3.1 परिचय

आपने नीचे दी गई जैसी स्थितियों का सामना अवश्य किया होगा:

अखिला अपने गाँव के एक मेले में गई। वह जायंट व्हील की सवारी का आनंद लेना और हूपला खेलना चाहती थी (एक ऐसा खेल जिसमें आप एक स्टॉल में रखी वस्तुओं पर एक छल्ला फेंकते हैं, और यदि छल्ला किसी वस्तु को पूरी तरह ढक लेता है, तो आप उसे प्राप्त कर लेते हैं)। उसके द्वारा हूपला खेले जाने की संख्या, जायंट व्हील पर उसकी सवारियों की संख्या से आधी है। यदि प्रत्येक सवारी की कीमत ₹ 3 है, और हूपला के एक खेल की कीमत ₹ 4 है, तो आप कैसे पता लगाएंगे कि उसने कितनी सवारियाँ कीं और उसने हूपला कितनी बार खेला, बशर्ते उसने ₹ 20 खर्च किए हों।

संभवतः आप विभिन्न मामलों पर विचार करके इसे आज़माएंगे। यदि उसने एक सवारी की है, तो क्या यह संभव है? क्या दो सवारियाँ करना संभव है? और इसी तरह। या आप कक्षा IX के ज्ञान का उपयोग करके, ऐसी स्थितियों को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

आइए इस दृष्टिकोण को आज़माते हैं।

मान लीजिए कि अखिला द्वारा की गई सवारियों की संख्या $x$ है, और उसके द्वारा हूपला खेले जाने की संख्या $y$ है। अब स्थिति को दो समीकरणों द्वारा निरूपित किया जा सकता है:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

क्या हम इस समीकरण युग्म के हल ज्ञात कर सकते हैं? इन्हें ज्ञात करने के कई तरीके हैं, जिनका हम इस अध्याय में अध्ययन करेंगे।

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3.2 एक रैखिक समीकरण युग्म के हल की आलेखीय विधि

रैखिक समीकरणों का एक युग्म जिसका कोई हल नहीं होता, उसे असंगत रैखिक समीकरण युग्म कहते हैं। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का एक युग्म, जिसका एक हल होता है, संगत रैखिक समीकरण युग्म कहलाता है। रैखिक समीकरणों का एक युग्म जो तुल्य होते हैं, उनके अपरिमित रूप से अनेक भिन्न उभयनिष्ठ हल होते हैं। ऐसे युग्म को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का आश्रित युग्म कहते हैं। ध्यान दें कि रैखिक समीकरणों का एक आश्रित युग्म सदैव संगत होता है।

अब हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के एक युग्म को निरूपित करने वाली रेखाओं के व्यवहार और हलों के अस्तित्व को निम्नानुसार संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

(i) रेखाएँ एक एकल बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होता है (संगत समीकरण युग्म)।

(ii) रेखाएँ समांतर हो सकती हैं। इस स्थिति में, समीकरणों का कोई हल नहीं होता (असंगत समीकरण युग्म)।

(iii) रेखाएँ संपाती हो सकती हैं। इस स्थिति में, समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं [आश्रित (संगत) समीकरण युग्म]।

निम्नलिखित तीन समीकरण युग्मों पर विचार कीजिए।

(i) $x-2 y=0$ और $3 x+4 y-20=0 \quad$ (रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ और $4 x+6 y-18=0 \quad$ (रेखाएँ संपाती हैं)

(iii) $x+2 y-4=0$ और $2 x+4 y-12=0 \quad$ (रेखाएँ समांतर हैं)

आइए अब तीनों उदाहरणों में $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ और $\dfrac{c_1}{c_2}$ के मान लिखें और तुलना करें। यहाँ, $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ अनुभाग 3.2 में दिए गए सामान्य रूप में समीकरणों के गुणांकों को निरूपित करते हैं।

सारणी 3.1

उपरोक्त सारणी से, आप देख सकते हैं कि यदि समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{तथा}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) प्रतिच्छेद करती हैं, तो $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$।

