12.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ, ಘನಾಕೃತಿಗಳಾದ ಆಯತಘನ, ಶಂಕು, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಗೋಳದ (ಚಿತ್ರ 12.1 ನೋಡಿ) ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೀರಿ. ಅವುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಕೂಡಾ ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ.

ಚಿತ್ರ 12.1

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಮೂಲ ಘನಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಹಲವಾರು ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಟ್ರಕ್ಕಿನ ಹಿಂಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಟ್ಯಾಂಕರ್ (ಚಿತ್ರ 12.2 ನೋಡಿ) ಒಂದು ಸ್ಥಳದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ತೈಲ ಅಥವಾ ನೀರನ್ನು ಸಾಗಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿರಬಹುದು. ಇದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲ ಘನಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದರ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ? ಇದು ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 12.2

ಮತ್ತೆ, ಚಿತ್ರ 12.3 ರಲ್ಲಿರುವಂತಹ ವಸ್ತುವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿರಬಹುದು. ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? ಟೆಸ್ಟ್ ಟ್ಯೂಬ್, ಸರಿಯೆ! ನಿಮ್ಮ ವಿಜ್ಞಾನ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿರಬಹುದು. ಈ ಟ್ಯೂಬ್ ಕೂಡಾ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾದ ಕಟ್ಟಡಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಮಾರಕಗಳನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿರಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಅಥವಾ ಘನಫಲ, ಅಥವಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ? ನಾವು ಇವುಗಳನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 12.3

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

12.2 ಸಂಯೋಜಿತ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಚಿತ್ರ 12.2 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಟ್ಯಾಂಕರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ಘನಾಕೃತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ? ಈಗ, ನಾವು ಹೊಸ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲೇ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಣ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಮೊದಲು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಘನಾಕೃತಿಯು ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ಚಿತ್ರ 12.4 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 12.4

ಹೊಸದಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೊಸ ಘನಾಕೃತಿಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ,

ಹೊಸ ಘನಾಕೃತಿಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (TSA) $=$ ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) + ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) + ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA)

ಇಲ್ಲಿ TSA, CSA ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ‘ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ’ ಮತ್ತು ‘ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ’ ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಾವು ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳ ಮತ್ತು ಶಂಕುವನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಆಟಿಕೆಯನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೇಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲು, ನಾವು ಒಂದು ಶಂಕು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಸಮತಲ ಮುಖಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಆಟಿಕೆಯು ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೊಂದಲು, ನಾವು ಶಂಕುವಿನ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಧಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಂತಗಳು ಚಿತ್ರ 12.5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಇರುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 12.5

ನಮ್ಮ ಪ್ರಯತ್ನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಚೆನ್ನಾದ ದುಂಡಗಿನ ತಳದ ಆಟಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಈ ಆಟಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಎಷ್ಟು ಬಣ್ಣ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ನಮಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು? ನಮಗೆ ಆಟಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು, ಅದು ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು:

ಆಟಿಕೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) + ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA)

ಈಗ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ರಶೀದ್ ತನ್ನ ಜನ್ಮದಿನದ ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿ ಆಟಿಕೆಯ ತಿರುಗುಳಿ (ಲಟ್ಟು) ಪಡೆದನು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ತನ್ನ ಬಣ್ಣದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಅವನು ಬಯಸಿದನು. ತಿರುಗುಳಿಯು ಶಂಕುವಿನ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ (ಚಿತ್ರ 12.6 ನೋಡಿ). ಇಡೀ ತಿರುಗುಳಿಯ ಎತ್ತರ $5 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ತಿರುಗುಳಿಯ ವ್ಯಾಸ $3.5 \mathrm{~cm}$. ಅವನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)

ಚಿತ್ರ 12.6

ಪರಿಹಾರ : ಈ ತಿರುಗುಳಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ ನಾವು ಚಿತ್ರ 12.5 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನಂತೆಯೇ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ತಲುಪಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅದು:

$ \text{ಆಟಿಕೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (TSA)} = \text{ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA)} + \text{ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA)} $

