12.1 ആമുഖം

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് ചതുരസ്തംഭം, കോൺ, സിലിണ്ടർ, ഗോളം എന്നിവ പോലുള്ള ചില ഖരരൂപങ്ങളുമായി പരിചയമുണ്ട് (ചിത്രം 12.1 കാണുക). അവയുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണവും വ്യാപ്തവും കണ്ടെത്തുന്നത് എങ്ങനെയെന്നും നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ചിത്രം 12.1

നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ, മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന ഖരരൂപങ്ങളിൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ സംയോജിപ്പിച്ച് നിർമ്മിച്ച നിരവധി വസ്തുക്കൾ നമുക്ക് കാണാറുണ്ട്.

ഒരു സ്ഥലത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരിടത്തേക്ക് എണ്ണയോ വെള്ളമോ വഹിക്കുന്ന, പുറകിൽ ഒരു കണ്ടെയ്നർ ഘടിപ്പിച്ച ഒരു ട്രക്ക് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും (ചിത്രം 12.2 കാണുക). ഇത് മുകളിൽ പറഞ്ഞ നാല് അടിസ്ഥാന ഖരരൂപങ്ങളിൽ ഏതിന്റെയും ആകൃതിയിലാണോ? ഇത് രണ്ട് അർദ്ധഗോളങ്ങൾ അറ്റങ്ങളായി ഉള്ള ഒരു സിലിണ്ടർ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഊഹിച്ചേക്കാം.

ചിത്രം 12.2

ഇതുപോലെ, ചിത്രം 12.3-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു വസ്തു നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും. ഇതിന് പേരിടാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുമോ? ഒരു ടെസ്റ്റ് ട്യൂബ്, അതേ! നിങ്ങളുടെ സയൻസ് ലാബിൽ നിങ്ങൾ ഇത് ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ടാകും. ഈ ട്യൂബും ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെയും അർദ്ധഗോളത്തിന്റെയും സംയോജനമാണ്. അതുപോലെ, യാത്ര ചെയ്യുമ്പോൾ, മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഖരരൂപങ്ങളുടെ സംയോജനം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ചില വലിയതും മനോഹരവുമായ കെട്ടിടങ്ങളോ സ്മാരകങ്ങളോ നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും.

എന്തെങ്കിലും കാരണത്താൽ അത്തരം വസ്തുക്കളുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം, വ്യാപ്തം അല്ലെങ്കിൽ ശേഷി കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചാൽ, നിങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യും? നിങ്ങൾ ഇതുവരെ പഠിച്ച ഖരരൂപങ്ങളിൽ ഏതിന് കീഴിലും നമുക്ക് ഇവയെ തരംതിരിക്കാനാവില്ല.

ചിത്രം 12.3

ഈ അധ്യായത്തിൽ, അത്തരം വസ്തുക്കളുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണവും വ്യാപ്തവും എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾ കാണും.

12.2 ഖരരൂപങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം

ചിത്രം 12.2-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന കണ്ടെയ്നർ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അത്തരമൊരു ഖരവസ്തുവിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇപ്പോൾ, ഒരു പുതിയ പ്രശ്നം നമുക്ക് കണ്ടെത്തുമ്പോഴെല്ലാം, അതിനെ നമുക്ക് മുമ്പ് പരിഹരിച്ച ചെറിയ പ്രശ്നങ്ങളായി വിഭജിക്കാനാകുമോ എന്ന് ആദ്യം നോക്കാറുണ്ട്. ഈ ഖരവസ്തു രണ്ട് അർദ്ധഗോളങ്ങൾ ഇരുവശത്തും ഘടിപ്പിച്ച ഒരു സിലിണ്ടർ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. കഷണങ്ങളെല്ലാം ഒന്നിച്ച് ചേർത്ത ശേഷം, ചിത്രം 12.4-ൽ നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ ഇത് കാണപ്പെടും.

