3.1 تعارف

آپ کو یقیناً ایسی صورتیں پیش آئی ہوں گی جیسے نیچے دی گئی ہے:

اخیلہ اپنے گاؤں کے میلے میں گئی۔ وہ جائنٹ وہیل پر سواریوں کا لطف اٹھانا اور ہوپلا کھیلنا چاہتی تھی (ایک ایسا کھیل جس میں آپ ایک اسٹال پر رکھی ہوئی چیزوں پر ایک چھلا پھینکتے ہیں، اور اگر چھلا کسی چیز کو مکمل طور پر ڈھانپ لے، تو آپ وہ چیز جیت جاتے ہیں)۔ اس نے ہوپلا جتنی بار کھیلا، وہ جائنٹ وہیل پر اس کی کی گئی سواریوں کی تعداد سے آدھا ہے۔ اگر ہر سواری کی قیمت ₹3 ہے، اور ہوپلا کے ایک کھیل کی قیمت ₹4 ہے، تو آپ یہ کیسے معلوم کریں گے کہ اس نے کتنی سواریاں کیں اور اس نے ہوپلا کتنی بار کھیلا، بشرطیکہ اس نے ₹20 خرچ کیے ہوں۔

شاید آپ مختلف صورتوں پر غور کر کے اسے حل کرنے کی کوشش کریں گے۔ اگر اس نے ایک سواری کی ہے، تو کیا یہ ممکن ہے؟ کیا دو سواریاں کرنا ممکن ہے؟ اور اسی طرح۔ یا آپ کلاس نہم کے علم کا استعمال کرتے ہوئے، ایسی صورتوں کو دو متغیرات میں خطی مساوات کے طور پر پیش کر سکتے ہیں۔

آئیے اس طریقے کو آزمانے کی کوشش کرتے ہیں۔

اخیلہ کی کی گئی سواریوں کی تعداد کو $x$ سے ظاہر کریں، اور اس کے ہوپلا کھیلنے کی تعداد کو $y$ سے۔ اب صورت کو دو مساواتوں کے ذریعے پیش کیا جا سکتا ہے:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

کیا ہم اس جوڑی مساوات کے حل تلاش کر سکتے ہیں؟ انہیں تلاش کرنے کے کئی طریقے ہیں، جن کا ہم اس باب میں مطالعہ کریں گے۔

\missing

3.2 دو خطی مساوات کے حل کا گرافیکی طریقہ

دو خطی مساوات کا جوڑا جس کا کوئی حل نہ ہو، غیر مطابق (inconsistent) جوڑی خطی مساوات کہلاتا ہے۔ دو متغیرات میں خطی مساوات کا جوڑا جس کا کوئی حل ہو، مطابق (consistent) جوڑی خطی مساوات کہلاتا ہے۔ خطی مساوات کا جوڑا جو متكافئ (equivalent) ہو، اس کے لامحدود متمایز مشترک حل ہوتے ہیں۔ ایسے جوڑے کو دو متغیرات میں تابع (dependent) جوڑی خطی مساوات کہتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ تابع جوڑی خطی مساوات ہمیشہ مطابق ہوتی ہے۔

اب ہم دو متغیرات میں خطی مساوات کے جوڑے کو ظاہر کرنے والی لکیروں کے رویے اور حل کی موجودگی کو مندرجہ ذیل طور پر خلاصہ کر سکتے ہیں:

(i) لکیریں ایک واحد نقطہ پر قطع کر سکتی ہیں۔ اس صورت میں، مساوات کے جوڑے کا ایک منفرد حل ہوتا ہے (مساوات کا مطابق جوڑا)۔

(ii) لکیریں متوازی ہو سکتی ہیں۔ اس صورت میں، مساوات کا کوئی حل نہیں ہوتا (مساوات کا غیر مطابق جوڑا)۔

(iii) لکیریں منطبق (coincident) ہو سکتی ہیں۔ اس صورت میں، مساوات کے لامحدود حل ہوتے ہیں [تابع (مطابق) جوڑی مساوات]۔

مندرجہ ذیل تین جوڑی مساوات پر غور کریں۔

(i) $x-2 y=0$ اور $3 x+4 y-20=0 \quad$ (لکیریں قطع کرتی ہیں)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ اور $4 x+6 y-18=0 \quad$ (لکیریں منطبق ہیں)

(iii) $x+2 y-4=0$ اور $2 x+4 y-12=0 \quad$ (لکیریں متوازی ہیں)

