9.1 تعارف

ہم نے سیکھا ہے کہ کسی بند مستوی شکل کے لیے، اس کے گرداگرد فاصلہ اس کا محیط ہوتا ہے اور اس کے ذریعے ڈھکا ہوا علاقہ اس کا رقبہ ہوتا ہے۔ ہم نے مختلف مستوی اشکال جیسے مثلث، مستطیل، دائرے وغیرہ کے رقبے اور محیط معلوم کیے ہیں۔ ہم نے مستطیل اشکال میں راستوں یا کناروں کا رقبہ معلوم کرنا بھی سیکھا ہے۔

اس باب میں، ہم دیگر بند مستوی اشکال جیسے چوکوروں کے محیط اور رقبے سے متعلق مسائل حل کرنے کی کوشش کریں گے۔

ہم ٹھوس اشیاء جیسے مکعب، مکعب نما اور اسطوانہ کے سطحی رقبے اور حجم کے بارے میں بھی سیکھیں گے۔

9.2 کثیرالاضلاع کا رقبہ

ہم ایک چوکور کو مثلثوں میں تقسیم کرتے ہیں اور اس کا رقبہ معلوم کرتے ہیں۔ اسی طرح کے طریقے کسی کثیرالاضلاع کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ ایک مخمس کے لیے درج ذیل مشاہدہ کریں: (شکل 9.1، 9.2)

شکل 9.1

دو قطر $AC$ اور $AD$ تعمیر کر کے، مخمس $A B C D E$ تین حصوں میں تقسیم ہو جاتا ہے۔ لہٰذا، رقبہ $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ کا رقبہ + $\triangle ACD+$ کا رقبہ + $\triangle ADE$ کا رقبہ

شکل 9.1

ایک قطر $AD$ اور اس پر دو عمود $BF$ اور $CG$ تعمیر کر کے، مخمس $ABCDE$ چار حصوں میں تقسیم ہو جاتا ہے۔ لہٰذا، $ABCDE=$ کا رقبہ = قائمہ زاویہ $\triangle AFB+$ کا رقبہ + ذوذنبیہ $BFGC+$ کا رقبہ + قائمہ زاویہ $\Delta CGD+$ کا رقبہ + $\triangle AED$ کا رقبہ۔ (ذوذنبیہ BFGC کی متوازی اضلاع کی شناخت کریں۔)

کوشش کریں

(i) درج ذیل کثیرالاضلاع (شکل 9.3) کو اس کے رقبے معلوم کرنے کے لیے حصوں (مثلث اور ذوذنبیہ) میں تقسیم کریں۔

FI کثیرالاضلاع EFGH کا ایک قطر ہے۔

NQ کثیرالاضلاع MNOPQR کا ایک قطر ہے۔

(ii) کثیرالاضلاع $ABCDE$ کو درج ذیل طور پر تقسیم کیا گیا ہے (شکل 9.4)۔ اس کا رقبہ معلوم کریں اگر $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ اور عمود $BF=2 cm$، $CH=3 cm, FG=2.5 cm$۔

کثیرالاضلاع $ABCDE=$ کا رقبہ = $\triangle AFB+\ldots$ کا رقبہ۔

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ کا رقبہ

ذوذنبیہ $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ کا رقبہ

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

شکل 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ کا رقبہ = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ کا رقبہ۔ لہٰذا، کثیرالاضلاع $ABCDE=$ کا رقبہ…

(iii) کثیرالاضلاع MNOPQR کا رقبہ معلوم کریں (شکل 9.5) اگر $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$، $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ اور $RB$ قطر MP پر عمود ہیں۔

شکل 9.5

مثال 1 : ایک ذوذنبیہ نما میدان کا رقبہ $480 m^{2}$ ہے، دو متوازی اضلاع کے درمیان فاصلہ $15 m$ ہے اور ایک متوازی ضلع $20 m$ ہے۔ دوسری متوازی ضلع معلوم کریں۔

