3.1 அறிமுகம்

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூழ்நிலைகளை நீங்கள் சந்தித்திருக்கலாம்:

அகிலா தனது கிராமத்தில் நடந்த ஒரு கண்காட்சிக்குச் சென்றாள். அவள் ஜெயண்ட் வீல் சவாரி மற்றும் ஹூப்லா (ஒரு கடையில் வைக்கப்பட்டுள்ள பொருட்களின் மீது ஒரு வளையத்தை எறிந்து, அந்த வளையம் எந்தப் பொருளையும் முழுமையாக மூடினால், அந்தப் பொருளைப் பெறும் ஒரு விளையாட்டு) விளையாடுவதை அனுபவிக்க விரும்பினாள். அவள் ஹூப்லா விளையாடிய முறைகளின் எண்ணிக்கை, ஜெயண்ட் வீலில் அவள் சவாரி செய்த முறைகளின் எண்ணிக்கையில் பாதியாகும். ஒவ்வொரு சவாரியும் ₹ 3 செலவாகும், மேலும் ஒரு ஹூப்லா விளையாட்டு ₹ 4 செலவாகும் என்றால், அவள் ₹ 20 செலவழித்ததாகக் கொண்டு, அவள் எத்தனை முறை சவாரி செய்தாள் மற்றும் எத்தனை முறை ஹூப்லா விளையாடினாள் என்பதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பீர்கள்?

நீங்கள் வெவ்வேறு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொண்டு முயற்சிக்கலாம். அவள் ஒரு முறை சவாரி செய்தால், அது சாத்தியமா? இரண்டு முறை சவாரி செய்வது சாத்தியமா? மற்றும் பல. அல்லது நீங்கள் ஒன்பதாம் வகுப்பில் கற்ற அறிவைப் பயன்படுத்தி, இத்தகைய சூழ்நிலைகளை இரண்டு மாறிகளில் உள்ள நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் குறிப்பிடலாம்.

இந்த அணுகுமுறையை முயற்சிப்போம்.

அகிலா சவாரி செய்த முறைகளின் எண்ணிக்கையை $x$ என்றும், அவள் ஹூப்லா விளையாடிய முறைகளின் எண்ணிக்கையை $y$ என்றும் குறிப்பிடுவோம். இப்போது இந்த சூழ்நிலையை இரண்டு சமன்பாடுகளால் குறிப்பிடலாம்:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

இந்தச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை நாம் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? இவற்றைக் கண்டுபிடிக்க பல வழிகள் உள்ளன, அவற்றை இந்தப் பாடத்தில் படிப்போம்.

\missing

3.2 ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகளின் வரைகலைத் தீர்வு முறை

தீர்வு இல்லாத ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள், பொருந்தாத ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள் எனப்படும். இரண்டு மாறிகளில் உள்ள ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள், ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருந்தால், பொருந்தும் ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள் எனப்படும். சமானமான ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள் எண்ணற்ற தனித்துவமான பொதுத் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும். அத்தகைய ஜோடி, இரண்டு மாறிகளில் உள்ள சார்பு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள் எனப்படும். ஒரு சார்பு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகள் எப்போதும் பொருந்தும் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

இரண்டு மாறிகளில் உள்ள ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகளைக் குறிக்கும் கோடுகளின் நடத்தை மற்றும் தீர்வுகளின் இருப்பை இப்போது பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் கூறலாம்:

(i) கோடுகள் ஒரு ஒற்றைப் புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்ளலாம். இந்த நிலையில், சமன்பாடுகளின் ஜோடிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (பொருந்தும் சமன்பாடுகளின் ஜோடி).

(ii) கோடுகள் இணையாக இருக்கலாம். இந்த நிலையில், சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு இல்லை (பொருந்தாத சமன்பாடுகளின் ஜோடி).

(iii) கோடுகள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக இருக்கலாம். இந்த நிலையில், சமன்பாடுகளுக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன [சார்பு (பொருந்தும்) சமன்பாடுகளின் ஜோடி].

பின்வரும் மூன்று ஜோடி சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள்.

