१२.१ परिचय

तुम्ही इयत्ता नववीपासून घनगोल, शंकू, वृत्तचित्ती आणि गोल यांसारख्या काही घन पदार्थांशी परिचित आहात (चित्र १२.१ पहा). त्यांचे पृष्ठफळ आणि घनफळ कसे काढायचे हे देखील तुम्ही शिकलात.

चित्र १२.१

आपल्या दैनंदिन जीवनात, आपण वरील मूलभूत घन पदार्थांपैकी दोन किंवा अधिक घन पदार्थांच्या संयोगाने बनलेल्या अनेक घन पदार्थांना भेटतो.

तुम्ही नक्कीच ट्रकच्या मागे एक कंटेनर बसवलेला पाहिला असेल (चित्र १२.२ पहा), जो एका ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी तेल किंवा पाणी वाहून नेतो. तो वरील चार मूलभूत घन पदार्थांपैकी कोणत्याही आकाराचा आहे का? तुम्हाला अंदाज येईल की तो एका वृत्तचित्तीपासून बनलेला आहे ज्याच्या दोन्ही टोकांना अर्धगोल आहेत.

चित्र १२.२

पुन्हा, तुम्ही चित्र १२.३ मधील सारखी वस्तू पाहिली असेल. तुम्ही त्याचे नाव देऊ शकता का? एक टेस्ट ट्यूब, बरोबर! तुम्ही तुमच्या विज्ञान प्रयोगशाळेत याचा वापर केला असेल. ही नळी देखील एका वृत्तचित्ती आणि अर्धगोल यांचा संयोग आहे. त्याचप्रमाणे, प्रवास करताना, तुम्ही काही मोठी आणि सुंदर इमारती किंवा स्मारके पाहिली असतील जी वरील घन पदार्थांच्या संयोगाने बनलेली आहेत.

जर काही कारणास्तव तुम्हाला अशा वस्तूंचे पृष्ठफळ, किंवा घनफळ, किंवा क्षमता शोधायच्या असतील, तर तुम्ही ते कसे कराल? आपण यांना तुम्ही आतापर्यंत अभ्यासलेल्या कोणत्याही घन पदार्थांच्या अंतर्गत वर्गीकृत करू शकत नाही.

चित्र १२.३

या प्रकरणात, तुम्ही अशा वस्तूंचे पृष्ठफळ आणि घनफळ कसे शोधायचे ते पाहाल.

१२.२ घन पदार्थांच्या संयोगाचे पृष्ठफळ

चित्र १२.२ मध्ये दिसणारा कंटेनर विचारात घेऊ. अशा घन पदार्थाचे पृष्ठफळ आपण कसे शोधू? आता, जेव्हा जेव्हा आपल्याला नवीन समस्या भेटते, तेव्हा आपण प्रथम हे पाहण्याचा प्रयत्न करतो की आपण ते आपण आधी सोडवलेल्या लहान समस्यांमध्ये विभाजित करू शकतो का. आपण पाहू शकतो की हा घन पदार्थ एका वृत्तचित्तीपासून बनलेला आहे ज्याच्या दोन्ही टोकांना दोन अर्धगोल चिकटवलेले आहेत. आपण सर्व तुकडे एकत्र केल्यानंतर, तो चित्र १२.४ मध्ये आपल्याला जे दिसते त्यासारखा दिसेल.

चित्र १२.४

जर आपण नवीन तयार झालेल्या वस्तूच्या पृष्ठभागाचा विचार केला, तर आपल्याला फक्त दोन्ही अर्धगोलांचे वक्रपृष्ठफळ आणि वृत्तचित्तीचे वक्रपृष्ठफळ दिसेल.

म्हणून, नवीन घन पदार्थाचे एकूण पृष्ठफळ हे प्रत्येक वैयक्तिक भागांच्या वक्रपृष्ठफळांची बेरीज आहे. यावरून मिळते,

नवीन घनाचे एकूण पृष्ठफळ (TSA) $=$ एका अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ (CSA) + वृत्तचित्तीचे वक्रपृष्ठफळ (CSA) + दुसऱ्या अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ (CSA)

येथे TSA, CSA हे अनुक्रमे ‘एकूण पृष्ठफळ’ आणि ‘वक्रपृष्ठफळ’ यांचे संक्षेप आहेत.

आता दुसरी परिस्थिती विचारात घेऊ. समजा आपण एका अर्धगोल आणि एका शंकूचा एकत्रित करून एक खेळणी बनवत आहोत. आपण ज्या पायऱ्यांमधून जाऊ त्या पाहूया.

