৩.১ ভূমিকা

তলত দিয়া দৰে অৱস্থাৰ সৈতে তোমালোকৰ পৰিচয় হোৱাটো নিশ্চয়ঃ

আখিলাই তাইৰ গাঁৱৰ এখন মেলালৈ গৈছিল। তাই জায়েণ্ট হুইলত উঠি ঘূৰি ফুৰিবলৈ আৰু হুপলা খেলিবলৈ বিচাৰিছিল (এই খেলটোত এটা ষ্টলত ৰখা বস্তুবোৰৰ ওপৰত এটা ৰিং দলিয়াই দিয়া হয়, আৰু যদি ৰিংটোৱে কোনো বস্তুক সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকি পেলায়, তেন্তে সেইটো তোমাৰ হয়)। তাই হুপলা খেলাৰ সংখ্যা জায়েণ্ট হুইলত উঠি ঘূৰি ফুৰাৰ সংখ্যাৰ আধা। যদি প্ৰতিটো ঘূৰণৰ দাম ₹ 3 হয়, আৰু হুপলা খেল এটাৰ দাম ₹ 4 হয়, তেন্তে তাই কিমানবাৰ জায়েণ্ট হুইলত উঠিছিল আৰু কিমানবাৰ হুপলা খেলিছিল কেনেকৈ উলিয়াবা, যদি তাই ₹ 20 খৰচ কৰিছিল বুলি ধৰা হয়।

সম্ভৱতঃ তুমি বিভিন্ন ক্ষেত্ৰ বিবেচনা কৰি চাবা। যদি তাই এবাৰ উঠিছিল, সম্ভৱনে? দুবাৰ উঠাটো সম্ভৱনে? ইত্যাদি। বা নৱম শ্ৰেণীৰ জ্ঞান ব্যৱহাৰ কৰি, এনে অৱস্থাক দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰা।

এই পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি চাওঁ আহক।

আখিলাই জায়েণ্ট হুইলত উঠাৰ সংখ্যাক $x$ৰে আৰু তাই হুপলা খেলাৰ সংখ্যাক $y$ৰে সূচোৱা হ’ল। এতিয়া অৱস্থাটো দুটা সমীকৰণৰ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰিব পাৰি:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

এই যোৰ সমীকৰণৰ সমাধান আমি উলিয়াব পাৰোনে? ইয়াৰ কেইবাটাও উপায় আছে, যিবোৰ আমি এই অধ্যায়ত অধ্যয়ন কৰিম।

\missing

৩.২ দুটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধানৰ লেখ পদ্ধতি

দুটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ যি কোনো সমাধান নথকাক অসংগত যোৰ ৰৈখিক সমীকৰণ বোলে। দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ যি সমাধান আছে, তাক সংগত যোৰ ৰৈখিক সমীকৰণ বোলে। ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ যি সমতুল্য, তাৰ অসংখ্য পৃথক সাধাৰণ সমাধান থাকে। এনে যোৰক দুটা চলকযুক্ত নিৰ্ভৰশীল যোৰ ৰৈখিক সমীকৰণ বোলে। মনত ৰাখিবা যে নিৰ্ভৰশীল যোৰ ৰৈখিক সমীকৰণ সদায় সংগত হয়।

এতিয়া আমি দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা ৰেখাবোৰৰ আচৰণ আৰু সমাধানৰ অস্তিত্ব তলত দিয়া ধৰণে সাৰাংশ কৰিব পাৰো:

(i) ৰেখাবোৰ এটা বিন্দুত ছেদ কৰিব পাৰে। এই ক্ষেত্ৰত, সমীকৰণৰ যোৰৰ একক সমাধান থাকে (সংগত যোৰ সমীকৰণ)।

(ii) ৰেখাবোৰ সমান্তৰাল হ’ব পাৰে। এই ক্ষেত্ৰত, সমীকৰণৰ কোনো সমাধান নাথাকে (অসংগত যোৰ সমীকৰণ)।

