৩.১ ভূমিকা

নিচের মত পরিস্থিতির সাথে তোমার নিশ্চয়ই পরিচয় হয়েছে :

আখিলা তার গ্রামের একটি মেলায় গিয়েছিল। সে জায়ান্ট হুইলে চড়তে এবং হুপলা খেলতে (এটি এমন একটি খেলা যেখানে একটি স্টলে রাখা জিনিসের উপর একটি রিং ছুঁড়ে মারতে হয়, এবং রিংটি যদি কোনো বস্তুকে সম্পূর্ণ ঢেকে ফেলে, তবে সেটি জিতে নিতে পার) চাচ্ছিল। সে হুপলা যতবার খেলেছে তা জায়ান্ট হুইলে চড়ার সংখ্যার অর্ধেক। যদি প্রতিটি রাইডের মূল্য ₹ 3 হয়, এবং একটি হুপলা খেলার মূল্য ₹ 4 হয়, তবে সে কতবার রাইড করেছে এবং কতবার হুপলা খেলেছে তা তুমি কীভাবে বের করবে, যদি সে ₹ 20 খরচ করে থাকে।

সম্ভবত তুমি বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিবেচনা করে এটি বের করার চেষ্টা করবে। সে যদি একবার রাইড করে, তবে কি সম্ভব? দুইবার রাইড করা কি সম্ভব? ইত্যাদি। অথবা তুমি নবম শ্রেণীর জ্ঞান ব্যবহার করে, এমন পরিস্থিতিকে দুই চলকযুক্ত রৈখিক সমীকরণ হিসেবে প্রকাশ করতে পার।

চলো এই পদ্ধতিটি চেষ্টা করি।

আখিলার রাইডের সংখ্যা বোঝাতে $x$, এবং হুপলা খেলার সংখ্যা বোঝাতে $y$ ধরি। এখন পরিস্থিতিটি নিচের দুটি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

আমরা কি এই জোড়া সমীকরণের সমাধান বের করতে পার? এটি বের করার বিভিন্ন পদ্ধতি আছে, যা আমরা এই অধ্যায়ে পড়ব।

\missing

৩.২ জোড়া রৈখিক সমীকরণের সমাধানের লেখচিত্র পদ্ধতি

যে জোড়া রৈখিক সমীকরণের কোনো সমাধান নেই, তাকে বলা হয় অসংগত জোড়া রৈখিক সমীকরণ। দুই চলকযুক্ত যে জোড়া রৈখিক সমীকরণের একটি সমাধান আছে, তাকে বলা হয় সংগত জোড়া রৈখিক সমীকরণ। যে জোড়া রৈখিক সমীকরণ সমতুল্য, তাদের অসংখ্য স্বতন্ত্র সাধারণ সমাধান থাকে। এমন জোড়াকে দুই চলকযুক্ত নির্ভরশীল জোড়া রৈখিক সমীকরণ বলা হয়। লক্ষ্য করো, একটি নির্ভরশীল জোড়া রৈখিক সমীকরণ সর্বদাই সংগত।

আমরা এখন দুই চলকযুক্ত একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণকে প্রকাশকারী রেখাগুলোর আচরণ এবং সমাধানের অস্তিত্ব নিচের মত সংক্ষেপে বলতে পারি:

(i) রেখাগুলো একটি একক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়ার একটি অনন্য সমাধান থাকে (সংগত জোড়া সমীকরণ)।

(ii) রেখাগুলো সমান্তরাল হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান নেই (অসংগত জোড়া সমীকরণ)।

(iii) রেখাগুলো সমাপতিত হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণগুলোর অসংখ্য সমাধান থাকে [নির্ভরশীল (সংগত) জোড়া সমীকরণ]।

নিচের তিন জোড়া সমীকরণ বিবেচনা করো।

(i) $x-2 y=0$ এবং $3 x+4 y-20=0 \quad$ (রেখাগুলো ছেদ করে)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ এবং $4 x+6 y-18=0 \quad$ (রেখাগুলো সমাপতিত হয়)

(iii) $x+2 y-4=0$ এবং $2 x+4 y-12=0 \quad$ (রেখাগুলো সমান্তরাল)