(ii) संपाती हैं, तो $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$।

(iii) समांतर हैं, तो $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

वास्तव में, किसी भी रेखा युग्म के लिए विलोम भी सत्य है। आप स्वयं कुछ और उदाहरणों पर विचार करके इसे सत्यापित कर सकते हैं।

आइए अब इसे स्पष्ट करने के लिए कुछ और उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1 : आलेखीय रूप से जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

संगत है या नहीं। यदि हाँ, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल कीजिए।

हल : आइए हम समीकरण (1) और (2) के आलेख खींचते हैं। इसके लिए, हम प्रत्येक समीकरण के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी 3.2 में दिए गए हैं।

सारणी 3.2

बिंदुओं $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ और $Q(3,-2)$ को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए, और बिंदुओं को मिलाकर रेखाएँ $A B$ और $P Q$ बनाइए जैसा कि चित्र 3.1 में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि एक बिंदु B $(6,0)$ दोनों रेखाओं $AB$ और $PQ$ के उभयनिष्ठ है। अतः, रैखिक समीकरण युग्म का हल $x=6$ और $y=0$ है, अर्थात्, दिया गया समीकरण युग्म संगत है।

चित्र 3.1

उदाहरण 2 : आलेखीय रूप से ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है, अद्वितीय हल है या अपरिमित रूप से अनेक हल हैं:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

हल : समीकरण (2) को $\dfrac{5}{3}$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

लेकिन, यह समीकरण (1) के समान ही है। अतः समीकरण (1) और (2) द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं। इसलिए, समीकरण (1) और (2) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

ग्राफ पर कुछ बिंदु आलेखित करके स्वयं सत्यापित कीजिए।

उदाहरण 3 : चंपा कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदने के लिए एक ‘सेल’ में गई। जब उसकी सहेलियों ने उससे पूछा कि उसने प्रत्येक कितनी खरीदी हैं, तो उसने उत्तर दिया, “स्कर्टों की संख्या, खरीदी गई पैंटों की संख्या के दोगुने से दो कम है। साथ ही, स्कर्टों की संख्या, खरीदी गई पैंटों की संख्या के चार गुने से चार कम है”। उसकी सहेलियों को यह ज्ञात करने में सहायता कीजिए कि चंपा ने कितनी पैंट और स्कर्ट खरीदी हैं।

हल : मान लीजिए कि पैंटों की संख्या $x$ द्वारा और स्कर्टों की संख्या $y$ द्वारा निरूपित है। तब बनने वाले समीकरण हैं:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

आइए हम प्रत्येक समीकरण के दो हल ज्ञात करके समीकरण (1) और (2) के आलेख खींचते हैं। वे सारणी 3.3 में दिए गए हैं।

सारणी 3.3

चित्र 3.2

बिंदुओं को आलेखित कीजिए और उन्हें मिलाने वाली रेखाएँ खींचकर समीकरणों को निरूपित कीजिए, जैसा कि चित्र 3.2 में दिखाया गया है।

दोनों रेखाएँ बिंदु $(1,0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः, $x=1, y=0$ रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल है, अर्थात्, उसके द्वारा खरीदी गई पैंटों की संख्या 1 है और उसने कोई स्कर्ट नहीं खरीदी।

दी गई समस्या की शर्तों को संतुष्ट करके उत्तर की जाँच कीजिए।

3.3 एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ

पिछले अनुभाग में, हमने चर्चा की कि कैसे एक रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से हल किया जाए। आलेखीय विधि उन स्थितियों में सुविधाजनक नहीं है जब रैखिक समीकरणों के हल को निरूपित करने वाले बिंदु के निर्देशांक अपूर्णांकीय हों जैसे $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, आदि। ऐसे निर्देशांकों को पढ़ने में गलती होने की पूरी संभावना रहती है। क्या हल ज्ञात करने की कोई वैकल्पिक विधि है? कई बीजगणितीय विधियाँ हैं, जिन पर हम अब चर्चा करेंगे।

3.3.1 प्रतिस्थापन विधि:

हम कुछ उदाहरण लेकर प्रतिस्थापन विधि की व्याख्या करेंगे।

उदाहरण 4 : प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

हल :

चरण 1 : हम दोनों समीकरणों में से कोई एक समीकरण लेते हैं और एक चर को दूसरे के पदों में लिखते हैं। आइए समीकरण (2) पर विचार करें:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

चरण 2 : $x$ का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित कीजिए। हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ अर्थात, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ अर्थात, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ इसलिए, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

चरण 3 : $y$ के इस मान को समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

अतः, हल $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ है।

सत्यापन : $x=\dfrac{49}{29}$ और $y=\dfrac{19}{29}$ प्रतिस्थापित करके, आप सत्यापित कर सकते हैं कि समीकरण (1) और (2) दोनों संतुष्ट होते हैं।

प्रतिस्थापन विधि को अधिक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए इसे चरणबद्ध तरीके से देखते हैं:

चरण 1 : एक चर, मान लीजिए $y$ का मान दूसरे चर, अर्थात् $x$ के पदों में, किसी भी समीकरण से ज्ञात कीजिए, जो भी सुविधाजनक हो।

चरण 2 : $y$ के इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए, और इसे एक चर वाले समीकरण, अर्थात् $x$ के पदों में, घटाइए, जिसे हल किया जा सकता है। कभी-कभी, जैसा कि नीचे उदाहरण 9 और 10 में है, आपको बिना चर वाले कथन प्राप्त हो सकते हैं। यदि यह कथन सत्य है, तो आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। यदि कथन असत्य है, तो रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

चरण 3 : चरण 2 में प्राप्त $x$ (या $y$) के मान को चरण 1 में प्रयुक्त समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए ताकि दूसरे चर का मान प्राप्त हो सके।

टिप्पणी : हमने एक चर के मान को दूसरे चर के पदों में व्यक्त करके प्रतिस्थापित किया है ताकि रैखिक समीकरण युग्म को हल किया जा सके। इसीलिए इस विधि को प्रतिस्थापन विधि के नाम से जाना जाता है।

उदाहरण 5 : निम्नलिखित प्रश्न को हल कीजिए- आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात वर्ष पूर्व, मैं उस समय तुम्हारी आयु का सात गुना था। साथ ही, अब से तीन वर्ष बाद, मैं तुम्हारी आयु का तीन गुना हो जाऊँगा।” (क्या यह रोचक नहीं है?) इस स्थिति को बीजगणितीय और आलेखीय रूप से प्रतिस्थापन विधि द्वारा निरूपित कीजिए।

हल : मान लीजिए कि आफ़ताब और उसकी पुत्री की आयु (वर्षों में) क्रमशः $s$ और $t$ हैं। तब, स्थिति को निरूपित करने वाला रैखिक समीकरण युग्म है

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

समीकरण (2) का उपयोग करके, हमें $s=3 t+6$ प्राप्त होता है।

$s$ के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ अर्थात, } \quad 4 t=48 \text{, जिससे } t=12 \text{ प्राप्त होता है। } $

$t$ के इस मान को समीकरण (2) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ s=3(12)+6=42 $

अतः, आफ़ताब और उसकी पुत्री की आयु क्रमशः 42 और 12 वर्ष है।

दी गई समस्याओं की शर्तों को संतुष्ट करके इस उत्तर की जाँच कीजिए।

उदाहरण 6 : एक दुकान में 2 पेंसिलों और 3 रबड़ों की कीमत ₹9 है और 4 पेंसिलों और 6 रबड़ों की कीमत ₹18 है। प्रत्येक पेंसिल और प्रत्येक रबड़ की कीमत ज्ञात कीजिए।

हल : बनने वाला रैखिक समीकरण युग्म था:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

