3.1 પરિચય

તમે નીચે આપેલા જેવી પરિસ્થિતિઓનો સામનો કર્યો હશે:

અખિલા તેના ગામમાં એક મેળામાં ગઈ હતી. તે જાયંટ વ્હીલ પર સવારીનો આનંદ લેવા અને હૂપલા (એક રમત જેમાં તમે એક સ્ટોલ પર રાખેલી વસ્તુઓ પર એક રિંગ ફેંકો છો, અને જો રિંગ કોઈ પણ વસ્તુને સંપૂર્ણપણે ઢાંકી દે, તો તમે તે વસ્તુ મેળવો છો) રમવા માંગતી હતી. તેણે હૂપલા રમવાની સંખ્યા જાયંટ વ્હીલ પર તેણે કરેલી સવારીઓની સંખ્યા કરતાં અડધી છે. જો દરેક સવારીની કિંમત ₹ 3 હોય, અને હૂપલાની એક રમતની કિંમત ₹ 4 હોય, તો તેણે કેટલી સવારીઓ કરી અને કેટલી વાર હૂપલા રમ્યો, તે તમે કેવી રીતે શોધી શકો, જો તેનો ખર્ચ ₹ 20 હોય.

કદાચ તમે વિવિધ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈને પ્રયત્ન કરશો. જો તેણે એક સવારી કરી હોય, તો શું તે શક્ય છે? બે સવારીઓ કરવી શક્ય છે? અને આમ જ. અથવા તમે ધોરણ IX ના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને, આવી પરિસ્થિતિઓને બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણો તરીકે દર્શાવી શકો છો.

ચાલો આ અભિગમનો પ્રયત્ન કરીએ.

અખિલાએ કરેલી સવારીઓની સંખ્યાને $x$ દ્વારા દર્શાવો, અને તેણે હૂપલા રમવાની સંખ્યાને $y$ દ્વારા દર્શાવો. હવે પરિસ્થિતિને બે સમીકરણો દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

શું આપણે આ સમીકરણોની જોડીના ઉકેલ શોધી શકીએ? આને શોધવાની કેટલીક રીતો છે, જેનો અભ્યાસ આપણે આ પ્રકરણમાં કરીશું.

\missing

3.2 બે રેખીય સમીકરણોની જોડીના ઉકેલની ગ્રાફિકલ રીત

રેખીય સમીકરણોની જોડી જેનો કોઈ ઉકેલ ન હોય, તેને અસંગત રેખીય સમીકરણોની જોડી કહેવાય છે. બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણોની જોડી, જેનો એક ઉકેલ હોય, તેને સંગત રેખીય સમીકરણોની જોડી કહેવાય છે. રેખીય સમીકરણોની જોડી જે સમતુલ્ય હોય, તેના અનંત અને અલગ સામાન્ય ઉકેલો હોય છે. આવી જોડીને બે ચલોમાં આધારિત રેખીય સમીકરણોની જોડી કહેવાય છે. નોંધ લો કે આધારિત રેખીય સમીકરણોની જોડી હંમેશા સંગત હોય છે.

આપણે હવે બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણોની જોડીનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી રેખાઓનું વર્તન અને ઉકેલોનું અસ્તિત્વ નીચે પ્રમાણે સારાંશ આપી શકીએ છીએ:

(i) રેખાઓ એક બિંદુ પર છેદે શકે છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની જોડીનો એક અનન્ય ઉકેલ હોય છે (સંગત સમીકરણોની જોડી).

(ii) રેખાઓ સમાંતર હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોનો કોઈ ઉકેલ ન હોય (અસંગત સમીકરણોની જોડી).

(iii) રેખાઓ સંપાતી હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોના અનંત ઉકેલો હોય છે [આધારિત (સંગત) સમીકરણોની જોડી].

નીચેની ત્રણ સમીકરણોની જોડીઓ ધ્યાનમાં લો.

(i) $x-2 y=0$ અને $3 x+4 y-20=0 \quad$ (રેખાઓ છેદે છે)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ અને $4 x+6 y-18=0 \quad$ (રેખાઓ સંપાતી છે)

(iii) $x+2 y-4=0$ અને $2 x+4 y-12=0 \quad$ (રેખાઓ સમાંતર છે)

ચાલો હવે ત્રણેય ઉદાહરણોમાં $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ અને $\dfrac{c_1}{c_2}$ ના મૂલ્યો લખીએ અને તેમની તુલના કરીએ. અહીં, $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ વિભાગ 3.2 માં સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપેલા સમીકરણોના ગુણાંકો દર્શાવે છે.