চলো এখন তিনটি উদাহরণেই $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ এবং $\dfrac{c_1}{c_2}$ এর মান লিখি এবং তুলনা করি। এখানে, $a_1, b_1, c_1$ এবং $a_2, b_2, c_2$ ধারা ৩.২-এ সাধারণ আকারে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর সহগ বোঝায়।

সারণি ৩.১

উপরের সারণি থেকে, তুমি লক্ষ্য করতে পারো যে যদি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখা

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{এবং}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) ছেদ করে, তবে $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$।

(ii) সমাপতিত হয়, তবে $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$।

(iii) সমান্তরাল হয়, তবে $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

আসলে, যেকোনো জোড়া রেখার জন্য এর বিপরীতটিও সত্য। তুমি নিজে আরও কিছু উদাহরণ বিবেচনা করে এটি যাচাই করতে পারো।

চলো এখন এটি ব্যাখ্যা করার জন্য আরও কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১ : লেখচিত্রের সাহায্যে পরীক্ষা করো নিচের জোড়া সমীকরণ

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

সংগত কিনা। যদি হয়, তবে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করো।

সমাধান : সমীকরণ (১) এবং (২) এর লেখচিত্র আঁকি। এর জন্য, আমরা প্রতিটি সমীকরণের দুটি সমাধান বের করি, যা সারণি ৩.২-এ দেওয়া আছে।

সারণি ৩.২

$A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ এবং $Q(3,-2)$ বিন্দুগুলো গ্রাফ কাগজে স্থাপন করো, এবং বিন্দুগুলো যোগ করে $A B$ এবং $P Q$ রেখা গঠন করো, যেমনটি চিত্র ৩.১-এ দেখানো হয়েছে।

আমরা লক্ষ্য করি যে $AB$ এবং $PQ$ উভয় রেখার জন্য একটি সাধারণ বিন্দু B $(6,0)$ আছে। সুতরাং, রৈখিক সমীকরণ জোড়ার সমাধান হল $x=6$ এবং $y=0$, অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণ জোড়া সংগত।

চিত্র ৩.১

উদাহরণ ২ : লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করো নিচের জোড়া সমীকরণের কোনো সমাধান নেই, অনন্য সমাধান আছে নাকি অসংখ্য সমাধান আছে:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

সমাধান : সমীকরণ (২) কে $\dfrac{5}{3}$ দ্বারা গুণ করে, আমরা পাই

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

কিন্তু, এটি সমীকরণ (১) এর সমান। সুতরাং সমীকরণ (১) এবং (২) দ্বারা প্রকাশিত রেখাগুলো সমাপতিত। অতএব, সমীকরণ (১) এবং (২) এর অসংখ্য সমাধান আছে।

গ্রাফে কয়েকটি বিন্দু স্থাপন করো এবং নিজে যাচাই করো।

উদাহরণ ৩ : চম্পা কিছু প্যান্ট এবং স্কার্ট কিনতে একটি ‘সেল’-এ গিয়েছিল। যখন তার বন্ধুরা তাকে জিজ্ঞেস করল সে কতটি করে কিনেছে, সে উত্তর দিল, “স্কার্টের সংখ্যা কেনা প্যান্টের সংখ্যার দ্বিগুণ থেকে দুই কম। আবার, স্কার্টের সংখ্যা কেনা প্যান্টের সংখ্যার চার গুণ থেকে চার কম”। চম্পার বন্ধুদের প্যান্ট এবং স্কার্টের সংখ্যা বের করতে সাহায্য করো।

সমাধান : প্যান্টের সংখ্যা বোঝাতে $x$ এবং স্কার্টের সংখ্যা বোঝাতে $y$ ধরি। তাহলে গঠিত সমীকরণগুলো হল:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

চলো প্রতিটি সমীকরণের দুটি সমাধান বের করে সমীকরণ (১) এবং (২) এর লেখচিত্র আঁকি। সেগুলো সারণি ৩.৩-এ দেওয়া আছে।

সারণি ৩.৩

চিত্র ৩.২

বিন্দুগুলো স্থাপন করো এবং সমীকরণগুলো প্রকাশ করার জন্য তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাগুলো আঁকো, যেমনটি চিত্র ৩.২-এ দেখানো হয়েছে।

