১২.১ ভূমিকা

নবম শ্রেণি থেকে তুমি কিছু ঘনবস্তুর সাথে পরিচিত, যেমন আয়তঘন, শঙ্কু, সিলিন্ডার এবং গোলক (চিত্র ১২.১ দেখো)। তুমি তাদের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করাও শিখেছ।

চিত্র ১২.১

আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, আমরা অনেকগুলো ঘনবস্তুর সম্মুখীন হই যেগুলো উপরে দেখানো মৌলিক ঘনবস্তুগুলোর দুই বা ততোধিকের সংমিশ্রণে তৈরি।

তুমি নিশ্চয়ই একটি ট্রাক দেখেছ যার পিঠে একটি কন্টেইনার লাগানো থাকে (চিত্র ১২.২ দেখো), যা এক স্থান থেকে অন্য স্থানে তেল বা জল বহন করে। এটি কি উপরে উল্লিখিত চারটি মৌলিক ঘনবস্তুর কোনো আকৃতির? তুমি অনুমান করতে পারো যে এটি একটি সিলিন্ডার ও তার দুই প্রান্তে দুইটি অর্ধগোলক নিয়ে তৈরি।

চিত্র ১২.২

আবার, তুমি চিত্র ১২.৩-এর মতো একটি বস্তু দেখে থাকতে পারো। এর নাম বলতে পারো? একটি টেস্ট টিউব, ঠিক! তোমার বিজ্ঞান গবেষণাগারে তুমি অবশ্যই একটি ব্যবহার করেছ। এই টিউবটিও একটি সিলিন্ডার ও একটি অর্ধগোলকের সংমিশ্রণ। একইভাবে, ভ্রমণের সময় তুমি কিছু বড় ও সুন্দর ভবন বা স্মৃতিস্তম্ভ দেখে থাকতে পারো যা উপরে উল্লিখিত ঘনবস্তুগুলোর সংমিশ্রণে তৈরি।

যদি কোনো কারণে তুমি এমন বস্তুগুলোর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, বা আয়তন, বা ধারণক্ষমতা জানতে চাও, তবে তুমি কীভাবে করবে? আমরা এগুলোকে তোমার আগে পড়া কোনো ঘনবস্তুর শ্রেণিভুক্ত করতে পারি না।

চিত্র ১২.৩

এই অধ্যায়ে, তুমি দেখবে কীভাবে এমন বস্তুগুলোর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করা যায়।

১২.২ সংমিশ্রিত ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

চিত্র ১২.২-এ দেখা কন্টেইনারটি বিবেচনা করা যাক। এমন একটি ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল আমরা কীভাবে নির্ণয় করব? এখন, যখনই আমরা একটি নতুন সমস্যার সম্মুখীন হই, আমরা প্রথমে চেষ্টা করি দেখতে যে, আমরা কি এটিকে ছোট ছোট সমস্যায় ভাগ করতে পারি যা আমরা আগে সমাধান করেছি। আমরা দেখতে পাই যে এই ঘনবস্তুটি একটি সিলিন্ডার ও তার দুই প্রান্তে লাগানো দুইটি অর্ধগোলক নিয়ে তৈরি। টুকরোগুলো সব একসাথে জুড়ে দিলে এটি চিত্র ১২.৪-এ আমাদের যা আছে তার মতো দেখাবে।

চিত্র ১২.৪

যদি আমরা নতুন গঠিত বস্তুটির পৃষ্ঠতল বিবেচনা করি, আমরা শুধুমাত্র দুইটি অর্ধগোলকের বক্রপৃষ্ঠ ও সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠ দেখতে পাব।

সুতরাং, নতুন ঘনবস্তুটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল প্রতিটি পৃথক অংশের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। এটি দেয়,

নতুন ঘনবস্তুর TSA $=$ একটি অর্ধগোলকের CSA + সিলিন্ডারের CSA + অপর অর্ধগোলকের CSA

যেখানে TSA, CSA যথাক্রমে ‘মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল’ ও ‘বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল’ বোঝায়।

আসুন এখন আরেকটি পরিস্থিতি বিবেচনা করি। ধরি আমরা একটি অর্ধগোলক ও একটি শঙ্কু একত্রিত করে একটি খেলনা তৈরি করছি। আসুন দেখি আমরা যে ধাপগুলো অনুসরণ করব।

