३.१ परिचय

तुम्ही नक्कीच खालीलप्रमाणे परिस्थितींचा सामना केला असेल :

अखिला तिच्या गावातील एका मेळ्यात गेली होती. तिला जायंट व्हीलवर फेऱ्या मारायच्या होत्या आणि हुप्ला खेळायचा होता (हा एक खेळ आहे ज्यामध्ये तुम्ही एका स्टॉलमध्ये ठेवलेल्या वस्तूंवर एक अंगठी फेकता आणि जर अंगठी कोणतीही वस्तू पूर्णपणे झाकली तर ती वस्तू तुम्हाला मिळते). तिने हुप्ला खेळल्याच्या वेळांची संख्या ही तिने जायंट व्हीलवर मारलेल्या फेऱ्यांच्या संख्येच्या निम्मी आहे. जर प्रत्येक फेरीची किंमत ₹ ३ असेल आणि हुप्लाच्या एका खेळाची किंमत ₹ ४ असेल, तर तिने किती फेऱ्या मारल्या आणि तिने हुप्ला किती वेळा खेळला हे कसे काढाल, जर तिने ₹ २० खर्च केले असेल तर.

कदाचित तुम्ही वेगवेगळी प्रकरणे विचारात घेऊन हे सोडवण्याचा प्रयत्न कराल. जर तिने एक फेरी मारली, तर शक्य आहे का? दोन फेऱ्या मारणे शक्य आहे का? आणि असेच. किंवा तुम्ही इयत्ता नववीच्या ज्ञानाचा वापर करून अशा परिस्थितींचे दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणून निरूपण करू शकता.

चला हा दृष्टिकोन वापरून पाहूया.

अखिलेने मारलेल्या फेऱ्यांची संख्या $x$ ने आणि तिने हुप्ला खेळल्याच्या वेळांची संख्या $y$ ने दर्शवू. आता परिस्थितीचे दोन समीकरणांद्वारे निरूपण केले जाऊ शकते:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

आपण या समीकरण जोडीची उकले काढू शकतो का? ही उकले शोधण्याचे अनेक मार्ग आहेत, ज्यांचा आपण या प्रकरणात अभ्यास करू.

\missing

३.२ रेषीय समीकरणांच्या जोडीची उकल ग्राफिक पद्धतीने

रेषीय समीकरणांची जोडी ज्याला कोणतेही उकल नसते, तिला विसंगत रेषीय समीकरणांची जोडी म्हणतात. दोन चलांतील रेषीय समीकरणांची जोडी, ज्याला एक उकल असते, तिला सुसंगत रेषीय समीकरणांची जोडी म्हणतात. रेषीय समीकरणांची जोडी जी समतुल्य असते तिला अनंततः अनेक भिन्न सामाईक उकली असतात. अशा जोडीला दोन चलांतील आश्रित रेषीय समीकरणांची जोडी म्हणतात. लक्षात ठेवा की आश्रित रेषीय समीकरणांची जोडी नेहमी सुसंगत असते.

आता आपण दोन चलांतील रेषीय समीकरणांच्या जोडीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या रेषांचे वर्तन आणि उकलीचे अस्तित्व खालीलप्रमाणे सारांशित करू शकतो:

(i) रेषा एकाच बिंदूत छेदू शकतात. या प्रकरणात, समीकरण जोडीला एक अद्वितीय उकल असते (सुसंगत समीकरण जोडी).

(ii) रेषा समांतर असू शकतात. या प्रकरणात, समीकरणांना कोणतीही उकल नसते (विसंगत समीकरण जोडी).

(iii) रेषा एकरूप असू शकतात. या प्रकरणात, समीकरणांना अनंततः अनेक उकली असतात [आश्रित (सुसंगत) समीकरण जोडी].

खालील तीन समीकरण जोड्या विचारात घ्या.

(i) $x-2 y=0$ आणि $3 x+4 y-20=0 \quad$ (रेषा छेदतात)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ आणि $4 x+6 y-18=0 \quad$ (रेषा एकरूप होतात)

(iii) $x+2 y-4=0$ आणि $2 x+4 y-12=0 \quad$ (रेषा समांतर आहेत)

आता तिन्ही उदाहरणांमध्ये $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ आणि $\dfrac{c_1}{c_2}$ ची मूल्ये लिहून तुलना करूया. येथे, $a_1, b_1, c_1$ आणि $a_2, b_2, c_2$ हे ३.२ मध्ये दिलेल्या सामान्य रूपातील समीकरणांचे गुणांक दर्शवतात.