हम पहले $x$ का मान $y$ के पदों में समीकरण $2 x+3 y=9$ से व्यक्त करते हैं, ताकि प्राप्त हो

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

अब हम $x$ के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हैं, ताकि प्राप्त हो

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

यह कथन $y$ के सभी मानों के लिए सत्य है। हालाँकि, हमें $y$ का कोई विशिष्ट मान हल के रूप में प्राप्त नहीं होता। इसलिए, हम $x$ का कोई विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते। यह स्थिति इसलिए उत्पन्न हुई है क्योंकि दोनों दिए गए समीकरण समान हैं। अतः, समीकरण (1) और (2) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। हम एक पेंसिल और एक रबड़ की अद्वितीय कीमत ज्ञात नहीं कर सकते, क्योंकि दी गई स्थिति के लिए अनेक उभयनिष्ठ हल हैं।

उदाहरण 7 : दो रेलों को समीकरणों $x+2 y-4=0$ और $2 x+4 y-12=0$ द्वारा निरूपित किया गया है। क्या रेलें एक-दूसरे को काटेंगी?

हल : बनने वाला रैखिक समीकरण युग्म था:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

हम $x$ को $y$ के पदों में समीकरण (1) से व्यक्त करते हैं, ताकि प्राप्त हो

$$ x=4-2 y $$

अब, हम $x$ के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हैं, ताकि प्राप्त हो

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ अर्थात, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ अर्थात, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

जो एक असत्य कथन है।

अतः, समीकरणों का कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है। इसलिए, दोनों रेलें एक-दूसरे को नहीं काटेंगी।

3.3.2 विलोपन विधि

अब आइए एक चर को विलुप्त (अर्थात्, हटाने) करने की एक अन्य विधि पर विचार करते हैं। यह कभी-कभी प्रतिस्थापन विधि से अधिक सुविधाजनक होती है। आइए देखें कि यह विधि कैसे कार्य करती है।

उदाहरण 8 : दो व्यक्तियों की आय का अनुपात $9: 7$ है और उनके व्यय का अनुपात $4: 3$ है। यदि उनमें से प्रत्येक प्रति माह ₹ 2000 बचाने में सफल होता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए कि दो व्यक्तियों की आय क्रमशः ₹ $9 x$ और ₹$ 7 x$ द्वारा और उनके व्यय क्रमशः ₹ $4 y$ और ₹ $3 y$ द्वारा निरूपित हैं। तब स्थिति में बनने वाले समीकरण हैं:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

चरण 1 : $y$ के गुणांकों को समान बनाने के लिए समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 4 से गुणा कीजिए। तब हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

चरण 2 : y को विलुप्त करने के लिए समीकरण (4) में से समीकरण (3) घटाइए, क्योंकि $y$ के गुणांक समान हैं। अतः, हमें प्राप्त होता है

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ अर्थात, } \quad x=2000 $

चरण 3 : $x$ के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

अतः, समीकरणों का हल $x=2000, y=4000$ है। इसलिए, व्यक्तियों की मासिक आय क्रमशः ₹ 18,000 और ₹ 14,000 है।

सत्यापन : $18000: 14000=9: 7$। साथ ही, उनके व्यय का अनुपात $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

टिप्पणियाँ :

1. उपरोक्त उदाहरण में प्रयुक्त विधि को विलोपन विधि कहा जाता है, क्योंकि हम पहले एक चर को विलुप्त करते हैं, ताकि एक चर वाला एक रैखिक समीकरण प्राप्त हो।

उपरोक्त उदाहरण में, हमने $y$ को विलुप्त किया। हम $x$ को भी विलुप्त कर सकते थे। इसे उस तरीके से करके देखिए।

2. आप इस समस्या को हल करने के लिए प्रतिस्थापन, या आलेखीय विधि का भी उपयोग कर सकते थे। ऐसा करके देखिए, और देखिए कि कौन-सी विधि अधिक सुविधाजनक है।

