১২.১ পৰিচয়

নৱম শ্ৰেণীৰ পৰা আপুনি কিছুমান ঘন বস্তু যেনে আয়তঘন, শংকু, চিলিণ্ডাৰ আৰু গোলকৰ সৈতে পৰিচিত হৈছে (চিত্ৰ ১২.১ চাওক)। আপুনি ইহঁতৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন কেনেকৈ উলিয়াব লাগে তাকো শিকিছে।

চিত্ৰ ১২.১

আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনত, ওপৰত দেখুওৱাৰ দৰে দুটা বা ততোধিক মৌলিক ঘন বস্তুৰ সংযোগৰে তৈয়াৰী বহুতো ঘন বস্তুৰ সৈতে আমি পৰিচিত হওঁ।

আপুনি নিশ্চয় এখন ট্ৰাকৰ পিঠিত লাগোৱা কন্টেইনাৰ এখন দেখিছে (চিত্ৰ ১২.২ চাওক), যিয়ে এঠাইৰ পৰা আন ঠাইলৈ তেল বা পানী কঢ়িয়ায়। এইটো ওপৰত উল্লেখ কৰা চাৰিটা মৌলিক ঘন বস্তুৰ কোনোটোৰ আকৃতিৰ নেকি? আপুনি অনুমান কৰিব পাৰে যে ই এটা চিলিণ্ডাৰ আৰু দুটা অৰ্ধগোলকৰ দ্বাৰা ইয়াৰ দুয়ো মূৰত তৈয়াৰী।

চিত্ৰ ১২.২

আকৌ, আপুনি চিত্ৰ ১২.৩-ত দেখুওৱাৰ দৰে বস্তু এটা দেখিছে। আপুনি ইয়াৰ নাম কব পাৰেনে? এটা টেষ্ট টিউব, হয়নে! আপুনি বিজ্ঞান পৰীক্ষাগাৰত এটা ব্যৱহাৰ কৰিছিল। এই টিউবটোও এটা চিলিণ্ডাৰ আৰু এটা অৰ্ধগোলকৰ সংযোগ। একেদৰে, ভ্ৰমণ কৰোঁতে আপুনি ওপৰত উল্লেখ কৰা ঘন বস্তুৰ সংযোগৰে তৈয়াৰী কিছুমান ডাঙৰ আৰু ধুনীয়া অট্টালিকা বা স্মাৰক দেখিছে।

যদি কোনো কাৰণত আপুনি এনে বস্তুবোৰৰ পৃষ্ঠকালি, বা আয়তন, বা ধাৰণ ক্ষমতা উলিয়াব বিচাৰে, তেন্তে আপুনি কেনেকৈ কৰিব? আমি এইবোৰক আপুনি ইতিমধ্যে অধ্যয়ন কৰা কোনো ঘন বস্তুৰ তলত শ্ৰেণীভুক্ত কৰিব নোৱাৰো।

চিত্ৰ ১২.৩

এই অধ্যায়ত, আপুনি এনে বস্তুবোৰৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন কেনেকৈ উলিয়াব লাগে তাক দেখিব।

১২.২ সংযুক্ত ঘন বস্তুৰ পৃষ্ঠকালি

চিত্ৰ ১২.২-ত দেখা কন্টেইনাৰটো বিবেচনা কৰো আহক। এনে ঘন বস্তু এটাৰ পৃষ্ঠকালি কেনেকৈ উলিয়াব? এতিয়া, যেতিয়াই আমি নতুন সমস্যা এটাৰ সন্মুখীন হওঁ, আমি প্ৰথমতে চেষ্টা কৰোঁ চাবলৈ, যদি আমি ইয়াক সৰু সৰু সমস্যাত ভাঙিব পাৰোঁ, যিবোৰ আমি আগতে সমাধান কৰিছো। আমি দেখিব পাৰোঁ যে এই ঘন বস্তুটো এটা চিলিণ্ডাৰ আৰু দুটা অৰ্ধগোলক দুয়ো মূৰত লাগি তৈয়াৰী। আমি টুকুৰাবোৰ একেলগ কৰাৰ পিছত, ই চিত্ৰ ১২.৪-ত আমি যি দেখোঁ তেনেকুৱা হ’ব।