حل: ذوذنبیہ کی ایک متوازی ضلع $a=20 m$ ہے، دوسری متوازی ضلع کو $b$ مان لیں، ارتفاع $h=15 m$۔

ذوذنبیہ کا دیا گیا رقبہ $=480 m^{2}$۔

$ \begin{aligned} \text{ ذوذنبیہ کا رقبہ } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ لہٰذا } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ یا } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ یا } 64 & =20+b \text{ یا } b=44\text{ m} \end{aligned} $

لہٰذا ذوذنبیہ کی دوسری متوازی ضلع $44\ \text{m}$ ہے۔

مثال 2 : ایک معین کا رقبہ $240 cm^{2}$ ہے اور اس کا ایک قطر $16 cm$ ہے۔ دوسرا قطر معلوم کریں۔

ایک قطر کی لمبائی کو $d_1=16 cm$ مان لیں

اور $\quad\quad$ دوسرے قطر کی لمبائی $=d_2$

$\quad\quad$ معین کا رقبہ $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

لہٰذا، $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

لہٰذا دوسرے قطر کی لمبائی $30 cm$ ہے۔

ایک مسدس MNOPQR ہے جس کا ضلع $5\ cm$ ہے (شکل 9.6)۔ امان اور رِدھیما نے اسے دو مختلف طریقوں سے تقسیم کیا (شکل 9.7)۔

اس مسدس کا رقبہ دونوں طریقوں سے معلوم کریں۔

حل: امان کا طریقہ:

شکل 9.7

چونکہ یہ ایک منتظم مسدس ہے، NQ مسدس کو دو متطابق ذوذنبیوں میں تقسیم کرتا ہے۔ آپ کاغذ موڑ کر اس کی تصدیق کر سکتے ہیں (شکل 9.8)۔

اب ذوذنبیہ MNQR کا رقبہ $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$۔

شکل 9.9 لہٰذا مسدس MNOPQR کا رقبہ $=2 \times 32=64\ cm^{2}$۔

رِدھیما کا طریقہ:

$\Delta MNO$ اور $\Delta RPQ$ متطابق مثلث ہیں جن کے متناظر ارتفاعات $3 cm$ ہیں (شکل 9.9)۔

آپ ان دو مثلثوں کو کاٹ کر ایک دوسرے پر رکھ کر اس کی تصدیق کر سکتے ہیں۔

$ \text{ مثلث MNO کا رقبہ }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ مثلث RPQ کا رقبہ } $

مستطیل MOPR کا رقبہ $=8 \times 5=40 cm^{2}$۔

اب، مسدس MNOPQR کا رقبہ $=40+12+12=64\ cm^{2}$۔

مشق 9.1

1. ایک میز کی اوپری سطح کی شکل ایک ذوذنبیہ ہے۔ اس کا رقبہ معلوم کریں اگر اس کی متوازی اضلاع $1 m$ اور $1.2 m$ ہیں اور ان کے درمیان عمودی فاصلہ $0.8 m$ ہے۔

2. ایک ذوذنبیہ کا رقبہ $34 , \text{cm}^{2}$ ہے اور اس کی ایک متوازی ضلع کی لمبائی

$10 cm$ ہے اور اس کی ارتفاع $4 cm$ ہے۔ دوسری متوازی ضلع کی لمبائی معلوم کریں۔

3. ایک ذوذنبیہ نما میدان کی باڑ $A B C D$ کی لمبائی $120 m$ ہے۔ اگر $B C=48 m, C D=17 m$ اور $A D=40 m$، تو اس میدان کا رقبہ معلوم کریں۔ ضلع $AB$ متوازی اضلاع $AD$ اور $BC$ پر عمود ہے۔

4. ایک چوکور نما میدان کا قطر $24 m$ ہے اور باقی ماندہ مقابل رؤس سے اس پر گرائے گئے عمود $8 m$ اور $13 m$ ہیں۔ میدان کا رقبہ معلوم کریں۔