ചിത്രം 12.4

പുതുതായി രൂപപ്പെട്ട വസ്തുവിന്റെ പ്രതലം നമ്മൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ട് അർദ്ധഗോളങ്ങളുടെയും സിലിണ്ടറിന്റെയും വക്രപ്രതലങ്ങൾ മാത്രമേ നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയൂ.

അതിനാൽ, പുതിയ ഖരവസ്തുവിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം ഓരോ ഭാഗങ്ങളുടെയും വക്രപ്രതലവിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഇത് നൽകുന്നത്,

പുതിയ ഖരവസ്തുവിന്റെ TSA $=$ ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSA + സിലിണ്ടറിന്റെ CSA + മറ്റേ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSA

ഇവിടെ TSA, CSA എന്നിവ യഥാക്രമം ‘മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം’, ‘വക്രപ്രതലവിസ്തീർണ്ണം’ എന്നിവയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇനി മറ്റൊരു സാഹചര്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഒരു അർദ്ധഗോളവും ഒരു കോണും ഒന്നിച്ച് ചേർത്ത് ഒരു കളിപ്പാട്ടം നിർമ്മിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. നമ്മൾ കടന്നുപോകുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ നോക്കാം.

ആദ്യം, ഒരു കോണും ഒരു അർദ്ധഗോളവും എടുത്ത് അവയുടെ സമതലമുള്ള മുഖങ്ങൾ ഒന്നിച്ച് കൊണ്ടുവരും. ഇവിടെ, കളിപ്പാട്ടത്തിന് മിനുസമുള്ള പ്രതലം ലഭിക്കാൻ, കോണിന്റെ അടിത്തറയുടെ ആരം അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഘട്ടങ്ങൾ ചിത്രം 12.5-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെയായിരിക്കും.

ചിത്രം 12.5

നമ്മുടെ പരീക്ഷണത്തിന്റെ അവസാനം, നമുക്ക് ഒരു നല്ല വൃത്താകൃതിയിലുള്ള അടിത്തട്ടുള്ള കളിപ്പാട്ടം ലഭിച്ചു. ഇപ്പോൾ ഈ കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ പ്രതലം വരയ്ക്കാൻ എത്ര പെയിന്റ് ആവശ്യമാണെന്ന് കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ ആഗ്രഹിച്ചാൽ, നമുക്ക് എന്ത് അറിയേണ്ടതുണ്ട്? കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് അറിയേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSAയും കോണിന്റെ CSAയും ഉൾപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ, നമുക്ക് പറയാം:

കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=$ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSA + കോണിന്റെ CSA

ഇനി, ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : റഷീദിന് തന്റെ ജന്മദിന സമ്മാനമായി ഒരു കളിപ്പാട്ടം (ലട്ടു) ലഭിച്ചു, അതിൽ അത്ഭുതകരമെന്നു പറയട്ടെ, ഒരു നിറവുമില്ലായിരുന്നു. അത് തന്റെ ക്രയോണുകൾ കൊണ്ട് വരയ്ക്കാൻ അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിച്ചു. കോണിന് മുകളിൽ ഒരു അർദ്ധഗോളം ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപത്തിലാണ് ഈ കളിപ്പാട്ടം (ചിത്രം 12.6 കാണുക). മുഴുവൻ കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെയും ഉയരം $5 \mathrm{~cm}$ ആണ്, കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ വ്യാസം $3.5 \mathrm{~cm}$ ആണ്. അദ്ദേഹം വരയ്ക്കേണ്ട പ്രദേശം കണ്ടെത്തുക. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ എടുക്കുക)

ചിത്രം 12.6

പരിഹാരം : ഈ കളിപ്പാട്ടം ചിത്രം 12.5-ൽ നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്ത വസ്തുവിന് സമാനമാണ്. അതിനാൽ, അവിടെ നമുക്ക് എത്തിച്ചേർന്ന ഫലം സൗകര്യപ്രദമായി ഉപയോഗിക്കാം. അതായത്:

$ \text { കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ TSA }=\text { അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSA }+ \text { കോണിന്റെ CSA } $

ഇപ്പോൾ, അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വക്രപ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

കൂടാതെ, കോണിന്റെ ഉയരം = കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ ഉയരം - അർദ്ധഗോളാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ ഉയരം (ആരം)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

അതിനാൽ, കോണിന്റെ ചരിഞ്ഞ ഉയരം $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (ഏകദേശം)

അതിനാൽ, കോണിന്റെ CSA $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

ഇത് കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നൽകുന്നത്

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

‘കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം’ കോണിന്റെയും അർദ്ധഗോളത്തിന്റെയും മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയല്ല എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചേക്കാം.