آئیے اب تینوں مثالوں میں $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ اور $\dfrac{c_1}{c_2}$ کی قدریں لکھیں اور ان کا موازنہ کریں۔ یہاں، $a_1, b_1, c_1$ اور $a_2, b_2, c_2$ سیکشن 3.2 میں عمومی شکل میں دی گئی مساوات کے سقالی (coefficients) ظاہر کرتے ہیں۔

جدول 3.1

اوپر دیے گئے جدول سے، آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ اگر مساواتوں

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{اور}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

سے ظاہر ہونے والی لکیریں:

(i) قطع کرتی ہوں، تو $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$۔

(ii) منطبق ہوں، تو $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$۔

(iii) متوازی ہوں، تو $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$۔

درحقیقت، کسی بھی جوڑی لکیروں کے لیے اس کا برعکس (converse) بھی سچ ہے۔ آپ خود کچھ اور مثالیں لے کر ان کی تصدیق کر سکتے ہیں۔

آئیے اب اس کی وضاحت کے لیے کچھ اور مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : گراف کے ذریعے چیک کریں کہ آیا مساواتوں کا جوڑا

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

مطابق ہے۔ اگر ہاں، تو انہیں گراف کے ذریعے حل کریں۔

حل : آئیے مساوات (1) اور (2) کے گراف بناتے ہیں۔ اس کے لیے، ہم ہر مساوات کے دو حل تلاش کرتے ہیں، جو جدول 3.2 میں دیے گئے ہیں۔

جدول 3.2

نقاط $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ اور $Q(3,-2)$ کو گراف پیپر پر پلاٹ کریں، اور نقاط کو ملا کر لکیریں $A B$ اور $P Q$ بنائیں جیسا کہ شکل 3.1 میں دکھایا گیا ہے۔

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ ایک نقطہ B $(6,0)$ دونوں لکیروں $AB$ اور $PQ$ کے لیے مشترک ہے۔ لہٰذا، خطی مساوات کے جوڑے کا حل $x=6$ اور $y=0$ ہے، یعنی، دی گئی مساواتوں کا جوڑا مطابق ہے۔

شکل 3.1

مثال 2 : گراف کے ذریعے معلوم کریں کہ آیا مساواتوں کے درج ذیل جوڑے کا کوئی حل نہیں ہے، منفرد حل ہے یا لامحدود حل ہیں:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

حل : مساوات (2) کو $\dfrac{5}{3}$ سے ضرب دینے پر، ہمیں ملتا ہے

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

لیکن، یہ مساوات (1) جیسی ہی ہے۔ لہٰذا مساوات (1) اور (2) سے ظاہر ہونے والی لکیریں منطبق ہیں۔ اس لیے، مساوات (1) اور (2) کے لامحدود حل ہیں۔

گراف پر چند نقاط پلاٹ کریں اور خود تصدیق کریں۔

مثال 3 : چمپا کچھ پینٹس اور اسکرٹس خریدنے کے لیے ‘سیل’ پر گئی۔ جب اس کی سہیلیوں نے پوچھا کہ اس نے ہر ایک میں سے کتنی خریدی ہیں، تو اس نے جواب دیا، “اسکرٹس کی تعداد خریدی گئی پینٹس کی تعداد کے دوگنے سے دو کم ہے۔ نیز، اسکرٹس کی تعداد خریدی گئی پینٹس کی تعداد کے چار گنے سے چار کم ہے”۔ اس کی سہیلیوں کو یہ معلوم کرنے میں مدد کریں کہ چمپا نے کتنی پینٹس اور اسکرٹس خریدیں۔

حل : پینٹس کی تعداد کو $x$ سے اور اسکرٹس کی تعداد کو $y$ سے ظاہر کرتے ہیں۔ پھر بننے والی مساواتیں ہیں:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

آئیے ہر مساوات کے دو حل تلاش کر کے مساوات (1) اور (2) کے گراف بناتے ہیں۔ وہ جدول 3.3 میں دیے گئے ہیں۔

جدول 3.3

شکل 3.2

نقاط کو پلاٹ کریں اور ان سے گزرنے والی لکیریں کھینچ کر مساواتوں کو ظاہر کریں، جیسا کہ شکل 3.2 میں دکھایا گیا ہے۔