প্রথমে, আমরা একটি শঙ্কু ও একটি অর্ধগোলক নেব এবং তাদের সমতল তলগুলো একসাথে জুড়ে দেব। এখানে, অবশ্যই আমরা শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের সমান নেব, কারণ খেলনাটির পৃষ্ঠতল মসৃণ হবে। সুতরাং, ধাপগুলো চিত্র ১২.৫-এ দেখানো মতো হবে।

চিত্র ১২.৫

আমাদের চেষ্টার শেষে, আমরা একটি সুন্দর গোলাকার তলবিশিষ্ট খেলনা পেয়েছি। এখন যদি আমরা জানতে চাই এই খেলনার পৃষ্ঠতল রঙ করতে আমাদের কতটা রঙের প্রয়োজন হবে, তবে আমাদের কী জানা দরকার? আমাদের খেলনাটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল জানা দরকার, যা অর্ধগোলকের CSA ও শঙ্কুর CSA নিয়ে গঠিত।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি:

খেলনাটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=$ অর্ধগোলকের CSA + শঙ্কুর CSA

এখন, আসুন কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১ : রশিদ তার জন্মদিনের উপহার হিসেবে একটি লাটু পেল, যেটি আশ্চর্যজনকভাবে কোনো রঙ করা ছিল না। সে তার ক্রেয়ন দিয়ে এটি রঙ করতে চাইল। লাটুটি একটি শঙ্কু ও তার উপর স্থাপিত একটি অর্ধগোলকের আকৃতিবিশিষ্ট (চিত্র ১২.৬ দেখো)। সম্পূর্ণ লাটুটির উচ্চতা $5 \mathrm{~cm}$ এবং লাটুটির ব্যাস $3.5 \mathrm{~cm}$। তাকে যে ক্ষেত্রফল রঙ করতে হবে তা নির্ণয় করো। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নাও)

চিত্র ১২.৬

সমাধান : এই লাটুটি ঠিক সেই বস্তুর মতো যা আমরা চিত্র ১২.৫-এ আলোচনা করেছি। সুতরাং, আমরা সেখানে আমরা যে ফলাফলে পৌঁছেছি তা সুবিধামতো ব্যবহার করতে পারি। তা হল:

$ \text { খেলনাটির TSA }=\text { অর্ধগোলকের CSA }+ \text { শঙ্কুর CSA } $

এখন, অর্ধগোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

এছাড়া, শঙ্কুর উচ্চতা = লাটুর উচ্চতা - অর্ধগোলাকার অংশের উচ্চতা (ব্যাসার্ধ)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

সুতরাং, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (প্রায়)

অতএব, শঙ্কুর CSA $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

এটি লাটুটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দেয়

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

তুমি লক্ষ্য করবে যে ‘লাটুটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল’ শঙ্কু ও অর্ধগোলকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি নয়।

উদাহরণ ২ : চিত্র ১২.৭-এ দেখানো সাজানো ব্লকটি দুটি ঘনবস্তু নিয়ে তৈরি - একটি ঘনক ও একটি অর্ধগোলক। ব্লকটির ভূমি একটি ঘনক যার বাহু $5 \mathrm{~cm}$, এবং উপরে স্থাপিত অর্ধগোলকের ব্যাস $4.2 \mathrm{~cm}$। ব্লকটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নাও)

চিত্র ১২.৭

সমাধান : ঘনকটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$।

লক্ষ্য করো, ঘনকের যে অংশে অর্ধগোলকটি সংযুক্ত করা হয়েছে তা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের অন্তর্ভুক্ত নয়।

সুতরাং, ব্লকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=$ ঘনকের TSA - অর্ধগোলকের ভূমির ক্ষেত্রফল + অর্ধগোলকের CSA

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ ৩ : একটি কাঠের খেলনা রকেট একটি শঙ্কুকে একটি সিলিন্ডারের উপর স্থাপন করে তৈরি, যেমন চিত্র ১২.৮-এ দেখানো হয়েছে। সম্পূর্ণ রকেটের উচ্চতা $26 \mathrm{~cm}$, অন্যদিকে শঙ্কু অংশের উচ্চতা $6 \mathrm{~cm}$। শঙ্কু অংশের ভূমির ব্যাস $5 \mathrm{~cm}$, অন্যদিকে সিলিন্ডার অংশের ভূমির ব্যাস $3 \mathrm{~cm}$। যদি শঙ্কু অংশটি কমলা রং ও সিলিন্ডার অংশটি হলুদ রং করতে হয়, তবে রকেটের কোন অংশ কত ক্ষেত্রফল রং করতে হবে তা নির্ণয় করো। ($\pi=3.14$ নাও)

