3.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿರಬಹುದು:

ಅಖಿಲಳು ತನ್ನ ಹಳ್ಳಿಯ ಜಾತ್ರೆಗೆ ಹೋದಳು. ಅವಳು ಜೈಂಟ್ ವೀಲ್ ಮೇಲೆ ಸವಾರಿ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಹೂಪ್ಲಾ ಆಡಲು (ಒಂದು ಆಟ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ಟಾಲ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತೀರಿ, ಮತ್ತು ಉಂಗುರವು ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ) ಬಯಸಿದಳು. ಅವಳು ಹೂಪ್ಲಾ ಆಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಜೈಂಟ್ ವೀಲ್ನಲ್ಲಿ ಅವಳು ಮಾಡಿದ ಸವಾರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು. ಪ್ರತಿ ಸವಾರಿಯ ಬೆಲೆ ₹ 3 ಮತ್ತು ಹೂಪ್ಲಾ ಆಟದ ಬೆಲೆ ₹ 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವಳು ₹ 20 ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ್ದಾಳೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೀರಿ, ಅವಳು ಎಷ್ಟು ಸವಾರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಳು ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಹೂಪ್ಲಾ ಆಡಿದಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು.

ಬಹುಶಃ ನೀವು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅವಳು ಒಂದು ಸವಾರಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಸಾಧ್ಯವೇ? ಎರಡು ಸವಾರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಅಥವಾ ನೀವು ಕ್ಲಾಸ್ IX ನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಅಖಿಲಳು ಮಾಡಿದ ಸವಾರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $x$ ಎಂದು ಮತ್ತು ಅವಳು ಹೂಪ್ಲಾ ಆಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $y$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

ಈ ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? ಇವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

\missing

3.2 ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ

ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಅಸಂಗತ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಸಂಗತ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ: ಅವಲಂಬಿತ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು:

(i) ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ (ಸಂಗತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ).

(ii) ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರ ಇರುವುದಿಲ್ಲ (ಅಸಂಗತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ).

(iii) ರೇಖೆಗಳು ಸಂಪಾತವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ [ಅವಲಂಬಿತ (ಸಂಗತ) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ].

ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

(i) $x-2 y=0$ ಮತ್ತು $3 x+4 y-20=0 \quad$ (ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ ಮತ್ತು $4 x+6 y-18=0 \quad$ (ರೇಖೆಗಳು ಸಂಪಾತವಾಗುತ್ತವೆ)

(iii) $x+2 y-4=0$ ಮತ್ತು $2 x+4 y-12=0 \quad$ (ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ)

ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ ಮತ್ತು $\dfrac{c_1}{c_2}$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, $a_1, b_1, c_1$ ಮತ್ತು $a_2, b_2, c_2$ ಸೆಕ್ಷನ್ 3.2 ರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಟೇಬಲ್ 3.1

ಮೇಲಿನ ಟೇಬಲ್ನಿಂದ, ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು: ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ರೇಖೆಗಳು

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{ಮತ್ತು}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) ಛೇದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$.

(ii) ಸಂಪಾತವಾದರೆ, ನಂತರ $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.

(iii) ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮವೂ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವೇ ಇನ್ನಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

ಸಂಗತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಸಮೀಕರಣಗಳ (1) ಮತ್ತು (2) ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ 3.2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಟೇಬಲ್ 3.2

$A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ ಮತ್ತು $Q(3,-2)$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಪೇಪರ್ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ರೇಖೆಗಳು $A B$ ಮತ್ತು $P Q$ ಅನ್ನು ಫಿಗ್. 3.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ರಚಿಸಿ.

ರೇಖೆಗಳು $AB$ ಮತ್ತು $PQ$ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಒಂದು ಬಿಂದು B $(6,0)$ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯ ಪರಿಹಾರವು $x=6$ ಮತ್ತು $y=0$ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು ಸಂಗತವಾಗಿದೆ.

ಫಿಗ್. 3.1

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ, ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

ಪರಿಹಾರ : ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು $\dfrac{5}{3}$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

ಆದರೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣ (1) ನಂತೆಯೇ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಪಾತವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಗಳಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ.

ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಚಂಪಾ ಕೆಲವು ಪ್ಯಾಂಟುಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕರ್ಟುಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ‘ಸೇಲ್’ ಗೆ ಹೋದಳು. ಅವಳ ಸ್ನೇಹಿತರು ಅವಳಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಎಷ್ಟು ಖರೀದಿಸಿದ್ದಾಳೆ ಎಂದು ಕೇಳಿದಾಗ, ಅವಳು ಉತ್ತರಿಸಿದಳು, “ಸ್ಕರ್ಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಖರೀದಿಸಿದ ಪ್ಯಾಂಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡರಷ್ಟಿಗಿಂತ ಎರಡು ಕಡಿಮೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಸ್ಕರ್ಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಖರೀದಿಸಿದ ಪ್ಯಾಂಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಾಲ್ಕರಷ್ಟಿಗಿಂತ ನಾಲ್ಕು ಕಡಿಮೆ”. ಚಂಪಾ ಎಷ್ಟು ಪ್ಯಾಂಟುಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕರ್ಟುಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವಳ ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಪ್ಯಾಂಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $x$ ಎಂದು ಮತ್ತು ಸ್ಕರ್ಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $y$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ರಚನೆಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ (1) ಮತ್ತು (2) ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ 3.3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಟೇಬಲ್ 3.3