دو لکیریں نقطہ $(1,0)$ پر قطع کرتی ہیں۔ لہٰذا، $x=1, y=0$ خطی مساوات کے جوڑے کا مطلوبہ حل ہے، یعنی، اس نے خریدی گئی پینٹس کی تعداد 1 ہے اور اس نے کوئی اسکرٹ نہیں خریدی۔

جواب کی تصدیق کریں کہ آیا یہ دیے گئے مسئلے کی شرائط کو پورا کرتا ہے۔

3.3 دو خطی مساوات کو حل کرنے کے الجبرائی طریقے

پچھلے سیکشن میں، ہم نے گراف کے ذریعے دو خطی مساوات کو حل کرنے پر بات کی۔ گرافیکی طریقہ اس صورت میں مناسب نہیں ہے جب خطی مساوات کے حل کو ظاہر کرنے والے نقطہ کے غیر صحیح عددی نقاط ہوں جیسے $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$ وغیرہ۔ ایسے نقاط پڑھنے میں غلطی کا ہر امکان ہوتا ہے۔ کیا حل تلاش کرنے کا کوئی متبادل طریقہ ہے؟ کئی الجبرائی طریقے ہیں، جن پر ہم اب بات کریں گے۔

3.3.1 متبادل طریقہ (Substitution Method):

ہم کچھ مثالیں لے کر متبادل طریقہ کی وضاحت کریں گے۔

مثال 4 : متبادل طریقہ سے مساواتوں کے درج ذیل جوڑے کو حل کریں:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

حل :

مرحلہ 1 : ہم دونوں مساواتوں میں سے کوئی ایک لیتے ہیں اور ایک متغیر کو دوسرے کے لحاظ سے لکھتے ہیں۔ مساوات (2) پر غور کریں:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

مرحلہ 2 : $x$ کی قدر مساوات (1) میں رکھیں۔ ہمیں ملتا ہے

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ یعنی، } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ یعنی، } & -29 y & =-19 \\ & \text{ لہٰذا، } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

مرحلہ 3 : $y$ کی اس قدر کو مساوات (3) میں رکھنے پر، ہمیں ملتا ہے

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

لہٰذا، حل $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ ہے۔

تصدیق : $x=\dfrac{49}{29}$ اور $y=\dfrac{19}{29}$ رکھ کر، آپ تصدیق کر سکتے ہیں کہ دونوں مساوات (1) اور (2) مطمئن ہو جاتی ہیں۔

متبادل طریقہ کو مزید واضح طور پر سمجھنے کے لیے، آئیے اسے مرحلہ وار دیکھتے ہیں:

مرحلہ 1 : ایک متغیر کی قدر، مثلاً $y$، دوسرے متغیر، یعنی $x$ کے لحاظ سے، کسی بھی مساوات سے معلوم کریں، جو بھی آسان ہو۔

مرحلہ 2 : $y$ کی اس قدر کو دوسری مساوات میں رکھیں، اور اسے ایک متغیر، یعنی $x$ کے لحاظ سے ایک مساوات میں تبدیل کر دیں، جسے حل کیا جا سکتا ہے۔ کبھی کبھی، جیسے نیچے مثال 9 اور 10 میں، آپ کو بغیر متغیر کے بیان مل سکتے ہیں۔ اگر یہ بیان سچ ہے، تو آپ یہ نتیجہ نکال سکتے ہیں کہ خطی مساوات کے جوڑے کے لامحدود حل ہیں۔ اگر بیان غلط ہے، تو خطی مساوات کا جوڑا غیر مطابق ہے۔

مرحلہ 3 : مرحلہ 2 میں حاصل ہونے والی $x$ (یا $y$) کی قدر، مرحلہ 1 میں استعمال ہونے والی مساوات میں رکھیں تاکہ دوسرے متغیر کی قدر حاصل ہو۔

تبصرہ : ہم نے ایک متغیر کی قدر کو دوسرے متغیر کے لحاظ سے ظاہر کر کے رکھا ہے تاکہ خطی مساوات کے جوڑے کو حل کیا جا سکے۔ اسی لیے اس طریقے کو متبادل طریقہ کہتے ہیں۔

مثال 5 : درج ذیل سوال کو حل کریں- آفتاب اپنی بیٹی سے کہتا ہے، “سات سال پہلے، میں تمہاری اس وقت کی عمر سے سات گنا تھا۔ نیز، اب سے تین سال بعد، میں تمہاری اس وقت کی عمر سے تین گنا ہو جاؤں گا۔” (کیا یہ دلچسپ نہیں ہے؟) اس صورت کو الجبرائی اور گرافیکی طور پر متبادل طریقہ سے پیش کریں۔