চিত্র ১২.৮

সমাধান : শঙ্কুর ব্যাসার্ধকে $r$ দ্বারা, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতাকে $l$ দ্বারা, শঙ্কুর উচ্চতাকে $h$ দ্বারা, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধকে $r^{\prime}$ দ্বারা এবং সিলিন্ডারের উচ্চতাকে $h^{\prime}$ দ্বারা সূচিত করো। তাহলে $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ এবং

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

এখানে, শঙ্কু অংশটির বৃত্তাকার ভূমি সিলিন্ডারের ভূমির উপর স্থাপিত, কিন্তু শঙ্কুর ভূমি সিলিন্ডারের ভূমি থেকে বড়। সুতরাং, শঙ্কুর ভূমির একটি অংশ (একটি বলয়) রং করতে হবে।

সুতরাং, কমলা রং করতে হবে যে ক্ষেত্রফল $=$ শঙ্কুর CSA + শঙ্কুর ভূমির ক্ষেত্রফল - সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

এখন, হলুদ রং করতে হবে যে ক্ষেত্রফল $=$ সিলিন্ডারের CSA + সিলিন্ডারের একটি ভূমির ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ ৪ : ময়ঙ্ক তার বাগানের জন্য একটি পাখির স্নানাগার তৈরি করল একটি সিলিন্ডারের আকৃতিতে যার এক প্রান্তে একটি অর্ধগোলাকার খাঁজ আছে (চিত্র ১২.৯ দেখো)। সিলিন্ডারের উচ্চতা $1.45 \mathrm{~m}$ এবং এর ব্যাসার্ধ $30 \mathrm{~cm}$। পাখির স্নানাগারটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নাও)

চিত্র ১২.৯

সমাধান : ধরি $h$ সিলিন্ডারের উচ্চতা, এবং $r$ সিলিন্ডার ও অর্ধগোলকের সাধারণ ব্যাসার্ধ। তাহলে, পাখির স্নানাগারটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=$ সিলিন্ডারের CSA + অর্ধগোলকের CSA

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

১২.৩ সংমিশ্রিত ঘনবস্তুর আয়তন

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা আলোচনা করেছি কীভাবে দুটি মৌলিক ঘনবস্তুর সংমিশ্রণে তৈরি ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। এখানে, আমরা দেখব কীভাবে তাদের আয়তন গণনা করা যায়। লক্ষণীয় যে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল গণনার সময়, আমরা দুটি উপাদানের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল যোগ করিনি, কারণ তাদের যুক্ত করার প্রক্রিয়ায় কিছু পৃষ্ঠতল অদৃশ্য হয়ে গেছে। তবে, আয়তন গণনার ক্ষেত্রে এমন হবে না। দুটি মৌলিক ঘনবস্তু যুক্ত করে গঠিত ঘনবস্তুর আয়তন প্রকৃতপক্ষে উপাদানগুলোর আয়তনের সমষ্টি হবে, যেমন আমরা নিচের উদাহরণগুলোতে দেখব।

উদাহরণ ৫ : শান্তা একটি শেডে একটি শিল্প চালায় যা একটি আয়তঘনের উপর একটি অর্ধসিলিন্ডার স্থাপন করে তৈরি (চিত্র ১২.১২ দেখো)। যদি শেডটির ভূমির মাত্রা $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ হয়, এবং আয়তঘন অংশের উচ্চতা $8 \mathrm{~m}$ হয়, তবে শেডটি যে বায়ু ধারণ করতে পারে তার আয়তন নির্ণয় করো। আরও ধরে নাও, শেডের যন্ত্রপাতিগুলো মোট $300 \mathrm{~m}^{3}$ জায়গা দখল করে, এবং ২০ জন কর্মী আছে, যাদের প্রত্যেকে গড়ে প্রায় $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ জায়গা দখল করে। তাহলে, শেডে কতটা বায়ু আছে? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নাও)

চিত্র ১২.১২

সমাধান : শেডের ভিতরের বায়ুর আয়তন (যখন কোনো মানুষ বা যন্ত্রপাতি নেই) দেওয়া হয় আয়তঘনের ভিতরের বায়ুর আয়তন ও অর্ধসিলিন্ডারের ভিতরের বায়ুর আয়তন একত্রে নিয়ে।