प्रथम, आपण एक शंकू आणि एक अर्धगोल घेऊ आणि त्यांचे सपाट पृष्ठभाग एकत्र जोडू. येथे, अर्थात, खेळणीला गुळगुळीत पृष्ठभाग असावा म्हणून आपण शंकूची मूळ त्रिज्या अर्धगोलाच्या त्रिज्येइतकी घेऊ. म्हणून, पायऱ्या चित्र १२.५ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे असतील.

चित्र १२.५

आपल्या प्रयत्नांच्या शेवटी, आपल्याला एक छान गोलाकार तळाची खेळणी मिळाली आहे. आता जर आपल्याला ही खेळणी रंगवण्यासाठी किती रंग लागेल हे शोधायचे असेल, तर आपल्याला काय माहिती असणे आवश्यक आहे? आपल्याला खेळणीचे पृष्ठफळ माहित असणे आवश्यक आहे, ज्यामध्ये अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ आणि शंकूचे वक्रपृष्ठफळ यांचा समावेश आहे.

म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो:

खेळणीचे एकूण पृष्ठफळ $=$ अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ + शंकूचे वक्रपृष्ठफळ

आता, काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण १ : रशीदला त्याच्या वाढदिवसाच्या भेटवस्तू म्हणून एक लटू मिळाला, ज्यावर आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे कोणताही रंग नव्हता. त्याला त्याच्या क्रेयॉन्सने तो रंगवायचा होता. लटू हा शंकूच्या आकाराचा आहे ज्यावर अर्धगोल बसवलेला आहे (चित्र १२.६ पहा). संपूर्ण लटूची उंची $5 \mathrm{~cm}$ आहे आणि लटूचा व्यास $3.5 \mathrm{~cm}$ आहे. त्याला रंगवायचे क्षेत्रफळ शोधा. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ घ्या.)

चित्र १२.६

उकल : हा लटू हा नक्की तसाच आहे ज्याची आपण चित्र १२.५ मध्ये चर्चा केली आहे. म्हणून, आपण तेथे आलेला निकाय सोयीस्करपणे वापरू शकतो. तो असा:

$ \text{खेळणीचे एकूण पृष्ठफळ (TSA)} = \text{अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ (CSA)} + \text{शंकूचे वक्रपृष्ठफळ (CSA)} $

आता, अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

तसेच, शंकूची उंची = लटूची उंची - अर्धगोलाकार भागाची उंची (त्रिज्या)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

म्हणून, शंकूची तिरकस उंची $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (अंदाजे)

म्हणून, शंकूचे वक्रपृष्ठफळ $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

यावरून लटूचे पृष्ठफळ मिळते

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

तुम्ही लक्षात घ्या की ‘लटूचे एकूण पृष्ठफळ’ हे शंकू आणि अर्धगोल यांच्या एकूण पृष्ठफळांची बेरीज नाही.

उदाहरण २ : चित्र १२.७ मध्ये दाखवलेला सजावटीचा ब्लॉक दोन घन पदार्थांपासून बनलेला आहे - एक घन आणि एक अर्धगोल. ब्लॉकचा पाया एक घन आहे ज्याची कडा $5 \mathrm{~cm}$ आहे, आणि वर बसवलेल्या अर्धगोलाचा व्यास $4.2 \mathrm{~cm}$ आहे. ब्लॉकचे एकूण पृष्ठफळ शोधा. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ घ्या.)

चित्र १२.७

उकल : घनाचे एकूण पृष्ठफळ $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

लक्षात घ्या की घनाचा जो भाग अर्धगोल जोडलेला आहे तो पृष्ठफळात समाविष्ट केलेला नाही.

म्हणून, ब्लॉकचे पृष्ठफळ $=$ घनाचे एकूण पृष्ठफळ - अर्धगोलाच्या पायाचे क्षेत्रफळ + अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण ३ : एक लाकडी खेळणी रॉकेट हे शंकूच्या आकाराचे आहे जे वृत्तचित्तीवर बसवलेले आहे, जसे चित्र १२.८ मध्ये दाखवले आहे. संपूर्ण रॉकेटची उंची $26 \mathrm{~cm}$ आहे, तर शंकूच्या भागाची उंची $6 \mathrm{~cm}$ आहे. शंकूच्या भागाच्या पायाचा व्यास $5 \mathrm{~cm}$ आहे, तर वृत्तचित्तीच्या भागाच्या पायाचा व्यास $3 \mathrm{~cm}$ आहे. जर शंकूच्या भागाला नारिंगी रंग देणे असेल आणि वृत्तचित्तीच्या भागाला पिवळा रंग देणे असेल, तर रॉकेटचे प्रत्येक रंगाने रंगवलेले क्षेत्रफळ शोधा. ($\pi=3.14$ घ्या.)