(iii) ৰেখাবোৰ একে ৰেখা হ’ব পাৰে। এই ক্ষেত্ৰত, সমীকৰণৰ অসংখ্য সমাধান থাকে [নিৰ্ভৰশীল (সংগত) যোৰ সমীকৰণ]।

তলত দিয়া তিনিটা যোৰ সমীকৰণ বিবেচনা কৰা।

(i) $x-2 y=0$ আৰু $3 x+4 y-20=0 \quad$ (ৰেখাবোৰে ছেদ কৰে)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ আৰু $4 x+6 y-18=0 \quad$ (ৰেখাবোৰ একে হয়)

(iii) $x+2 y-4=0$ আৰু $2 x+4 y-12=0 \quad$ (ৰেখাবোৰ সমান্তৰাল হয়)

এতিয়া আমি ওপৰৰ তিনিওটা উদাহৰণত $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ আৰু $\dfrac{c_1}{c_2}$ৰ মানবোৰ লিখি তুলনা কৰো। ইয়াত, $a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$ই ৩.২ খণ্ডত সাধাৰণ ৰূপত দিয়া সমীকৰণবোৰৰ সহগক সূচায়।

তালিকা ৩.১

ওপৰৰ তালিকাৰ পৰা তুমি লক্ষ্য কৰিব পাৰা যে যদি ৰেখাবোৰে সমীকৰণ

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{আৰু}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয় তেন্তে

(i) ছেদ কৰিলে, $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$।

(ii) একে ৰেখা হ’লে, $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$।

(iii) সমান্তৰাল হ’লে, $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

প্ৰকৃততে, যিকোনো যোৰ ৰেখাৰ বাবে ইয়াৰ বিপৰীতটোও সত্য। তুমি নিজেই আৰু কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰি ইয়াক সত্যাপন কৰিব পাৰা।

এতিয়া ইয়াক বুজাবলৈ আৰু কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰো।

উদাহৰণ ১ : লেখৰ সহায়ত পৰীক্ষা কৰা যে সমীকৰণৰ যোৰ

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

সংগতনে। যদি হয়, তেন্তে লেখৰ সহায়ত ইহঁতৰ সমাধান কৰা।

সমাধান : সমীকৰণ (১) আৰু (২)ৰ লেখ অংকন কৰো। ইয়াৰ বাবে আমি প্ৰতিটো সমীকৰণৰ দুটা সমাধান উলিয়াও, যিবোৰ তালিকা ৩.২ত দিয়া হৈছে।

তালিকা ৩.২

বিন্দুবোৰ $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ আৰু $Q(3,-2)$ লেখ কাগজত অংকন কৰা, আৰু বিন্দুবোৰ সংযোগ কৰি ৰেখা $A B$ আৰু $P Q$ গঠন কৰা যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.১ত দেখুওৱা হৈছে।

আমি লক্ষ্য কৰো যে B $(6,0)$ বিন্দুটো ৰেখা $AB$ আৰু $PQ$ দুয়োটাতে সাধাৰণ। গতিকে, ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ সমাধান হ’ল $x=6$ আৰু $y=0$, অৰ্থাৎ, দিয়া যোৰ সমীকৰণ সংগত।

চিত্ৰ ৩.১

উদাহৰণ ২ : লেখৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰা যে তলৰ যোৰ সমীকৰণৰ কোনো সমাধান নাই, একক সমাধান আছে নে অসংখ্য সমাধান আছে:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

সমাধান : সমীকৰণ (২)ক $\dfrac{5}{3}$ৰে পূৰণ কৰিলে, আমি পাওঁ

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

কিন্তু, এইটো সমীকৰণ (১)ৰ সৈতে একে। গতিকে সমীকৰণ (১) আৰু (২)ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা ৰেখাবোৰ একে ৰেখা। সেয়েহে, সমীকৰণ (১) আৰু (২)ৰ অসংখ্য সমাধান আছে।