કોષ્ટક 3.1

ઉપરના કોષ્ટક પરથી, તમે નોંધ શકો છો કે જો સમીકરણો દ્વારા રજૂ કરાયેલી રેખાઓ

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{અને}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) છેદતી હોય, તો $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$.

(ii) સંપાતી હોય, તો $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.

(iii) સમાંતર હોય, તો $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$.

હકીકતમાં, કોઈ પણ રેખાઓની જોડી માટે વિપરીત પણ સાચું છે. તમે તમારા દ્વારા કેટલાક વધુ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈને તેની ખાતરી કરી શકો છો.

ચાલો હવે તેને સમજાવવા માટે કેટલાક વધુ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1 : ગ્રાફિકલ રીતે તપાસો કે સમીકરણોની જોડી

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

સંગત છે કે નહીં. જો હોય, તો તેમને ગ્રાફિકલ રીતે ઉકેલો.

ઉકેલ : ચાલો આપણે સમીકરણો (1) અને (2) ના આલેખ દોરીએ. આ માટે, આપણે દરેક સમીકરણના બે ઉકેલો શોધીએ છીએ, જે કોષ્ટક 3.2 માં આપેલા છે.

કોષ્ટક 3.2

બિંદુઓ $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ અને $Q(3,-2)$ ને ગ્રાફ પેપર પર પ્લોટ કરો, અને બિંદુઓને જોડીને રેખાઓ $A B$ અને $P Q$ બનાવો જેમ કે આકૃતિ 3.1 માં દર્શાવેલ છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે બંને રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ માટે એક સામાન્ય બિંદુ B $(6,0)$ છે. તેથી, રેખીય સમીકરણોની જોડીનો ઉકેલ $x=6$ અને $y=0$ છે, એટલે કે, આપેલ સમીકરણોની જોડી સંગત છે.

આકૃતિ 3.1

ઉદાહરણ 2 : ગ્રાફિકલ રીતે, શોધો કે નીચેની સમીકરણોની જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી, અનન્ય ઉકેલ છે કે અનંત ઉકેલો છે:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

ઉકેલ : સમીકરણ (2) ને $\dfrac{5}{3}$ વડે ગુણતાં, આપણને મળે છે

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

પરંતુ, આ સમીકરણ (1) જેવું જ છે. તેથી સમીકરણો (1) અને (2) દ્વારા રજૂ કરાયેલી રેખાઓ સંપાતી છે. તેથી, સમીકરણો (1) અને (2) ના અનંત ઉકેલો છે.

ગ્રાફ પર થોડા બિંદુઓ પ્લોટ કરો અને તેની ખાતરી તમારા દ્વારા કરો.

ઉદાહરણ 3 : ચંપા કેટલાક પેન્ટ અને સ્કર્ટ ખરીદવા માટે ‘સેલ’ પર ગઈ હતી. જ્યારે તેના મિત્રોએ તેને પૂછ્યું કે તેણે દરેકમાંથી કેટલા ખરીદ્યા છે, ત્યારે તેણે જવાબ આપ્યો, “સ્કર્ટની સંખ્યા ખરીદેલ પેન્ટની સંખ્યાના બમણા કરતાં બે ઓછી છે. તથા, સ્કર્ટની સંખ્યા ખરીદેલ પેન્ટની સંખ્યાના ચાર ગણા કરતાં ચાર ઓછી છે”. ચંપાએ કેટલા પેન્ટ અને સ્કર્ટ ખરીદ્યા તે શોધવામાં તેના મિત્રોની મદદ કરો.

ઉકેલ : ચાલો પેન્ટની સંખ્યાને $x$ દ્વારા અને સ્કર્ટની સંખ્યાને $y$ દ્વારા દર્શાવીએ. તો રચાયેલા સમીકરણો છે :

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

ચાલો દરેક સમીકરણોના બે ઉકેલો શોધીને સમીકરણો (1) અને (2) ના આલેખ દોરીએ. તે કોષ્ટક 3.3 માં આપેલા છે.

કોષ્ટક 3.3

આકૃતિ 3.2

બિંદુઓને પ્લોટ કરો અને તેમને જોડતી રેખાઓ દોરો જે સમીકરણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમ કે આકૃતિ 3.2 માં દર્શાવેલ છે.

બે રેખાઓ બિંદુ $(1,0)$ પર છેદે છે. તેથી, $x=1, y=0$ એ રેખીય સમીકરણોની જોડીનો જરૂરી ઉકેલ છે, એટલે કે, તેણે ખરીદેલ પેન્ટની સંખ્યા 1 છે અને તેણે કોઈ સ્કર્ટ ખરીદ્યા નથી.

આપેલ સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે કે નહીં તે તપાસીને જવાબ ચકાસો.