सारणी ३.१

वरील सारणीवरून, तुम्ही पाहू शकता की जर समीकरणांनी दर्शविलेल्या रेषा

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{आणि}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) छेदत असतील, तर $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$.

(ii) एकरूप असतील, तर $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.

(iii) समांतर असतील, तर $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$.

खरं तर, कोणत्याही रेषा जोडीसाठी याचा व्यत्यासह सत्य आहे. तुम्ही स्वतः आणखी काही उदाहरणे विचारात घेऊन हे सत्यापित करू शकता.

आता हे स्पष्ट करण्यासाठी आणखी काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण १ : खालील समीकरण जोडी ग्राफिक पद्धतीने सुसंगत आहे का ते तपासा:

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

जर सुसंगत असेल, तर त्यांना ग्राफिक पद्धतीने सोडवा.

उकल : समीकरण (१) आणि (२) चे आलेख काढू. यासाठी, आपण प्रत्येक समीकरणाची दोन उकली शोधू, जी सारणी ३.२ मध्ये दिली आहेत.

सारणी ३.२

बिंदू $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ आणि $Q(3,-2)$ ग्राफ पेपरवर प्लॉट करा आणि ते बिंदू जोडून रेषा $A B$ आणि $P Q$ तयार करा जसे आकृती ३.१ मध्ये दाखवले आहे.

आपल्या लक्षात येते की दोन्ही रेषा $AB$ आणि $PQ$ मध्ये एक समान बिंदू B $(6,0)$ आहे. म्हणून, रेषीय समीकरणांच्या जोडीची उकल $x=6$ आणि $y=0$ आहे, म्हणजे, दिलेली समीकरण जोडी सुसंगत आहे.

आकृती ३.१

उदाहरण २ : ग्राफिक पद्धतीने, खालील समीकरण जोडीला कोणतीही उकल नाही, एक अद्वितीय उकल आहे की अनंत उकली आहेत ते शोधा:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

उकल : समीकरण (२) ला $\dfrac{5}{3}$ ने गुणल्यास, आपल्याला मिळते

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

परंतु, हे समीकरण (१) सारखेच आहे. म्हणून समीकरण (१) आणि (२) यांनी दर्शविलेल्या रेषा एकरूप आहेत. त्यामुळे, समीकरण (१) आणि (२) यांना अनंततः अनेक उकली आहेत.

ग्राफवर काही बिंदू प्लॉट करून ते स्वतः सत्यापित करा.

उदाहरण ३ : चंपा काही पँट आणि स्कर्ट खरेदी करण्यासाठी ‘सेल’ मध्ये गेली. जेव्हा तिच्या मैत्रिणींनी तिला विचारले की तिने प्रत्येकी किती खरेदी केले, तेव्हा ती म्हणाली, “स्कर्टची संख्या ही खरेदी केलेल्या पँटच्या संख्येच्या दुप्पटपेक्षा दोनने कमी आहे. तसेच, स्कर्टची संख्या ही खरेदी केलेल्या पँटच्या संख्येच्या चौपटपेक्षा चारने कमी आहे”. चंपाने किती पँट आणि स्कर्ट खरेदी केले ते शोधण्यासाठी तिच्या मैत्रिणींना मदत करा.

उकल : पँटची संख्या $x$ ने आणि स्कर्टची संख्या $y$ ने दर्शवू. मग तयार होणारी समीकरणे आहेत :

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

समीकरण (१) आणि (२) चे आलेख काढू या, प्रत्येक समीकरणासाठी दोन उकली शोधून. त्या सारणी ३.३ मध्ये दिल्या आहेत.

सारणी ३.३

आकृती ३.२

बिंदू प्लॉट करा आणि त्यांमधून जाणाऱ्या रेषा काढून समीकरणांचे निरूपण करा, जसे आकृती ३.२ मध्ये दाखवले आहे.

दोन रेषा बिंदू $(1,0)$ वर छेदतात. म्हणून, $x=1, y=0$ ही रेषीय समीकरणांच्या जोडीची आवश्यक उकल आहे, म्हणजेच तिने खरेदी केलेल्या पँटची संख्या १ आहे आणि तिने कोणतीही स्कर्ट खरेदी केली नाही.

हे उत्तर दिलेल्या समस्येच्या अटी पूर्ण करते का ते तपासून सत्यापित करा.

