12.1 પરિચય

તમે નવમા ધોરણથી ઘનાકાર, શંકુ, નળાકાર અને ગોળા જેવા કેટલાક ઘન પદાર્થોથી પરિચિત છો (જુઓ આકૃતિ 12.1). તમે તેમની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ કેવી રીતે શોધવું તે પણ શીખ્યા છો.

આકૃતિ 12.1

આપણા રોજબરોજના જીવનમાં, આપણે ઉપર બતાવેલા મૂળભૂત ઘન પદાર્થોમાંથી બે અથવા વધુના સંયોજનથી બનેલા અનેક ઘન પદાર્થો જોઈએ છીએ.

તમે ટ્રક પર તેની પાછળ લગાડેલા કન્ટેનર સાથે એક ટ્રક જોઈ હશે (જુઓ આકૃતિ 12.2), જે એક સ્થળેથી બીજે સ્થળે તેલ અથવા પાણી લઈ જાય છે. શું તે ઉપર ઉલ્લેખિત ચાર મૂળભૂત ઘન પદાર્થોમાંથી કોઈના આકારનો છે? તમે અનુમાન લગાવી શકો છો કે તે એક નળાકાર અને બે અર્ધગોળાઓને તેના છેડા તરીકે ધરાવતો બનેલો છે.

આકૃતિ 12.2

ફરીથી, તમે આકૃતિ 12.3 માં બતાવ્યા પ્રમાણેની વસ્તુ જોઈ હશે. તમે તેનું નામ આપી શકો છો? એક ટેસ્ટ ટ્યુબ, બરાબર! તમે તમારી વિજ્ઞાન પ્રયોગશાળામાં એકનો ઉપયોગ કર્યો હશે. આ ટ્યુબ પણ એક નળાકાર અને અર્ધગોળાનું સંયોજન છે. તે જ રીતે, મુસાફરી દરમિયાન, તમે કેટલીક મોટી અને સુંદર ઇમારતો અથવા સ્મારકો જોયા હશે જે ઉપર ઉલ્લેખિત ઘન પદાર્થોના સંયોજનથી બનેલા છે.

જો કોઈ કારણોસર તમે આવી વસ્તુઓની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ, અથવા ઘનફળ, અથવા ક્ષમતા શોધવા માંગતા હો, તો તમે તે કેવી રીતે કરશો? આપણે આને તમે અગાઉ અભ્યાસ કરેલા કોઈપણ ઘન પદાર્થોના વર્ગમાં મૂકી શકતા નથી.

આકૃતિ 12.3

આ પ્રકરણમાં, તમે જોશો કે આવી વસ્તુઓની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ કેવી રીતે શોધવું.

12.2 ઘન પદાર્થોના સંયોજનની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ

ચાલો આકૃતિ 12.2 માં બતાવેલા કન્ટેનરને ધ્યાનમાં લઈએ. આવા ઘન પદાર્થની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ આપણે કેવી રીતે શોધીએ? હવે, જ્યારે પણ આપણે નવી સમસ્યા સામે આવીએ છીએ, ત્યારે આપણે પહેલા જોવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ કે શું આપણે તેને નાની સમસ્યાઓમાં તોડી શકીએ છીએ, જેનો આપણે અગાઉ ઉકેલ લાવ્યો છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને બે અર્ધગોળાઓને બંને છેડે જોડીને બનેલો છે. જ્યારે આપણે બધા ટુકડાઓને એકસાથે મૂકીશું ત્યારે તે આકૃતિ 12.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે દેખાશે.

આકૃતિ 12.4

જો આપણે નવા બનેલા પદાર્થની સપાટીને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે માત્ર બંને અર્ધગોળાઓની વક્ર સપાટી અને નળાકારની વક્ર સપાટી જ જોઈ શકીએ છીએ.

તેથી, નવા ઘન પદાર્થનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ એ દરેક વ્યક્તિગત ભાગોના વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે. આ આપે છે,

નવા ઘન પદાર્થનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ $=$ એક અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ + નળાકારનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ + બીજા અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ

જ્યાં કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ અને વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે ‘કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ’ અને ‘વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ’ માટે છે.

ચાલો હવે બીજી પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લઈએ. ધારો કે આપણે એક અર્ધગોળા અને એક શંકુને એકસાથે જોડીને એક રમકડું બનાવી રહ્યા છીએ. ચાલો જોઈએ કે આપણે કયા પગલાઓ લઈશું.

