9.1 प्रस्तावना

आपण शिकलो आहोत की, एका बंद समतल आकृतीसाठी, परिमिती म्हणजे तिच्या सीमेभोवतीचे अंतर आणि तिचे क्षेत्रफळ म्हणजे तिने व्यापलेला प्रदेश. आपण त्रिकोण, आयत, वर्तुळ इत्यादी विविध समतल आकृत्यांचे क्षेत्रफळ आणि परिमिती काढली आहे. आयताकृती आकारातील मार्ग किंवा कडांचे क्षेत्रफळ काढण्याचेही आपण शिकलो आहोत.

या प्रकरणात, आपण चौकोनांसारख्या इतर बंद समतल आकृत्यांच्या परिमिती आणि क्षेत्रफळाशी संबंधित समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करू.

तसेच घनांचे, जसे की घन, इष्टिकाचिती आणि वृत्तचिती, यांचे पृष्ठफळ आणि घनफळ याबद्दलही आपण शिकू.

9.2 बहुभुजाचे क्षेत्रफळ

आपण चौकोनाला त्रिकोणांमध्ये विभागतो आणि त्याचे क्षेत्रफळ काढतो. बहुभुजाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी समान पद्धती वापरल्या जाऊ शकतात. पंचकोनासाठी खालील गोष्टी लक्षात घ्या: (आकृती 9.1, 9.2)

आकृती 9.1

दोन कर्ण $AC$ आणि $AD$ काढल्याने पंचकोन $A B C D E$ तीन भागांत विभागला जातो. म्हणून, क्षेत्रफळ $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ चे क्षेत्रफळ + $\triangle ACD+$ चे क्षेत्रफळ + $\triangle ADE$ चे क्षेत्रफळ

आकृती 9.1

एक कर्ण $AD$ आणि त्यावर दोन लंब $BF$ आणि $CG$ काढल्याने, पंचकोन $ABCDE$ चार भागांत विभागला जातो. म्हणून, $ABCDE=$ चे क्षेत्रफळ = काटकोन त्रिकोण $\triangle AFB+$ चे क्षेत्रफळ + समलंब चौकोन $BFGC+$ चे क्षेत्रफळ + काटकोन त्रिकोण $\Delta CGD+$ चे क्षेत्रफळ + $\triangle AED$ चे क्षेत्रफळ. (समलंब चौकोन BFGC च्या समांतर बाजू ओळखा.)

प्रयत्न करा

(i) खालील बहुभुजांचे (आकृती 9.3) त्यांचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी भागांमध्ये (त्रिकोण आणि समलंब चौकोन) विभाजन करा.

FI हा बहुभुज EFGH चा कर्ण आहे.

NQ हा बहुभुज MNOPQR चा कर्ण आहे.

(ii) बहुभुज $ABCDE$ खाली दाखवल्याप्रमाणे (आकृती 9.4) भागांमध्ये विभागला आहे. जर $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ आणि लंब $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ असतील तर त्याचे क्षेत्रफळ काढा.

बहुभुज $ABCDE=$ चे क्षेत्रफळ = $\triangle AFB+\ldots$ चे क्षेत्रफळ.

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ चे क्षेत्रफळ

समलंब चौकोन $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ चे क्षेत्रफळ

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

आकृती 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ चे क्षेत्रफळ = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ चे क्षेत्रफळ. म्हणून, बहुभुज $ABCDE=$ चे क्षेत्रफळ…

(iii) बहुभुज MNOPQR चे क्षेत्रफळ काढा (आकृती 9.5) जर $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ आणि $RB$ हे कर्ण MP वर लंब असतील.

आकृती 9.5

उदाहरण 1 : एका समलंब चौकोनाच्या आकाराच्या शेताचे क्षेत्रफळ $480 m^{2}$ आहे, दोन समांतर बाजूंमधील अंतर $15 m$ आहे आणि एक समांतर बाजू $20 m$ आहे. दुसरी समांतर बाजू शोधा.

उकल: समलंब चौकोनाची एक समांतर बाजू $a=20 m$ आहे, दुसरी समांतर बाजू $b$ मानू, उंची $h=15 m$.

समलंब चौकोनाचे दिलेले क्षेत्रफळ $=480 m^{2}$.

$ \begin{aligned} \text{ समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ म्हणून } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ किंवा } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ किंवा } 64 & =20+b \text{ किंवा } b=44\text{ m} \end{aligned} $

म्हणून समलंब चौकोनाची दुसरी समांतर बाजू $44\ \text{m}$ आहे.

उदाहरण 2 : एका समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $240 cm^{2}$ आहे आणि एक कर्ण $16 cm$ आहे. दुसरा कर्ण शोधा.

एका कर्णाची लांबी $d_1=16 cm$ मानू

आणि $\quad\quad$ दुसऱ्या कर्णाची लांबी $=d_2$ मानू.

$\quad\quad$ समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

म्हणून, $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

म्हणून दुसऱ्या कर्णाची लांबी $30 cm$ आहे.

एक षटकोन MNOPQR आहे ज्याची बाजू $5\ cm$ आहे (आकृती 9.6). अमन आणि ऋधिमा यांनी ते दोन वेगवेगळ्या पद्धतींनी विभागले (आकृती 9.7).

दोन्ही पद्धती वापरून या षटकोनाचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल: अमनची पद्धत:

आकृती 9.7

हा नियमित षटकोन असल्याने, NQ हा षटकोन दोन एकरूप समलंब चौकोनांमध्ये विभागतो. तुम्ही कागद दुमडून हे सत्यापित करू शकता (आकृती 9.8).

आता समलंब चौकोन MNQR चे क्षेत्रफळ $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$.

आकृती 9.9 म्हणून षटकोन MNOPQR चे क्षेत्रफळ $=2 \times 32=64\ cm^{2}$.

ऋधिमाची पद्धत:

$\Delta MNO$ आणि $\Delta RPQ$ हे एकरूप त्रिकोण आहेत आणि त्यांच्या संगत उंची $3 cm$ आहेत (आकृती 9.9).

तुम्ही हे दोन त्रिकोण कापून एकमेकांवर ठेवून हे सत्यापित करू शकता.

$ \text{ } \Delta MNO \text{ चे क्षेत्रफळ }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ } \Delta RPQ \text{ चे क्षेत्रफळ } $

आयत MOPR चे क्षेत्रफळ $=8 \times 5=40 cm^{2}$.

आता, षटकोन MNOPQR चे क्षेत्रफळ $=40+12+12=64\ cm^{2}$.

प्रश्नसंच 9.1

1. टेबलाच्या वरच्या पृष्ठभागाचा आकार समलंब चौकोन आहे. जर त्याच्या समांतर बाजू $1 m$ आणि $1.2 m$ असतील आणि त्यांच्यातील लंब अंतर $0.8 m$ असेल तर त्याचे क्षेत्रफळ काढा.

एका समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ $34 , \text{cm}^{2}$ आहे आणि एका समांतर बाजूची लांबी

$10 cm$ आहे आणि त्याची उंची $4 cm$ आहे. दुसऱ्या समांतर बाजूची लांबी शोधा.

3. समलंब चौकोनाच्या आकाराच्या शेताच्या कुंपणाची लांबी $A B C D$ $120 m$ आहे. जर $B C=48 m, C D=17 m$ आणि $A D=40 m$ असतील, तर या शेताचे क्षेत्रफळ काढा. बाजू $AB$ ही समांतर बाजू $AD$ आणि $BC$ यांना लंब आहे.

4. चौकोनाच्या आकाराच्या शेताचा कर्ण $24 m$ आहे आणि उरलेल्या विरुद्ध शिरोबिंदूंपासून त्यावर टाकलेले लंब $8 m$ आणि $13 m$ आहेत. शेताचे क्षेत्रफळ काढा.

5. समभुज चौकोनाचे कर्ण $7.5 cm$ आणि $12 cm$ आहेत. त्याचे क्षेत्रफळ काढा.

6. एका समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ काढा ज्याची बाजू $5 cm$ आहे आणि ज्याची उंची $4.8 cm$ आहे. जर त्याचा एक कर्ण $8 cm$ लांब असेल, तर दुसऱ्या कर्णाची लांबी शोधा.

7. इमारतीच्या मजल्यावर 3000 फरश्या आहेत ज्या समभुज चौकोनाच्या आकाराच्या आहेत आणि प्रत्येकाचे कर्ण $45 cm$ आणि $30 cm$ लांबीचे आहेत. मजला पॉलिश करण्याचा एकूण खर्च शोधा, जर प्रति $m^{2}$ खर्च ₹ 4 असेल.

8. मोहनला समलंब चौकोनाच्या आकाराचे शेत विकत घ्यायचे आहे. नदीकडील बाजू रस्त्याकडील बाजूस समांतर आहे आणि ती दुप्पट आहे. जर या शेताचे क्षेत्रफळ $10500 m^{2}$ असेल आणि दोन समांतर बाजूंमधील लंब अंतर

9. उंचावलेल्या प्लॅटफॉर्मचा वरचा पृष्ठभाग नियमित अष्टकोनाच्या आकारात आहे जसे आकृतीत दाखवले आहे. अष्टकोनी पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढा.

10. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे एक पंचकोनी आकाराचे उद्यान आहे.

त्याचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, ज्योती आणि कविता यांनी ते दोन वेगवेगळ्या पद्धतींनी विभागले.

दोन्ही पद्धती वापरून या उद्यानाचे क्षेत्रफळ काढा. त्याचे क्षेत्रफळ काढण्याची काही अन्य पद्धत तुम्ही सुचवू शकता का?

11. लगतच्या चित्रफ्रेमच्या आकृतीत बाह्य परिमाणे $=24 cm \times 28 cm$ आहेत आणि आतील परिमाणे $16 cm \times 20 cm$ आहेत. फ्रेमच्या प्रत्येक विभागाचे क्षेत्रफळ काढा, जर प्रत्येक विभागाची रुंदी सारखी असेल.

9.3 घन आकार

तुम्ही आधीच्या वर्गांमध्ये अभ्यासले आहे की द्विमितीय आकृत्या त्रिमितीय आकारांचे पृष्ठभाग म्हणून ओळखल्या जाऊ शकतात. आतापर्यंत आपण ज्या घनांचा विचार केला आहे ते पहा (आकृती 9.10).

आकृती 9.10

लक्षात घ्या की काही आकारांमध्ये दोन किंवा दोनपेक्षा जास्त एकरूप (सर्वांगसम) पृष्ठभाग असतात. त्यांची नावे सांगा. कोणत्या घनाला सर्व एकरूप पृष्ठभाग आहेत?

हे करा

साबण, खेळणी, पेस्ट, स्नॅक्स इत्यादी वस्तू बहुतेक वेळा इष्टिकाचिती, घन किंवा वृत्तचितीय पेट्यांमध्ये पॅक केलेल्या असतात. अशा पेट्या गोळा करा (आकृती 9.11).

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{सर्व सहा पृष्ठभाग आयताकृती आहेत,} \\ \text{आणि विरुद्ध पृष्ठभाग} \ \text{एकरूप आहेत. म्हणून तीन} \ \text{जोड्या एकरूप पृष्ठभागांच्या आहेत.} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{एक वक्र पृष्ठभाग} \\ \text{आणि दोन वर्तुळाकार} \\ \text{पृष्ठभाग जे} \\ \text{एकरूप आहेत.} \\ \hline \end{array} $

आता एका वेळी एक प्रकारची पेटी घ्या. तिचे सर्व पृष्ठभाग कापून काढा. प्रत्येक पृष्ठभागाचा आकार पहा आणि त्यांना एकमेकांवर ठेवून पेटीतील एकरूप पृष्ठभागांची संख्या शोधा. तुमची निरीक्षणे लिहून ठेवा.

आकृती. 9.12

(ही एक लंब वृत्तचिती आहे)

तुम्ही खालील गोष्टी लक्षात घेतल्यात का:

वृत्तचितीला एकरूप वर्तुळाकार पृष्ठभाग असतात जे एकमेकांना समांतर असतात (आकृती 9.12). लक्षात घ्या की वर्तुळाकार पृष्ठभागांच्या केंद्रांना जोडणारा रेषाखंड पायाला लंब असतो. अशा वृत्तचितीना लंब वृत्तचिती म्हणतात. इतर प्रकारच्या वृत्तचिती असल्या तरी (आकृती 9.13) आपण फक्त या प्रकारच्या वृत्तचितीचा अभ्यास करणार आहोत.

आकृती 9.13

(ही लंब वृत्तचिती नाही)

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

इथे दाखवलेल्या घनाला वृत्तचिती म्हणणे चुकीचे का आहे?

9.4 घन, इष्टिकाचिती आणि वृत्तचितीचे पृष्ठफळ

इमरान, मोनिका आणि जसपाल अनुक्रमे समान उंचीची इष्टिकाचिती, घन आणि वृत्तचितीय पेटी रंगवत आहेत (आकृती 9.4).

कोण जास्त क्षेत्र रंगवले आहे हे शोधण्याचा त्यांनी प्रयत्न केला. हरिचा सूचना दिली की प्रत्येक पेटीचे पृष्ठफळ काढल्यास त्यांना ते शोधण्यास मदत होईल.

एकूण पृष्ठफळ शोधण्यासाठी, प्रत्येक पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढा आणि नंतर ती बेरीज करा. घनाचे पृष्ठफळ म्हणजे त्याच्या पृष्ठभागांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज. आणखी स्पष्ट करण्यासाठी, आपण प्रत्येक आकार एक एक करून घेऊ.

9.4.1 इष्टिकाचिती

समजा तुम्ही एक इष्टिकाचितीय पेटी उघडून कापली आणि ती सपाट ठेवली (आकृती 9.15). आपण खाली दाखवल्याप्रमाणे एक जाळी (नेट) पाहू शकतो (आकृती 9.16).

प्रत्येक बाजूची परिमाणे लिहा. तुम्हाला माहित आहे की इष्टिकाचितीला एकरूप पृष्ठभागांच्या तीन जोड्या असतात. प्रत्येक पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी तुम्ही कोणती अभिव्यक्ती वापरू शकता?

सर्व पृष्ठभागांचे एकूण क्षेत्रफळ शोधा

आकृती 9.16 पेटीचे. आपण पाहतो की इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ = क्षेत्र I + क्षेत्र II + क्षेत्र III + क्षेत्र IV + क्षेत्र $V+$ + क्षेत्र $VI$

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

म्हणून एकूण पृष्ठफळ $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ जिथे $h, l$, $b$ आणि $20 cm, 15 cm$ अनुक्रमे इष्टिकाचितीची उंची, लांबी आणि रुंदी आहेत.

समजा वरील पेटीची उंची, लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $20 cm, 15 cm$, $10 cm$ आणि $2(h \times l + h \times b)$ आहे.

$ \begin{alignedat} \text{ तर एकूण पृष्ठफळ } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

प्रयत्न करा

खालील इष्टिकाचितींचे एकूण पृष्ठफळ शोधा (आकृती 9.17):

आकृती 9.17

• बाजूचे भिंती (वरचा आणि तळाशिवायचे पृष्ठभाग) इष्टिकाचितीचे पार्श्व पृष्ठफळ बनवतात. उदाहरणार्थ, ज्या खोलीत तुम्ही बसले आहात त्या इष्टिकाचितीय खोलीच्या सर्व चार भिंतींचे एकूण क्षेत्रफळ म्हणजे या खोलीचे पार्श्व पृष्ठफळ (आकृती 9.18). म्हणून, इष्टिकाचितीचे पार्श्व पृष्ठफळ $2(h \times l + h \times b)$ किंवा $2 h(l + b)$ द्वारे दिले जाते.

हे करा

(i) इष्टिकाचितीय डस्टरचे (जे तुमचे शिक्षक वर्गखोलीत वापरतात) पार्श्व पृष्ठभाग तपकिरी कागदाच्या पट्टीने अशा प्रकारे झाका, की तो पृष्ठभागाभोवती बसतो. कागद काढा. कागदाचे क्षेत्रफळ मोजा. ते डस्टरचे पार्श्व पृष्ठफळ आहे का?

(ii) तुमच्या वर्गखोलीची लांबी, रुंदी आणि उंची मोजा आणि काढा

(a) खिडक्या आणि दरवाज्यांचे क्षेत्रफळ दुर्लक्षित करून खोलीचे एकूण पृष्ठफळ.

(b) या खोलीचे पार्श्व पृष्ठफळ.

(c) पांढरा रंग देण्यासाठी लागणारे खोलीचे एकूण क्षेत्रफळ.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

1. आपण असे म्हणू शकतो की इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ = पार्श्व पृष्ठफळ $+2 \times$ पायाचे क्षेत्रफळ?

2. जर आपण इष्टिकाचितीच्या पायाची लांबी आणि उंची अदलाबदल केली (आकृती 9.19(i)) आणि दुसरी इष्टिकाचिती मिळवली (आकृती 9.19(ii)), तर त्याचे पार्श्व पृष्ठफळ बदलेल का?

(i)

9.4.2 घन

हे करा

चौरस कागदावर दाखवलेला नमुना काढा आणि तो कापून काढा [आकृती 9.20(i)]. (तुम्हाला माहित आहे की हा नमुना घनाची जाळी (नेट) आहे. त्या रेषांसह दुमडा [आकृती 9.20(ii)] आणि कडा टेप करून घन बनवा [आकृती 9.20(iii)]).

आकृती. 9.20

(i)

आकृती 9.21

(a) घनाची लांबी, रुंदी आणि उंची किती आहे? लक्षात घ्या की घनाचे सर्व पृष्ठभाग चौरस आकाराचे असतात. यामुळे घनाची लांबी, उंची आणि रुंदी समान होते (आकृती 9.21(i)).

