12.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਕਲਾਸ IX ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਠੋਸ ਆਕਾਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਘਣਾਵ, ਸ਼ੰਕੂ, ਬੇਲਣ ਅਤੇ ਗੋਲੇ (ਚਿੱਤਰ 12.1 ਵੇਖੋ) ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਹੋ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਨੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 12.1

ਸਾਡੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਠੋਸ ਆਕਾਰ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਮੁੱਢਲੇ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰ ਇੱਕ ਟਰੱਕ ਵੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸਦੇ ਪਿਛਲੇ ਹਿੱਸੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਕੰਟੇਨਰ ਲੱਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12.2 ਵੇਖੋ), ਜੋ ਇੱਕ ਥਾਂ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਤੇਲ ਜਾਂ ਪਾਣੀ ਲੈ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਇਹ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਚਾਰ ਮੁੱਢਲੇ ਠੋਸਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਅਤੇ ਦੋ ਅਰਧਗੋਲਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 12.2

ਫਿਰ, ਤੁਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 12.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਵਸਤੂ ਵਰਗੀ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਵੇਖੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਟਿਊਬ, ਸਹੀ! ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਵਿਗਿਆਨ ਪ੍ਰਯੋਗਸ਼ਾਲਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਟਿਊਬ ਵੀ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਵੱਡੀਆਂ ਅਤੇ ਸੁੰਦਰ ਇਮਾਰਤਾਂ ਜਾਂ ਸਮਾਰਕ ਵੇਖੇ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਜੇ ਕਿਸੇ ਕਾਰਨ ਤੁਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, ਜਾਂ ਆਇਤਨ, ਜਾਂ ਸਮਰੱਥਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰੋਗੇ? ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪੜ੍ਹੇ ਗਏ ਕਿਸੇ ਵੀ ਠੋਸ ਦੇ ਅਧੀਨ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।

ਚਿੱਤਰ 12.3

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਨੇ ਹਨ, ਇਹ ਦੇਖੋਗੇ।

12.2 ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ

ਆਓ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 12.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਕੰਟੇਨਰ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ। ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਠੋਸ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਹੁਣ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਨਵੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਦੇਖਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਛੋਟੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੱਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਠੋਸ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਅਤੇ ਦੋ ਅਰਧਗੋਲਿਆਂ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਜੋੜ ਕੇ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਚਿੱਤਰ 12.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਵਾਂਗ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।

ਚਿੱਤਰ 12.4

ਜੇ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਬਣੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਤਹ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਦੋਵੇਂ ਅਰਧਗੋਲਿਆਂ ਦੇ ਵਕਰ ਸਤਹ ਅਤੇ ਬੇਲਣ ਦੇ ਵਕਰ ਸਤਹ ਨੂੰ ਹੀ ਦੇਖ ਸਕਾਂਗੇ।

ਇਸ ਲਈ, ਨਵੇਂ ਠੋਸ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਵਕਰ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,

ਨਵੇਂ ਠੋਸ ਦਾ TSA $=$ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA + ਬੇਲਣ ਦਾ CSA + ਦੂਜੇ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA

ਜਿੱਥੇ TSA, CSA ਕ੍ਰਮਵਾਰ ‘ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ’ ਅਤੇ ‘ਵਕਰ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ’ ਲਈ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ।

ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਬਣਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਉਹ ਕਦਮ ਦੇਖੀਏ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਅਸੀਂ ਲੰਘਾਂਗੇ।

ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲਾ ਲਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮਤਲ ਚਿਹਰਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰਾਂਗੇ। ਇੱਥੇ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਅਰਧਵਿਆਸ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦੇ ਅਰਧਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਾਂਗੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਸਤਹ ਸਮਤਲ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਦਮ ਚਿੱਤਰ 12.5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਣਗੇ।

ਚਿੱਤਰ 12.5

ਸਾਡੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੁੰਦਰ ਗੋਲ ਤਲ ਵਾਲਾ ਖਿਡੌਣਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਜੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਸਤਹ ਨੂੰ ਰੰਗਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਪੇਂਟ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ? ਸਾਨੂੰ ਖਿਡੌਣੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ CSA ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA + ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ CSA

ਹੁਣ, ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਰਸ਼ੀਦ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਜਨਮਦਿਨ ਦੇ ਤੋਹਫ਼ੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਲੱਟੂ ਮਿਲਿਆ, ਜਿਸ ‘ਤੇ ਹੈਰਾਨੀ ਦੀ ਗੱਲ ਇਹ ਸੀ ਕਿ ਇਸ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਰੰਗ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਉਹ ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕ੍ਰੇਆਨਾਂ ਨਾਲ ਰੰਗਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਸੀ। ਲੱਟੂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲੇ ਵਰਗਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12.6 ਵੇਖੋ)। ਪੂਰਾ ਲੱਟੂ $5 \mathrm{~cm}$ ਉੱਚਾਈ ਵਾਲਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੱਟੂ ਦਾ ਵਿਆਸ $3.5 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਰੰਗਣ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ਲਓ)