ഉദാഹരണം 2 : ചിത്രം 12.7-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന അലങ്കാര ബ്ലോക്ക് രണ്ട് ഖരരൂപങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ് - ഒരു ക്യൂബും ഒരു അർദ്ധഗോളവും. ബ്ലോക്കിന്റെ അടിത്തറ $5 \mathrm{~cm}$ വക്കുള്ള ഒരു ക്യൂബാണ്, മുകളിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന അർദ്ധഗോളത്തിന് $4.2 \mathrm{~cm}$ വ്യാസമുണ്ട്. ബ്ലോക്കിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ എടുക്കുക)

ചിത്രം 12.7

പരിഹാരം : ക്യൂബിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

അർദ്ധഗോളം ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ക്യൂബിന്റെ ഭാഗം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അതിനാൽ, ബ്ലോക്കിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=$ ക്യൂബിന്റെ TSA - അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം + അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSA

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 3 : ഒരു മരം കൊണ്ടുള്ള റോക്കറ്റ് കളിപ്പാട്ടം ഒരു സിലിണ്ടറിന് മുകളിൽ ഒരു കോൺ ഘടിപ്പിച്ച രൂപത്തിലാണ്, ചിത്രം 12.8-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. മുഴുവൻ റോക്കറ്റിന്റെയും ഉയരം $26 \mathrm{~cm}$ ആണ്, കോണാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ ഉയരം $6 \mathrm{~cm}$ ആണ്. കോണാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് $5 \mathrm{~cm}$ വ്യാസമുണ്ട്, സിലിണ്ടർ ഭാഗത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ വ്യാസം $3 \mathrm{~cm}$ ആണ്. കോണാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗം ഓറഞ്ച് നിറത്തിലും സിലിണ്ടർ ഭാഗം മഞ്ഞ നിറത്തിലും വരയ്ക്കണമെങ്കിൽ, റോക്കറ്റിന്റെ ഓരോ നിറത്തിലും വരയ്ക്കേണ്ട പ്രദേശം കണ്ടെത്തുക. ($\pi=3.14$ എടുക്കുക)

ചിത്രം 12.8

പരിഹാരം : കോണിന്റെ ആരം $r$, കോണിന്റെ ചരിഞ്ഞ ഉയരം $l$, കോണിന്റെ ഉയരം $h$, സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം $r^{\prime}$, സിലിണ്ടറിന്റെ ഉയരം $h^{\prime}$ എന്നിവയാണെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ എന്നിവയും

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

ഇവിടെ, കോണാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള അടിത്തറ സിലിണ്ടറിന്റെ അടിത്തറയിൽ വിശ്രമിക്കുന്നു, പക്ഷേ കോണിന്റെ അടിത്തറ സിലിണ്ടറിന്റെ അടിത്തറയേക്കാൾ വലുതാണ്. അതിനാൽ, കോണിന്റെ അടിത്തറയുടെ ഒരു ഭാഗം (ഒരു വലയം) വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഓറഞ്ച് നിറത്തിൽ വരയ്ക്കേണ്ട പ്രദേശം $=$ കോണിന്റെ CSA + കോണിന്റെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം - സിലിണ്ടറിന്റെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ഇപ്പോൾ, മഞ്ഞ നിറത്തിൽ വരയ്ക്കേണ്ട പ്രദേശം $=$ സിലിണ്ടറിന്റെ CSA + സിലിണ്ടറിന്റെ ഒരു അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 4 : മയങ്ക് തന്റെ തോട്ടത്തിനായി ഒരു പക്ഷി കുളി ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ രൂപത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചത്, അതിന്റെ ഒരറ്റത്ത് ഒരു അർദ്ധഗോളാകൃതിയിലുള്ള ഡിപ്രഷൻ ഉണ്ട് (ചിത്രം 12.9 കാണുക). സിലിണ്ടറിന്റെ ഉയരം $1.45 \mathrm{~m}$ ആണ്, അതിന്റെ ആരം $30 \mathrm{~cm}$ ആണ്. പക്ഷി കുളിയുടെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ എടുക്കുക)