પ્રથમ, આપણે એક શંકુ અને એક અર્ધગોળો લઈશું અને તેમની સપાટ સપાટીઓને એકસાથે લાવીશું. અહીં, અલબત્ત, આપણે શંકુની આધાર ત્રિજ્યા અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા જેટલી લઈશું, કારણ કે રમકડાની સપાટી સરળ હોવી જોઈએ. તેથી, પગલાઓ આકૃતિ 12.5 માં બતાવ્યા પ્રમાણે હશે.

આકૃતિ 12.5

અમારા પ્રયત્નના અંતે, અમને એક સરસ ગોળાકાર તળિયાવાળું રમકડું મળ્યું છે. હવે જો આપણે જાણવું માંગીએ કે આ રમકડાની સપાટીને રંગવા માટે આપણને કેટલા રંગની જરૂર પડશે, તો આપણે શું જાણવાની જરૂર પડશે? આપણે રમકડાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ જાણવાની જરૂર પડશે, જેમાં અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ અને શંકુનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ શામેલ છે.

તેથી, આપણે કહી શકીએ:

રમકડાનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ $=$ અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ + શંકુનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ

હવે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1 : રશીદને તેના જન્મદિવસની ભેટ તરીકે એક રમકડું (લટ્ટુ) મળ્યું, જે આશ્ચર્યજનક રીતે તેના પર કોઈ રંગ ન હતો. તે તેને તેના ક્રેયોનથી રંગવા માંગતો હતો. લટ્ટુ એક શંકુ પર એક અર્ધગોળો ચડાવેલા આકારનું છે (જુઓ આકૃતિ 12.6). સમગ્ર લટ્ટુની ઊંચાઈ $5 \mathrm{~cm}$ છે અને લટ્ટુનો વ્યાસ $3.5 \mathrm{~cm}$ છે. તેને રંગવા માટે જરૂરી ક્ષેત્રફળ શોધો. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ લો)

આકૃતિ 12.6

ઉકેલ : આ લટ્ટુ બરાબર તે જ વસ્તુ છે જેની આપણે આકૃતિ 12.5 માં ચર્ચા કરી છે. તેથી, આપણે ત્યાં પહોંચેલા પરિણામનો આરામથી ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. તે છે:

$ \text { રમકડાનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ }=\text { અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ }+ \text { શંકુનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ } $

હવે, અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

ઉપરાંત, શંકુની ઊંચાઈ = લટ્ટુની ઊંચાઈ - અર્ધગોળાકાર ભાગની ઊંચાઈ (ત્રિજ્યા)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

તેથી, શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (આશરે)

તેથી, શંકુનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

આ લટ્ટુનું સપાટી ક્ષેત્રફળ આપે છે

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

તમે નોંધ લઈ શકો છો કે ‘લટ્ટુનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ’ એ શંકુ અને અર્ધગોળાના કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો નથી.

ઉદાહરણ 2 : આકૃતિ 12.7 માં બતાવેલો સુશોભન બ્લોક બે ઘન પદાર્થોથી બનેલો છે - એક ઘન અને એક અર્ધગોળો. બ્લોકનો આધાર ધાર $5 \mathrm{~cm}$નો ઘન છે, અને ઉપર લગાડેલા અર્ધગોળાનો વ્યાસ $4.2 \mathrm{~cm}$ છે. બ્લોકનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ શોધો. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ લો)

આકૃતિ 12.7

ઉકેલ : ઘનનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

નોંધ લો કે ઘનનો જે ભાગ અર્ધગોળો લગાડેલો છે તે સપાટી ક્ષેત્રફળમાં ગણાતો નથી.

તેથી, બ્લોકનું સપાટી ક્ષેત્રફળ $=$ ઘનનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ - અર્ધગોળાનું આધાર ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 3 : એક લાકડાનું રોકેટ રમકડું એક નળાકાર પર એક શંકુ મૂકેલા આકારનું છે, જે આકૃતિ 12.8 માં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. સમગ્ર રોકેટની ઊંચાઈ $26 \mathrm{~cm}$ છે, જ્યારે શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $6 \mathrm{~cm}$ છે. શંકુ આકારના ભાગના આધારનો વ્યાસ $5 \mathrm{~cm}$ છે, જ્યારે નળાકાર આકારના ભાગના આધારનો વ્યાસ $3 \mathrm{~cm}$ છે. જો શંકુ આકારના ભાગને નારંગી રંગવાનો હોય અને નળાકાર આકારના ભાગને પીળો રંગવાનો હોય, તો રોકેટનું દરેક રંગથી રંગેલું ક્ષેત્રફળ શોધો. ($\pi=3.14$ લો)