কেইটামান বিন্দু লেখত অংকন কৰি নিজেই সত্যাপন কৰা।

উদাহৰণ ৩ : চম্পা কিছু পেণ্ট আৰু স্কাৰ্ট কিনিবলৈ এখন ‘ছেল’লৈ গৈছিল। তাইৰ বন্ধুসকলে তাইক কিমানটো কিনিলে সুধিলত, তাই উত্তৰ দিলে, “স্কাৰ্টৰ সংখ্যা কিনা পেণ্টৰ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ দুটা কম। লগতে, স্কাৰ্টৰ সংখ্যা কিনা পেণ্টৰ সংখ্যাৰ চাৰিগুণতকৈ চাৰিটা কম”। তাইৰ বন্ধুসকলক চম্পাই কিমানটো পেণ্ট আৰু স্কাৰ্ট কিনিলে উলিয়াবলৈ সহায় কৰা।

সমাধান : পেণ্টৰ সংখ্যাক $x$ৰে আৰু স্কাৰ্টৰ সংখ্যাক $y$ৰে সূচোৱা হ’ল। তেন্তে গঠন হোৱা সমীকৰণবোৰ হ’ল:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

সমীকৰণ (১) আৰু (২)ৰ প্ৰতিটোৰ দুটা সমাধান উলিয়াই ইহঁতৰ লেখ অংকন কৰো। ইহঁত তালিকা ৩.৩ত দিয়া হৈছে।

তালিকা ৩.৩

চিত্ৰ ৩.২

বিন্দুবোৰ অংকন কৰা আৰু সমীকৰণবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ সেইবোৰৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাবোৰ অংকন কৰা, যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.২ত দেখুওৱা হৈছে।

দুয়োডাল ৰেখাই $(1,0)$ বিন্দুত ছেদ কৰিছে। গতিকে, $x=1, y=0$ হ’ল ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ প্ৰয়োজনীয় সমাধান, অৰ্থাৎ, তাই কিনা পেণ্টৰ সংখ্যা ১ আৰু তাই কোনো স্কাৰ্ট কিনা নাই।

উত্তৰটো দিয়া সমস্যাৰ অৱস্থা সন্তুষ্ট কৰেনে পৰীক্ষা কৰি সত্যাপন কৰা।

৩.৩ দুটা ৰৈখিক সমীকৰণ সমাধানৰ বীজগণিতীয় পদ্ধতি

পূৰ্বৱৰ্তী খণ্ডত, আমি দুটা ৰৈখিক সমীকৰণ কেনেকৈ লেখৰ সহায়ত সমাধান কৰিব পাৰি আলোচনা কৰিছিলো। যেতিয়া ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বিন্দুটোৰ স্থানাংক অখণ্ড সংখ্যা নহয়, যেনে $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, ইত্যাদি, তেতিয়া লেখ পদ্ধতি সুবিধাজনক নহয়। এনে স্থানাংক পঢ়োতে ভুল হোৱাৰ সম্ভাৱনা থাকে। সমাধান উলিওৱাৰ আন কোনো বিকল্প পদ্ধতি আছে নেকি? কেইবাটাও বীজগণিতীয় পদ্ধতি আছে, যিবোৰ আমি এতিয়া আলোচনা কৰিম।

৩.৩.১ প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি:

আমি কেইটামান উদাহৰণ লৈ প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰ ব্যাখ্যা দিম।

উদাহৰণ ৪ : প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে তলৰ যোৰ সমীকৰণ সমাধান কৰা:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

সমাধান :

ধাপ ১ : আমি যিকোনো এটা সমীকৰণ লও আৰু এটা চলক আনটো চলকৰ সহায়ত লিখো। সমীকৰণ (২) বিবেচনা কৰো:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

ধাপ ২ : $x$ৰ মান সমীকৰণ (১)ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰো। আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ অৰ্থাৎ, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ অৰ্থাৎ, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ গতিকে, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

ধাপ ৩ : $y$ৰ এই মান সমীকৰণ (৩)ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰিলে, আমি পাওঁ

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

গতিকে, সমাধান হ’ল $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$।

সত্যাপন : $x=\dfrac{49}{29}$ আৰু $y=\dfrac{19}{29}$ প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি তুমি সত্যাপন কৰিব পাৰা যে সমীকৰণ (১) আৰু (২) দুয়োটা সন্তুষ্ট হয়।