ചിത്രം 12.9

പരിഹാരം : $h$ സിലിണ്ടറിന്റെ ഉയരവും $r$ സിലിണ്ടറിന്റെയും അർദ്ധഗോളത്തിന്റെയും പൊതുവായ ആരവുമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, പക്ഷി കുളിയുടെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=$ സിലിണ്ടറിന്റെ CSA + അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ CSA

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ഖരരൂപങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന്റെ വ്യാപ്തം

മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ, രണ്ട് അടിസ്ഥാന ഖരരൂപങ്ങളുടെ സംയോജനം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഖരവസ്തുക്കളുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെ, അവയുടെ വ്യാപ്തം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് നോക്കാം. പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെയും പ്രതലവിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ ചേർത്തിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നതാണ്, കാരണം അവയെ ചേർക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ചില ഭാഗങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമായി. എന്നാൽ, വ്യാപ്തം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഇത് സംഭവിക്കില്ല. രണ്ട് അടിസ്ഥാന ഖരരൂപങ്ങളെ ചേർത്ത് രൂപപ്പെടുത്തിയ ഖരവസ്തുവിന്റെ വ്യാപ്തം യഥാർത്ഥത്തിൽ ഘടകങ്ങളുടെ വ്യാപ്തങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും, താഴെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നാം കാണുന്നതുപോലെ.

ഉദാഹരണം 5 : ശാന്ത ഒരു ഷെഡിൽ ഒരു വ്യവസായം നടത്തുന്നു, അത് ഒരു ചതുരസ്തംഭത്തിന് മുകളിൽ ഒരു അർദ്ധസിലിണ്ടർ ഘടിപ്പിച്ച രൂപത്തിലാണ് (ചിത്രം 12.12 കാണുക). ഷെഡിന്റെ അടിത്തറ $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ അളവുകളിലാണെങ്കിൽ, ചതുരസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ ഉയരം $8 \mathrm{~m}$ ആണെങ്കിൽ, ഷെഡ് പിടിച്ചിരിക്കുന്ന വായുവിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടെത്തുക. കൂടാതെ, ഷെഡിലെ മെഷീനറികൾ മൊത്തം $300 \mathrm{~m}^{3}$ സ്ഥലം കൈവശപ്പെടുത്തുന്നുവെന്നും, 20 തൊഴിലാളികൾ ഉണ്ടെന്നും, അവരിൽ ഓരോരുത്തരും ശരാശരി $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ സ്ഥലം കൈവശപ്പെടുത്തുന്നുവെന്നും കരുതുക. അപ്പോൾ, ഷെഡിൽ എത്ര വായു ഉണ്ട്? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ എടുക്കുക)

ചിത്രം 12.12

പരിഹാരം : ഷെഡിനുള്ളിലെ വായുവിന്റെ വ്യാപ്തം (ആളുകളോ മെഷീനറികളോ ഇല്ലാത്തപ്പോൾ) ചതുരസ്തംഭത്തിനുള്ളിലും അർദ്ധസിലിണ്ടറിനുള്ളിലും ഉള്ള വായുവിന്റെ വ്യാപ്തത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്.

ഇപ്പോൾ, ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ നീളം, വീതി, ഉയരം എന്നിവ യഥാക്രമം $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$, $8 \mathrm{~m}$ എന്നിവയാണ്. കൂടാതെ, അർദ്ധസിലിണ്ടറിന്റെ വ്യാസം $7 \mathrm{~m}$ ആണ്, അതിന്റെ ഉയരം $15 \mathrm{~m}$ ആണ്.