ਚਿੱਤਰ 12.6

ਹੱਲ : ਇਹ ਲੱਟੂ ਬਿਲਕੁਲ ਉਸ ਵਸਤੂ ਵਾਂਗ ਹੈ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 12.5 ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉੱਥੇ ਪਹੁੰਚੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਹ ਹੈ:

$ \text { ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ TSA }=\text { ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA }+ \text { ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ CSA } $

ਹੁਣ, ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਵਕਰ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ = ਲੱਟੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ - ਅਰਧਗੋਲਾਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਅਰਧਵਿਆਸ)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (ਲਗਭਗ)

ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ CSA $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

ਇਹ ਲੱਟੂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ਤੁਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ‘ਲੱਟੂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ’ ਸ਼ੰਕੂ ਅਤੇ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦੇ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਚਿੱਤਰ 12.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸਜਾਵਟੀ ਬਲਾਕ ਦੋ ਠੋਸਾਂ - ਇੱਕ ਘਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲੇ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਬਲਾਕ ਦਾ ਅਧਾਰ ਇੱਕ ਘਣ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕਿਨਾਰਾ $5 \mathrm{~cm}$ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਲੱਗੇ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ $4.2 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਬਲਾਕ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ਲਓ)

ਚਿੱਤਰ 12.7

ਹੱਲ : ਘਣ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਘਣ ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਜਿੱਥੇ ਅਰਧਗੋਲਾ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਬਲਾਕ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਘਣ ਦਾ TSA - ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਅਧਾਰ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 3 : ਇੱਕ ਲੱਕੜੀ ਦਾ ਖਿਡੌਣਾ ਰਾਕੇਟ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਉੱਤੇ ਚੜ੍ਹਾਏ ਜਾਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 12.8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪੂਰੇ ਰਾਕੇਟ ਦੀ ਉੱਚਾਈ $26 \mathrm{~cm}$ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂਆਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ $6 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂਆਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਵਿਆਸ $5 \mathrm{~cm}$ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਵਿਆਸ $3 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਜੇ ਸ਼ੰਕੂਆਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਨਾਰੰਗੀ ਰੰਗਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਪੀਲਾ ਰੰਗਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਾਕੇਟ ਦਾ ਹਰੇਕ ਰੰਗ ਨਾਲ ਰੰਗਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ($\pi=3.14$ ਲਓ)

ਚਿੱਤਰ 12.8

ਹੱਲ : ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਅਰਧਵਿਆਸ ਨੂੰ $r$, ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ ਨੂੰ $l$, ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਨੂੰ $h$, ਬੇਲਣ ਦੇ ਅਰਧਵਿਆਸ ਨੂੰ $r^{\prime}$ ਅਤੇ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਨੂੰ $h^{\prime}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ। ਤਾਂ $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

ਇੱਥੇ, ਸ਼ੰਕੂਆਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਧਾਰ ਬੇਲਣ ਦੇ ਅਧਾਰ ‘ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਪਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਬੇਲਣ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ (ਇੱਕ ਰਿੰਗ) ਰੰਗਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਨਾਰੰਗੀ ਰੰਗਣ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ CSA + ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਖੇਤਰਫਲ - ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਧਾਰ ਖੇਤਰਫਲ

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ਹੁਣ, ਪੀਲਾ ਰੰਗਣ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਬੇਲਣ ਦਾ CSA + ਬੇਲਣ ਦੇ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 4 : ਮਯੰਕ ਨੇ ਆਪਣੇ ਬਾਗ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਪੰਛੀ-ਨਹਾਉਣ ਦੀ ਥਾਂ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਬਣਾਈ, ਜਿਸਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲਾਕਾਰ ਡੂੰਘਾਈ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12.9 ਵੇਖੋ)। ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ $1.45 \mathrm{~m}$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ $30 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਪੰਛੀ-ਨਹਾਉਣ ਦੀ ਥਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ਲਓ)

ਚਿੱਤਰ 12.9

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ $h$ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ, ਅਤੇ $r$ ਬੇਲਣ ਅਤੇ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧਵਿਆਸ ਹੈ। ਤਾਂ, ਪੰਛੀ-ਨਹਾਉਣ ਦੀ ਥਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਬੇਲਣ ਦਾ CSA + ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ CSA

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਆਇਤਨ

ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਮੁੱਢਲੇ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸਾਂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਘਟਕਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨਹੀਂ ਜੋੜਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਕੁਝ ਹਿੱਸਾ ਗਾਇਬ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਮਾਮਲਾ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਦੋ ਮੁੱਢਲੇ ਠੋਸਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਘਟਕਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਣ 5 : ਸ਼ਾਂਤਾ ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਉਦਯੋਗ ਚਲਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਘਣਾਵ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12.12 ਵੇਖੋ)। ਜੇ ਸ਼ੈੱਡ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਆਕਾਰ $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ ਹੈ, ਅਤੇ ਘਣਾਵਾਕਾਰ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ $8 \mathrm{~m}$ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੈੱਡ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੰਨ ਲਓ ਸ਼ੈੱਡ ਵਿੱਚ ਮਸ਼ੀਨਰੀ ਕੁੱਲ $300 \mathrm{~m}^{3}$ ਥਾਂ ਘੇਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਥੇ 20 ਕਰਮਚਾਰੀ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਗਭਗ $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ ਥਾਂ ਘੇਰਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ, ਸ਼ੈੱਡ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਹਵਾ ਹੈ? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ਲਓ)