حل : $s$ اور $t$ بالترتیب آفتاب اور اس کی بیٹی کی عمریں (سالوں میں) ہوں۔ پھر، صورت کو ظاہر کرنے والی خطی مساواتوں کا جوڑا ہے

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

مساوات (2) کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے $s=3 t+6$۔

$s$ کی اس قدر کو مساوات (1) میں رکھنے پر، ہمیں ملتا ہے

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ یعنی، } \quad 4 t=48 \text{, جو دیتا ہے } t=12 \text{. } $

$t$ کی اس قدر کو مساوات (2) میں رکھنے پر، ہمیں ملتا ہے

$ s=3(12)+6=42 $

لہٰذا، آفتاب اور اس کی بیٹی کی عمریں بالترتیب 42 اور 12 سال ہیں۔

اس جواب کی تصدیق کریں کہ آیا یہ دیے گئے مسائل کی شرائط کو پورا کرتا ہے۔

مثال 6 : ایک دکان میں 2 پنسلوں اور 3 ربرز کی قیمت ₹9 ہے اور 4 پنسلوں اور 6 ربرز کی قیمت ₹18 ہے۔ ہر پنسل اور ہر ربر کی قیمت معلوم کریں۔

حل : بننے والی خطی مساواتوں کا جوڑا تھا:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

ہم پہلے $x$ کی قدر کو $y$ کے لحاظ سے مساوات $2 x+3 y=9$ سے ظاہر کرتے ہیں، تاکہ ملے

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

اب ہم $x$ کی اس قدر کو مساوات (2) میں رکھتے ہیں، تاکہ ملے

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

یہ بیان $y$ کی تمام قدروں کے لیے سچ ہے۔ تاہم، ہمیں $y$ کی کوئی مخصوص قدر بطور حل نہیں ملتی۔ لہٰذا، ہم $x$ کی کوئی مخصوص قدر حاصل نہیں کر سکتے۔ یہ صورت اس لیے پیدا ہوئی ہے کیونکہ دونوں دی گئی مساواتیں ایک جیسی ہیں۔ لہٰذا، مساوات (1) اور (2) کے لامحدود حل ہیں۔ ہم ایک پنسل اور ایک ربر کی منفرد قیمت معلوم نہیں کر سکتے، کیونکہ دی گئی صورت کے بہت سے مشترک حل ہیں۔

مثال 7 : دو ریلوں کو مساواتوں $x+2 y-4=0$ اور $2 x+4 y-12=0$ سے ظاہر کیا گیا ہے۔ کیا ریلیں ایک دوسرے کو کاٹیں گی؟

حل : بننے والی خطی مساواتوں کا جوڑا تھا:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

ہم $x$ کو $y$ کے لحاظ سے مساوات (1) سے ظاہر کرتے ہیں تاکہ ملے

$$ x=4-2 y $$

اب، ہم $x$ کی اس قدر کو مساوات (2) میں رکھتے ہیں تاکہ ملے

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ یعنی، } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ یعنی، } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

جو ایک غلط بیان ہے۔

لہٰذا، مساواتوں کا کوئی مشترک حل نہیں ہے۔ لہٰذا، دو ریلیں ایک دوسرے کو نہیں کاٹیں گی۔

3.3.2 حذف کرنے کا طریقہ (Elimination Method)

اب آئیے ایک متغیر کو حذف (یعنی ختم) کرنے کے ایک اور طریقے پر غور کرتے ہیں۔ یہ کبھی کبھار متبادل طریقے سے زیادہ آسان ہوتا ہے۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ یہ طریقہ کیسے کام کرتا ہے۔

مثال 8 : دو افراد کی آمدنی کا تناسب $9: 7$ ہے اور ان کے اخراجات کا تناسب $4: 3$ ہے۔ اگر ان میں سے ہر ایک ₹2000 ماہانہ بچانے میں کامیاب ہو جاتا ہے، تو ان کی ماہانہ آمدنی معلوم کریں۔

حل : دو افراد کی آمدنی کو بالترتیب ₹ $9 x$ اور ₹$ 7 x$ سے اور ان کے اخراجات کو بالترتیب ₹ $4 y$ اور ₹ $3 y$ سے ظاہر کرتے ہیں۔ پھر صورت میں بننے والی مساواتیں ہیں:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