এখন, আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ ও $8 \mathrm{~m}$। এছাড়া, অর্ধসিলিন্ডারের ব্যাস $7 \mathrm{~m}$ এবং এর উচ্চতা $15 \mathrm{~m}$।

সুতরাং, নির্ণেয় আয়তন $=$ আয়তঘনের আয়তন $+\dfrac{1}{2}$ সিলিন্ডারের আয়তন

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

পরবর্তীতে, যন্ত্রপাতি দ্বারা দখলকৃত মোট জায়গা $=300 \mathrm{~m}^{3}$

এবং কর্মীদের দ্বারা দখলকৃত মোট জায়গা $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

অতএব, যখন যন্ত্রপাতি ও কর্মী আছে তখন বায়ুর আয়তন

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

উদাহরণ ৬ : একজন জুস বিক্রেতা চিত্র ১২.১৩-এ দেখানো মতো গ্লাস ব্যবহার করে তার গ্রাহকদের পরিবেশন করছিল। সিলিন্ডারাকার গ্লাসের অভ্যন্তরীণ ব্যাস $5 \mathrm{~cm}$ ছিল, কিন্তু গ্লাসের তলায় একটি অর্ধগোলাকার উঁচু অংশ ছিল যা গ্লাসের ধারণক্ষমতা কমিয়ে দিয়েছে। যদি একটি গ্লাসের উচ্চতা $10 \mathrm{~cm}$ হয়, তবে গ্লাসের আপাত ধারণক্ষমতা ও প্রকৃত ধারণক্ষমতা নির্ণয় করো। ($\pi=3.14$ ব্যবহার করো।)

চিত্র ১২.১৩

সমাধান : যেহেতু গ্লাসের অভ্যন্তরীণ ব্যাস $=5 \mathrm{~cm}$ এবং উচ্চতা $=10 \mathrm{~cm}$, তাই গ্লাসের আপাত ধারণক্ষমতা $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

কিন্তু গ্লাসের প্রকৃত ধারণক্ষমতা গ্লাসের তলার অর্ধগোলকের আয়তন দ্বারা কম।

অর্থাৎ, $\quad$ এটি $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ দ্বারা কম

সুতরাং, গ্লাসের প্রকৃত ধারণক্ষমতা $=$ গ্লাসের আপাত ধারণক্ষমতা - অর্ধগোলকের আয়তন

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

উদাহরণ ৭ : একটি নিরেট খেলনা একটি অর্ধগোলকের উপর একটি সমকোণীয় বৃত্তাকার শঙ্কু স্থাপন করে তৈরি। শঙ্কুর উচ্চতা $2 \mathrm{~cm}$ এবং ভূমির ব্যাস $4 \mathrm{~cm}$। খেলনাটির আয়তন নির্ণয় করো। যদি একটি সমকোণীয় বৃত্তাকার সিলিন্ডার খেলনাটিকে পরিবেষ্টিত করে, তবে সিলিন্ডার ও খেলনার আয়তনের পার্থক্য নির্ণয় করো। ($\pi=3.14$ নাও)

চিত্র ১২.১৪

সমাধান : ধরি BPC অর্ধগোলক এবং ABC শঙ্কু অর্ধগোলকের ভূমির উপর দাঁড়িয়ে আছে (চিত্র ১২.১৪ দেখো)। অর্ধগোলকের (এবং শঙ্কুরও) ব্যাসার্ধ BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$।

সুতরাং, খেলনাটির আয়তন $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

এখন, ধরি সমকোণীয় বৃত্তাকার সিলিন্ডার EFGH প্রদত্ত নিরেটটিকে পরিবেষ্টিত করে। সমকোণীয় বৃত্তাকার সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$, এবং এর উচ্চতা হল

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

সুতরাং, নির্ণেয় আয়তন $=$ সমকোণীয় বৃত্তাকার সিলিন্ডারের আয়তন - খেলনাটির আয়তন

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

অতএব, দুটি আয়তনের নির্ণেয় পার্থক্য $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$।

১২.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তুমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলো পড়েছ:

১. আয়তঘন, শঙ্কু, সিলিন্ডার, গোলক ও অর্ধগোলক - এই মৌলিক ঘনবস্তুগুলোর যেকোনো দুটির সংমিশ্রণে গঠিত বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা।

২. আয়তঘন, শঙ্কু, সিলিন্ডার, গোলক ও অর্ধগোলক - এইগুলোর যেকোনো দুটির সংমিশ্রণে গঠিত বস্তুর আয়তন নির্ণয় করা।