চিত্ৰ ১২.৪

যদি আমি নতুনকৈ গঠন হোৱা বস্তুটোৰ পৃষ্ঠ বিবেচনা কৰো, আমি কেৱল দুয়োটা অৰ্ধগোলকৰ বক্ৰপৃষ্ঠ আৰু চিলিণ্ডাৰটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠহে দেখিব পাৰিম।

গতিকে, নতুন ঘন বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি হৈছে প্ৰতিটো অংশৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালিৰ সমষ্টি। ইয়াত,

নতুন ঘন বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি (TSA) $=$ এটা অৰ্ধগোলকৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA) + চিলিণ্ডাৰটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA) + আনটো অৰ্ধগোলকৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA)

য’ত TSA, CSA ক্ৰমে ‘মুঠ পৃষ্ঠকালি’ আৰু ‘বক্ৰপৃষ্ঠকালি’ ৰ বাবে থিয় হৈছে।

এতিয়া আন এটা পৰিস্থিতি বিবেচনা কৰো আহক। ধৰি লওক আমি এটা অৰ্ধগোলক আৰু এটা শংকু একেলগ কৰি এটা খেলনা তৈয়াৰ কৰিছো। আহক আমি যি পদক্ষেপবোৰৰ মাজেৰে যাম সেইবোৰ চাওঁ।

প্ৰথমে, আমি এটা শংকু আৰু এটা অৰ্ধগোলক লম আৰু ইহঁতৰ সমতল পৃষ্ঠবোৰ একেলগ কৰিম। ইয়াত, নিশ্চয়ভাৱে, আমি শংকুটোৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ অৰ্ধগোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান ল’ম, কাৰণ খেলনাটোৰ মসৃণ পৃষ্ঠ থাকিব লাগে। গতিকে, পদক্ষেপবোৰ চিত্ৰ ১২.৫-ত দেখুওৱাৰ দৰে হ’ব।

চিত্ৰ ১২.৫

আমাৰ চেষ্টাৰ শেষত, আমি এটা ধুনীয়া গোলাকাৰ তলীৰ খেলনা পাইছো। এতিয়া যদি আমি ইয়াৰ পৃষ্ঠ ৰং কৰিবলৈ কিমান ৰংৰ প্ৰয়োজন হ’ব জানিব বিচাৰো, আমাক কি জানিব লাগিব? আমাক খেলনাটোৰ পৃষ্ঠকালি জানিব লাগিব, য’ত অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি আৰু শংকুটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি অন্তৰ্ভুক্ত।

গতিকে, আমি কব পাৰো:

খেলনাটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=$ অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি + শংকুটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি

এতিয়া, আহক আমি কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰো।

উদাহৰণ ১ : ৰশীদে জন্মদিনৰ উপহাৰ হিচাপে এটা লাটু (খেলনা) পালে, যিটো আচৰিতভাৱে ৰং কৰা নাছিল। তাই ইয়াক নিজৰ ক্ৰয়নৰে ৰং কৰিব বিচাৰিলে। লাটুটো শংকু আকৃতিৰ যিটোৰ ওপৰত অৰ্ধগোলক এটা আছে (চিত্ৰ ১২.৬ চাওক)। সমগ্ৰ লাটুটোৰ উচ্চতা $5 \mathrm{~cm}$ আৰু ইয়াৰ ব্যাস $3.5 \mathrm{~cm}$। তাই ৰং কৰিবলগীয়া কালি উলিয়াওক। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ লওক)

চিত্ৰ ১২.৬

সমাধান : এই লাটুটো হুবহু চিত্ৰ ১২.৫-ত আমি আলোচনা কৰা বস্তুটোৰ দৰে। গতিকে, আমি তাত আমি পোৱা ফলাফল সুবিধাজনকভাৱে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো। সেয়া হ’ল:

$ \text { খেলনাটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি (TSA) }=\text { অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA) }+ \text { শংকুটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA) } $

এতিয়া, অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

আকৌ, শংকুটোৰ উচ্চতা = লাটুটোৰ উচ্চতা - অৰ্ধগোলকীয় অংশৰ উচ্চতা (ব্যাসাৰ্ধ)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

গতিকে, শংকুটোৰ চ্যুতি উচ্চতা $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (প্ৰায়)