(i) $x-2 y=0$ மற்றும் $3 x+4 y-20=0 \quad$ (கோடுகள் வெட்டுகின்றன)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ மற்றும் $4 x+6 y-18=0 \quad$ (கோடுகள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக உள்ளன)

(iii) $x+2 y-4=0$ மற்றும் $2 x+4 y-12=0 \quad$ (கோடுகள் இணையாக உள்ளன)

இப்போது மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளிலும் உள்ள $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ மற்றும் $\dfrac{c_1}{c_2}$ மதிப்புகளை எழுதி ஒப்பிடுவோம். இங்கு, $a_1, b_1, c_1$ மற்றும் $a_2, b_2, c_2$ என்பது பிரிவு 3.2 இல் பொது வடிவில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் கெழுக்களைக் குறிக்கிறது.

அட்டவணை 3.1

மேலே உள்ள அட்டவணையில் இருந்து, சமன்பாடுகளால் குறிக்கப்படும் கோடுகள்

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{மற்றும்}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) வெட்டிக்கொண்டால், $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$.

(ii) ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக இருந்தால், $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.

(iii) இணையாக இருந்தால், $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$.

உண்மையில், எந்த ஜோடி கோடுகளுக்கும் நேர்மாறானதும் உண்மையாகும். இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு நீங்களே சரிபார்க்கலாம்.

இப்போது இதை விளக்க இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : பின்வரும் சமன்பாடுகளின் ஜோடி

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

பொருந்தும் என்பதை வரைபட முறையில் சரிபார்க்கவும். அப்படியானால், அவற்றை வரைபட முறையில் தீர்க்கவும்.

தீர்வு : சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இன் வரைபடங்களை வரைவோம். இதற்காக, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் இரண்டு தீர்வுகளைக் காண்கிறோம், அவை அட்டவணை 3.2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 3.2

புள்ளிகள் $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ மற்றும் $Q(3,-2)$ ஆகியவற்றை வரைபடத் தாளில் குறித்து, அந்தப் புள்ளிகளை இணைத்து $A B$ மற்றும் $P Q$ என்ற கோடுகளைப் படம் 3.1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி உருவாக்கவும்.

$AB$ மற்றும் $PQ$ ஆகிய இரண்டு கோடுகளுக்கும் பொதுவான B $(6,0)$ என்ற ஒரு புள்ளி இருப்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். எனவே, நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடியின் தீர்வு $x=6$ மற்றும் $y=0$ ஆகும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் ஜோடி பொருந்தும்.

படம். 3.1

எடுத்துக்காட்டு 2 : வரைபட முறையில், பின்வரும் சமன்பாடுகளின் ஜோடிக்கு தீர்வு இல்லை, தனித்துவமான தீர்வு அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளதா எனக் கண்டறியவும்:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

தீர்வு : சமன்பாடு (2) ஐ $\dfrac{5}{3}$ ஆல் பெருக்கினால், நமக்குக் கிடைக்கும்

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

ஆனால், இது சமன்பாடு (1) போலவே உள்ளது. எனவே சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆல் குறிக்கப்படும் கோடுகள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக உள்ளன. எனவே, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) க்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

வரைபடத்தில் சில புள்ளிகளைக் குறித்து, அதை நீங்களே சரிபார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 : சம்பா சில பேண்ட்கள் மற்றும் பாவாடைகளை வாங்குவதற்காக ஒரு ‘சலில்’ சென்றாள். அவளது நண்பர்கள் அவளிடம் ஒவ்வொன்றிலும் எத்தனை வாங்கினாள் என்று கேட்டபோது, அவள் பதிலளித்தாள், “பேண்ட்கள் வாங்கிய எண்ணிக்கையின் இரு மடங்கை விட பாவாடைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டு குறைவாக உள்ளது. மேலும், பேண்ட்கள் வாங்கிய எண்ணிக்கையின் நான்கு மடங்கை விட பாவாடைகளின் எண்ணிக்கை நான்கு குறைவாக உள்ளது”. சம்பா எத்தனை பேண்ட்கள் மற்றும் பாவாடைகள் வாங்கினாள் என்பதைக் கண்டறிய அவளது நண்பர்களுக்கு உதவுங்கள்.