দুটি রেখা $(1,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, $x=1, y=0$ হল রৈখিক সমীকরণ জোড়ার প্রয়োজনীয় সমাধান, অর্থাৎ, সে যে প্যান্ট কিনেছে তার সংখ্যা 1 এবং সে কোনো স্কার্ট কেনেনি।

প্রদত্ত সমস্যার শর্ত পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করে উত্তর যাচাই করো।

৩.৩ জোড়া রৈখিক সমীকরণ সমাধানের বীজগাণিতিক পদ্ধতি

পূর্ববর্তী ধারায়, আমরা আলোচনা করেছি কীভাবে একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করা যায়। লেখচিত্র পদ্ধতিটি সুবিধাজনক নয় যখন রৈখিক সমীকরণের সমাধান নির্দেশকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক অখণ্ড না হয়, যেমন $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, ইত্যাদি। এমন স্থানাঙ্ক পড়ার সময় ভুল হওয়ার সম্পূর্ণ সম্ভাবনা থাকে। সমাধান বের করার কোনো বিকল্প পদ্ধতি আছে কি? বেশ কিছু বীজগাণিতিক পদ্ধতি আছে, যা আমরা এখন আলোচনা করব।

৩.৩.১ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি:

আমরা কিছু উদাহরণ নিয়ে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যাখ্যা করব।

উদাহরণ ৪ : প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে নিচের জোড়া সমীকরণ সমাধান করো:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

সমাধান :

ধাপ ১ : আমরা যেকোনো একটি সমীকরণ নিই এবং একটি চলককে অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করি। সমীকরণ (২) বিবেচনা করি:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

ধাপ ২ : $x$ এর মান সমীকরণ (১) এ বসাও। আমরা পাই

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ অর্থাৎ, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ অর্থাৎ, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ অতএব, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

ধাপ ৩ : $y$ এর এই মান সমীকরণ (৩) এ বসালে, আমরা পাই

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

অতএব, সমাধান হল $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$।

যাচাইকরণ : $x=\dfrac{49}{29}$ এবং $y=\dfrac{19}{29}$ বসিয়ে, তুমি যাচাই করতে পারো যে সমীকরণ (১) এবং (২) উভয়ই সিদ্ধ হয়।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি আরও স্পষ্টভাবে বোঝার জন্য, চলো ধাপে ধাপে এটি বিবেচনা করি:

ধাপ ১ : একটি চলকের মান, ধরি $y$, অপর চলকের মাধ্যমে, অর্থাৎ $x$, প্রকাশ করো যেকোনো একটি সমীকরণ থেকে, যেটি সুবিধাজনক।

ধাপ ২ : $y$ এর এই মান অপর সমীকরণে বসাও, এবং এটিকে একটি চলকযুক্ত সমীকরণে, অর্থাৎ $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করে, রূপান্তরিত করো, যা সমাধান করা যায়। কখনও কখনও, যেমন নিচের উদাহরণ ৯ এবং ১০-এ, তুমি কোনো চলকবিহীন বিবৃতি পেতে পারো। যদি এই বিবৃতিটি সত্য হয়, তবে তুমি সিদ্ধান্ত নিতে পারো যে রৈখিক সমীকরণ জোড়ার অসংখ্য সমাধান আছে। যদি বিবৃতিটি মিথ্যা হয়, তবে রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি অসংগত।

ধাপ ৩ : ধাপ ২-এ প্রাপ্ত $x$ (বা $y$) এর মান ধাপ ১-এ ব্যবহৃত সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান বের করো।

মন্তব্য : আমরা একটি চলকের মানকে অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করে প্রতিস্থাপন করেছি যাতে জোড়া রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা যায়। সেইজন্য পদ্ধতিটিকে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বলা হয়।

উদাহরণ ৫ : নিচের প্রশ্নটি সমাধান করো-আফতাব তার মেয়েকে বলে, “সাত বছর আগে, আমি তখন তোমার বয়সের সাত গুণ ছিলাম। আর এখন থেকে তিন বছর পরে, আমি তোমার বয়সের তিন গুণ হব।” (এটি কি মজার নয়?) এই পরিস্থিতিটিকে বীজগাণিতিক এবং লেখচিত্রের সাহায্যে প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