সেয়েহে, শংকুটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

ইয়ে লাটুটোৰ পৃষ্ঠকালি দিব

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে ‘লাটুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি’ হৈছে শংকু আৰু অৰ্ধগোলকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালিৰ সমষ্টি নহয়।

উদাহৰণ ২ : চিত্ৰ ১২.৭-ত দেখুওৱা সজ্জা ব্লকটো দুটা ঘন বস্তুৰে তৈয়াৰী - এটা ঘনক আৰু এটা অৰ্ধগোলক। ব্লকটোৰ ভূমি হৈছে এটা ঘনক যাৰ বাহু $5 \mathrm{~cm}$, আৰু ওপৰত থকা অৰ্ধগোলকটোৰ ব্যাস $4.2 \mathrm{~cm}$। ব্লকটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি উলিয়াওক। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ লওক)

চিত্ৰ ১২.৭

সমাধান : ঘনকটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$।

লক্ষ্য কৰক যে ঘনকটোৰ যিটো অংশত অৰ্ধগোলকটো লাগোৱা আছে সেই অংশটো পৃষ্ঠকালিত অন্তৰ্ভুক্ত নহয়।

গতিকে, ব্লকটোৰ পৃষ্ঠকালি $=$ ঘনকটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি (TSA) - অৰ্ধগোলকটোৰ ভূমিৰ কালি + অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA)

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৩ : কাঠৰ খেলনা ৰকেট এটা শংকু আকৃতিৰ যিটো চিলিণ্ডাৰ এটাৰ ওপৰত স্থাপন কৰা হৈছে, চিত্ৰ ১২.৮-ত দেখুওৱাৰ দৰে। সমগ্ৰ ৰকেটটোৰ উচ্চতা $26 \mathrm{~cm}$, আনহাতে শংকু অংশটোৰ উচ্চতা $6 \mathrm{~cm}$। শংকু অংশটোৰ ভূমিৰ ব্যাস $5 \mathrm{~cm}$, আনহাতে চিলিণ্ডাৰ অংশটোৰ ভূমিৰ ব্যাস $3 \mathrm{~cm}$। যদি শংকু অংশটো কমলা ৰং আৰু চিলিণ্ডাৰ অংশটো হালধীয়া ৰং কৰিব লাগে, তেন্তে ৰকেটটোৰ প্ৰতিটো ৰঙেৰে ৰং কৰা কালি উলিয়াওক। ($\pi=3.14$ লওক)

চিত্ৰ ১২.৮

সমাধান : শংকুটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$, শংকুটোৰ চ্যুতি উচ্চতা $l$, শংকুটোৰ উচ্চতা $h$, চিলিণ্ডাৰটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $r^{\prime}$ আৰু চিলিণ্ডাৰটোৰ উচ্চতা $h^{\prime}$ ধৰি লওক। তেন্তে $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ আৰু

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

ইয়াত, শংকু অংশটোৰ বৃত্তাকাৰ ভূমি চিলিণ্ডাৰটোৰ ভূমিত ৰখা হৈছে, কিন্তু শংকুটোৰ ভূমি চিলিণ্ডাৰটোৰ ভূমিতকৈ ডাঙৰ। গতিকে, শংকুটোৰ ভূমিৰ এটা অংশ (এটা বলয়) ৰং কৰিব লাগিব।

সেয়েহে, কমলা ৰং কৰিবলগীয়া কালি $=$ শংকুটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি + শংকুটোৰ ভূমিৰ কালি - চিলিণ্ডাৰটোৰ ভূমিৰ কালি

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

এতিয়া, হালধীয়া ৰং কৰিবলগীয়া কালি $=$ চিলিণ্ডাৰটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি + চিলিণ্ডাৰটোৰ এটা ভূমিৰ কালি

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৪ : ময়ংকে নিজৰ বাৰীৰ বাবে চৰাই-চিৰিকতিৰ বাবে এটা চিলিণ্ডাৰ আকৃতিৰ বস্তু তৈয়াৰ কৰিলে যাৰ এটা মূৰত অৰ্ধগোলকীয় খালি অংশ আছে (চিত্ৰ ১২.৯ চাওক)। চিলিণ্ডাৰটোৰ উচ্চতা $1.45 \mathrm{~m}$ আৰু ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ $30 \mathrm{~cm}$। চৰাই-চিৰিকতি বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি উলিয়াওক। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ লওক)