5. ایک معین کے قطر $7.5 cm$ اور $12 cm$ ہیں۔ اس کا رقبہ معلوم کریں۔

6. ایک معین کا رقبہ معلوم کریں جس کا ضلع $5 cm$ ہے اور جس کی ارتفاع $4.8 cm$ ہے۔ اگر اس کا ایک قطر $8 cm$ لمبا ہے، تو دوسرے قطر کی لمبائی معلوم کریں۔

7. ایک عمارت کے فرش میں 3000 ٹائلیں ہیں جو معین نما ہیں اور ہر ایک کے قطر $45 cm$ اور $30 cm$ لمبائی میں ہیں۔ فرش پر پالش کرنے کی کل لاگت معلوم کریں، اگر فی $m^{2}$ لاگت ₹ 4 ہے۔

8. موہن ایک ذوذنبیہ نما میدان خریدنا چاہتا ہے۔ دریا کے ساتھ والا اس کا ضلع سڑک کے ساتھ والے ضلع کے متوازی ہے اور اس سے دوگنا ہے۔ اگر اس میدان کا رقبہ $10500 m^{2}$ ہے اور دو متوازی اضلاع کے درمیان عمودی فاصلہ

9. ایک اُبھرے ہوئے چبوترے کی اوپری سطح کی شکل ایک منتظم ثمانیہ ہے جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ ثمانی سطح کا رقبہ معلوم کریں۔

10. ایک مخمس نما پارک ہے جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔

اس کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے، جیوتی اور کویتا نے اسے دو مختلف طریقوں سے تقسیم کیا۔

اس پارک کا رقبہ دونوں طریقوں سے معلوم کریں۔ کیا آپ اس کا رقبہ معلوم کرنے کا کوئی اور طریقہ تجویز کر سکتے ہیں؟

11. متصل تصویر فریم کا خاکہ بیرونی طول و عرض $=24 cm \times 28 cm$ اور اندرونی طول و عرض $16 cm \times 20 cm$ رکھتا ہے۔ فریم کے ہر حصے کا رقبہ معلوم کریں، اگر ہر حصے کی چوڑائی یکساں ہے۔

9.3 ٹھوس اشکال

اپنی پچھلی جماعتوں میں آپ نے پڑھا تھا کہ دو بُعدی اشکال کو تین بُعدی اشکال کے چہروں کے طور پر شناخت کیا جا سکتا ہے۔ ان ٹھوس اشکال کا مشاہدہ کریں جن پر ہم نے اب تک بحث کی ہے (شکل 9.10)۔

شکل 9.10

مشاہدہ کریں کہ کچھ اشکال کے دو یا دو سے زیادہ یکساں (متطابق) چہرے ہیں۔ ان کے نام بتائیں۔ کس ٹھوس شکل کے تمام چہرے متطابق ہیں؟

یہ کریں

صابن، کھلونے، پیسٹ، نمکین وغیرہ اکثر مکعب نما، مکعبی یا اسطوانی ڈبوں میں پیکنگ آتے ہیں۔ ایسے ڈبے جمع کریں (شکل 9.11)۔

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{تمام چھ چہرے مستطیل ہیں،} \\ \text{اور مقابل چہرے} \ \text{یکساں ہیں۔ لہٰذا تین} \ \text{جوڑے یکساں چہروں کے ہیں۔} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ایک خمیدہ سطح} \\ \text{اور دو دائروی} \\ \text{چہرے جو} \\ \text{یکساں ہیں۔} \\ \hline \end{array} $

اب ایک وقت میں ایک قسم کا ڈبہ لیں۔ اس کے تمام چہرے کاٹ کر نکالیں۔ ہر چہرے کی شکل کا مشاہدہ کریں اور ڈبے کے یکساں چہروں کی تعداد انہیں ایک دوسرے پر رکھ کر معلوم کریں۔ اپنے مشاہدات لکھیں۔

شکل 9.12

(یہ ایک قائمہ دائروی اسطوانہ ہے)

کیا آپ نے درج ذیل بات محسوس کی:

اسطوانہ کے متطابق دائروی چہرے ہیں جو ایک دوسرے کے متوازی ہیں (شکل 9.12)۔ مشاہدہ کریں کہ دائروی چہروں کے مراکز کو ملانے والا خط قطعہ قاعدے پر عمود ہے۔ ایسے اسطوانوں کو قائمہ دائروی اسطوانہ کہا جاتا ہے۔ ہم صرف اس قسم کے اسطوانوں کا مطالعہ کرنے جا رہے ہیں، حالانکہ دیگر اقسام کے اسطوانے بھی ہیں (شکل 9.13)۔

شکل 9.13

(یہ قائمہ دائروی اسطوانہ نہیں ہے)

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

یہاں دکھائی گئی ٹھوس شکل کو اسطوانہ کہنا کیوں غلط ہے؟

9.4 مکعب، مکعب نما اور اسطوانہ کا سطحی رقبہ

عمران، مونیکا اور جسپال بالترتیب ایک مکعب نما، مکعبی اور ایک اسطوانی ڈبے کو یکساں ارتفاع کے ساتھ رنگ رہے ہیں (شکل 9.4)۔

انہوں نے یہ معلوم کرنے کی کوشش کی کہ کس نے زیادہ رقبہ رنگا ہے۔ ہری نے تجویز دی کہ ہر ڈبے کا سطحی رقبہ معلوم کرنے سے انہیں اس کا پتہ لگانے میں مدد ملے گی۔

کل سطحی رقبہ معلوم کرنے کے لیے، ہر چہرے کا رقبہ معلوم کریں اور پھر جمع کریں۔ کسی ٹھوس کا سطحی رقبہ اس کے چہروں کے رقبوں کا مجموعہ ہوتا ہے۔ مزید وضاحت کے لیے، ہم ہر شکل کو ایک ایک کر کے لیتے ہیں۔

9.4.1 مکعب نما

فرض کریں آپ ایک مکعب نما ڈبہ کھول کر اسے چپٹا کر کے بچھاتے ہیں (شکل 9.15)۔ ہم نیچے دکھائی گئی ایک جال دیکھ سکتے ہیں (شکل 9.16)۔

ہر ضلع کی پیمائش لکھیں۔ آپ جانتے ہیں کہ ایک مکعب نما میں یکساں چہروں کے تین جوڑے ہوتے ہیں۔ ہر چہرے کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے آپ کون سی عبارت استعمال کر سکتے ہیں؟

ڈبے کے تمام چہروں کا کل رقبہ معلوم کریں۔

شکل 9.16 ہم دیکھتے ہیں کہ ایک مکعب نما کا کل سطحی رقبہ = رقبہ I + رقبہ II + رقبہ III + رقبہ IV + رقبہ $V+$ + رقبہ $VI$

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

لہٰذا کل سطحی رقبہ $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ جہاں $h, l$، $b$ اور $20 cm, 15 cm$ بالترتیب مکعب نما کی ارتفاع، لمبائی اور چوڑائی ہیں۔

فرض کریں اوپر دکھائے گئے ڈبے کی ارتفاع، لمبائی اور چوڑائی بالترتیب $10 cm$، $2(h \times l + h \times b)$ اور $2 h(l + b)$ ہیں۔

$ \begin{alignedat} \text{ تب کل سطحی رقبہ } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

کوشش کریں

درج ذیل مکعب نما اشکال کا کل سطحی رقبہ معلوم کریں (شکل 9.17):

شکل 9.17

• کناری دیواریں (اوپر اور نیچے کے علاوہ چہرے) مکعب نما کا جانبی سطحی رقبہ بناتی ہیں۔ مثال کے طور پر، جس کمرے میں آپ بیٹھے ہیں اس کی چاروں دیواروں کا کل رقبہ اس کمرے کا جانبی سطحی رقبہ ہے (شکل 9.18)۔ لہٰذا، ایک مکعب نما کا جانبی سطحی رقبہ $+2 \times$ یا $l$ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔

یہ کریں

(i) ایک مکعب نما ڈسٹر (جو آپ کے استاد کلاس روم میں استعمال کرتے ہیں) کے جانبی سطح کو بھوری کاغذ کی پٹی سے ڈھکیں، اس طرح کہ یہ سطح کے گرد بالکل فٹ بیٹھ جائے۔ کاغذ ہٹائیں۔ کاغذ کا رقبہ ناپیں۔ کیا یہ ڈسٹر کا جانبی سطحی رقبہ ہے؟

(ii) اپنے کلاس روم کی لمبائی، چوڑائی اور ارتفاع ناپیں اور حساب لگائیں

(a) کمرے کا کل سطحی رقبہ، کھڑکیوں اور دروازوں کے رقبے کو نظر انداز کرتے ہوئے۔

(b) اس کمرے کا جانبی سطحی رقبہ۔

(c) کمرے کا وہ کل رقبہ جس پر سفیدی کی جانی ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ مکعب نما کا کل سطحی رقبہ = جانبی سطحی رقبہ $l$ قاعدے کا رقبہ؟

2. اگر ہم ایک مکعب نما (شکل 9.19(i)) کی قاعدے کی لمبائی اور ارتفاع کو آپس میں بدل کر دوسرا مکعب نما (شکل 9.19(ii)) حاصل کریں، تو کیا اس کا جانبی سطحی رقبہ بدل جائے گا؟

(i)

9.4.2 مکعب

یہ کریں

مربع کاغذ پر دکھائی گئی ڈیزائن کو بنائیں اور اسے کاٹ لیں [شکل 9.20(i)]۔ (آپ جانتے ہیں کہ یہ ڈیزائن ایک مکعب کا جال ہے۔ اسے لکیروں کے ساتھ موڑیں [شکل 9.20(ii)] اور کناروں کو ٹیپ سے جوڑ کر ایک مکعب بنائیں [شکل 9.20(iii)])۔

شکل 9.20

(i)

شکل 9.21

(a) مکعب کی لمبائی، چوڑائی اور ارتفاع کیا ہے؟ مشاہدہ کریں کہ مکعب کے تمام چہرے مربع نما ہوتے ہیں۔ یہ مکعب کی لمبائی، ارتفاع اور چوڑائی کو برابر بنا دیتا ہے (شکل 9.21(i))۔

(b) ہر چہرے کا رقبہ لکھیں۔ کیا وہ برابر ہیں؟

(c) اس مکعب کا کل سطحی رقبہ لکھیں۔

(d) اگر مکعب کا ہر ضلع $6 l^{2}$ ہے، تو ہر چہرے کا رقبہ کیا ہوگا؟ (شکل 9.21(ii))۔ کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ ضلع $b$ والے مکعب کا کل سطحی رقبہ $6 b^{2}$ ہے؟

کوشش کریں

مکعب A کا سطحی رقبہ اور مکعب B کا جانبی سطحی رقبہ معلوم کریں (شکل 9.22)۔

شکل 9.22

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

(i) دو مکعب جن میں سے ہر کا ضلع $14 b^{2}$ ہے، کو جوڑ کر ایک مکعب نما بنایا گیا ہے (شکل 9.23)۔ اس مکعب نما کا سطحی رقبہ کیا ہے؟ کیا یہ $(r)$ ہے؟ کیا تین ایسے مکعبوں کو جوڑ کر بنائے گئے مکعب نما کا سطحی رقبہ $(l)$ ہے؟ کیوں؟

شکل 9.23

(ii) آپ 12 برابر لمبائی کے مکعبوں کو سب سے چھوٹے سطحی رقبے والا مکعب نما بنانے کے لیے کس طرح ترتیب دیں گے؟

(iii) جب ایک مکعب کے سطحی رقبے پر رنگ کیا جاتا ہے، پھر مکعب کو یکساں طول و عرض کے 64 چھوٹے مکعبوں میں کاٹا جاتا ہے (شکل 9.24)۔