مرحلہ 1 : مساوات (1) کو 3 سے اور مساوات (2) کو 4 سے ضرب دیں تاکہ $y$ کے سقالی برابر ہو جائیں۔ پھر ہمیں مساواتیں ملتی ہیں:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

مرحلہ 2 : مساوات (3) کو مساوات (4) میں سے منفی کریں تاکہ y حذف ہو جائے، کیونکہ $y$ کے سقالی برابر ہیں۔ لہٰذا، ہمیں ملتا ہے

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ یعنی، } \quad x=2000 $

مرحلہ 3 : $x$ کی اس قدر کو (1) میں رکھنے پر، ہمیں ملتا ہے

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

لہٰذا، مساواتوں کا حل $x=2000, y=4000$ ہے۔ لہٰذا، افراد کی ماہانہ آمدنی بالترتیب ₹ 18,000 اور ₹ 14,000 ہے۔

تصدیق : $18000: 14000=9: 7$۔ نیز، ان کے اخراجات کا تناسب $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

تبصرے :

1. اوپر کی مثال میں استعمال ہونے والے طریقے کو حذف کرنے کا طریقہ کہتے ہیں، کیونکہ ہم پہلے ایک متغیر کو حذف کرتے ہیں، تاکہ ایک متغیر میں ایک خطی مساوات حاصل ہو۔

اوپر کی مثال میں، ہم نے $y$ کو حذف کیا۔ ہم $x$ کو بھی حذف کر سکتے تھے۔ اسے اس طرح کرنے کی کوشش کریں۔

2. آپ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے متبادل، یا گرافیکی طریقہ بھی استعمال کر سکتے تھے۔ ایسا کرنے کی کوشش کریں، اور دیکھیں کہ کون سا طریقہ زیادہ آسان ہے۔

آئیے اب حذف کرنے کے طریقے میں ان مراحل کو نوٹ کر لیں:

مرحلہ 1 : پہلے دونوں مساواتوں کو کچھ مناسب غیر صفر مستقل سے ضرب دیں تاکہ ایک متغیر ($x$ یا $y$) کے سقالی عددی طور پر برابر ہو جائیں۔

مرحلہ 2 : پھر ایک مساوات کو دوسری میں سے جمع یا منفی کریں تاکہ ایک متغیر حذف ہو جائے۔ اگر آپ کو ایک متغیر میں ایک مساوات ملتی ہے، تو مرحلہ 3 پر جائیں۔

اگر مرحلہ 2 میں، ہمیں بغیر متغیر کے ایک سچا بیان ملتا ہے، تو اصل مساواتوں کے جوڑے کے لامحدود حل ہیں۔

اگر مرحلہ 2 میں، ہمیں بغیر متغیر کے ایک غلط بیان ملتا ہے، تو اصل مساواتوں کے جوڑے کا کوئی حل نہیں ہے، یعنی یہ غیر مطابق ہے۔

مرحلہ 3 : ایک متغیر ($x$ یا $y$) میں حاصل ہونے والی مساوات کو حل کریں تاکہ اس کی قدر معلوم ہو۔

مرحلہ 4 : $x$ (یا $y$) کی اس قدر کو اصل مساواتوں میں سے کسی ایک میں رکھیں تاکہ دوسرے متغیر کی قدر معلوم ہو۔

اب اس کی وضاحت کے لیے، ہم کچھ اور مثالیں حل کریں گے۔

مثال 9 : حذف کرنے کے طریقے کا استعمال کرتے ہوئے خطی مساواتوں کے درج ذیل جوڑے کے تمام ممکنہ حل تلاش کریں:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

حل :

مرحلہ 1 : مساوات (1) کو 2 سے اور مساوات (2) کو 1 سے ضرب دیں تاکہ $x$ کے سقالی برابر ہو جائیں۔ پھر ہمیں مساواتیں ملتی ہیں:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{4} \end{align*} $$

مرحلہ 2 : مساوات (4) کو مساوات (3) میں سے منفی کرنے پر،

$ (4 x-4 x)+(6 y-6 y)=16-7 $

$ \text{ یعنی، } \quad 0=9 \text{, جو ایک غلط بیان ہے۔ } $

لہٰذا، مساواتوں کے جوڑے کا کوئی حل نہیں ہے۔

مثال 10 : ایک دو ہندسی عدد اور اس کے ہندسے الٹنے سے حاصل ہونے والے عدد کا مجموعہ 66 ہے۔ اگر عدد کے ہندسوں میں 2 کا فرق ہو، تو عدد معلوم کریں۔ ایسے کتنے اعداد ہیں؟