চিত্ৰ ১২.৯

সমাধান : ধৰি লওক $h$ হৈছে চিলিণ্ডাৰটোৰ উচ্চতা, আৰু $r$ হৈছে চিলিণ্ডাৰ আৰু অৰ্ধগোলকটোৰ সাধাৰণ ব্যাসাৰ্ধ। তেন্তে, চৰাই-চিৰিকতি বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=$ চিলিণ্ডাৰটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি + অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

১২.৩ সংযুক্ত ঘন বস্তুৰ আয়তন

পূৰ্বৱৰ্তী অংশত, আমি দুটা মৌলিক ঘন বস্তুৰ সংযোগৰে তৈয়াৰী ঘন বস্তুবোৰৰ পৃষ্ঠকালি কেনেকৈ উলিয়াব লাগে তাক আলোচনা কৰিছিলো। ইয়াত, আমি ইহঁতৰ আয়তন কেনেকৈ গণনা কৰিব লাগে তাক দেখিম। লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে পৃষ্ঠকালি গণনা কৰোঁতে, আমি দুয়োটা উপাদানৰ পৃষ্ঠকালি যোগ কৰা নাই, কাৰণ ইহঁতক সংযোগ কৰাৰ প্ৰক্ৰিয়াত পৃষ্ঠকালিৰ কিছুমান অংশ লোপ পাই গৈছিল। কিন্তু আয়তন গণনা কৰোঁতে এইটো নহ’ব। দুটা মৌলিক ঘন বস্তু সংযোগ কৰি গঠন হোৱা ঘন বস্তুটোৰ আয়তন প্ৰকৃততে উপাদানবোৰৰ আয়তনৰ সমষ্টি হ’ব, তলৰ উদাহৰণবোৰত আমি যিদৰে দেখিম।

উদাহৰণ ৫ : শান্তাই এটা শেডত এটা উদ্যোগ চলায় যিটো আয়তঘন আকৃতিৰ যাৰ ওপৰত অৰ্ধচিলিণ্ডাৰ এটা আছে (চিত্ৰ ১২.১২ চাওক)। যদি শেডটোৰ ভূমিৰ মাপ $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$, আৰু আয়তঘন অংশটোৰ উচ্চতা $8 \mathrm{~m}$, তেন্তে শেডটোৱে ধৰি ৰাখিব পৰা বায়ুৰ আয়তন উলিয়াওক। তাৰোপৰি, ধৰি লওক শেডটোৰ যন্ত্ৰ-পাতিবোৰে মুঠ $300 \mathrm{~m}^{3}$ ঠাই আগুৰি আছে, আৰু ২০ গৰাকী কামাৰু আছে, প্ৰতিজনে গড়ে $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ ঠাই আগুৰি আছে। তেন্তে, শেডটোত কিমান বায়ু আছে? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ লওক)

চিত্ৰ ১২.১২

সমাধান : শেডটোৰ ভিতৰৰ বায়ুৰ আয়তন (যেতিয়া মানুহ বা যন্ত্ৰ-পাতি নাথাকে) হৈছে আয়তঘনটোৰ ভিতৰৰ আৰু অৰ্ধচিলিণ্ডাৰটোৰ ভিতৰৰ বায়ুৰ আয়তনৰ সমষ্টি।

এতিয়া, আয়তঘনটোৰ দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতা ক্ৰমে $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$, $8 \mathrm{~m}$ আৰু $7 \mathrm{~m}$। আকৌ, অৰ্ধচিলিণ্ডাৰটোৰ ব্যাস $15 \mathrm{~m}$ আৰু ইয়াৰ উচ্চতা $=$।

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় আয়তন $+\dfrac{1}{2}$ আয়তঘনটোৰ আয়তন $=300 \mathrm{~m}^{3}$ চিলিণ্ডাৰটোৰ আয়তন

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

তাৰ পিছত, যন্ত্ৰ-পাতিবোৰে আগুৰি থকা মুঠ ঠাই $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