தீர்வு : பேண்ட்களின் எண்ணிக்கையை $x$ என்றும், பாவாடைகளின் எண்ணிக்கையை $y$ என்றும் குறிப்பிடுவோம். பின்னர் உருவாக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் இரண்டு தீர்வுகளைக் கண்டறிவதன் மூலம் சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இன் வரைபடங்களை வரைவோம். அவை அட்டவணை 3.3 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 3.3

படம். 3.2

புள்ளிகளைக் குறித்து, சமன்பாடுகளைக் குறிக்கும் வகையில் அவற்றின் வழியாகச் செல்லும் கோடுகளைப் படம் 3.2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி வரையவும்.

இரண்டு கோடுகளும் $(1,0)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. எனவே, $x=1, y=0$ என்பது நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடியின் தேவையான தீர்வாகும், அதாவது அவள் வாங்கிய பேண்ட்களின் எண்ணிக்கை 1 மற்றும் அவள் எந்தப் பாவாடையும் வாங்கவில்லை.

கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறதா எனச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் பதிலைச் சரிபார்க்கவும்.

3.3 ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இயற்கணித முறைகள்

முந்தைய பிரிவில், ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகளை வரைபட முறையில் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பற்றி விவாதித்தோம். நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் குறிக்கும் புள்ளியின் ஆயங்கள் $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$ போன்ற முழு எண் அல்லாத மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் போது வரைகலை முறை வசதியாக இல்லை. அத்தகைய ஆயங்களைப் படிக்கும்போது தவறுகள் செய்யும் வாய்ப்பு அதிகம். தீர்வைக் கண்டறிய வேறு ஏதேனும் மாற்று முறை உள்ளதா? பல இயற்கணித முறைகள் உள்ளன, அவற்றை இப்போது விவாதிப்போம்.

3.3.1 பிரதியிடல் முறை:

சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொண்டு பிரதியிடல் முறையை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4 : பின்வரும் சமன்பாடுகளின் ஜோடியை பிரதியிடல் முறையில் தீர்க்கவும்:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

தீர்வு :

படி 1 : நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து, ஒரு மாறியை மற்ற மாறியின் அடிப்படையில் எழுதுகிறோம். சமன்பாடு (2) ஐக் கருத்தில் கொள்வோம்:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

படி 2 : $x$ இன் மதிப்பை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிடவும். நமக்குக் கிடைக்கும்

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ அதாவது, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ அதாவது, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ எனவே, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

படி 3 : $y$ இன் இந்த மதிப்பை சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைக்கும்

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

எனவே, தீர்வு $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ ஆகும்.

சரிபார்ப்பு : $x=\dfrac{49}{29}$ மற்றும் $y=\dfrac{19}{29}$ ஆகியவற்றைப் பிரதியிட்டு, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இரண்டும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்.

பிரதியிடல் முறையை மேலும் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள, அதை படிப்படியாகக் கருதுவோம்:

படி 1 : ஒரு மாறியின் மதிப்பை, எடுத்துக்காட்டாக $y$, மற்ற மாறியின் அடிப்படையில், அதாவது $x$, எந்த சமன்பாடு வசதியாக இருந்தாலும் அதிலிருந்து கண்டறியவும்.

படி 2 : $y$ இன் இந்த மதிப்பை மற்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு, அதை ஒரு மாறியில் உள்ள சமன்பாடாக, அதாவது $x$ அடிப்படையில் குறைக்கவும், அதைத் தீர்க்கலாம். சில நேரங்களில், கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் 9 மற்றும் 10 போல, மாறி இல்லாத கூற்றுகளைப் பெறலாம். இந்தக் கூற்று உண்மையாக இருந்தால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடிக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன என்று முடிவு செய்யலாம். கூற்று பொய்யாக இருந்தால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடி பொருந்தாது.

படி 3 : படி 2 இல் பெறப்பட்ட $x$ (அல்லது $y$) இன் மதிப்பை படி 1 இல் பயன்படுத்தப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு, மற்ற மாறியின் மதிப்பைப் பெறவும்.