حل : پہلے عدد میں دہائی اور اکائی کے ہندسے بالترتیب $x$ اور $y$ ہوں۔ لہٰذا، پہلا عدد پھیلائی ہوئی شکل میں $10 x+y$ لکھا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر، $56=10(5)+6$)۔

جب ہندسے الٹے جاتے ہیں، تو $x$ اکائی کا ہندسہ بن جاتا ہے اور $y$ دہائی کا ہندسہ بن جاتا ہے۔ یہ عدد، پھیلائی ہوئی شکل میں $10 y+x$ ہے (مثال کے طور پر، جب 56 الٹا جاتا ہے، تو ہمیں ملتا ہے $65=10(6)+5$)۔

دی گئی شرط کے مطابق

$$(10 x + y) + (10 y + x) = 66 $$

$$ \text{ i.e., } 11(x+y) =66 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad \quad x+y =6 \tag{1} $$

ہمیں یہ بھی دیا گیا ہے کہ ہندسوں میں 2 کا فرق ہے، لہٰذا،

$$ \text{either}\quad x-y=2 \tag{2} $$

$$ \text{or}\quad y-x=2\tag{3} $$

اگر $x-y=2$، تو (1) اور (2) کو حذف کرنے کے طریقے سے حل کرنے پر، ہمیں ملتا ہے $x=4$ اور $y=2$۔

اس صورت میں، ہمیں عدد 42 ملتا ہے۔

اگر $y-x=2$، تو (1) اور (3) کو حذف کرنے کے طریقے سے حل کرنے پر، ہمیں ملتا ہے $x=2$ اور $y=4$۔

اس صورت میں، ہمیں عدد 24 ملتا ہے۔

لہٰذا، دو ایسے اعداد ہیں 42 اور 24۔

تصدیق : یہاں $42+24=66$ اور $4-2=2$۔ نیز $24+42=66$ اور $4-2=2$۔

3.4 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. دو متغیرات میں خطی مساوات کے جوڑے کو، درج ذیل طریقوں سے پیش اور حل کیا جا سکتا ہے:

(i) گرافیکی طریقہ

(ii) الجبرائی طریقہ

2. گرافیکی طریقہ :

دو متغیرات میں خطی مساوات کے جوڑے کا گراف دو لکیروں سے ظاہر ہوتا ہے۔

(i) اگر لکیریں ایک نقطہ پر قطع کریں، تو وہ نقطہ دو مساواتوں کا منفرد حل دیتا ہے۔ اس صورت میں، مساواتوں کا جوڑا مطابق ہوتا ہے۔

(ii) اگر لکیریں منطبق ہوں، تو لامحدود حل ہوتے ہیں - لکیر کا ہر نقطہ ایک حل ہوتا ہے۔ اس صورت میں، مساواتوں کا جوڑا تابع (مطابق) ہوتا ہے۔

(iii) اگر لکیریں متوازی ہوں، تو مساواتوں کے جوڑے کا کوئی حل نہیں ہوتا۔ اس صورت میں، مساواتوں کا جوڑا غیر مطابق ہوتا ہے۔

3. الجبرائی طریقے : ہم نے خطی مساوات کے جوڑے کا/کے حل تلاش کرنے کے لیے درج ذیل طریقوں پر بات کی ہے:

(i) متبادل طریقہ

(ii) حذف کرنے کا طریقہ

\missing

4. اگر خطی مساوات کا جوڑا $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ اور $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ سے دیا گیا ہو، تو مندرجہ ذیل صورتیں پیدا ہو سکتی ہیں:

(i) $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_1}$ : اس صورت میں، خطی مساوات کا جوڑا مطابق ہوتا ہے۔

(ii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ : اس صورت میں، خطی مساوات کا جوڑا غیر مطابق ہوتا ہے۔

(iii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ : اس صورت میں، خطی مساوات کا جوڑا تابع اور مطابق ہوتا ہے۔

5. کئی صورتیں ایسی ہیں جن کو ریاضیاتی طور پر دو ایسی مساواتوں سے ظاہر کیا جا سکتا ہے جو شروع میں خطی نہیں ہوتیں۔ لیکن ہم ان میں تبدیلی کرتے ہیں تاکہ وہ خطی مساوات کے ایک جوڑے میں تبدیل ہو جائیں۔