ಫಿಗ್. 3.2

ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬರೆಯಿರಿ, ಫಿಗ್. 3.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಬಿಂದು $(1,0)$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x=1, y=0$ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವಳು ಖರೀದಿಸಿದ ಪ್ಯಾಂಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮತ್ತು ಅವಳು ಯಾವುದೇ ಸ್ಕರ್ಟ್ ಖರೀದಿಸಲಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರವು ನೀಡಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

3.3 ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳು

ಹಿಂದಿನ ಸೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವು $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಂತಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕೇತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಅನುಕೂಲಕರವಲ್ಲ. ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಓದುವಾಗ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವಿದೆಯೇ? ಹಲವಾರು ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

3.3.1 ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನ:

ನಾವು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿ:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

ಪರಿಹಾರ :

ಹಂತ 1 : ನಾವು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

ಹಂತ 2 : $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ ಅಂದರೆ, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ ಅಂದರೆ, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ ಆದ್ದರಿಂದ, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

ಹಂತ 3 : $y$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (3) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವು $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಶೀಲನೆ : $x=\dfrac{49}{29}$ ಮತ್ತು $y=\dfrac{19}{29}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಎರಡೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಹಂತ 1 : ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $y$ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ $x$ ಅನ್ನು, ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಅನುಕೂಲಕರವಾದದ್ದರಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 2 : $y$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ $x$ ಪರಿಭಾಷೆಗೆ, ಇಳಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು 9 ಮತ್ತು 10 ರಂತೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಚರಾಕ್ಷರವಿಲ್ಲದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಹೇಳಿಕೆಯು ಸುಳ್ಳಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು ಅಸಂಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಂತ 3 : ಹಂತ 2 ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ $x$ (ಅಥವಾ $y$) ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ- ಆಫ್ತಾಬ್ ತನ್ನ ಮಗಳಿಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ, “ಏಳು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ನಾನು ನೀನು ಆಗಿದ್ದುದಕ್ಕಿಂತ ಏಳು ಪಟ್ಟು ವಯಸ್ಸಿನವನಾಗಿದ್ದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಇಂದಿನಿಂದ ಮೂರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ನಾನು ನೀನು ಆಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ವಯಸ್ಸಿನವನಾಗಿರುತ್ತೇನೆ.” (ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಲ್ಲವೇ?) ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : $s$ ಮತ್ತು $t$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಫ್ತಾಬ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಮಗಳ ವಯಸ್ಸುಗಳಾಗಿರಲಿ (ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ). ನಂತರ, ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು $s=3 t+6$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

$s$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ ಅಂದರೆ, } \quad 4 t=48 \text{, ಇದು } t=12 \text{ ನೀಡುತ್ತದೆ. } $

$t$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ s=3(12)+6=42 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಫ್ತಾಬ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಮಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 42 ಮತ್ತು 12 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನವರು.

ಈ ಉತ್ತರವು ನೀಡಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಒಂದು ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ 2 ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗಳು ಮತ್ತು 3 ರಬ್ಬರ್ಗಳ ಬೆಲೆ ₹9 ಮತ್ತು 4 ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗಳು ಮತ್ತು 6 ರಬ್ಬರ್ಗಳ ಬೆಲೆ ₹18 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರಬ್ಬರ್ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ರಚನೆಯಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

ನಾವು ಮೊದಲು $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $y$ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ $2 x+3 y=9$ ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆಯಲು

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

ಈಗ ನಾವು $x$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆಯಲು

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು $y$ ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು $y$ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $x$ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀಡಲಾದ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶ ಉಂಟಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಗಳಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. ನೀಡಲಾದ ಸನ್ನಿವೇಶಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಮತ್ತು ರಬ್ಬರ್ನ ಅನನ್ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ಎರಡು ರೈಲುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳು $x+2 y-4=0$ ಮತ್ತು $2 x+4 y-12=0$ ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೈಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ : ರಚನೆಯಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯು:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

ನಾವು $x$ ಅನ್ನು $y$ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (1) ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆಯಲು

$$ x=4-2 y $$

ಈಗ, ನಾವು $x$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆಯಲು

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ ಅಂದರೆ, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ ಅಂದರೆ, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

ಇದು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ರೈಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

3.3.2 ನಿವಾರಣಾ ವಿಧಾನ

ಈಗ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ನಿವಾರಿಸುವ (ಅಂದರೆ, ತೆಗೆದುಹಾಕುವ) ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಣ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 : ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಆದಾಯದ ಅನುಪಾತ $9: 7$ ಮತ್ತು ಅವರ ಖರ್ಚಿನ ಅನುಪಾತ $4: 3$ ಆಗಿದೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಲಾ ₹ 2000 ನೀಡಿ ಉಳಿತಾಯ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅವರ ಮಾಸಿಕ ಆದಾಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಆದಾಯವನ್ನು ₹ $9 x$ ಮತ್ತು ₹$ 7 x$ ಎಂದು ಮತ್ತು ಅವರ ಖರ್ಚನ್ನು ₹ $4 y$ ಮತ್ತು ₹ $3 y$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ರಚನೆಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

ಹಂತ 1 : $y$ ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನಗೊಳಿಸಲು ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

ಹಂತ 2 : y ಅನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣ (4) ರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (3) ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಏಕೆಂದರೆ $y$ ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $