3.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਰਗੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਆਏ ਹੋਵੋਗੇ:

ਅਖਿਲਾ ਆਪਣੇ ਪਿੰਡ ਦੇ ਇੱਕ ਮੇਲੇ ਵਿੱਚ ਗਈ ਸੀ। ਉਹ ਜਾਇੰਟ ਵੀਲ (ਵਿਸ਼ਾਲ ਚੱਕਰ) ‘ਤੇ ਸਵਾਰੀਆਂ ਦਾ ਆਨੰਦ ਲੈਣਾ ਅਤੇ ਹੂਪਲਾ (ਇੱਕ ਖੇਡ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸਟਾਲ ‘ਤੇ ਰੱਖੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਰਿੰਗ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਰਿੰਗ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਢੱਕ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਹ ਵਸਤੂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ) ਖੇਡਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਹੂਪਲਾ ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ ਖੇਡਿਆ, ਉਹ ਜਾਇੰਟ ਵੀਲ ‘ਤੇ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਵਾਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਅੱਧਾ ਸੀ। ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਸਵਾਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹ 3 ਹੈ, ਅਤੇ ਹੂਪਲਾ ਦੀ ਇੱਕ ਖੇਡ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹ 4 ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਸਦੀਆਂ ਸਵਾਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਹੂਪਲਾ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਖੇਡਿਆ, ਇਹ ਪਤਾ ਕਿਵੇਂ ਲਗਾਉਗੇ, ਜੇਕਰ ਉਸਨੇ ₹ 20 ਖਰਚ ਕੀਤੇ ਹੋਣ।

ਸ਼ਾਇਦ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕੇਸਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋਗੇ। ਜੇਕਰ ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਸਵਾਰੀ ਲਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ? ਕੀ ਦੋ ਸਵਾਰੀਆਂ ਲੈਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ? ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕਲਾਸ IX ਦੇ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਆਓ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਖਿਲਾ ਦੁਆਰਾ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਵਾਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ $x$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸਦੁਆਰਾ ਹੂਪਲਾ ਖੇਡਣ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ $y$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦੋ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਜੋੜੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

\missing

3.2 ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫੀ ਵਿਧੀ

ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਜਿਸਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਉਸਨੂੰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਅਸੰਗਤ ਜੋੜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ, ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਸੰਗਤ ਜੋੜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅਨੰਤ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਾਂਝੇ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਨਿਰਭਰ ਜੋੜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਜੋੜਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੰਗਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

(i) ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੱਟ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੋਖਾ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਸੰਗਤ ਜੋੜਾ)।

(ii) ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ (ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਅਸੰਗਤ ਜੋੜਾ)।

(iii) ਰੇਖਾਵਾਂ ਸੰਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ [ਨਿਰਭਰ (ਸੰਗਤ) ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ]।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਜੋੜਿਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

(i) $x-2 y=0$ ਅਤੇ $3 x+4 y-20=0 \quad$ (ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ ਅਤੇ $4 x+6 y-18=0 \quad$ (ਰੇਖਾਵਾਂ ਸੰਪਾਤੀ ਹਨ)

(iii) $x+2 y-4=0$ ਅਤੇ $2 x+4 y-12=0 \quad$ (ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ)

ਆਓ ਹੁਣ ਤਿੰਨਾਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ ਅਤੇ $\dfrac{c_1}{c_2}$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਿਖੀਏ ਅਤੇ ਤੁਲਨਾ ਕਰੀਏ। ਇੱਥੇ, $a_1, b_1, c_1$ ਅਤੇ $a_2, b_2, c_2$ ਧਾਰਾ 3.2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਤਾਲਿਕਾ 3.1

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਤਾਲਿਕਾ ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{ਤੇ}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$।

(ii) ਸੰਪਾਤੀ ਹਨ, ਤਾਂ $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$।

(iii) ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਜੋੜੇ ਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲਈ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਆਓ ਹੁਣ ਇਸਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਗ੍ਰਾਫੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

ਸੰਗਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਆਓ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੀਏ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਦੋ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਤਾਲਿਕਾ 3.2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਤਾਲਿਕਾ 3.2

ਬਿੰਦੂਆਂ $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ ਅਤੇ $Q(3,-2)$ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਪੇਪਰ ‘ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾਵਾਂ $A B$ ਅਤੇ $P Q$ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ $AB$ ਅਤੇ $PQ$ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਬਿੰਦੂ B $(6,0)$ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਹੱਲ $x=6$ ਅਤੇ $y=0$ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.1

ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਗ੍ਰਾਫੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਨੋਖਾ ਹੱਲ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

ਹੱਲ : ਸਮੀਕਰਣ (2) ਨੂੰ $\dfrac{5}{3}$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

ਪਰ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸੰਪਾਤੀ ਹਨ। ਇਸਲਈ, ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।

ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 : ਚੰਪਾ ਕੁਝ ਪੈਂਟ ਅਤੇ ਸਕਰਟਾਂ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ‘ਸੇਲ’ ਵਿੱਚ ਗਈ। ਜਦੋਂ ਉਸਦੀਆਂ ਸਹੇਲੀਆਂ ਨੇ ਉਸਨੂੰ ਪੁੱਛਿਆ ਕਿ ਉਸਨੇ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਖਰੀਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਸਨੇ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤਾ, “ਸਕਰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਖਰੀਦੀਆਂ ਗਈਆਂ ਪੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ ਦੋ ਘੱਟ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਕਰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਖਰੀਦੀਆਂ ਗਈਆਂ ਪੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਤੋਂ ਚਾਰ ਘੱਟ ਹੈ”। ਚੰਪਾ ਦੀਆਂ ਸਹੇਲੀਆਂ ਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸਨੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਪੈਂਟ ਅਤੇ ਸਕਰਟਾਂ ਖਰੀਦੀਆਂ।

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ $x$ ਨਾਲ ਅਤੇ ਸਕਰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ $y$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਾਂ ਬਣਾਏ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣ ਹਨ:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

ਆਓ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਦੋ ਹੱਲ ਲੱਭ ਕੇ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੀਏ। ਇਹ ਤਾਲਿਕਾ 3.3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਤਾਲਿਕਾ 3.3

ਚਿੱਤਰ 3.2

ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਦੋਵੇਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਿੰਦੂ $(1,0)$ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਲਈ, $x=1, y=0$ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੱਲ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਉਸਦੁਆਰਾ ਖਰੀਦੀਆਂ ਗਈਆਂ ਪੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 1 ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਕੋਈ ਸਕਰਟ ਨਹੀਂ ਖਰੀਦੀ।

ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕੇ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

3.3 ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਵਿਧੀਆਂ

ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫੀ ਵਿਧੀ ਉਹਨਾਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਜਦੋਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, ਆਦਿ। ਅਜਿਹੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹਨ ਵੇਲੇ ਗਲਤੀਆਂ ਕਰਨ ਦੀ ਪੂਰੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੀ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਹੈ? ਕਈ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਵਿਧੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।

3.3.1 ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ:

ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਲੈ ਕੇ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ।

ਉਦਾਹਰਣ 4 : ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

ਹੱਲ :

ਪੜਾਅ 1 : ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਣ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਚਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਸਮੀਕਰਣ (2) ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

ਪੜਾਅ 2 : $x$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ ਯਾਨੀ, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ ਯਾਨੀ, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ ਇਸਲਈ, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

ਪੜਾਅ 3 : $y$ ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

ਇਸਲਈ, ਹੱਲ $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ ਹੈ।

ਸਥਾਪਨਾ : $x=\dfrac{49}{29}$ ਅਤੇ $y=\dfrac{19}{29}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਆਓ ਇਸਨੂੰ ਪੜਾਅਵਾਰ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

ਪੜਾਅ 1 : ਇੱਕ ਚਲ, ਮੰਨ ਲਓ $y$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦੂਜੇ ਚਲ, ਯਾਨੀ $x$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਣ ਤੋਂ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਵੀ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇ।

ਪੜਾਅ 2 : $y$ ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਣ, ਯਾਨੀ $x$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ, ਜਿਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ 9 ਅਤੇ 10 ਵਿੱਚ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਚਲ ਵਾਲੇ ਕਥਨ ਮਿਲ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਕਥਨ ਗਲਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਅਸੰਗਤ ਹੈ।

ਪੜਾਅ 3 : ਪੜਾਅ 2 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਗਏ $x$ (ਜਾਂ $y$) ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪੜਾਅ 1 ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਦੂਜੇ ਚਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।

ਟਿੱਪਣੀ : ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਚਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 5 : ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ-ਅਫਤਾਬ ਆਪਣੀ ਧੀ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ, “ਸੱਤ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ, ਮੈਂ ਉਸ ਸਮੇਂ ਤੁਹਾਡੀ ਉਮਰ ਦੇ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ਸੀ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਹੁਣ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਾਲ ਬਾਅਦ, ਮੈਂ ਤੁਹਾਡੀ ਉਮਰ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੋਵਾਂਗਾ।” (ਕੀ ਇਹ ਦਿਲਚਸਪ ਨਹੀਂ ਹੈ?) ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਫਤਾਬ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਧੀ ਦੀ ਉਮਰ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਕ੍ਰਮਵਾਰ $s$ ਅਤੇ $t$ ਹੈ। ਤਾਂ, ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ:

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

ਸਮੀਕਰਣ (2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $s=3 t+6$।

$s$ ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ ਯਾਨੀ, } \quad 4 t=48 \text{, ਜੋ ਕਿ } t=12 \text{ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। } $

$t$ ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ s=3(12)+6=42 $

ਇਸਲਈ, ਅਫਤਾਬ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਧੀ ਦੀ ਉਮਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 42 ਅਤੇ 12 ਸਾਲ ਹੈ।

ਇਸ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕੇ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 6 : ਇੱਕ ਦੁਕਾਨ ਵਿੱਚ 2 ਪੈਂਸਿਲਾਂ ਅਤੇ 3 ਰਬੜਾਂ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹9 ਹੈ ਅਤੇ 4 ਪੈਂਸਿਲਾਂ ਅਤੇ 6 ਰਬੜਾਂ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹18 ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪੈਂਸਿਲ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਰਬੜ ਦੀ ਕੀਮਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਬਣਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੀ:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $x$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ $y$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਣ $2 x+3 y=9$ ਤੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

ਹੁਣ ਅਸੀਂ $x$ ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

ਇਹ ਕਥਨ $y$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ $y$ ਦਾ ਕੋਈ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