3.3 બે રેખીય સમીકરણોની જોડીને ઉકેલવાની બીજગણિતીય રીતો

પાછલા વિભાગમાં, આપણે ચર્ચા કરી હતી કે રેખીય સમીકરણોની જોડીને ગ્રાફિકલ રીતે કેવી રીતે ઉકેલવી. જ્યારે રેખીય સમીકરણોના ઉકેલને રજૂ કરતા બિંદુના અખંડિત નિયામકો હોય, જેમ કે $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, વગેરે, ત્યારે ગ્રાફિકલ રીત અનુકૂળ નથી. આવા નિયામકો વાંચતી વખતે ભૂલો થવાની સંપૂર્ણ શક્યતા હોય છે. શું ઉકેલ શોધવાની કોઈ વૈકલ્પિક રીત છે? ત્યાં અનેક બીજગણિતીય રીતો છે, જેની ચર્ચા આપણે હવે કરીશું.

3.3.1 અવેજીકરણની રીત:

અમે કેટલાક ઉદાહરણો લઈને અવેજીકરણની રીત સમજાવીશું.

ઉદાહરણ 4 : નીચેની સમીકરણોની જોડીને અવેજીકરણની રીતે ઉકેલો:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

ઉકેલ :

પગલું 1 : આપણે કોઈ પણ એક સમીકરણ લઈએ અને એક ચલને બીજા ચલના પદમાં લખીએ. ચાલો સમીકરણ (2) ધ્યાનમાં લઈએ:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

પગલું 2 : $x$ નું મૂલ્ય સમીકરણ (1) માં મૂકો. આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ એટલે કે, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ એટલે કે, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ તેથી, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

પગલું 3 : $y$ નું આ મૂલ્ય સમીકરણ (3) માં મૂકતાં, આપણને મળે છે

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

તેથી, ઉકેલ $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$ છે.

ચકાસણી : $x=\dfrac{49}{29}$ અને $y=\dfrac{19}{29}$ મૂકીને, તમે ચકાસી શકો છો કે બંને સમીકરણો (1) અને (2) સંતોષાય છે.

અવેજીકરણની રીતને વધુ સ્પષ્ટપણે સમજવા માટે, ચાલો તેને પગલાવાર ધ્યાનમાં લઈએ:

પગલું 1 : એક ચલનું મૂલ્ય શોધો, ધારો કે $y$ ને બીજા ચલના પદમાં, એટલે કે $x$, કોઈ પણ સમીકરણમાંથી, જે અનુકૂળ હોય.

પગલું 2 : $y$ નું આ મૂલ્ય બીજા સમીકરણમાં મૂકો, અને તેને એક ચલમાં સમીકરણમાં ઘટાડો, એટલે કે $x$ ના પદમાં, જેને ઉકેલી શકાય. કેટલીકવાર, જેમ કે નીચેના ઉદાહરણ 9 અને 10 માં, તમને કોઈ ચલ વિનાના વિધાનો મળી શકે છે. જો આ વિધાન સાચું હોય, તો તમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકો છો કે રેખીય સમીકરણોની જોડીના અનંત ઉકેલો છે. જો વિધાન ખોટું હોય, તો રેખીય સમીકરણોની જોડી અસંગત છે.

પગલું 3 : પગલું 2 માં મેળવેલ $x$ (અથવા $y$) નું મૂલ્ય પગલું 1 માં ઉપયોગમાં લેવાયેલ સમીકરણમાં મૂકો જેથી બીજા ચલનું મૂલ્ય મળે.

ટિપ્પણી : રેખીય સમીકરણોની જોડીને ઉકેલવા માટે આપણે એક ચલનું મૂલ્ય બીજા ચલના પદમાં વ્યક્ત કરીને મૂક્યું છે. તેથી જ આ રીતને અવેજીકરણની રીત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 5 : નીચેનો પ્રશ્ન ઉકેલો-અફતાબ તેની દીકરીને કહે છે, “સાત વર્ષ પહેલાં, હું તમારા ત્યારના ઉંમરના સાત ગણો હતો. તથા, હવેથી ત્રણ વર્ષ પછી, હું તમારા ત્યારના ઉંમરના ત્રણ ગણો હઈશ.” (શું આ રસપ્રદ નથી?) આ પરિસ્થિતિને બીજગણિતીય અને ગ્રાફિકલ રીતે અવેજીકરણની રીતે દર્શાવો.

ઉકેલ : ધારો કે $s$ અને $t$ અનુક્રમે અફતાબ અને તેની દીકરીની ઉંમર (વર્ષમાં) છે. તો, પરિસ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી રેખીય સમીકરણોની જોડી છે

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

સમીકરણ (2) નો ઉપયોગ કરીને, આપણને $s=3 t+6$ મળે છે.