ਚਿੱਤਰ 12.12

ਹੱਲ : ਸ਼ੈੱਡ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ (ਜਦੋਂ ਉੱਥੇ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਜਾਂ ਮਸ਼ੀਨਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ) ਘਣਾਵ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਬੇਲਣ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਵਾ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਘਣਾਵ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ ਅਤੇ $8 \mathrm{~m}$ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਰਧ-ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ $7 \mathrm{~m}$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਉੱਚਾਈ $15 \mathrm{~m}$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦਾ ਆਇਤਨ $=$ ਘਣਾਵ ਦਾ ਆਇਤਨ $+\dfrac{1}{2}$ ਅਰਧ-ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

ਅੱਗੇ, ਮਸ਼ੀਨਰੀ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਥਾਂ $=300 \mathrm{~m}^{3}$

ਅਤੇ ਕਰਮਚਾਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਥਾਂ $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਮਸ਼ੀਨਰੀ ਅਤੇ ਕਰਮਚਾਰੀ ਹਨ, ਤਾਂ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

ਉਦਾਹਰਣ 6 : ਇੱਕ ਜੂਸ ਵਿਕਰੇਤਾ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 12.13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗਲਾਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੇਵਾ ਦੇ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਗਲਾਸ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਆਸ $5 \mathrm{~cm}$ ਸੀ, ਪਰ ਗਲਾਸ ਦੇ ਤਲ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲਾਕਾਰ ਉਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹਿੱਸਾ ਸੀ ਜਿਸਨੇ ਗਲਾਸ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਘਟਾ ਦਿੱਤੀ ਸੀ। ਜੇ ਗਲਾਸ ਦੀ ਉੱਚਾਈ $10 \mathrm{~cm}$ ਸੀ, ਤਾਂ ਗਲਾਸ ਦੀ ਪ੍ਰਤੱਖ ਸਮਰੱਥਾ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਅਸਲ ਸਮਰੱਥਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ($\pi=3.14$ ਵਰਤੋਂ)

ਚਿੱਤਰ 12.13

ਹੱਲ : ਕਿਉਂਕਿ ਗਲਾਸ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਆਸ $=5 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ $=10 \mathrm{~cm}$ ਹੈ, ਗਲਾਸ ਦੀ ਪ੍ਰਤੱਖ ਸਮਰੱਥਾ $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

ਪਰ ਗਲਾਸ ਦੀ ਅਸਲ ਸਮਰੱਥਾ ਗਲਾਸ ਦੇ ਅਧਾਰ ‘ਤੇ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੁਆਰਾ ਘੱਟ ਹੈ।

ਭਾਵ, $\quad$ ਇਹ $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ ਘੱਟ ਹੈ

ਇਸ ਲਈ, ਗਲਾਸ ਦੀ ਅਸਲ ਸਮਰੱਥਾ $=$ ਗਲਾਸ ਦੀ ਪ੍ਰਤੱਖ ਸਮਰੱਥਾ - ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 7 : ਇੱਕ ਠੋਸ ਖਿਡੌਣਾ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ $2 \mathrm{~cm}$ ਹੈ ਅਤੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਵਿਆਸ $4 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਬੇਲਣ ਖਿਡੌਣੇ ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬੇਲਣ ਅਤੇ ਖਿਡੌਣੇ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ($\pi=3.14$ ਲਓ)

ਚਿੱਤਰ 12.14

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ BPC ਅਰਧਗੋਲਾ ਹੈ ਅਤੇ ABC ਅਰਧਗੋਲੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਸ਼ੰਕੂ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12.14 ਵੇਖੋ)। ਅਰਧਗੋਲੇ (ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ) ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਆਇਤਨ $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

ਹੁਣ, ਮੰਨ ਲਓ ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਬੇਲਣ EFGH ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਠੋਸ ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਬੇਲਣ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦਾ ਆਇਤਨ $=$ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ - ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਆਇਤਨ

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ, ਦੋਵਾਂ ਆਇਤਨਾਂ ਦਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅੰਤਰ $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$ ਹੈ।

12.4 ਸਾਰਾਂਸ਼

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ:

1. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋ ਦੋ ਮੁੱਢਲੇ ਠੋਸਾਂ, ਭਾਵ ਘਣਾਵ, ਸ਼ੰਕੂ, ਬੇਲਣ, ਗੋਲਾ ਅਤੇ ਅਰਧਗੋਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦੋ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਬਣੀ ਹੋਵੇ।

2. ਘ