चित्र १२.८

उकल : शंकूची त्रिज्या $r$ ने, शंकूची तिरकस उंची $l$ ने, शंकूची उंची $h$ ने, वृत्तचित्तीची त्रिज्या $r^{\prime}$ ने आणि वृत्तचित्तीची उंची $h^{\prime}$ ने दर्शवू. तर $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ आणि

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

येथे, शंकूच्या भागाचा वर्तुळाकार पाया वृत्तचित्तीच्या पायावर ठेवलेला आहे, परंतु शंकूचा पाया वृत्तचित्तीच्या पायापेक्षा मोठा आहे. म्हणून, शंकूच्या पायाचा एक भाग (एक रिंग) रंगवायचा आहे.

म्हणून, नारिंगी रंगवायचे क्षेत्रफळ $=$ शंकूचे वक्रपृष्ठफळ + शंकूच्या पायाचे क्षेत्रफळ - वृत्तचित्तीच्या पायाचे क्षेत्रफळ

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

आता, पिवळा रंगवायचे क्षेत्रफळ $=$ वृत्तचित्तीचे वक्रपृष्ठफळ + वृत्तचित्तीच्या एका पायाचे क्षेत्रफळ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण ४ : मयंकने त्याच्या बागेसाठी एका वृत्तचित्तीच्या आकाराचे पक्ष्यांसाठी स्नानाचे तलाव बनवले, ज्याच्या एका टोकाला अर्धगोलाकार खोदणी आहे (चित्र १२.९ पहा). वृत्तचित्तीची उंची $1.45 \mathrm{~m}$ आहे आणि त्याची त्रिज्या $30 \mathrm{~cm}$ आहे. पक्ष्यांसाठीच्या स्नानाच्या तलावाचे एकूण पृष्ठफळ शोधा. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ घ्या.)

चित्र १२.९

उकल : वृत्तचित्तीची उंची $h$ ने दर्शवू, आणि वृत्तचित्ती आणि अर्धगोल यांची सामाईक त्रिज्या $r$ ने दर्शवू. तर, पक्ष्यांसाठीच्या स्नानाच्या तलावाचे एकूण पृष्ठफळ $=$ वृत्तचित्तीचे वक्रपृष्ठफळ + अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

१२.३ घन पदार्थांच्या संयोगाचे घनफळ

मागील भागात, आपण दोन मूलभूत घन पदार्थांच्या संयोगाने बनलेल्या घन पदार्थांचे पृष्ठफळ कसे शोधायचे यावर चर्चा केली. येथे, आपण त्यांचे घनफळ कसे काढायचे ते पाहू. हे लक्षात घ्यावे की पृष्ठफळ काढताना, आपण दोन घटकांची पृष्ठफळे बेरीज केली नाहीत, कारण ते जोडण्याच्या प्रक्रियेत पृष्ठफळाचा काही भाग नाहीसा झाला. तथापि, घनफळ काढताना ही परिस्थिती राहणार नाही. दोन मूलभूत घन पदार्थ जोडून बनवलेल्या घन पदार्थाचे घनफळ हे प्रत्यक्षात घटकांच्या घनफळांची बेरीज असेल, जसे आपण खालील उदाहरणांमध्ये पाहू.

उदाहरण ५ : शांता एका शेडमध्ये एक उद्योग चालवते जो एका घनाभाच्या आकाराचा आहे ज्यावर अर्धवृत्तचित्ती बसवलेली आहे (चित्र १२.१२ पहा). जर शेडच्या पायाचे माप $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ असेल, आणि घनाभ भागाची उंची $8 \mathrm{~m}$ असेल, तर शेडमध्ये असलेल्या हवेचे घनफळ शोधा. पुढे, समजा शेडमधील यंत्रसामग्रीने एकूण $300 \mathrm{~m}^{3}$ जागा व्यापली आहे, आणि तेथे २० कामगार आहेत, प्रत्येक जो सरासरी $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ जागा व्यापतो. तर, शेडमध्ये किती हवा आहे? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ घ्या.)