३.३ रेषीय समीकरणांच्या जोडीची उकल बीजगणितीय पद्धतीने

मागील भागात, आपण रेषीय समीकरणांची जोडी ग्राफिक पद्धतीने कशी सोडवायची यावर चर्चा केली. ग्राफिक पद्धत अशा वेळी सोयीची नसते जेव्हा रेषीय समीकरणांची उकल दर्शविणारा बिंदू $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$ इत्यादी अखंड नसलेले निर्देशांक असतात. असे निर्देशांक वाचताना चुका होण्याची पूर्ण शक्यता असते. उकल शोधण्याची काही पर्यायी पद्धत आहे का? अनेक बीजगणितीय पद्धती आहेत, ज्यांची आता आपण चर्चा करू.

३.३.१ प्रतिस्थापन पद्धत:

आपण काही उदाहरणे घेऊन प्रतिस्थापन पद्धत स्पष्ट करू.

उदाहरण ४ : प्रतिस्थापन पद्धतीने खालील समीकरण जोडी सोडवा:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

उकल :

पायरी १ : आपण कोणतेही एक समीकरण घेऊ आणि एक चल दुसऱ्या चलाच्या रूपात लिहू. समीकरण (२) विचारात घेऊ:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

पायरी २ : $x$ चे मूल्य समीकरण (१) मध्ये ठेवा. आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ म्हणजे, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ म्हणजे, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ म्हणून, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

पायरी ३ : $y$ चे हे मूल्य समीकरण (३) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

म्हणून, उकल $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ आहे.

सत्यापन : $x=\dfrac{49}{29}$ आणि $y=\dfrac{19}{29}$ ठेवून, तुम्ही पडताळू शकता की समीकरण (१) आणि (२) दोन्ही समाधानी आहेत.

प्रतिस्थापन पद्धत अधिक स्पष्टपणे समजून घेण्यासाठी, ती चरणबद्ध पद्धतीने विचारात घेऊया:

पायरी १ : एक चल, म्हणजे $y$ चे मूल्य दुसऱ्या चलाच्या रूपात, म्हणजे $x$, कोणत्याही एका समीकरणातून, जे सोयीचे असेल तेथून काढा.

पायरी २ : $y$ चे हे मूल्य दुसऱ्या समीकरणात ठेवा आणि ते एका चलातील समीकरणात, म्हणजे $x$ च्या रूपात, कमी करा, जे सोडवता येईल. कधीकधी, खालील उदाहरण ९ आणि १० प्रमाणे, तुम्हाला कोणतेही चल नसलेले विधान मिळू शकते. जर हे विधान सत्य असेल, तर तुम्ही असा निष्कर्ष काढू शकता की रेषीय समीकरणांच्या जोडीला अनंततः अनेक उकली आहेत. जर विधान असत्य असेल, तर रेषीय समीकरणांची जोडी विसंगत आहे.

पायरी ३ : पायरी २ मध्ये मिळालेल्या $x$ (किंवा $y$) चे मूल्य पायरी १ मध्ये वापरलेल्या समीकरणात ठेवून दुसऱ्या चलाचे मूल्य मिळवा.

टिप्पणी : आपण एका चलाचे मूल्य दुसऱ्या चलाच्या रूपात व्यक्त करून ठेवले आहे जेणेकरून रेषीय समीकरणांची जोडी सोडवता येईल. म्हणूनच या पद्धतीला प्रतिस्थापन पद्धत म्हणतात.

उदाहरण ५ : खालील प्रश्न सोडवा-आफतब त्याच्या मुलीला सांगतो, “सात वर्षांपूर्वी, मी तेव्हाच्या तुझ्या वयाच्या सातपट होतो. तसेच, आतापासून तीन वर्षांनी, मी तुझ्या तेव्हाच्या वयाच्या तिप्पट होईन.” (हे मनोरंजक नाही का?) ही परिस्थिती बीजगणितीय आणि ग्राफिक पद्धतीने प्रतिस्थापन पद्धतीने दर्शवा.

उकल : आफतब आणि त्याच्या मुलीचे वय (वर्षांमध्ये) अनुक्रमे $s$ आणि $t$ मानू. मग, परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करणारी रेषीय समीकरणांची जोडी आहे

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

समीकरण (२) वापरून, आपल्याला $s=3 t+6$ मिळते.