প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি অধিক স্পষ্টকৈ বুজিবলৈ, ধাপে ধাপে ইয়াক বিবেচনা কৰো:

ধাপ ১ : এটা চলকৰ মান, ধৰা $y$, আনটো চলকৰ সহায়ত, অৰ্থাৎ, $x$, যিকোনো সমীকৰণৰ পৰা উলিওৱা, যিটো সুবিধাজনক।

ধাপ ২ : $y$ৰ এই মান আনটো সমীকৰণত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰা, আৰু ইয়াক এটা চলকযুক্ত সমীকৰণলৈ, অৰ্থাৎ $x$ৰ সহায়ত, ৰূপান্তৰিত কৰা, যিটো সমাধান কৰিব পাৰি। কেতিয়াবা, তলৰ উদাহৰণ ৯ আৰু ১০ৰ দৰে, তুমি চলক নথকা উক্তি পাব পাৰা। যদি এই উক্তিটো সত্য হয়, তেন্তে তুমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰা যে ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ অসংখ্য সমাধান আছে। যদি উক্তিটো অসত্য হয়, তেন্তে ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত।

ধাপ ৩ : ধাপ ২ত উলিওৱা $x$ (বা $y$)ৰ মান ধাপ ১ত ব্যৱহাৰ কৰা সমীকৰণত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি আনটো চলকৰ মান উলিওৱা।

টোকা : আমি এটা চলকৰ মান আনটো চলকৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰি প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো সমাধান কৰিছো। সেয়েহে পদ্ধতিটোক প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি বুলি জনা যায়।

উদাহৰণ ৫ : তলৰ প্ৰশ্নটো সমাধান কৰা-আফতাবে তেওঁৰ জীয়েকক কয়, “সাতবছৰ পূৰ্বে, মই তেতিয়া তোমাৰ সাতগুণ বয়সৰ আছিলো। লগতে, এতিয়াৰ পৰা তিনিবছৰ পিছত, মই তোমাৰ তিনিগুণ বয়সৰ হ’ম।” (এইটো আকৰ্ষণীয় নহয়নে?) এই অৱস্থাক বীজগণিতীয়ভাৱে আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে লেখৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰা।

সমাধান : ধৰা হ’ল $s$ আৰু $t$ হ’ল ক্ৰমে আফতাব আৰু তেওঁৰ জীয়েকৰ বয়স (বছৰত)। তেন্তে, অৱস্থাটো প্ৰকাশ কৰা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো হ’ল

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

সমীকৰণ (২) ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ $s=3 t+6$।

$s$ৰ এই মান সমীকৰণ (১)ত বহুৱালে, আমি পাওঁ

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ অৰ্থাৎ, } \quad 4 t=48 \text{, যাৰ ফলত } t=12 \text{। } $

$t$ৰ এই মান সমীকৰণ (২)ত বহুৱালে, আমি পাওঁ

$ s=3(12)+6=42 $

গতিকে, আফতাব আৰু তেওঁৰ জীয়েকৰ বয়স ক্ৰমে ৪২ আৰু ১২ বছৰ।

দিয়া সমস্যাৰ অৱস্থা সন্তুষ্ট কৰেনে পৰীক্ষা কৰি উত্তৰটো সত্যাপন কৰা।

উদাহৰণ ৬ : এখন দোকানত ২টা পেঞ্চিল আৰু ৩টা ৰবৰৰ দাম ₹৯ আৰু ৪টা পেঞ্চিল আৰু ৬টা ৰবৰৰ দাম ₹১৮। প্ৰতিটো পেঞ্চিল আৰু প্ৰতিটো ৰবৰৰ দাম নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো আছিল:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

আমি প্ৰথমে $x$ৰ মান $y$ৰ সহায়ত সমীকৰণ $2 x+3 y=9$ৰ পৰা প্ৰকাশ কৰো, পাওঁ

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

এতিয়া আমি $x$ৰ এই মান সমীকৰণ (২)ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰো, পাওঁ