ಈಗ, ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

ಅಲ್ಲದೆ, ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ = ತಿರುಗುಳಿಯ ಎತ್ತರ - ಅರ್ಧಗೋಳಾಕೃತಿ ಭಾಗದ ಎತ್ತರ (ತ್ರಿಜ್ಯ)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಂಕುವಿನ ತಿರ್ಗು ಎತ್ತರ $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (ಸುಮಾರು)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

ಇದು ತಿರುಗುಳಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

‘ತಿರುಗುಳಿಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ’ವು ಶಂಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಚಿತ್ರ 12.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಬ್ಲಾಕ್ ಎರಡು ಘನಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ - ಒಂದು ಘನ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳ. ಬ್ಲಾಕ್ನ ತಳವು ಅಂಚು $5 \mathrm{~cm}$ ಹೊಂದಿರುವ ಘನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಅರ್ಧಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ $4.2 \mathrm{~cm}$. ಬ್ಲಾಕ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)

ಚಿತ್ರ 12.7

ಪರಿಹಾರ : ಘನದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಘನದ ಭಾಗವು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬ್ಲಾಕ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ಘನದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (TSA) - ಅರ್ಧಗೋಳದ ತಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA)

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಮರದ ಆಟಿಕೆಯ ರಾಕೆಟ್ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮೇಲೆ ಶಂಕುವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿದ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ, ಚಿತ್ರ 12.8 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಇಡೀ ರಾಕೆಟ್ನ ಎತ್ತರ $26 \mathrm{~cm}$, ಆದರೆ ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗದ ಎತ್ತರ $6 \mathrm{~cm}$. ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗದ ತಳದ ವ್ಯಾಸ $5 \mathrm{~cm}$, ಆದರೆ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಭಾಗದ ತಳದ ವ್ಯಾಸ $3 \mathrm{~cm}$. ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಭಾಗವನ್ನು ಹಳದಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ರಾಕೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ($\pi=3.14$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)

ಚಿತ್ರ 12.8

ಪರಿಹಾರ : ಶಂಕುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು $r$, ಶಂಕುವಿನ ತಿರ್ಗು ಎತ್ತರವನ್ನು $l$, ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರವನ್ನು $h$, ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು $r^{\prime}$ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು $h^{\prime}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

ಇಲ್ಲಿ, ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗವು ಅದರ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಳವನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ತಳದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಶಂಕುವಿನ ತಳವು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ತಳಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಂಕುವಿನ ತಳದ ಒಂದು ಭಾಗ (ಒಂದು ಉಂಗುರ) ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶ $=$ ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) + ಶಂಕುವಿನ ತಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ತಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ಈಗ, ಹಳದಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶ $=$ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) + ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಒಂದು ತಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಮಯಾಂಕ್ ತನ್ನ ತೋಟಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳಾಕೃತಿಯ ಕುಳಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಕ್ಷಿ ಸ್ನಾನದ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದನು (ಚಿತ್ರ 12.9 ನೋಡಿ). ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಎತ್ತರ $1.45 \mathrm{~m}$ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ $30 \mathrm{~cm}$. ಪಕ್ಷಿ ಸ್ನಾನದ ತೊಟ್ಟಿಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)

ಚಿತ್ರ 12.9

ಪರಿಹಾರ : $h$ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಎತ್ತರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು $r$ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಪಕ್ಷಿ ಸ್ನಾನದ ತೊಟ್ಟಿಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA) + ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (CSA)

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ಸಂಯೋಜಿತ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಘನಫಲ

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಮೂಲ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಘನಫಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಘಟಕಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಒಂದು ಭಾಗ ಅದೃಶ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ನಾವು ಘನಫಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇದು ಸಂದರ್ಭವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಮೂಲ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲವು ನಿಜವಾಗಿ ಘಟಕಗಳ ಘನಫಲಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಶಾಂತಾ ಒಂದು ಶೆಡ್ ನಲ್ಲಿ ಉದ್ಯಮವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾಳೆ, ಅದು ಒಂದು ಆಯತಘನದ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧ ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ (ಚಿತ್ರ 12.12 ನೋಡಿ). ಶೆಡ್ನ ತಳದ ಆಯಾಮಗಳು $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಆಯತಘನದ ಭಾಗದ ಎತ್ತರ $8 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಶೆಡ್ ಹಿಡಿದಿಡಬಲ್ಲ ಗಾಳಿಯ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಶೆಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಒಟ್ಟು $300 \mathrm{~m}^{3}$ ಜಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು 20 ಕೆಲಸಗಾರರು ಇದ್ದಾರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಸರಾಸರಿ ಸುಮಾರು $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ ಜಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ, ಶೆಡ್ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಗಾಳಿ ಇದೆ? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)