$s$ चे हे मूल्य समीकरण (१) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ म्हणजे, } \quad 4 t=48 \text{, ज्यामुळे } t=12 \text{ मिळते. } $

$t$ चे हे मूल्य समीकरण (२) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$ s=3(12)+6=42 $

म्हणून, आफतब आणि त्याची मुलगी अनुक्रमे ४२ आणि १२ वर्षांचे आहेत.

हे उत्तर दिलेल्या समस्येच्या अटी पूर्ण करते का ते तपासून सत्यापित करा.

उदाहरण ६ : एका दुकानात २ पेन्सिल आणि ३ रबरांची किंमत ₹९ आहे आणि ४ पेन्सिल आणि ६ रबरांची किंमत ₹१८ आहे. प्रत्येक पेन्सिल आणि प्रत्येक रबरची किंमत काढा.

उकल : तयार झालेली रेषीय समीकरणांची जोडी होती:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

आपण प्रथम $x$ चे मूल्य $y$ च्या रूपात समीकरण $2 x+3 y=9$ वरून काढू, जेणेकरून

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

आता आपण $x$ चे हे मूल्य समीकरण (२) मध्ये ठेवतो, जेणेकरून

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

हे विधान $y$ च्या सर्व मूल्यांसाठी सत्य आहे. तथापि, आपल्याला $y$ चे एक विशिष्ट मूल्य उकल म्हणून मिळत नाही. म्हणून, आपण $x$ चे एक विशिष्ट मूल्य मिळवू शकत नाही. ही परिस्थिती निर्माण झाली आहे कारण दिलेली दोन्ही समीकरणे सारखीच आहेत. त्यामुळे, समीकरण (१) आणि (२) यांना अनंततः अनेक उकली आहेत. आपल्याला पेन्सिल आणि रबरची एक अद्वितीय किंमत सापडत नाही, कारण दिलेल्या परिस्थितीसाठी अनेक सामाईक उकली आहेत.

उदाहरण ७ : दोन रेल्वे लाईन्स $x+2 y-4=0$ आणि $2 x+4 y-12=0$ या समीकरणांनी दर्शविल्या आहेत. रेल्वे लाईन्स एकमेकांना छेदतील का?

उकल : तयार झालेली रेषीय समीकरणांची जोडी होती:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

आपण $x$ चे मूल्य $y$ च्या रूपात समीकरण (१) वरून काढू, जेणेकरून

$$ x=4-2 y $$

आता, आपण $x$ चे हे मूल्य समीकरण (२) मध्ये ठेवतो, जेणेकरून

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ म्हणजे, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ म्हणजे, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

जे एक असत्य विधान आहे.

म्हणून, समीकरणांना एक सामाईक उकल नाही. त्यामुळे, दोन रेल्वे लाईन्स एकमेकांना छेदणार नाहीत.

३.३.२ निर्मूलन पद्धत

आता दुसरी पद्धत विचारात घेऊ ज्यामध्ये एक चल निर्मूलित (म्हणजे काढून टाकले) केले जाते. ही पद्धत कधीकधी प्रतिस्थापन पद्धतीपेक्षा अधिक सोयीची असते. ही पद्धत कशी कार्य करते ते पाहू.

उदाहरण ८ : दोन व्यक्तींच्या उत्पन्नाचे गुणोत्तर $9: 7$ आहे आणि त्यांच्या खर्चाचे गुणोत्तर $4: 3$ आहे. जर प्रत्येकाला दरमहा ₹ २००० ची बचत करता येते, तर त्यांची मासिक उत्पन्ने शोधा.

उकल : दोन व्यक्तींची उत्पन्ने अनुक्रमे ₹ $9 x$ आणि ₹$ 7 x$ ने आणि त्यांचे खर्च अनुक्रमे ₹ $4 y$ आणि ₹ $3 y$ ने दर्शवू. मग परिस्थितीत तयार झालेली समीकरणे आहेत :

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

पायरी १ : $y$ चे गुणांक समान करण्यासाठी समीकरण (१) ला ३ ने आणि समीकरण (२) ला ४ ने गुणा. मग आपल्याला समीकरणे मिळतात:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

पायरी २ : y निर्मूलित करण्यासाठी समीकरण (३) मधून समीकरण (४) वजा करा, कारण $y$ चे गुणांक सारखे आहेत. म्हणून, आपल्याला मिळते

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ म्हणजे, } \quad x=2000 $

पायरी ३ : $x$ चे हे मूल्य (१) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

म्हणून, समीकरणांची उकल $x=2000, y=4000$ आहे. त्यामुळे, व्यक्तींची मासिक उत्पन्ने अनुक्रमे ₹ १८,००० आणि ₹ १४,००० आहेत.