کتنے مکعبوں کا کوئی چہرہ رنگا ہوا نہیں ہے؟ 1 چہرہ رنگا ہوا؟ 2 چہرے رنگے ہوئے؟ 3 چہرے رنگے ہوئے؟

شکل 9.24

9.4.3 اسطوانے

ہمارے مشاہدے میں آنے والے زیادہ تر اسطوانے قائمہ دائروی اسطوانے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک ٹین، گول ستون، ٹیوب لائٹس، پانی کی پائپ وغیرہ۔

یہ کریں

(i) ایک اسطوانی کین یا ڈبہ لیں اور گراف پیپر پر کین کے قاعدے کا نقشہ بنائیں اور اسے کاٹ لیں [شکل 9.25(i)]۔ دوسرا گراف پیپر اس طرح لیں کہ اس کی چوڑائی کین کی ارتفاع کے برابر ہو۔ پٹی کو کین کے گرد لپیٹیں اس طرح کہ یہ کین کے گرد بالکل فٹ بیٹھ جائے (فاضل کاغذ ہٹا دیں) [شکل 9.25(ii)]۔

ٹکڑوں کو [شکل 9.25(iii)] ایک ساتھ ٹیپ سے جوڑ کر ایک اسطوانہ بنائیں [شکل 9.25(iv)]۔ کین کے گرد لپیٹنے والے کاغذ کی شکل کیا ہے؟

یقیناً یہ مستطیل نما شکل میں ہے۔ جب آپ اس اسطوانہ کے حصوں کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں، تو مستطیل پٹی کی لمبائی دائرے کے محیط کے برابر ہوتی ہے۔ دائروی قاعدے کا رداس $(h)$، مستطیل پٹی کی لمبائی $2 \pi r=$ اور چوڑائی $2 \pi r h$ ریکارڈ کریں۔ کیا $2 \pi r(r+h)$ پٹی کی لمبائی ہے۔ چیک کریں کہ کیا مستطیل پٹی کا رقبہ $2 \pi r(r+h)$ ہے۔ گنتی کریں کہ اسطوانہ بنانے کے لیے مربع کاغذ کے کتنے مربع یونٹ استعمال ہوئے ہیں۔

چیک کریں کہ کیا یہ گنتی تقریباً $\pi$ کے برابر ہے۔

(ii) ہم اسطوانہ کے سطحی رقبے کے تعلق $\frac{22}{7}$ کو دوسرے طریقے سے اخذ کر سکتے ہیں۔ تصور کریں کہ ایک اسطوانہ کو درج ذیل طور پر کاٹا جاتا ہے (شکل 9.26)۔

شکل 9.26

نوٹ: ہم $2 \pi r h$ کو $=\pi r^{2}+2 \pi r h$ مانتے ہیں جب تک کہ کچھ اور بیان نہ کیا جائے۔

اسطوانہ کا جانبی (یا خمیدہ) سطحی رقبہ $\times$ ہے۔

اسطوانہ کا کل سطحی رقبہ $\times$

$ =2 \pi r^{2}+2 \pi r h \text{ یا } 2 \pi r(r+h) $

کوشش کریں

درج ذیل اسطوانوں کا کل سطحی رقبہ معلوم کریں (شکل 9.27)

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

نوٹ کریں کہ اسطوانہ کا جانبی سطحی رقبہ قاعدے کا محیط $80 cm \times 30 cm \times 40 cm$ اسطوانہ کی ارتفاع ہے۔ کیا ہم مکعب نما کا جانبی سطحی رقبہ قاعدے کا محیط $=l=80 cm$ مکعب نما کی ارتفاع کے طور پر لکھ سکتے ہیں؟

مثال 4 : ایک ایکویریم ایک مکعب نما کی شکل میں ہے جس کے بیرونی طول و عرض $=b=30 cm$ ہیں۔ قاعدہ، کناری چہرے اور پچھلے چہرے کو رنگین کاغذ سے ڈھکنا ہے۔ درکار کاغذ کا رقبہ معلوم کریں؟