குறிப்பு : ஒரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, ஒரு மாறியின் மதிப்பை மற்ற மாறியின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தி பிரதியிட்டுள்ளோம். அதனால்தான் இந்த முறை பிரதியிடல் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5 : பின்வரும் கேள்வியைத் தீர்க்கவும்-அஃப்தாப் தனது மகளிடம், “ஏழு ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, நான் அப்போது நீ இருந்ததை விட ஏழு மடங்கு வயதானவனாக இருந்தேன். மேலும், இப்போதிலிருந்து மூன்று ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, நீ இருப்பதை விட மூன்று மடங்கு வயதானவனாக இருப்பேன்.” (இது சுவாரஸ்யமாக இல்லையா?) இந்த சூழ்நிலையை இயற்கணித மற்றும் வரைகலை முறையில் பிரதியிடல் முறையால் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு : $s$ மற்றும் $t$ ஆகியவை முறையே அஃப்தாப் மற்றும் அவரது மகளின் வயதுகள் (ஆண்டுகளில்) ஆக இருக்கட்டும். பின்னர், இந்த சூழ்நிலையைக் குறிக்கும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடி:

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

சமன்பாடு (2) ஐப் பயன்படுத்தி, $s=3 t+6$ கிடைக்கும்.

$s$ இன் இந்த மதிப்பை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைக்கும்

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ அதாவது, } \quad 4 t=48 \text{, இது } t=12 \text{ ஐத் தருகிறது. } $

$t$ இன் இந்த மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைக்கும்

$ s=3(12)+6=42 $

எனவே, அஃப்தாப் மற்றும் அவரது மகளுக்கு முறையே 42 மற்றும் 12 வயது.

கொடுக்கப்பட்ட சிக்கல்களின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறதா எனச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் இந்த பதிலைச் சரிபார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 : ஒரு கடையில் 2 பென்சில்கள் மற்றும் 3 அழிப்பான்களின் விலை ₹9 மற்றும் 4 பென்சில்கள் மற்றும் 6 அழிப்பான்களின் விலை ₹18 ஆகும். ஒவ்வொரு பென்சில் மற்றும் ஒவ்வொரு அழிப்பானின் விலையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : உருவாக்கப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடி:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

முதலில் $x$ இன் மதிப்பை $y$ அடிப்படையில் சமன்பாடு $2 x+3 y=9$ இலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம், அதாவது

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

இப்போது $x$ இன் இந்த மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைக்கும்

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

இந்தக் கூற்று $y$ இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும். இருப்பினும், நமக்கு $y$ இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு தீர்வாகக் கிடைப்பதில்லை. எனவே, $x$ இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைப் பெற முடியாது. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே மாதிரியானவை என்பதால் இந்த சூழ்நிலை ஏற்பட்டுள்ளது. எனவே, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) க்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட சூழ்நிலைக்கு பல பொதுவான தீர்வுகள் இருப்பதால், ஒரு பென்சில் மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் தனித்துவமான விலையைக் கண்டறிய முடியாது.

எடுத்துக்காட்டு 7 : இரண்டு ரெயில்கள் $x+2 y-4=0$ மற்றும் $2 x+4 y-12=0$ ஆகிய சமன்பாடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. ரெயில்கள் ஒன்றையொன்று கடக்குமா?

தீர்வு : உருவாக்கப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடி:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

சமன்பாடு (1) இலிருந்து $x$ ஐ $y$ அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகிறோம், அதாவது

$$ x=4-2 y $$

இப்போது, $x$ இன் இந்த மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைக்கும்

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ அதாவது, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ அதாவது, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

இது ஒரு பொய் கூற்றாகும்.

எனவே, சமன்பாடுகளுக்கு பொதுவான தீர்வு இல்லை. எனவே, இரண்டு ரெயில்களும் ஒன்றையொன்று கடக்காது.

3.3.2 நீக்கல் முறை

இப்போது ஒரு மாறியை நீக்கும் (அதாவது, அகற்றும்) மற்றொரு முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது சில நேரங்களில் பிரதியிடல் முறையை விட மிகவும் வசதியானது. இந்த முறை எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 8 : இரண்டு நபர்களின் வருமானங்களின் விகிதம் $9: 7$ மற்றும் அவர்களின் செலவுகளின் விகிதம் $4: 3$ ஆகும். அவர்களில் ஒவ்வொருவரும் மாதத்திற்கு ₹ 2000 சேமிக்க முடிந்தால், அவர்களின் மாத வருமானங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : இரண்டு நபர்களின் வருமானங்களை முறையே ₹ $9 x$ மற்றும் ₹$ 7 x$ என்றும், அவர்களின் செலவுகளை முறையே ₹ $4 y$ மற்றும் ₹ $3 y$ என்றும் குறிப்பிடுவோம். பின்னர் இந்த சூழ்நிலையில் உருவாக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