सत्यापन : $18000: 14000=9: 7$. तसेच, त्यांच्या खर्चाचे गुणोत्तर $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

टिप्पण्या :

१. वरील उदाहरणात वापरलेली पद्धत ही निर्मूलन पद्धत म्हणून ओळखली जाते, कारण आपण प्रथम एक चल काढून टाकतो, जेणेकरून एका चलातील रेषीय समीकरण मिळते.

वरील उदाहरणात, आपण $y$ निर्मूलित केले. आपण $x$ देखील निर्मूलित करू शकलो असतो. तसे करून पहा.

२. तुम्ही ही समस्या सोडवण्यासाठी प्रतिस्थापन किंवा ग्राफिक पद्धत देखील वापरू शकला असता. तसे करून पहा आणि कोणती पद्धत अधिक सोयीची आहे ते पहा.

आता निर्मूलन पद्धतीतील ही चरणे लिहून घेऊया:

पायरी १ : प्रथम दोन्ही समीकरणांना काही योग्य शून्येतर स्थिरांकाने गुणा जेणेकरून एका चलाचे (एकतर $x$ किंवा $y$) गुणांक संख्यात्मकदृष्ट्या समान होतील.

पायरी २ : मग एक समीकरण दुसऱ्यातून बेरीज किंवा वजा करा जेणेकरून एक चल नाहीसे होईल. जर तुम्हाला एका चलातील समीकरण मिळाले, तर पायरी ३ वर जा.

जर पायरी २ मध्ये, आपल्याला कोणतेही चल नसलेले सत्य विधान मिळाले, तर मूळ समीकरण जोडीला अनंततः अनेक उकली आहेत.

जर पायरी २ मध्ये, आपल्याला कोणतेही चल नसलेले असत्य विधान मिळाले, तर मूळ समीकरण जोडीला कोणतीही उकल नाही, म्हणजे ती विसंगत आहे.

पायरी ३ : मिळालेल्या एका चलातील ($x$ किंवा $y$) समीकरणाचे मूल्य काढण्यासाठी ते सोडवा.

पायरी ४ : $x$ (किंवा $y$) चे हे मूल्य मूळ समीकरणांपैकी कोणत्याही एकामध्ये ठेवून दुसऱ्या चलाचे मूल्य मिळवा.

आता हे स्पष्ट करण्यासाठी, आपण आणखी काही उदाहरणे सोडवू.

उदाहरण ९ : निर्मूलन पद्धत वापरून खालील रेषीय समीकरणांच्या जोडीच्या सर्व संभाव्य उकली शोधा:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

उकल :

पायरी १ : $x$ चे गुणांक समान करण्यासाठी समीकरण (१) ला २ ने आणि समीकरण (२) ला १ ने गुणा. मग आपल्याला समीकरणे मिळतात:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{4} \end{align*} $$

पायरी २ : समीकरण (४) मधून समीकरण (३) वजा करून,

$ (4 x-4 x)+(6 y-6 y)=16-7 $

$ \text{ म्हणजे, } \quad 0=9 \text{, जे एक असत्य विधान आहे. } $

म्हणून, समीकरण जोडीला कोणतीही उकल नाही.

उदाहरण १० : एक दोन-अंकी संख्या आणि त्याचे अंक उलटे केल्यावर मिळणारी संख्या यांची बेरीज ६६ आहे. जर संख्येतील अंकांमध्ये २ चा फरक असेल, तर ती संख्या शोधा. अशा किती संख्या आहेत?

उकल : पहिल्या संख्येतील दशक स्थानचा आणि एकक स्थानचा अंक अनुक्रमे $x$ आणि $y$ मानू. म्हणून, पहिली संख्या विस्तारित रूपात $10 x+y$ अशी लिहिता येईल (उदाहरणार्थ, $56=10(5)+6$).

जेव्हा अंक उलटे केले जातात, तेव्हा $x$ हा एकक स्थानचा अंक बनतो आणि $y$ हा दशक स्थानचा अंक बनतो. ही संख्या, विस्तारित नोटेशनमध्ये $10 y+x$ आहे (उदाहरणार्थ, जेव्हा ५६ उलटे केले जाते, तेव्हा आपल्याला $65=10(6)+5$ मिळते).

दिले