આકૃતિ 12.8

ઉકેલ : શંકુની ત્રિજ્યા $r$ દ્વારા, શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ દ્વારા, શંકુની ઊંચાઈ $h$ દ્વારા, નળાકારની ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ દ્વારા અને નળાકારની ઊંચાઈ $h^{\prime}$ દ્વારા દર્શાવો. તો $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ અને

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

અહીં, શંકુ આકારના ભાગનો વર્તુળાકાર આધાર નળાકારના આધાર પર રહેલો છે, પરંતુ શંકુનો આધાર નળાકારના આધાર કરતાં મોટો છે. તેથી, શંકુના આધારનો એક ભાગ (એક વલય) રંગવાનો છે.

તેથી, નારંગી રંગવાનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ + શંકુનું આધાર ક્ષેત્રફળ - નળાકારનું આધાર ક્ષેત્રફળ

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

હવે, પીળો રંગવાનું ક્ષેત્રફળ $=$ નળાકારનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ + નળાકારના એક આધારનું ક્ષેત્રફળ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 4 : મયંકે તેના બગીચા માટે એક નળાકારના આકારમાં એક છેડે અર્ધગોળાકાર ખાડો સાથે પક્ષીઓ માટે સ્નાન કરાવવાની જગ્યા બનાવી (જુઓ આકૃતિ 12.9). નળાકારની ઊંચાઈ $1.45 \mathrm{~m}$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $30 \mathrm{~cm}$ છે. પક્ષીઓ માટે સ્નાન કરાવવાની જગ્યાનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ શોધો. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ લો)

આકૃતિ 12.9

ઉકેલ : ધારો કે $h$ નળાકારની ઊંચાઈ છે, અને $r$ નળાકાર અને અર્ધગોળાની સામાન્ય ત્રિજ્યા છે. તો, પક્ષીઓ માટે સ્નાન કરાવવાની જગ્યાનું કુલ સપાટી ક્ષેત્રફળ $=$ નળાકારનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાનું વક્ર સપાટી ક્ષેત્રફળ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ઘન પદાર્થોના સંયોજનનું ઘનફળ

પાછલા વિભાગમાં, આપણે બે મૂળભૂત ઘન પદાર્થોના સંયોજનથી બનેલા ઘન પદાર્થોની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું તેની ચર્ચા કરી છે. અહીં, આપણે તેમના ઘનફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જોઈશું. એ નોંધવું જોઈએ કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ગણતરી કરવામાં, આપણે બંને ઘટકોની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઉમેર્યું નથી, કારણ કે તેમને જોડવાની પ્રક્રિયામાં સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો કેટલાક ભાગ અદૃશ્ય થઈ ગયો હતો. જોકે, જ્યારે આપણે ઘનફળની ગણતરી કરીશું ત્યારે આવું નહીં થાય. બે મૂળભૂત ઘન પદાર્થોને જોડીને બનેલા ઘન પદાર્થનું ઘનફળ ખરેખર ઘટકોના ઘનફળોનો સરવાળો હશે, જેમ કે આપણે નીચેના ઉદાહરણોમાં જોઈએ છીએ.

ઉદાહરણ 5 : શાંતા એક શેડમાં એક ઉદ્યોગ ચલાવે છે, જે એક ઘનાકાર પર એક અર્ધનળાકાર ચડાવેલા આકારનો છે (જુઓ આકૃતિ 12.12). જો શેડનો આધાર $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ પરિમાણનો હોય, અને ઘનાકાર ભાગની ઊંચાઈ $8 \mathrm{~m}$ હોય, તો શેડમાં રહેલી હવાનું ઘનફળ શોધો. આગળ, ધારો કે શેડમાંની મશીનરી કુલ $300 \mathrm{~m}^{3}$ જગ્યા લે છે, અને ત્યાં 20 કામદારો છે, જેમાંથી દરેક સરેરાશ $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ જગ્યા લે છે. તો, શેડમાં કેટલી હવા છે? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ લો)

આકૃતિ 12.12

ઉકેલ : શેડની અંદર હવાનું ઘનફળ (જ્યારે ત્યાં કોઈ લોકો અથવા મશીનરી ન હોય) એ ઘનાકાર અને અર્ધનળાકારની અંદર હવાના ઘનફળના સરવાળા તરીકે આપવામાં આવે છે.

