின் கனஅளவு (மக்கள் அல்லது இயந்திரங்கள் இல்லாதபோது) கனசதுரத்தின் உள்ளேயும் அரை உருளையின் உள்ளேயும் உள்ள காற்றின் கனஅளவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

இப்போது, கனசதுரத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் முறையே $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ மற்றும் $8 \mathrm{~m}$ ஆகும். மேலும், அரை உருளையின் விட்டம் $7 \mathrm{~m}$ மற்றும் அதன் உயரம் $15 \mathrm{~m}$ ஆகும்.

எனவே, தேவையான கனஅளவு $=$ கனசதுரத்தின் கனஅளவு $+\dfrac{1}{2}$ உருளையின் கனஅளவு

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

அடுத்து, இயந்திரங்களால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட மொத்த இடம் $=300 \mathrm{~m}^{3}$

மற்றும் தொழிலாளர்களால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட மொத்த இடம் $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

எனவே, இயந்திரங்கள் மற்றும் தொழிலாளர்கள் இருக்கும்போது காற்றின் கனஅளவு

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

எடுத்துக்காட்டு 6 : ஒரு பழச்சாறு விற்பனையாளர் படம் 12.13 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கண்ணாடிகளைப் பயன்படுத்தி தனது வாடிக்கையாளர்களுக்கு சேவை செய்து வந்தார். உருளை வடிவ கண்ணாடியின் உள் விட்டம் $5 \mathrm{~cm}$, ஆனால் கண்ணாடியின் அடிப்பகுதியில் ஒரு அரைக்கோள வடிவ உயர்த்தப்பட்ட பகுதி இருந்தது, இது கண்ணாடியின் கொள்ளளவைக் குறைத்தது. ஒரு கண்ணாடியின் உயரம் $10 \mathrm{~cm}$ எனில், கண்ணாடியின் தோற்ற கொள்ளளவு மற்றும் அதன் உண்மையான கொள்ளளவைக் கண்டறியவும். ($\pi=3.14$ ஐப் பயன்படுத்தவும்.)

படம் 12.13

தீர்வு : கண்ணாடியின் உள் விட்டம் $=5 \mathrm{~cm}$ மற்றும் உயரம் $=10 \mathrm{~cm}$ என்பதால், கண்ணாடியின் தோற்ற கொள்ளளவு $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

ஆனால் கண்ணாடியின் உண்மையான கொள்ளளவு கண்ணாடியின் அடிப்பகுதியில் உள்ள அரைக்கோளத்தின் கனஅளவால் குறைவாக உள்ளது.

அதாவது, $\quad$ அது $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ குறைவாக உள்ளது

எனவே, கண்ணாடியின் உண்மையான கொள்ளளவு $=$ கண்ணாடியின் தோற்ற கொள்ளளவு - அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 7 : ஒரு திடப்பொருள் பொம்மை ஒரு அரைக்கோளத்தின் மேல் ஒரு நேர்வட்ட கூம்பு அமைந்துள்ள வடிவத்தில் உள்ளது. கூம்பின் உயரம் $2 \mathrm{~cm}$ மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டம் $4 \mathrm{~cm}$. பொம்மையின் கனஅளவைக் கண்டறியவும். பொம்மையைச் சுற்றி வரையப்பட்ட ஒரு நேர்வட்ட உருளை இருந்தால், உருளை மற்றும் பொம்மையின் கனஅளவுகளின் வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும். ($\pi=3.14$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்)

படம் 12.14

தீர்வு : BPC அரைக்கோளமாகவும், ABC அரைக்கோளத்தின் அடிப்பகுதியில் நிற்கும் கூம்பாகவும் இருக்கட்டும் (படம் 12.14 ஐப் பார்க்கவும்). அரைக்கோளத்தின் ஆரம் BO (அதே போல் கூம்பின் ஆரம்) $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$.

எனவே, பொம்மையின் கனஅளவு $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

இப்போது, கொடுக்கப்பட்ட திடப்பொருளைச் சுற்றி வரையப்பட்ட நேர்வட்ட உருளை EFGH ஆக இருக்கட்டும். நேர்வட்ட உருளையின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$, மற்றும் அதன் உயரம்

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

எனவே, தேவையான கனஅளவு $=$ நேர்வட்ட உருளையின் கனஅளவு - பொம்மையின் கனஅளவு

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

எனவே, இரண்டு கனஅளவுகளின் தேவையான வித்தியாசம் $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$.

12.4 சுருக்கம்

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. கனசதுரம், கூம்பு, உருளை, கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் ஆகிய அடிப்படை திடப்பொருட்களில் ஏதேனும் இரண்டை இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு பொருளின் புறப்பரப்பைத் தீர்மானிக்க.

2. ஒரு கனசதுரம், கூம்பு, உருளை, கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் ஆகியவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட பொருள்களின் கனஅளவைக் கண்டறிய.