3.1 పరిచయం

మీరు ఖచ్చితంగా క్రింది ఇచ్చిన పరిస్థితి వంటి పరిస్థితులను ఎదుర్కొని ఉండవచ్చు:

అఖిల తన గ్రామంలో జరిగే ఒక జాతరకు వెళ్లింది. ఆమె జెయింట్ వీల్ (పెద్ద చక్రం) మీద ప్రయాణాలు చేయడం మరియు హూప్లా (ఒక ఆట, దీనిలో మీరు ఒక స్టాల్‌లో ఉంచబడిన వస్తువులపై ఒక రింగ్‌ను విసిరి, ఆ రింగ్ ఏదైనా వస్తువును పూర్తిగా కప్పివేస్తే, మీరు దాన్ని పొందుతారు) ఆడటం ఆనందించాలనుకుంది. ఆమె హూప్లా ఆడిన సార్ల సంఖ్య, ఆమె జెయింట్ వీల్‌లో ప్రయాణించిన సార్ల సంఖ్యకు సగం. ప్రతి ప్రయాణం ఖర్చు ₹ 3, మరియు హూప్లా ఆట ఖర్చు ₹ 4 అయితే, ఆమె ₹ 20 ఖర్చు చేసిందని ఇచ్చినట్లయితే, ఆమె ఎన్ని ప్రయాణాలు చేసింది మరియు ఎన్ని సార్లు హూప్లా ఆడిందో మీరు ఎలా కనుగొంటారు?

బహుశా మీరు వివిధ సందర్భాలను పరిగణించి దీన్ని ప్రయత్నించవచ్చు. ఆమె ఒక ప్రయాణం చేస్తే, ఇది సాధ్యమేనా? రెండు ప్రయాణాలు చేయడం సాధ్యమేనా? మరియు అలా చేయవచ్చు. లేదా మీరు తరగతి IX లో నేర్చుకున్న జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి, అటువంటి పరిస్థితులను రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలుగా సూచించవచ్చు.

ఈ విధానాన్ని ప్రయత్నిద్దాం.

అఖిల చేసిన ప్రయాణాల సంఖ్యను $x$ ద్వారా మరియు ఆమె హూప్లా ఆడిన సార్ల సంఖ్యను $y$ ద్వారా సూచిద్దాం. ఇప్పుడు పరిస్థితిని రెండు సమీకరణాల ద్వారా సూచించవచ్చు:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

మనం ఈ జత సమీకరణాల సాధనలను కనుగొనగలమా? వీటిని కనుగొనడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి, వాటిని మనం ఈ అధ్యాయంలో అధ్యయనం చేస్తాము.

\missing

3.2 రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధన యొక్క గ్రాఫికల్ పద్ధతి

సాధన లేని రేఖీయ సమీకరణాల జతను, అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. రెండు చరరాశులలో ఉండే రేఖీయ సమీకరణాల జత, ఒక సాధనను కలిగి ఉంటే, దానిని సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. సమానమైన రేఖీయ సమీకరణాల జత అనంతమైన విభిన్న సాధారణ సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి జతను రెండు చరరాశులలో ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. ఆధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగతంగా ఉంటుందని గమనించండి.

రెండు చరరాశులలో ఉండే రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచించే రేఖల ప్రవర్తన మరియు సాధనల ఉనికిని ఇప్పుడు మనం సంగ్రహించవచ్చు:

(i) రేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించుకోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణాల జతకు ఒకే ఒక సాధన ఉంటుంది (సంగత సమీకరణాల జత).

(ii) రేఖలు సమాంతరంగా ఉండవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణాలకు సాధన ఉండదు (అసంగత సమీకరణాల జత).

(iii) రేఖలు ఏకీభవించి ఉండవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణాలకు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి [ఆధారిత (సంగత) సమీకరణాల జత].

క్రింది మూడు జతల సమీకరణాలను పరిగణించండి.

(i) $x-2 y=0$ మరియు $3 x+4 y-20=0 \quad$ (రేఖలు ఖండించుకుంటాయి)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ మరియు $4 x+6 y-18=0 \quad$ (రేఖలు ఏకీభవిస్తాయి)

(iii) $x+2 y-4=0$ మరియు $2 x+4 y-12=0 \quad$ (రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి)

ఇప్పుడు మూడు ఉదాహరణలలోనూ $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ మరియు $\dfrac{c_1}{c_2}$ విలువలను వ్రాసి, పోల్చుదాం. ఇక్కడ, $a_1, b_1, c_1$ మరియు $a_2, b_2, c_2$ సెక్షన్ 3.2 లో సాధారణ రూపంలో ఇచ్చిన సమీకరణాల గుణకాలను సూచిస్తాయి.

పట్టిక 3.1

పై పట్టిక నుండి, మీరు గమనించవచ్చు: రేఖలు సమీకరణాల ద్వారా సూచించబడితే

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{and}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) ఖండించుకుంటే, అప్పుడు $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$.

(ii) ఏకీభవిస్తే, అప్పుడు $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.

(iii) సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$.

వాస్తవానికి, ఏదైనా రేఖల జతకు విపర్యయం కూడా సత్యమే. మీరు మరికొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించి వాటిని సరిచూడవచ్చు.

ఇప్పుడు దీనిని వివరించడానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : క్రింది సమీకరణాల జత సంగతమైనదేనా గ్రాఫికల్‌గా తనిఖీ చేయండి. అయితే, వాటిని గ్రాఫికల్‌గా సాధించండి.

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

సాధన : సమీకరణాలు (1) మరియు (2) యొక్క గ్రాఫ్‌లను గీయండి. దీని కోసం, మనం ప్రతి సమీకరణానికి రెండు సాధనలను కనుగొంటాము, అవి పట్టిక 3.2 లో ఇవ్వబడ్డాయి.

పట్టిక 3.2

బిందువులు $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ మరియు $Q(3,-2)$ ను గ్రాఫ్ పేపర్‌పై గుర్తించి, ఆ బిందువులను కలిపి రేఖలు $A B$ మరియు $P Q$ ను Fig. 3.1 లో చూపినట్లుగా గీయండి.

రేఖలు $AB$ మరియు $PQ$ రెండింటికీ ఉమ్మడిగా ఉండే బిందువు B $(6,0)$ ఉందని మనం గమనించవచ్చు. కాబట్టి, రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధన $x=6$ మరియు $y=0$, అంటే, ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సంగతమైనది.

Fig. 3.1

ఉదాహరణ 2 : గ్రాఫికల్‌గా, క్రింది సమీకరణాల జతకు సాధన లేదు, ఏకైక సాధన లేదా అనంతమైన సాధనలు ఉన్నాయో కనుగొనండి:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

సాధన : సమీకరణం (2) ను $\dfrac{5}{3}$ తో గుణించగా, మనకు లభిస్తుంది

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

కానీ, ఇది సమీకరణం (1) వలె ఉంటుంది. అందువల్ల, సమీకరణాలు (1) మరియు (2) చే సూచించబడే రేఖలు ఏకీభవిస్తాయి. కాబట్టి, సమీకరణాలు (1) మరియు (2) కు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి.

గ్రాఫ్‌పై కొన్ని బిందువులను గుర్తించి, దాన్ని మీరే సరిచూడండి.

ఉదాహరణ 3 : చంపా కొన్ని ప్యాంటులు మరియు స్కర్టులు కొనడానికి ‘సేల్’ కు వెళ్లింది. ఆమె స్నేహితులు ఆమెతో ఒక్కొక్కటి ఎన్ని కొన్నావని అడిగినప్పుడు, ఆమె ఇలా జవాబిచ్చింది, “స్కర్ట్ల సంఖ్య, కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే రెండు తక్కువ. అలాగే, స్కర్ట్ల సంఖ్య, కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్యకు నాలుగు రెట్లు కంటే నాలుగు తక్కువ”. చంపా ఎన్ని ప్యాంటులు మరియు స్కర్టులు కొన్నదో ఆమె స్నేహితులకు కనుగొనడంలో సహాయపడండి.

సాధన : ప్యాంట్ల సంఖ్యను $x$ ద్వారా మరియు స్కర్ట్ల సంఖ్యను $y$ ద్వారా సూచిద్దాం. అప్పుడు ఏర్పడే సమీకరణాలు:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

సమీకరణాలు (1) మరియు (2) కోసం ప్రతి సమీకరణానికి రెండు సాధనలను కనుగొని వాటి గ్రాఫ్‌లను గీయండి. అవి పట్టిక 3.3 లో ఇవ్వబడ్డాయి.

పట్టిక 3.3

Fig. 3.2

బిందువులను గుర్తించి, వాటి గుండా వెళ్లే రేఖలను గీయండి, అవి సమీకరణాలను సూచిస్తాయి, Fig. 3.2 లో చూపినట్లుగా.

రెండు రేఖలు బిందువు $(1,0)$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి. కాబట్టి, $x=1, y=0$ అనేది రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అవసరమైన సాధన, అంటే, ఆమె కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య 1 మరియు ఆమె ఏ స్కర్ట్ కొనలేదు.

ఇచ్చిన సమస్య యొక్క షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయడం ద్వారా సమాధానాన్ని సరిచూడండి.

3.3 రేఖీయ సమీకరణాల జతను సాధించడానికి బీజగణిత పద్ధతులు

మునుపటి విభాగంలో, రేఖీయ సమీకరణాల జతను గ్రాఫికల్‌గా ఎలా సాధించాలో మనం చర్చించాము. రేఖీయ సమీకరణాల సాధనను సూచించే బిందువు పూర్ణాంకాలు కాని నిరూపకాలు కలిగి ఉన్నప్పుడు, ఉదాహరణకు $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, మొదలైనవి, గ్రాఫికల్ పద్ధతి సౌకర్యవంతంగా ఉండదు. అటువంటి నిరూపకాలను చదవడంలో తప్పులు జరిగే అవకాశం ఉంటుంది. సాధనను కనుగొనడానికి ఇంకేదైనా ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి ఉందా? అనేక బీజగణిత పద్ధతులు ఉన్నాయి, వాటిని ఇప్పుడు చర్చిద్దాం.

3.3.1 ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి:

మేము కొన్ని ఉదాహరణలను తీసుకొని ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిని వివరిస్తాము.

ఉదాహరణ 4 : క్రింది సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

సాధన :

దశ 1 : మనం సమీకరణాలలో ఏదైనా ఒకదాన్ని తీసుకొని, ఒక చరరాశిని మరొక దాని పరంగా వ్రాస్తాము. సమీకరణం (2) ను పరిగణిద్దాం:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

దశ 2 : $x$ విలువను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించండి. మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ i.e., } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ i.e., } & -29 y & =-19 \\ & \text{ Therefore, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

దశ 3 : $y$ యొక్క ఈ విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా, మనకు లభిస్తుంది

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

కాబట్టి, సాధన $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$.

సరిచూడడం : $x=\dfrac{49}{29}$ మరియు $y=\dfrac{19}{29}$ ను ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, సమీకరణాలు (1) మరియు (2) రెండూ సంతృప్తి చెందుతాయని మీరు సరిచూడవచ్చు.

ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిని మరింత స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని దశలవారీగా పరిగణిద్దాం:

దశ 1 : ఒక చరరాశి విలువను, ఉదాహరణకు $y$ ను మరొక చరరాశి పరంగా, అంటే $x$ ను, ఏ సమీకరణం నుండైనా, సౌకర్యవంతంగా ఉండేది నుండి కనుగొనండి.

దశ 2 : $y$ యొక్క ఈ విలువను మరొక సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి మరియు దానిని ఒక చరరాశిలో ఉండే సమీకరణంగా, అంటే $x$ పరంగా, తగ్గించండి, దానిని సాధించవచ్చు. కొన్నిసార్లు, ఉదాహరణలు 9 మరియు 10 లో క్రింద ఇచ్చినట్లుగా, మీకు చరరాశి లేని ప్రకటనలు లభించవచ్చు. ఈ ప్రకటన సత్యమైతే, రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంతమైన సాధనలు ఉన్నాయని మీరు నిర్ధారించవచ్చు. ప్రకటన అసత్యమైతే, అప్పుడు రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగతంగా ఉంటుంది.

దశ 3 : దశ 2 లో పొందిన $x$ (లేదా $y$) విలువను దశ 1 లో ఉపయోగించిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి, మరొక చరరాశి విలువను పొందండి.

గమనిక : రేఖీయ సమీకరణాల జతను సాధించడానికి మనం ఒక చరరాశి విలువను దానిని మరొక చరరాశి పరంగా వ్యక్తపరచి ప్రతిక్షేపించాము. అందుకే ఈ పద్ధతిని ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి అంటారు.

ఉదాహరణ 5 : క్రింది ప్రశ్నను సాధించండి-ఆఫ్తాబ్ తన కుమార్తెతో చెప్పాడు, “ఏడు సంవత్సరాల క్రితం, నేను అప్పుడు నీవు ఉన్న వయస్సుకు ఏడు రెట్లు వయస్సు కలిగి ఉన్నాను. అలాగే, ఇప్పటి నుండి మూడు సంవత్సరాల తర్వాత, నేను నీవు ఉండే వయస్సుకు మూడు రెట్లు వయస్సు కలిగి ఉంటాను.” (ఇది ఆసక్తికరంగా లేదా?) ఈ పరిస్థితిని బీజగణితంగా మరియు గ్రాఫికల్‌గా ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సూచించండి.

సాధన : $s$ మరియు $t$ లు వరుసగా ఆఫ్తాబ్ మరియు అతని కుమార్తె యొక్క వయస్సులు (సంవత్సరాలలో) అనుకుందాం. అప్పుడు, పరిస్థితిని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జత

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

సమీకరణం (2) ను ఉపయోగించి, మనకు $s=3 t+6$ లభిస్తుంది.