সমাধান : ধরি $s$ এবং $t$ হল যথাক্রমে আফতাব এবং তার মেয়ের বয়স (বছরে)। তাহলে, পরিস্থিতিটি প্রকাশকারী রৈখিক সমীকরণ জোড়া হল

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

সমীকরণ (২) ব্যবহার করে, আমরা পাই $s=3 t+6$।

$s$ এর এই মান সমীকরণ (১) এ বসালে, আমরা পাই

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ অর্থাৎ, } \quad 4 t=48 \text{, যা দেয় } t=12 \text{. } $

$t$ এর এই মান সমীকরণ (২) এ বসালে, আমরা পাই

$ s=3(12)+6=42 $

সুতরাং, আফতাব এবং তার মেয়ের বয়স যথাক্রমে ৪২ এবং ১২ বছর।

প্রদত্ত সমস্যার শর্ত পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করে এই উত্তর যাচাই করো।

উদাহরণ ৬ : একটি দোকানে ২টি পেন্সিল এবং ৩টি রবারের মূল্য ₹৯ এবং ৪টি পেন্সিল এবং ৬টি রবারের মূল্য ₹১৮। প্রতিটি পেন্সিল এবং প্রতিটি রবারের মূল্য নির্ণয় করো।

সমাধান : গঠিত রৈখিক সমীকরণ জোড়া ছিল:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

আমরা প্রথমে $x$ এর মান $y$ এর মাধ্যমে সমীকরণ $2 x+3 y=9$ থেকে প্রকাশ করি, পাই

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

এখন আমরা $x$ এর এই মান সমীকরণ (২) এ বসাই, পাই

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

এই বিবৃতিটি $y$ এর সকল মানের জন্য সত্য। যাইহোক, আমরা $y$ এর একটি নির্দিষ্ট মান সমাধান হিসেবে পাই না। অতএব, আমরা $x$ এর একটি নির্দিষ্ট মান বের করতে পারি না। এই পরিস্থিতির উদ্ভব হয়েছে কারণ প্রদত্ত উভয় সমীকরণই একই। সুতরাং, সমীকরণ (১) এবং (২) এর অসংখ্য সমাধান আছে। আমরা একটি পেন্সিল এবং একটি রবারের অনন্য মূল্য বের করতে পারি না, কারণ প্রদত্ত পরিস্থিতির অনেক সাধারণ সমাধান আছে।

উদাহরণ ৭ : দুটি রেল লাইনকে $x+2 y-4=0$ এবং $2 x+4 y-12=0$ সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। রেল লাইনগুলো কি একে অপরকে ছেদ করবে?

সমাধান : গঠিত রৈখিক সমীকরণ জোড়া ছিল:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

আমরা $x$ কে $y$ এর মাধ্যমে সমীকরণ (১) থেকে প্রকাশ করি, পাই

$$ x=4-2 y $$

এখন, আমরা $x$ এর এই মান সমীকরণ (২) এ বসাই, পাই

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ অর্থাৎ, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ অর্থাৎ, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

যা একটি মিথ্যা বিবৃতি।

অতএব, সমীকরণগুলোর একটি সাধারণ সমাধান নেই। সুতরাং, দুটি রেল লাইন একে অপরকে ছেদ করবে না।

৩.৩.২ অপসারণ পদ্ধতি

এখন চলো অন্য একটি পদ্ধতি বিবেচনা করি যেখানে একটি চলক অপসারণ (অর্থাৎ, দূর) করা হয়। এটি কখনও কখনও প্রতিস্থাপন পদ্ধতির চেয়ে বেশি সুবিধাজনক। চলো দেখি এই পদ্ধতিটি কীভাবে কাজ করে।

উদাহরণ ৮ : দুজন ব্যক্তির আয়ের অনুপাত $9: 7$ এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত $4: 3$। যদি তাদের প্রত্যেকে মাসে ₹ 2000 সঞ্চয় করতে পারে, তবে তাদের মাসিক আয় নির্ণয় করো।

সমাধান : দুজন ব্যক্তির আয় যথাক্রমে ₹ $9 x$ এবং ₹$ 7 x$ এবং তাদের ব্যয় যথাক্রমে ₹ $4 y$ এবং ₹ $3 y$ দ্বারা বোঝাই। তাহলে পরিস্থিতিতে গঠিত সমীকরণগুলো হল:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