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

এই উক্তিটো $y$ৰ সকলো মানৰ বাবে সত্য। অৱশ্যে, আমি $y$ৰ এক নিৰ্দিষ্ট মান সমাধান হিচাপে নাপাও। গতিকে, আমি $x$ৰ এক নিৰ্দিষ্ট মান উলিয়াব নোৱাৰো। এই অৱস্থাটো উঠিছে কাৰণ দিয়া দুয়োটা সমীকৰণ একে। সেয়েহে, সমীকৰণ (১) আৰু (২)ৰ অসংখ্য সমাধান আছে। আমি পেঞ্চিল আৰু ৰবৰ এটাৰ একক দাম উলিয়াব নোৱাৰো, কাৰণ দিয়া অৱস্থাৰ বাবে বহুতো সাধাৰণ সমাধান আছে।

উদাহৰণ ৭ : দুটা ৰেলৰ লাইনক সমীকৰণ $x+2 y-4=0$ আৰু $2 x+4 y-12=0$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। ৰেলৰ লাইন দুডালে ইটোৱে সিটোক ছেদ কৰিবনে?

সমাধান : গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো আছিল:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

আমি $x$ক $y$ৰ সহায়ত সমীকৰণ (১)ৰ পৰা প্ৰকাশ কৰো, পাওঁ

$$ x=4-2 y $$

এতিয়া, আমি $x$ৰ এই মান সমীকৰণ (২)ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰো, পাওঁ

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ অৰ্থাৎ, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ অৰ্থাৎ, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

যিটো এটা অসত্য উক্তি।

গতিকে, সমীকৰণবোৰৰ কোনো সাধাৰণ সমাধান নাই। সেয়েহে, ৰেলৰ লাইন দুডালে ইটোৱে সিটোক ছেদ নকৰে।

৩.৩.২ নিৰসন পদ্ধতি

এতিয়া চলক এটা নিৰসন কৰাৰ (অৰ্থাৎ, আঁতৰোৱাৰ) আন এটা পদ্ধতি বিবেচনা কৰো। এইটো কেতিয়াবা প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিতকৈ অধিক সুবিধাজনক। এই পদ্ধতিটো কেনেকৈ কাম কৰে চাওঁ আহক।

উদাহৰণ ৮ : দুজন ব্যক্তিৰ আয়ৰ অনুপাত $9: 7$ আৰু তেওঁলোকৰ ব্যয়ৰ অনুপাত $4: 3$। যদি প্ৰতিজনে প্ৰতি মাহত ₹ ২০০০ সঞ্চয় কৰিবলৈ সক্ষম হয়, তেন্তে তেওঁলোকৰ মাহিলী আয় নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : দুজন ব্যক্তিৰ আয়ক ক্ৰমে ₹ $9 x$ আৰু ₹$ 7 x$ৰে আৰু তেওঁলোকৰ ব্যয়ক ক্ৰমে ₹ $4 y$ আৰু ₹ $3 y$ৰে সূচোৱা হ’ল। তেন্তে অৱস্থাটোত গঠন হোৱা সমীকৰণবোৰ হ’ল:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

ধাপ ১ : $y$ৰ সহগ সমান কৰিবলৈ সমীকৰণ (১)ক ৩ৰে আৰু সমীকৰণ (২)ক ৪ৰে পূৰণ কৰো। তেতিয়া আমি সমীকৰণবোৰ পাওঁ:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

ধাপ ২ : y নিৰসন কৰিবলৈ সমীকৰণ (৪)ৰ পৰা সমীকৰণ (৩) বিয়োগ কৰা, কাৰণ $y$ৰ সহগ একে। গতিকে, আমি পাওঁ

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ অৰ্থাৎ, } \quad x=2000 $

ধাপ ৩ : $x$ৰ এই মান (১)ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰিলে, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

গতিকে, সমীকৰণবোৰৰ সমাধান হ’ল $x=2000, y=4000$। সেয়েহে, ব্যক্তি দুজনৰ মাহিলী আয় ক্ৰমে ₹ ১৮,০০০ আৰু ₹ ১৪,০০০।

সত্যাপন : $18000: 14000=9: 7$। লগতে, তেওঁলোকৰ ব্যয়ৰ অনুপাত $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