चित्र १२.१२

उकल : शेडमध्ये असलेल्या हवेचे घनफळ (जेव्हा तेथे लोक किंवा यंत्रसामग्री नसते) हे घनाभ आणि अर्धवृत्तचित्ती यांच्या आत असलेल्या हवेच्या घनफळांची एकत्रित बेरीज आहे.

आता, घनाभाची लांबी, रुंदी आणि उंची अनुक्रमे $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ आणि $8 \mathrm{~m}$ आहेत. तसेच, अर्धवृत्तचित्तीचा व्यास $7 \mathrm{~m}$ आहे आणि त्याची उंची $15 \mathrm{~m}$ आहे.

म्हणून, आवश्यक घनफळ $=$ घनाभाचे घनफळ $+\dfrac{1}{2}$ वृत्तचित्तीचे घनफळ

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

पुढे, यंत्रसामग्रीने व्यापलेली एकूण जागा $=300 \mathrm{~m}^{3}$

आणि कामगारांनी व्यापलेली एकूण जागा $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

म्हणून, जेव्हा यंत्रसामग्री आणि कामगार असतात तेव्हा हवेचे घनफळ

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

उदाहरण ६ : एक रस विक्रेता ग्लास वापरून त्याच्या ग्राहकांना सेवा देत होता जसे चित्र १२.१३ मध्ये दाखवले आहे. वृत्तचित्तीय ग्लासचा अंतर्गत व्यास $5 \mathrm{~cm}$ होता, परंतु ग्लासच्या तळाशी एक अर्धगोलाकार उंच भाग होता ज्यामुळे ग्लासची क्षमता कमी झाली होती. जर ग्लासची उंची $10 \mathrm{~cm}$ असेल, तर ग्लासची दिसणारी क्षमता आणि त्याची वास्तविक क्षमता शोधा. ($\pi=3.14$ वापरा.)

चित्र १२.१३

उकल : ग्लासचा अंतर्गत व्यास $=5 \mathrm{~cm}$ आणि उंची $=10 \mathrm{~cm}$ असल्याने, ग्लासची दिसणारी क्षमता $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

परंतु ग्लासची वास्तविक क्षमता ग्लासच्या तळाशी असलेल्या अर्धगोलाच्या घनफळाने कमी आहे.

म्हणजेच, $\quad$ ती $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ ने कमी आहे

म्हणून, ग्लासची वास्तविक क्षमता $=$ ग्लासची दिसणारी क्षमता - अर्धगोलाचे घनफळ

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

उदाहरण ७ : एक घन खेळणी ही एका अर्धगोलाच्या आकाराची आहे ज्यावर एक लंब वृत्तशंकू बसवलेला आहे. शंकूची उंची $2 \mathrm{~cm}$ आहे आणि पायाचा व्यास $4 \mathrm{~cm}$ आहे. खेळणीचे घनफळ ठरवा. जर एक लंब वृत्तचित्ती या खेळणीभोवती परिक्रमा करत असेल, तर वृत्तचित्ती आणि खेळणी यांच्या घनफळांतील फरक शोधा. ($\pi=3.14$ घ्या.)

चित्र १२.१४

उकल : BPC हा अर्धगोल आणि ABC हा शंकू अर्धगोलाच्या पायावर उभा आहे असे समजा (चित्र १२.१४ पहा). अर्धगोलाची (तसेच शंकूची) त्रिज्या BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$ आहे.

म्हणून, खेळणीचे घनफळ $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

आता, लंब वृत्तचित्ती EFGH दिलेल्या घनाला परिक्रमा करते असे समजा. लंब वृत्तचित्तीच्या पायाची त्रिज्या $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$ आहे, आणि त्याची उंची आहे

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

म्हणून, आवश्यक घनफळ $=$ लंब वृत्तचित्तीचे घनफळ - खेळणीचे घनफळ

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

म्हणून, दोन घनफळांमधला आवश्यक फरक $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$ आहे.

१२.४ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला:

१. घनाभ, शंकू, वृत्तचित्ती, गोल आणि अर्धगोल या मूलभूत घन पदार्थांपैकी कोणत्याही दोन घन पदार्थांच्या संयोगाने बनलेल्या वस्तूचे पृष्ठफळ ठरवणे.

२. घनाभ, शंकू, वृत्तचित्ती, गोल आणि अर्धगोल यांपैकी कोणत्याही दोन घन पदार्थांच्या संयोगाने बनलेल्या वस्तूंचे घनफळ शोधणे.