ধাপ ১ : $y$ এর সহগ সমান করতে সমীকরণ (১) কে ৩ দ্বারা এবং সমীকরণ (২) কে ৪ দ্বারা গুণ করো। তখন আমরা সমীকরণ পাই:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

ধাপ ২ : y কে অপসারণ করতে সমীকরণ (৩) থেকে সমীকরণ (৪) বিয়োগ করো, কারণ $y$ এর সহগ একই। সুতরাং, আমরা পাই

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ অর্থাৎ, } \quad x=2000 $

ধাপ ৩ : $x$ এর এই মান (১) এ বসালে, আমরা পাই

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

সুতরাং, সমীকরণগুলোর সমাধান হল $x=2000, y=4000$। অতএব, ব্যক্তিদের মাসিক আয় যথাক্রমে ₹ 18,000 এবং ₹ 14,000।

যাচাইকরণ : $18000: 14000=9: 7$। এছাড়াও, তাদের ব্যয়ের অনুপাত $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

মন্তব্য :

১. উপরের উদাহরণে ব্যবহৃত পদ্ধতিকে অপসারণ পদ্ধতি বলা হয়, কারণ আমরা প্রথমে একটি চলক অপসারণ করি, যাতে একটি চলকযুক্ত রৈখিক সমীকরণ পাওয়া যায়।

উপরের উদাহরণে, আমরা $y$ অপসারণ করেছি। আমরা $x$ ও অপসারণ করতে পারতাম। সেভাবে করে দেখো।

২. তুমি এই সমস্যাটি সমাধান করতে প্রতিস্থাপন, বা লেখচিত্র পদ্ধতিও ব্যবহার করতে পারতে। সেভাবে করার চেষ্টা করো, এবং দেখো কোন পদ্ধতিটি বেশি সুবিধাজনক।

চলো এখন অপসারণ পদ্ধতির এই ধাপগুলো লিখে রাখি:

ধাপ ১ : প্রথমে উভয় সমীকরণকে কিছু উপযুক্ত অশূন্য ধ্রুবক দ্বারা গুণ করো যাতে একটি চলকের (হয় $x$ বা $y$) সহগ সংখ্যাগতভাবে সমান হয়।

ধাপ ২ : তারপর একটি সমীকরণ থেকে অপর সমীকরণটি যোগ বা বিয়োগ করো যাতে একটি চলক অপসারিত হয়। যদি তুমি একটি চলকযুক্ত সমীকরণ পাও, তবে ধাপ ৩-এ যাও।

যদি ধাপ ২-এ, আমরা একটি চলকবিহীন সত্য বিবৃতি পাই, তবে মূল সমীকরণ জোড়ার অসংখ্য সমাধান আছে।

যদি ধাপ ২-এ, আমরা একটি চলকবিহীন মিথ্যা বিবৃতি পাই, তবে মূল সমীকরণ জোড়ার কোনো সমাধান নেই, অর্থাৎ, এটি অসংগত।

ধাপ ৩ : প্রাপ্ত একটি চলকযুক্ত ($x$ বা $y$) সমীকরণটি সমাধান করে তার মান বের করো।

ধাপ ৪ : $x$ (বা $y$) এর এই মান মূল সমীকরণগুলোর যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান বের করো।

এখন এটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আমরা আরও কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করব।

উদাহরণ ৯ : অপসারণ পদ্ধতি ব্যবহার করে নিচের জোড়া রৈখিক সমীকরণের সম্ভাব্য সকল সমাধান নির্ণয় করো:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

সমাধান :

ধাপ ১ : $x$ এর সহগ সমান করতে সমীকরণ (১) কে ২ দ্বারা এবং সমীকরণ (২) কে ১ দ্বারা গুণ করো। তখন আমরা সমীকরণ পাই:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{4} \end{align*} $$

ধাপ ২ : সমীকরণ (৪) থেকে সমীকরণ (৩) বিয়োগ করলে,

$ (4 x-4 x)+(6 y-6 y)=16-7 $

$ \text{ অর্থাৎ, } \quad 0=9 \text{, যা একটি মিথ্যা বিবৃতি। } $

অতএব, সমীকরণ জোড়ার কোনো সমাধান নেই।

উদাহরণ ১০ : একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা এবং তার অঙ্ক উল্টে পাওয়া সংখ্যার যোগফল ৬৬। যদি সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য ২ হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করো। এরকম কতগুলো সংখ্যা আছে?