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വ്യാപ്തം $=$ ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം $+\dfrac{1}{2}$ സിലിണ്ടറിന്റെ വ്യാപ്തം

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

അടുത്തതായി, മെഷീനറികൾ കൈവശപ്പെടുത്തുന്ന മൊത്തം സ്ഥലം $=300 \mathrm{~m}^{3}$

തൊഴിലാളികൾ കൈവശപ്പെടുത്തുന്ന മൊത്തം സ്ഥലം $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

അതിനാൽ, മെഷീനറികളും തൊഴിലാളികളും ഉള്ളപ്പോൾ വായുവിന്റെ വ്യാപ്തം

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

ഉദാഹരണം 6 : ഒരു ജ്യൂസ് വിൽപ്പനക്കാരൻ ചിത്രം 12.13-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഗ്ലാസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തന്റെ ഉപഭോക്താക്കളെ സേവനം നൽകുകയായിരുന്നു. സിലിണ്ടർ ആകൃതിയിലുള്ള ഗ്ലാസിന്റെ ആന്തരിക വ്യാസം $5 \mathrm{~cm}$ ആയിരുന്നു, പക്ഷേ ഗ്ലാസിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ഒരു അർദ്ധഗോളാകൃതിയിലുള്ള ഉയർന്ന ഭാഗം ഉണ്ടായിരുന്നു, അത് ഗ്ലാസിന്റെ ശേഷി കുറച്ചു. ഒരു ഗ്ലാസിന്റെ ഉയരം $10 \mathrm{~cm}$ ആണെങ്കിൽ, ഗ്ലാസിന്റെ പ്രത്യക്ഷ ശേഷിയും യഥാർത്ഥ ശേഷിയും കണ്ടെത്തുക. ($\pi=3.14$ ഉപയോഗിക്കുക.)

ചിത്രം 12.13

പരിഹാരം : ഗ്ലാസിന്റെ ആന്തരിക വ്യാസം $=5 \mathrm{~cm}$ ഉയരം $=10 \mathrm{~cm}$ ആയതിനാൽ, ഗ്ലാസിന്റെ പ്രത്യക്ഷ ശേഷി $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

എന്നാൽ ഗ്ലാസിന്റെ യഥാർത്ഥ ശേഷി അടിഭാഗത്തുള്ള അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കൊണ്ട് കുറവാണ്.

അതായത്, $\quad$ അത് $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ കൊണ്ട് കുറവാണ്

അതിനാൽ, ഗ്ലാസിന്റെ യഥാർത്ഥ ശേഷി $=$ ഗ്ലാസിന്റെ പ്രത്യക്ഷ ശേഷി - അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 7 : ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന് മുകളിൽ ഒരു വലത് വൃത്തസ്തൂപിക ഘടിപ്പിച്ച രൂപത്തിലാണ് ഒരു ഖര കളിപ്പാട്ടം. കോണിന്റെ ഉയരം $2 \mathrm{~cm}$ ആണ്, അടിത്തറയുടെ വ്യാസം $4 \mathrm{~cm}$ ആണ്. കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ വ്യാപ്തം നിർണ്ണയിക്കുക. ഒരു വലത് വൃത്തസ്തംഭം കളിപ്പാട്ടത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയാണെങ്കിൽ, സിലിണ്ടറിന്റെയും കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെയും വ്യാപ്തങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. ($\pi=3.14$ എടുക്കുക)

ചിത്രം 12.14

പരിഹാരം : BPC അർദ്ധഗോളവും ABC അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ അടിത്തറയിൽ നിൽക്കുന്ന കോണും ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 12.14 കാണുക). അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ (കോണിന്റെയും) ആരം BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$.

അതിനാൽ, കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ വ്യാപ്തം $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

ഇപ്പോൾ, EFGH എന്ന വലത് വൃത്തസ്തംഭം നൽകിയ