টোকা :

১. ওপৰৰ উদাহৰণত ব্যৱহাৰ কৰা পদ্ধতিটোক নিৰসন পদ্ধতি বোলে, কাৰণ আমি প্ৰথমে এটা চলক নিৰসন কৰো, যাতে এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ পাওঁ।

ওপৰৰ উদাহৰণত, আমি $y$ নিৰসন কৰিছিলো। আমি $x$ও নিৰসন কৰিব পাৰিলোহেঁতেন। সেইদৰে কৰি চোৱা।

২. তুমি এই সমস্যাটো সমাধান কৰিবলৈ প্ৰতিষ্ঠাপন, বা লেখ পদ্ধতিও ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰিলাহেঁতেন। তেনেকৈ কৰি চোৱা, আৰু কোনটো পদ্ধতি অধিক সুবিধাজনক চোৱা।

এতিয়া নিৰসন পদ্ধতিৰ এই ধাপবোৰ লিখি থওঁ আহক:

ধাপ ১ : প্ৰথমে দুয়োটা সমীকৰণক কিছু উপযুক্ত অশূন্য ধ্ৰুৱকৰে পূৰণ কৰি এটা চলকৰ (হয় $x$ বা $y$) সহগ সংখ্যাগতভাৱে সমান কৰা।

ধাপ ২ : তাৰ পিছত এটা সমীকৰণ আনটোৰ পৰা যোগ বা বিয়োগ কৰা যাতে এটা চলক নিৰসন হয়। যদি তুমি এটা চলকযুক্ত সমীকৰণ পাওঁ, ধাপ ৩লৈ যোৱা।

যদি ধাপ ২ত, আমি চলক নথকা এটা সত্য উক্তি পাওঁ, তেন্তে মূল যোৰ সমীকৰণৰ অসংখ্য সমাধান আছে।

যদি ধাপ ২ত, আমি চলক নথকা এটা অসত্য উক্তি পাওঁ, তেন্তে মূল যোৰ সমীকৰণৰ কোনো সমাধান নাই, অৰ্থাৎ ই অসংগত।

ধাপ ৩ : এনেদৰে পোৱা এটা চলকযুক্ত ($x$ বা $y$) সমীকৰণটো সমাধান কৰি ইয়াৰ মান উলিওৱা।

ধাপ ৪ : $x$ (বা $y$)ৰ এই মান মূল যোৰ সমীকৰণৰ যিকোনো এটাত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি আনটো চলকৰ মান উলিওৱা।

এতিয়া ইয়াক বুজাবলৈ, আমি আৰু কেইটামান উদাহৰণ সমাধান কৰিম।

উদাহৰণ ৯ : নিৰসন পদ্ধতিৰে তলৰ যোৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ সকলো সম্ভাব্য সমাধান উলিওৱা:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

সমাধান :

ধাপ ১ : $x$ৰ সহগ সমান কৰিবলৈ সমীকৰণ (১)ক ২ৰে আৰু সমীকৰণ (২)ক ১ৰে পূৰণ কৰো। তেতিয়া আমি সমীকৰণবোৰ পাওঁ:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{4} \end{align*} $$

ধাপ ২ : সমীকৰণ (৪)ৰ পৰা সমীকৰণ (৩) বিয়োগ কৰিলে,

$ (4 x-4 x)+(6 y-6 y)=16-7 $

$ \text{ অৰ্থাৎ, } \quad 0=9 \text{, যিটো এটা অসত্য উক্তি। } $

গতিকে, যোৰ সমীকৰণৰ কোনো সমাধান নাই।

উদাহৰণ ১০ : এটা দুই-অংকীয় সংখ্যা আৰু ইয়াৰ অংকবোৰ উল্টাই লিখিলে পোৱা সংখ্যাটোৰ যোগফল ৬৬। যদি সংখ্যাটোৰ অংকবোৰৰ পাৰ্থক্য ২ হয়, তেন্তে সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা। এনে কিমানটা সংখ্যা আছে?