ಚಿತ್ರ 12.12

ಪರಿಹಾರ : ಶೆಡ್ನ ಒಳಗೆ ಗಾಳಿಯ ಘನಫಲವನ್ನು (ಯಾವುದೇ ಜನರು ಅಥವಾ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಇಲ್ಲದಿರುವಾಗ) ಆಯತಘನದ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಗಾಳಿಯ ಘನಫಲದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಆಯತಘನದ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ ಮತ್ತು $8 \mathrm{~m}$ ಆಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅರ್ಧ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವ್ಯಾಸ $7 \mathrm{~m}$ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ $15 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇಕಾದ ಘನಫಲ $=$ ಆಯತಘನದ ಘನಫಲ $+\dfrac{1}{2}$ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲ

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

ಮುಂದೆ, ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಜಾಗ $=300 \mathrm{~m}^{3}$

ಮತ್ತು ಕೆಲಸಗಾರರು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಜಾಗ $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲಸಗಾರರು ಇರುವಾಗ ಗಾಳಿಯ ಘನಫಲ

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಒಂದು ರಸದ ವ್ಯಾಪಾರಿ ಚಿತ್ರ 12.13 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗ್ಲಾಸ್ ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ತನ್ನ ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಿದ್ದನು. ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಗ್ಲಾಸ್ನ ಒಳ ವ್ಯಾಸ $5 \mathrm{~cm}$ ಆಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಗ್ಲಾಸ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳಾಕೃತಿಯ ಉಬ್ಬಿದ ಭಾಗವಿತ್ತು, ಅದು ಗ್ಲಾಸ್ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಿತ್ತು. ಗ್ಲಾಸ್ನ ಎತ್ತರ $10 \mathrm{~cm}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ಲಾಸ್ನ ಗೋಚರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಜವಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ($\pi=3.14$ ಬಳಸಿ.)

ಚಿತ್ರ 12.13

ಪರಿಹಾರ : ಗ್ಲಾಸ್ನ ಒಳ ವ್ಯಾಸ $=5 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ $=10 \mathrm{~cm}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗ್ಲಾಸ್ನ ಗೋಚರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

ಆದರೆ ಗ್ಲಾಸ್ನ ನಿಜವಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಗ್ಲಾಸ್ನ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಘನಫಲದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಂದರೆ, $\quad$ ಅದು $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗ್ಲಾಸ್ನ ನಿಜವಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ $=$ ಗ್ಲಾಸ್ನ ಗೋಚರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ - ಅರ್ಧಗೋಳದ ಘನಫಲ

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ಒಂದು ಘನ ಆಟಿಕೆಯು ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ $2 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ತಳದ ವ್ಯಾಸ $4 \mathrm{~cm}$. ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಒಂದು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಟಿಕೆಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದರೆ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ($\pi=3.14$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)

ಚಿತ್ರ 12.14

ಪರಿಹಾರ : BPC ಅರ್ಧಗೋಳವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ABC ಅರ್ಧಗೋಳದ ತಳದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುವ ಶಂಕುವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 12.14 ನೋಡಿ). ಅರ್ಧಗೋಳದ (ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನ) ತ್ರಿಜ್ಯ BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲ $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

ಈಗ, ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ EFGH ನೀಡಲಾದ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಲಿ. ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$, ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇಕಾದ ಘನಫಲ $=$ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲ - ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲ

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಘನಫಲಗಳ ಬೇಕಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$.

12.4 ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ:

1. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮೂಲ ಘನಾಕೃತಿಗಳಾದ, ಆಯತಘನ, ಶಂಕು, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಗೋಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.

2. ಆಯತಘನ, ಶಂಕು, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಗೋಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡರ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಸ್ತುಗಳ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.