حل: ایکویریم کی لمبائی $=h=40 cm$

ایکویریم کی چوڑائی $=l \times b=80 \times 30=2400 cm^{2}$

ایکویریم کی ارتفاع $=b \times h=30 \times 40=1200 cm^{2}$

قاعدے کا رقبہ $=l \times h=80 \times 40=3200 cm^{2}$

کناری چہرے کا رقبہ $=$

پچھلے چہرے کا رقبہ $8000 cm^{2}$

درکار رقبہ $12 m \times 8 m \times 4 m$ = قاعدے کا رقبہ + کناری چہرے کا رقبہ

$ \begin{alignedat} & +(2 \times \text{ ایک کناری چہرے کا رقبہ }) \\ = & 2400+3200+(2 \times 1200)=8000 cm^{2} \end{aligned} $

لہٰذا رنگین کاغذ کا درکار رقبہ $m^{2}$ ہے۔

مثال 5 : ایک مکعب نما کمرے کے اندرونی طول و عرض $=l=12\ \text{m}$ ہیں۔ کمرے کی چاروں دیواروں پر سفیدی کرنے کی کل لاگت معلوم کریں، اگر سفیدی کی لاگت ₹ 5 فی $=b=8 m$ ہے۔ اگر کمرے کی چھت پر بھی سفیدی کی جائے تو سفیدی کی لاگت کیا ہوگی؟

کمرے کی لمبائی کو $=h=4 m$ مان لیں

کمرے کی چوڑائی $=$

کمرے کی ارتفاع $\times$

کمرے کی چاروں دیواروں کا رقبہ $m^{2}=₹ 5$ = قاعدے کا محیط $=₹(160 \times 5)=₹ 800$ کمرے کی ارتفاع

$ \begin{aligned} & =2(l+b) \times h=2(12+8) \times 4 \\ & =2 \times 20 \times 4=160 m^{2} \end{aligned} $

فی $12 \times 8=96 m^{2}$ سفیدی کی لاگت

لہٰذا کمرے کی چاروں دیواروں پر سفیدی کی کل لاگت $=₹(96 \times 5)=₹ 480$

چھت کا رقبہ $=₹(800+480)=₹ 1280$ ہے

چھت پر سفیدی کی لاگت $28 cm$

لہٰذا سفیدی کی کل لاگت $4 m$

مثال 6 : ایک عمارت میں 24 اسطوانی ستون ہیں۔ ہر ستون کا رداس $₹ 8$ ہے اور ارتفاع $m^{2}$ ہے۔ تمام ستونوں کے خمیدہ سطحی رقبے پر رنگائی کی کل لاگت فی $r=28 cm=0.28 m$ کی شرح سے $=2 \pi r h$ معلوم کریں۔

حل: اسطوانی ستون کا رداس، $=2 \times \frac{22}{7} \times 0.28 \times 4=7.04 m^{2}$

$ \text{ ارتفاع، } h=4 m $

اسطوانہ کا خمیدہ سطحی رقبہ $=7.04 \times 24=168.96 m^{2}$

ایک ستون کا خمیدہ سطحی رقبہ $1 m^{2}=₹ 8$

24 ایسے ستونوں کا خمیدہ سطحی رقبہ $1689.6 m^{2}=1689.6 \times 8=₹ 13516.8$ $7\ cm$ کے رقبے پر رنگائی کی لاگت

لہٰذا، $968 cm^{2}$ پر رنگائی کی لاگت

مثال 7 : ایک اسطوانہ کی ارتفاع معلوم کریں جس کا رداس $=h$ ہے اور کل سطحی رقبہ $=r=7 cm$ ہے۔

حل: اسطوانہ کی ارتفاع کو $=2 \pi r(h+r)$ مان لیں، رداس $15 cm$

کل سطحی رقبہ $80 cm \times$ یعنی،

$ \begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times(7+h) & =968 \\ h & =15 cm \end{aligned} $

ل