படி 1 : $y$ இன் கெழுக்களை சமமாக்க சமன்பாடு (1) ஐ 3 ஆலும், சமன்பாடு (2) ஐ 4 ஆலும் பெருக்கவும். பின்னர் நமக்குக் கிடைக்கும் சமன்பாடுகள்:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

படி 2 : y ஐ நீக்குவதற்காக சமன்பாடு (4) இலிருந்து சமன்பாடு (3) ஐக் கழிக்கவும், ஏனெனில் $y$ இன் கெழுக்கள் ஒரே மாதிரியானவை. எனவே, நமக்குக் கிடைக்கும்

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ அதாவது, } \quad x=2000 $

படி 3 : $x$ இன் இந்த மதிப்பை (1) இல் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைக்கும்

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

எனவே, சமன்பாடுகளின் தீர்வு $x=2000, y=4000$ ஆகும். எனவே, நபர்களின் மாத வருமானங்கள் முறையே ₹ 18,000 மற்றும் ₹ 14,000 ஆகும்.

சரிபார்ப்பு : $18000: 14000=9: 7$. மேலும், அவர்களின் செலவுகளின் விகிதம் $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

குறிப்புகள் :

1. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் பயன்படுத்தப்பட்ட முறை நீக்கல் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் நாம் முதலில் ஒரு மாறியை நீக்கி, ஒரு மாறியில் உள்ள நேரியல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், நாம் $y$ ஐ நீக்கினோம். நாம் $x$ ஐயும் நீக்கியிருக்கலாம். அந்த வழியில் செய்து பாருங்கள்.

2. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க நீங்கள் பிரதியிடல் அல்லது வரைகலை முறையையும் பயன்படுத்தியிருக்கலாம். அதைச் செய்து பார்த்து, எந்த முறை மிகவும் வசதியானது என்பதைப் பாருங்கள்.

இப்போது நீக்கல் முறையில் உள்ள இந்த படிகளைக் குறிப்பிடுவோம்:

படி 1 : முதலில் இரண்டு சமன்பாடுகளையும் ஒரு மாறியின் ($x$ அல்லது $y$) கெழுக்கள் எண்ணளவில் சமமாக இருக்கும் வகையில் சில பொருத்தமான பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலிகளால் பெருக்கவும்.

படி 2 : பின்னர் ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து மற்றொன்றைக் கூட்டவோ அல்லது கழிக்கவோ, அதனால் ஒரு மாறி நீக்கப்படும். ஒரு மாறியில் உள்ள சமன்பாட்டைப் பெற்றால், படி 3 க்குச் செல்லவும்.

படி 2 இல், மாறி இல்லாத உண்மைக் கூற்றைப் பெற்றால், அசல் சமன்பாடுகளின் ஜோடிக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

படி 2 இல், மாறி இல்லாத பொய் கூற்றைப் பெற்றால், அசல் சமன்பாடுகளின் ஜோடிக்கு தீர்வு இல்லை, அதாவது அது பொருந்தாது.

படி 3 : பெறப்பட்ட ஒரு மாறியில் உள்ள சமன்பாட்டை ($x$ அல்லது $y$) தீர்த்து அதன் மதிப்பைப் பெறவும்.

படி 4 : $x$ (அல்லது $y$) இன் இந்த மதிப்பை அசல் சமன்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றில் பிரதியிட்டு மற்ற மாறியின் மதிப்பைப் பெறவும்.

இப்போது அதை விளக்க, இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9 : பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஜோடியின் சாத்தியமான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறிய நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தவும்:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

தீர்வு :

படி 1 : $x$ இன் கெழுக்களை சமமாக்க சமன்பாடு (1) ஐ 2 ஆலும், சமன்பாடு (2) ஐ 1 ஆலும் பெருக்கவும். பின்னர் நமக்குக் கிடைக்கும் சமன்பாடுகள்:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$