সমাধান : প্রথম সংখ্যাটির দশকের এবং এককের অঙ্ক যথাক্রমে $x$ এবং $y$ ধরি। সুতরাং, প্রথম সংখ্যাটিকে প্রসারিত আকারে $10 x+y$ হিসেবে লেখা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, $56=10(5)+6$)।

যখন অঙ্কগুলো উল্টে দেওয়া হয়, তখন $x$ এককের অঙ্ক হয় এবং $y$ দশকের অঙ্ক হয়। এই সংখ্যাটি, প্রসারিত আকারে হল $10 y+x$ (উদাহরণস্বরূপ, যখন ৫৬ উল্টে দেওয়া হয়, আমরা পাই $65=10(6)+5$)।

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী,

$$(10 x + y) + (10 y + x) = 66 $$

$$ \text{ i.e., } 11(x+y) =66 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad \quad x+y =6 \tag{1} $$

আমাদের আরও দেওয়া আছে যে অঙ্কগুলোর পার্থক্য ২, অতএব,

$$ \text{either}\quad x-y=2 \tag{2} $$

$$ \text{or}\quad y-x=2\tag{3} $$

যদি $x-y=2$ হয়, তবে (১) এবং (২) কে অপসারণ পদ্ধতিতে সমাধান করে, আমরা পাই $x=4$ এবং $y=2$।

এই ক্ষেত্রে, আমরা সংখ্যাটি পাই ৪২।

যদি $y-x=2$ হয়, তবে (১) এবং (৩) কে অপসারণ পদ্ধতিতে সমাধান করে, আমরা পাই $x=2$ এবং $y=4$।

এই ক্ষেত্রে, আমরা সংখ্যাটি পাই ২৪।

সুতরাং, এরকম দুটি সংখ্যা আছে ৪২ এবং ২৪।

যাচাইকরণ : এখানে $42+24=66$ এবং $4-2=2$। এছাড়াও $24+42=66$ এবং $4-2=2$।

৩.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তুমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলো পড়েছ:

১. দুই চলকযুক্ত একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণকে নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে প্রকাশ এবং সমাধান করা যায়:

(i) লেখচিত্র পদ্ধতি

(ii) বীজগাণিতিক পদ্ধতি

২. লেখচিত্র পদ্ধতি :

দুই চলকযুক্ত একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণের লেখচিত্র দুটি রেখা দ্বারা প্রকাশিত হয়।

(i) যদি রেখাগুলো একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সেই বিন্দুটি দুটি সমীকরণের অনন্য সমাধান দেয়। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়া সংগত।

(ii) যদি রেখাগুলো সমাপতিত হয়, তবে অসংখ্য সমাধান থাকে - রেখার প্রতিটি বিন্দুই একটি সমাধান। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়া নির্ভরশীল (সংগত)।

(iii) যদি রেখাগুলো সমান্তরাল হয়, তবে সমীকরণ জোড়ার কোনো সমাধান নেই। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়া অসংগত।

৩. বীজগাণিতিক পদ্ধতি : আমরা একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণের সমাধান(গুলি) বের করার জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলো আলোচনা করেছি:

(i) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

(ii) অপসারণ পদ্ধতি

\missing

৪. যদি একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ এবং $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ দ্বারা দেওয়া থাকে, তবে নিম্নলিখিত পরিস্থিতিগুলো দেখা দিতে পারে:

(i) $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_1}$ : এই ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণ জোড়া সংগত।

(ii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ : এই ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণ জোড়া অসংগত।

(iii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ : এই ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণ জোড়া নির্ভরশীল এবং সংগত।

৫. এমন অনেক পরিস্থিতি আছে যেগুলো গাণিতিকভাবে দুটি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায় যা শুরুতে রৈখিক নয়। কিন্তু আমরা সেগুলো পরিবর্তন করি যাতে সেগুলো একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণে রূপান্তরিত হয়।