હવે, ઘનાકારની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ અને $8 \mathrm{~m}$ છે. ઉપરાંત, અર્ધનળાકારનો વ્યાસ $7 \mathrm{~m}$ છે અને તેની ઊંચાઈ $15 \mathrm{~m}$ છે.

તેથી, જરૂરી ઘનફળ $=$ ઘનાકારનું ઘનફળ $+\dfrac{1}{2}$ નળાકારનું ઘનફળ

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

આગળ, મશીનરી દ્વારા લેવાયેલી કુલ જગ્યા $=300 \mathrm{~m}^{3}$

અને કામદારો દ્વારા લેવાયેલી કુલ જગ્યા $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

તેથી, જ્યારે મશીનરી અને કામદારો હોય ત્યારે હવાનું ઘનફળ

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

ઉદાહરણ 6 : એક રસ વેચનાર ગ્લાસનો ઉપયોગ કરીને તેના ગ્રાહકોને સેવા આપતો હતો, જે આકૃતિ 12.13 માં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. નળાકાર ગ્લાસનો આંતરિક વ્યાસ $5 \mathrm{~cm}$ હતો, પરંતુ ગ્લાસના તળિયે એક અર્ધગોળાકાર ઉભો ભાગ હતો જેણે ગ્લાસની ક્ષમતા ઘટાડી દીધી. જો ગ્લાસની ઊંચાઈ $10 \mathrm{~cm}$ હોય, તો ગ્લાસની દેખાતી ક્ષમતા અને તેની વાસ્તવિક ક્ષમતા શોધો. ($\pi=3.14$ નો ઉપયોગ કરો.)

આકૃતિ 12.13

ઉકેલ : કારણ કે ગ્લાસનો આંતરિક વ્યાસ $=5 \mathrm{~cm}$ અને ઊંચાઈ $=10 \mathrm{~cm}$ છે, ગ્લાસની દેખાતી ક્ષમતા $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

પરંતુ ગ્લાસની વાસ્તવિક ક્ષમતા ગ્લાસના તળિયેના અર્ધગોળાના ઘનફળથી ઓછી છે.

એટલે કે, $\quad$ તે $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ થી ઓછી છે

તેથી, ગ્લાસની વાસ્તવિક ક્ષમતા $=$ ગ્લાસની દેખાતી ક્ષમતા - અર્ધગોળાનું ઘનફળ

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 7 : એક ઘન રમકડું એક અર્ધગોળા પર એક લંબવૃત્તીય શંકુ ચડાવેલા સ્વરૂપમાં છે. શંકુની ઊંચાઈ $2 \mathrm{~cm}$ છે અને આધારનો વ્યાસ $4 \mathrm{~cm}$ છે. રમકડાનું ઘનફળ નક્કી કરો. જો એક લંબવૃત્તીય નળાકાર રમકડાને પરિગત કરે, તો નળાકાર અને રમકડાના ઘનફળોનો તફાવત શોધો. ($\pi=3.14$ લો)

આકૃતિ 12.14

ઉકેલ : ધારો કે BPC અર્ધગોળો છે અને ABC એ અર્ધગોળાના આધાર પર ઊભેલો શંકુ છે (જુઓ આકૃતિ 12.14). અર્ધગોળાની (તેમજ શંકુની) ત્રિજ્યા BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$ છે.

તેથી, રમકડાનું ઘનફળ $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

હવે, ધારો કે લંબવૃત્તીય નળાકાર EFGH આપેલ ઘન પદાર્થને પરિગત કરે છે. લંબવૃત્તીય નળાકારના આધારની ત્રિજ્યા $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$ છે, અને તેની ઊંચાઈ છે

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

તેથી, જરૂરી ઘનફળ $=$ લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ - રમકડાનું ઘનફળ

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

તેથી, બે ઘનફળોનો જરૂરી તફાવત $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$ છે.

12.4 સારાંશ

આ પ્રકરણમાં, તમે નીચેના મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કર્યો છે:

1. ઘનાકાર, શંકુ, નળાકાર, ગોળો અને અર્ધગોળો એવા કોઈપણ બે મૂળભૂત ઘન પદાર્થોના સંયોજનથી બનેલી વસ્તુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવું.

2. ઘનાકાર, શંકુ, નળાકાર, ગોળો અને અર્ધગોળોમાંથી કોઈપણ બેના સંયોજનથી બનેલી વસ્તુઓનું ઘનફળ શોધવું.