সমাধান : ধৰা হ’ল প্ৰথম সংখ্যাটোৰ দহকৰ আৰু এককৰ অংক ক্ৰমে $x$ আৰু $y$। গতিকে, প্ৰথম সংখ্যাটো বিস্তৃত ৰূপত $10 x+y$ হিচাপে লিখিব পাৰি (উদাহৰণস্বৰূপে, $56=10(5)+6$)।

অংকবোৰ উল্টাই দিলে, $x$ এককৰ অংক হয় আৰু $y$ দহকৰ অংক হয়। এই সংখ্যাটো বিস্তৃত চিহ্নত হ’ল $10 y+x$ (উদাহৰণস্বৰূপে, ৫৬ উল্টাই দিলে, আমি পাওঁ $65=10(6)+5$)।

দিয়া অৱস্থা অনুসৰি,

$$(10 x + y) + (10 y + x) = 66 $$

$$ \text{ i.e., } 11(x+y) =66 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad \quad x+y =6 \tag{1} $$

আমাক ইয়াও দিয়া আছে যে অংকবোৰৰ পাৰ্থক্য ২, গতিকে,

$$ \text{either}\quad x-y=2 \tag{2} $$

$$ \text{or}\quad y-x=2\tag{3} $$

যদি $x-y=2$ হয়, তেন্তে (১) আৰু (২)ক নিৰসন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰিলে, আমি পাওঁ $x=4$ আৰু $y=2$।

এই ক্ষেত্ৰত, আমি সংখ্যাটো ৪২ পাওঁ।

যদি $y-x=2$ হয়, তেন্তে (১) আৰু (৩)ক নিৰসন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰিলে, আমি পাওঁ $x=2$ আৰু $y=4$।

এই ক্ষেত্ৰত, আমি সংখ্যাটো ২৪ পাওঁ।

গতিকে, এনে দুটা সংখ্যা আছে ৪২ আৰু ২৪।

সত্যাপন : ইয়াত $42+24=66$ আৰু $4-2=2$। লগতে $24+42=66$ আৰু $4-2=2$।

৩.৪ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, তুমি তলৰ বিষয়বোৰ অধ্যয়ন কৰিছা:

১. দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰক তলত দিয়াবোৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব আৰু সমাধান কৰিব পাৰি:

(i) লেখ পদ্ধতি

(ii) বীজগণিতীয় পদ্ধতি

২. লেখ পদ্ধতি :

দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ লেখ দুডাল ৰেখাৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়।

(i) যদি ৰেখাবোৰে এটা বিন্দুত ছেদ কৰে, তেন্তে সেই বিন্দুটোৱে দুয়োটা সমীকৰণৰ একক সমাধান দিয়ে। এই ক্ষেত্ৰত, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত।

(ii) যদি ৰেখাবোৰ একে হয়, তেন্তে অসংখ্য সমাধান থাকে - ৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱে এটা সমাধান হয়। এই ক্ষেত্ৰত, সমীকৰণৰ যোৰটো নিৰ্ভৰশীল (সংগত)।

(iii) যদি ৰেখাবোৰ সমান্তৰাল হয়, তেন্তে সমীকৰণৰ যোৰটোৰ কোনো সমাধান নাথাকে। এই ক্ষেত্ৰত, সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত।

৩. বীজগণিতীয় পদ্ধতি : আমি ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ এটাৰ সমাধান(সমূহ) উলিওৱাৰ বাবে তলৰ পদ্ধতিবোৰ আলোচনা কৰিছো:

(i) প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি

(ii) নিৰসন পদ্ধতি

\missing

৪. যদি ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ এটা $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ আৰু $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়, তেন্তে তলৰ অৱস্থাবোৰ উঠিব পাৰে:

(i) $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_1}$ : এই ক্ষেত্ৰত, ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত।

(ii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ : এই ক্ষেত্ৰত, ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত।

(iii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ : এই ক্ষেত্ৰত, ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো নিৰ্ভৰশীল আৰু সংগত।

৫. কেইবাটাও অৱস্থা আছে যিবোৰ গাণিতিকভাৱে দুটা সমীকৰণৰ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰিব পাৰি যিবোৰ আৰম্ভণিতে ৰ