आइए अब विलोपन विधि में इन चरणों को नोट कर लें:

चरण 1 : पहले दोनों समीकरणों को कुछ उपयुक्त अशून्य अचरों से गुणा कीजिए ताकि एक चर (या तो $x$ या $y$) के गुणांक संख्यात्मक रूप से समान हो जाएँ।

चरण 2 : फिर एक समीकरण को दूसरे में से जोड़िए या घटाइए ताकि एक चर विलुप्त हो जाए। यदि आपको एक चर वाला समीकरण प्राप्त होता है, तो चरण 3 पर जाइए।

यदि चरण 2 में, हमें बिना चर वाला एक सत्य कथन प्राप्त होता है, तो मूल समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

यदि चरण 2 में, हमें बिना चर वाला एक असत्य कथन प्राप्त होता है, तो मूल समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात् यह असंगत है।

चरण 3 : प्राप्त एक चर ($x$ या $y$) वाले समीकरण को हल कीजिए ताकि उसका मान प्राप्त हो।

चरण 4 : $x$ (या $y$) के इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में प्रतिस्थापित कीजिए ताकि दूसरे चर का मान प्राप्त हो।

अब इसे स्पष्ट करने के लिए, हम कुछ और उदाहरण हल करेंगे।

उदाहरण 9 : विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभावित हल ज्ञात कीजिए:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

हल :

चरण 1 : $x$ के गुणांकों को समान बनाने के लिए समीकरण (1) को 2 से और समीकरण (2) को 1 से गुणा कीजिए। तब हमें समीकरण इस प्रकार प्राप्त होते हैं:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{4} \end{align*} $$

चरण 2 : समीकरण (4) को समीकरण (3) से घटाने पर,

$ (4 x-4 x)+(6 y-6 y)=16-7 $

$ \text{ अर्थात, } \quad 0=9 \text{, जो एक असत्य कथन है। } $

अतः, समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 10 : एक दो-अंकीय संख्या और उसके अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों में 2 का अंतर है, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?

हल : मान लीजिए कि पहली संख्या में दहाई और इकाई के अंक क्रमशः $x$ और $y$ हैं। अतः, पहली संख्या को विस्तारित रूप में $10 x+y$ लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, $56=10(5)+6$)।

जब अंकों को पलटा जाता है, तो $x$ इकाई का अंक बन जाता है और $y$ दहाई का अंक बन जाता है। यह संख्या, विस्तारित संकेतन में $10 y+x$ है (उदाहरण के लिए, जब 56 को पलटा जाता है, तो हमें $65=10(6)+5$ प्राप्त होता है)।

दी गई शर्त के अनुसार,

$$(10 x + y) + (10 y + x) = 66 $$

$$ \text{ i.e., } 11(x+y) =66 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad \quad x+y =6 \tag{1} $$

हमें यह भी दिया गया है कि अंकों में 2 का अंतर है, इसलिए,

$$ \text{either}\quad x-y=2 \tag{2} $$

$$ \text{or}\quad y-x=2\tag{3} $$

यदि $x-y=2$, तो (1) और (2) को विलोपन द्वारा हल करने पर, हमें $x=4$ और $y=2$ प्राप्त होते हैं।

इस स्थिति में, हमें संख्या 42 प्राप्त होती है।

यदि $y-x=2$, तो (1) और (3) को विलोपन द्वारा हल करने पर, हमें $x=2$ और $y=4$ प्राप्त होते हैं।

इस स्थिति में, हमें संख्या 24 प्राप्त होती है।

अतः, ऐसी दो संख्याएँ 42 और 24 हैं।

सत्यापन : यहाँ $42+24=66$ और $4-2=2$। साथ ही $24+42=66$ और $4-2=2$।

3.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के एक युग्म को निरूपित और हल किया जा सकता है:

(i) आलेखीय विधि द्वारा

(ii) बीजगणितीय विधि द्वारा

2. आलेखीय विधि :

दो चरों वाले रै