$s$ యొక్క ఈ విలువను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, మనకు లభిస్తుంది

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ i.e., } \quad 4 t=48 \text{, which gives } t=12 \text{. } $

$t$ యొక్క ఈ విలువను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించగా, మనకు లభిస్తుంది

$ s=3(12)+6=42 $

కాబట్టి, ఆఫ్తాబ్ మరియు అతని కుమార్తె వయస్సులు వరుసగా 42 మరియు 12 సంవత్సరాలు.

ఇచ్చిన సమస్యల షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయడం ద్వారా ఈ సమాధానాన్ని సరిచూడండి.

ఉదాహరణ 6 : ఒక దుకాణంలో 2 పెన్సిళ్లు మరియు 3 రబ్బరుల ధర ₹9 మరియు 4 పెన్సిళ్లు మరియు 6 రబ్బరుల ధర ₹18. ప్రతి పెన్సిల్ మరియు ప్రతి రబ్బరు ధరను కనుగొనండి.

సాధన : ఏర్పడిన రేఖీయ సమీకరణాల జత:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

మనం మొదట $x$ విలువను $y$ పరంగా సమీకరణం $2 x+3 y=9$ నుండి వ్యక్తపరుస్తాము, పొందడానికి

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

ఇప్పుడు మనం $x$ యొక్క ఈ విలువను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తాము, పొందడానికి

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

ఈ ప్రకటన $y$ యొక్క అన్ని విలువలకు సత్యం. అయితే, మనకు సాధనగా $y$ యొక్క నిర్దిష్ట విలువ లభించదు. కాబట్టి, మనం $x$ యొక్క నిర్దిష్ట విలువను పొందలేము. ఇచ్చిన రెండు సమీకరణాలు ఒకే విధంగా ఉన్నందున ఈ పరిస్థితి ఏర్పడింది. అందువల్ల, సమీకరణాలు (1) మరియు (2) కు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి. ఇచ్చిన పరిస్థితికి అనేక సాధారణ సాధనలు ఉన్నందున, మనం పెన్సిల్ మరియు రబ్బరు యొక్క ఏకైక ధరను కనుగొనలేము.

ఉదాహరణ 7 : రెండు రైలు పట్టాలు $x+2 y-4=0$ మరియు $2 x+4 y-12=0$ సమీకరణాల ద్వారా సూచించబడతాయి. రైలు పట్టాలు ఒకదానికొకటి దాటుతాయా?

సాధన : ఏర్పడిన రేఖీయ సమీకరణాల జత:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

మనం $x$ ను సమీకరణం (1) నుండి $y$ పరంగా వ్యక్తపరుస్తాము, పొందడానికి

$$ x=4-2 y $$

ఇప్పుడు, మనం $x$ యొక్క ఈ విలువను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తాము, పొందడానికి

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ i.e., } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ i.e., } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

ఇది ఒక అసత్య ప్రకటన.

కాబట్టి, సమీకరణాలకు ఉమ్మడి సాధన లేదు. అందువల్ల, రెండు రైలు పట్టాలు ఒకదానికొకటి దాటవు.

3.3.2 నిర్మూలన పద్ధతి

ఇప్పుడు ఒక చరరాశిని నిర్మూలించడం (అంటే, తొలగించడం) యొక్క మరొక పద్ధతిని పరిగణిద్దాం. ఇది కొన్నిసార్లు ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి కంటే మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ పద్ధతి ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం.

ఉదాహరణ 8 : ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి $9: 7$ మరియు వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి $4: 3$. వారిద్దరూ ప్రతి నెల ₹ 2000 ఆదా చేయగలిగితే, వారి నెలవారీ ఆదాయాలను కనుగొనండి.

సాధన : ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాలను ₹ $9 x$ మరియు ₹$ 7 x$ ల ద్వారా మరియు వారి ఖర్చులను ₹ $4 y$ మరియు ₹ $3 y$ ల ద్వారా వరుసగా సూచిద్దాం. అప్పుడు పరిస్థితిలో ఏర్పడే సమీకరణాలు:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

దశ 1 : $y$ గుణకాలను సమానం చేయడానికి సమీకరణం (1) ను 3 తో మరియు సమీకరణం (2) ను 4 తో గుణించండి. అప్పుడు మనకు సమీకరణాలు లభిస్తాయి:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

దశ 2 : y ను నిర్మూలించడానికి సమీకరణం (3) ను సమీకరణం (4) నుండి తీసివేయండి, ఎందుకంటే