$s$ નું આ મૂલ્ય સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, આપણને મળે છે

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ એટલે કે, } \quad 4 t=48 \text{, જે આપે છે } t=12 \text{. } $

$t$ નું આ મૂલ્ય સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, આપણને મળે છે

$ s=3(12)+6=42 $

તેથી, અફતાબ અને તેની દીકરી અનુક્રમે 42 અને 12 વર્ષના છે.

આ જવાબ આપેલ સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે કે નહીં તે તપાસીને ચકાસો.

ઉદાહરણ 6 : એક દુકાનમાં 2 પેંસિલ અને 3 રબરની કિંમત ₹9 છે અને 4 પેંસિલ અને 6 રબરની કિંમત ₹18 છે. દરેક પેંસિલ અને દરેક રબરની કિંમત શોધો.

ઉકેલ : રચાયેલી રેખીય સમીકરણોની જોડી હતી:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

આપણે પહેલા $x$ નું મૂલ્ય $y$ ના પદમાં સમીકરણ $2 x+3 y=9$ માંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ, જેથી મળે

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

હવે આપણે $x$ નું આ મૂલ્ય સમીકરણ (2) માં મૂકીએ છીએ, જેથી મળે

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

આ વિધાન $y$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે. જો કે, આપણને $y$ નું કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય ઉકેલ તરીકે મળતું નથી. તેથી, આપણે $x$ નું ચોક્કસ મૂલ્ય મેળવી શકતા નથી. આ પરિસ્થિતિ એટલા માટે ઊભી થઈ છે કારણ કે બંને આપેલ સમીકરણો સમાન છે. તેથી, સમીકરણો (1) અને (2) ના અનંત ઉકેલો છે. આપણે પેંસિલ અને રબરની અનન્ય કિંમત શોધી શકતા નથી, કારણ કે આપેલ પરિસ્થિતિ માટે ઘણા બધા સામાન્ય ઉકેલો છે.

ઉદાહરણ 7 : બે રેલોને સમીકરણો $x+2 y-4=0$ અને $2 x+4 y-12=0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે. શું રેલો એકબીજાને છેદશે?

ઉકેલ : રચાયેલી રેખીય સમીકરણોની જોડી હતી:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

આપણે $x$ ને $y$ ના પદમાં સમીકરણ (1) માંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ, જેથી મળે

$$ x=4-2 y $$

હવે, આપણે $x$ નું આ મૂલ્ય સમીકરણ (2) માં મૂકીએ છીએ, જેથી મળે

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ એટલે કે, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ એટલે કે, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

જે એક ખોટું વિધાન છે.

તેથી, સમીકરણોનો કોઈ સામાન્ય ઉકેલ નથી. તેથી, બે રેલો એકબીજાને છેદશે નહીં.

3.3.2 લોપની રીત

હવે ચાલો એક ચલને દૂર કરવાની (એટલે કે, લોપવાની) બીજી રીત ધ્યાનમાં લઈએ. આ કેટલીકવાર અવેજીકરણની રીત કરતાં વધુ અનુકૂળ હોય છે. ચાલો જોઈએ કે આ રીત કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

ઉદાહરણ 8 : બે વ્યક્તિઓની આવકનો ગુણોત્તર $9: 7$ છે અને તેમના ખર્ચનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે. જો તેમાંથી દરેક મહિનાના ₹ 2000 બચત કરવામાં સફળ થાય, તો તેમની માસિક આવક શોધો.

ઉકેલ : ચાલો બે વ્યક્તિઓની આવકને અનુક્રમે ₹ $9 x$ અને ₹$ 7 x$ દ્વારા અને તેમના ખર્ચને અનુક્રમે ₹ $4 y$ અને ₹ $3 y$ દ્વારા દર્શાવીએ. તો પરિસ્થિતિમાં રચાયેલા સમીકરણો આ પ્રમાણે છે:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

પગલું 1 : $y$ ના ગુણાંકો સમાન બનાવવા માટે સમીકરણ (1) ને 3 વડે અને સમીકરણ (2) ને 4 વડે ગુણો. તો આપણને સમીકરણો મળે છે:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

પગલું 2 : y ને દૂર કરવા માટે સમીકરણ (4) માંથી સમીકરણ (3) બાદ કરો, કારણ કે $y$ ના ગુણાંકો સમાન છે. તેથી, આપણને મળે છે

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ એટલે કે, } \quad x=2000 $

પગલું 3 : $x$ નું આ મૂલ્ય (1) માં મૂકતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

તેથી, સમીકરણોનો ઉકેલ $x=2000, y=4000$ છે. તેથી, વ્યક્તિઓની માસિક આવક અનુક્રમે ₹ 18,000 અને ₹ 14,000 છે.

ચકાસણી : $18000: 14000=9: 7$. તથા, તેમના ખર