(b) प्रत्येक पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ लिहा. ते समान आहेत का?

(c) या घनाचे एकूण पृष्ठफळ लिहा.

(d) जर घनाची प्रत्येक बाजू $l$ असेल, तर प्रत्येक पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ किती असेल? (आकृती 9.21(ii)). आपण असे म्हणू शकतो की बाजू $l$ असलेल्या घनाचे एकूण पृष्ठफळ $6 l^{2}$ आहे का?

प्रयत्न करा

घन A चे पृष्ठफळ आणि घन B चे पार्श्व पृष्ठफळ शोधा (आकृती 9.22).

आकृती 9.22

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

(i) प्रत्येकी बाजू $b$ असलेले दोन घन जोडून एक इष्टिकाचिती बनवली आहे (आकृती 9.23). या इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ किती आहे? ते $6 b^{2}$ आहे का? अशा तीन घनांना जोडून बनवलेल्या इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ $14 b^{2}$ आहे का? का?

आकृती 9.23

(ii) सर्वात लहान पृष्ठफळ असलेली इष्टिकाचिती बनवण्यासाठी तुम्ही समान लांबीचे 12 घन कसे मांडाल?

(iii) घनाचे पृष्ठफळ रंगवल्यानंतर, तो घन समान परिमाणांच्या 64 लहान घनांमध्ये कापला जातो (आकृती 9.24).

किती घनांवर कोणताही चेहरा रंगवलेला नाही? 1 चेहरा रंगवलेला? 2 चेहरे रंगवलेले? 3 चेहरे रंगवलेले?

आकृती. 9.24

9.4.3 वृत्तचिती

आपण पाहत असलेल्या बहुतेक वृत्तचित्या लंब वृत्तचिती असतात. उदाहरणार्थ, टिन, गोल खांब, ट्यूब लाइट्स, पाण्याच्या नळ्या इत्यादी.

हे करा

(i) एक वृत्तचितीय कॅन किंवा पेटी घ्या आणि कॅनचा पाया ग्राफ पेपरवर काढा आणि तो कापून काढा [आकृती 9.25(i)]. दुसरा ग्राफ पेपर अशा प्रकारे घ्या की त्याची रुंदी कॅनच्या उंचीएवढी असेल. पट्टी कॅनभोवती अशा प्रकारे गुंडाळा की ती कॅनभोवती बसते (अतिरिक्त कागद काढून टाका) [आकृती 9.25(ii)].

तुकडे एकत्र टेप करा [आकृती 9.25(iii)] आणि वृत्तचिती बनवा [आकृती 9.25(iv)]. कॅनभोवती जाणाऱ्या कागदाचा आकार काय आहे?

अर्थात तो आयताकृती आकाराचा आहे. जेव्हा तुम्ही या वृत्तचितीचे भाग एकत्र टेप करता, तेव्हा आयताकृती पट्टीची लांबी वर्तुळाच्या परिघाएवढी असते. वर्तुळाकार पायाची त्रिज्या $(r)$, आयताकृती पट्टीची लांबी $(l)$ आणि रुंदी $(h)$ नोंदवा. $2 \pi r=$ = पट्टीची लांबी आहे का? तपासा की आयताकृती पट्टीचे क्षेत्रफळ $2 \pi r h$ आहे का. वृत्तचिती बनवण्यासाठी चौरस कागदाचे किती चौरस एकक वापरले आहेत ते मोजा.

तपासा की ही संख्या अंदाजे $2 \pi r(r+h)$ एवढी आहे का.

(ii) आपण दुसऱ्या मार्गाने वृत्तचितीच्या पृष्ठफळाचा संबंध $2 \pi r(r+h)$ असा काढू शकतो. खाली दाखवल्याप्रमाणे वृत्तचिती कापण्याची कल्पना करा (आकृती 9.26).

आकृती. 9.26

टीप: अन्यथा नमूद केल्याशिवाय आपण $\pi$ = $\frac{22}{7}$ घेतो.

वृत्तचितीचे पार्श्व (किंवा वक्र) पृष्ठफळ $2 \pi r h$ आहे.

वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ $=\pi r^{2}+2 \pi r h$

$ =2 \pi r^{2}+2 \pi r h \text{ किंवा } 2 \pi r(r+h) $

प्रयत्न करा

खालील वृत्तचितींचे एकूण पृष्ठफळ शोधा (आकृती 9.27)