আৰু কামাৰুবোৰে আগুৰি থকা মুঠ ঠাই $5 \mathrm{~cm}$

সেয়েহে, যেতিয়া যন্ত্ৰ-পাতি আৰু কামাৰু থাকে তেতিয়া বায়ুৰ আয়তন

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

উদাহৰণ ৬ : এজন জুচ বিক্ৰেতাই গ্লাছ ব্যৱহাৰ কৰি গ্ৰাহকসকলক সেৱা আগবঢ়াই আছিল যেনেকৈ চিত্ৰ ১২.১৩-ত দেখুওৱা হৈছে। চিলিণ্ডাৰাকাৰ গ্লাছটোৰ ভিতৰৰ ব্যাস $10 \mathrm{~cm}$, কিন্তু গ্লাছটোৰ তলিত অৰ্ধগোলকীয় ওখ অংশ এটা আছিল যিয়ে গ্লাছটোৰ ধাৰণ ক্ষমতা কমাইছিল। যদি গ্লাছ এটাৰ উচ্চতা $\pi=3.14$, তেন্তে গ্লাছটোৰ আপাত ক্ষমতা আৰু প্ৰকৃত ক্ষমতা উলিয়াওক। ($=5 \mathrm{~cm}$ ব্যৱহাৰ কৰক।)

চিত্ৰ ১২.১৩

সমাধান : যিহেতু গ্লাছটোৰ ভিতৰৰ ব্যাস $=10 \mathrm{~cm}$ আৰু উচ্চতা $=\pi r^{2} h$, গ্লাছটোৰ আপাত ক্ষমতা $\quad$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

কিন্তু গ্লাছটোৰ প্ৰকৃত ক্ষমতা ইয়াৰ তলিত থকা অৰ্ধগোলকটোৰ আয়তনৰ দ্বাৰা কম।

অৰ্থাৎ, $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ ই $=$ ৰে কম

সেয়েহে, গ্লাছটোৰ প্ৰকৃত ক্ষমতা $2 \mathrm{~cm}$ গ্লাছটোৰ আপাত ক্ষমতা - অৰ্ধগোলকটোৰ আয়তন

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৭ : এটা গোটা খেলনা অৰ্ধগোলক এটাৰ ওপৰত সোঁ বৃত্তাকাৰ শংকু এটাৰ ৰূপত আছে। শংকুটোৰ উচ্চতা $4 \mathrm{~cm}$ আৰু ভূমিৰ ব্যাস $\pi=3.14$। খেলনাটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰক। যদি এটা সোঁ বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰে খেলনাটোক পৰিবেষ্টিত কৰে, তেন্তে চিলিণ্ডাৰ আৰু খেলনাটোৰ আয়তনৰ পাৰ্থক্য উলিয়াওক। ($=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$ লওক)

চিত্ৰ ১২.১৪

সমাধান : ধৰি লওক BPC হৈছে অৰ্ধগোলক আৰু ABC হৈছে অৰ্ধগোলকটোৰ ভূমিত থকা শংকু (চিত্ৰ ১২.১৪ চাওক)। অৰ্ধগোলকটোৰ (আৰু শংকুটোৰ) ব্যাসাৰ্ধ BO $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$।

গতিকে, খেলনাটোৰ আয়তন $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

এতিয়া, ধৰি লওক সোঁ বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰ EFGH-এ দিয়া গোটা বস্তুটোক পৰিবেষ্টিত কৰে। সোঁ বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰটোৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $=$, আৰু ইয়াৰ উচ্চতা

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

সেয়েহে, প্ৰয়োজনীয় আয়তন $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$ সোঁ বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰটোৰ আয়তন - খেলনাটোৰ আয়তন

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

গতিকে, দুয়োটা আয়তনৰ প্ৰয়োজনীয় পাৰ্থক্য https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10।

১২.৪ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলত দিয়া বিষয়বোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. আয়তঘন, শংকু, চিলিণ্ডাৰ, গোলক আৰু অৰ্ধগোলক নামৰ মৌলিক ঘন বস্তুৰ যিকোনো দুটা সংযোগ কৰি গঠন হোৱা বস্তু এটাৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।

২. আয়তঘন, শংকু, চিলিণ্ডাৰ, গোলক আৰু অৰ্ধগোলকৰ যিকোনো দুটা সংযোগ কৰি গঠন হোৱা বস্তুবোৰৰ আয়তন উলিয়াওক।