9.1 ಪರಿಚಯ

ಒಂದು ಸಮತಲ ಆಕೃತಿ ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅದರ ಗಡಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ದೂರ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದು ಆವರಿಸಿದ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಆಯತಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ವಿವಿಧ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಗಗಳು ಅಥವಾ ಗಡಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹ ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಂತಹ ಇತರ ಸಮತಲ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಗಳ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಘನಗಳಾದ ಘನಾಕೃತಿ, ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲದ ಬಗ್ಗೆಯೂ ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

9.2 ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ನಾವು ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಪಂಚಭುಜಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: (ಚಿತ್ರ 9.1, 9.2)

ಚಿತ್ರ 9.1

ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳನ್ನು $AC$ ಮತ್ತು $AD$ ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಂಚಭುಜ $A B C D E$ ಅನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + $\triangle ACD+$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + $\triangle ADE$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಚಿತ್ರ 9.1

ಒಂದು ಕರ್ಣ $AD$ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಲಂಬಗಳನ್ನು $BF$ ಮತ್ತು $CG$ ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪಂಚಭುಜ $ABCDE$ ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $ABCDE=$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\triangle AFB+$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜ $BFGC+$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $\Delta CGD+$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + $\triangle AED$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. (ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜ BFGC ನ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.)

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

(i) ಕೆಳಗಿನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು (ಚಿತ್ರ 9.3) ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಗಗಳಾಗಿ (ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜ) ವಿಭಜಿಸಿ.

FI ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ EFGH ನ ಒಂದು ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ

NQ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ MNOPQR ನ ಒಂದು ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ

(ii) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ $ABCDE$ ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ (ಚಿತ್ರ 9.4) ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ. $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ ಮತ್ತು ಲಂಬಗಳು $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ $ABCDE=$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = $\triangle AFB+\ldots$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜ $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

ಚಿತ್ರ 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ $ABCDE=$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ…

(iii) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ MNOPQR ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.5) $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ ಮತ್ತು $RB$ ಗಳು ಕರ್ಣ MP ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 9.5

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂದು ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $480 m^{2}$ ಆಗಿದೆ, ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ $15 m$ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ $20 m$ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವು $a=20 m$ ಆಗಿದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವನ್ನು $b$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಎತ್ತರ $h=15 m$.

ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜದ ನೀಡಲಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=480 m^{2}$.

$ \begin{aligned} \text{ ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ ಆದ್ದರಿಂದ } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ ಅಥವಾ } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ ಅಥವಾ } 64 & =20+b \text{ ಅಥವಾ } b=44\text{ m} \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವು $44\ \text{m}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಒಂದು ಸಮಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $240 cm^{2}$ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ $16 cm$ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಕರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವನ್ನು $d_1=16 cm$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಮತ್ತು $\quad\quad$ ಇನ್ನೊಂದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ $=d_2$ ಆಗಿರಲಿ

$\quad\quad$ ಸಮಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

ಆದ್ದರಿಂದ, $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ $30 cm$ ಆಗಿದೆ.

$5\ cm$ ಬಾಹುವಿನ ಒಂದು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ MNOPQR ಇದೆ (ಚಿತ್ರ 9.6). ಅಮನ್ ಮತ್ತು ರಿಧಿಮಾ ಅದನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಚಿತ್ರ 9.7).

ಈ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಅಮನ್ ರ ವಿಧಾನ:

ಚಿತ್ರ 9.7

ಇದು ಒಂದು ಸಮ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, NQ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಗದ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 9.8).

ಈಗ ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜ MNQR ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$.

ಚಿತ್ರ 9.9 ಆದ್ದರಿಂದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ MNOPQR ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=2 \times 32=64\ cm^{2}$.

ರಿಧಿಮಾ ರ ವಿಧಾನ:

$\Delta MNO$ ಮತ್ತು $\Delta RPQ$ ಗಳು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರಗಳು $3 cm$ ಆಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 9.9).

ಈ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದನ್ನು ಇಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

$ \text{ } \Delta MNO \text{ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ } \Delta RPQ \text{ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ } $

ಆಯತ MOPR ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=8 \times 5=40 cm^{2}$.

ಈಗ, ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ MNOPQR ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=40+12+12=64\ cm^{2}$.

ಅಭ್ಯಾಸ 9.1

1. ಒಂದು ಮೇಜಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಕಾರವು ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳು $1 m$ ಮತ್ತು $1.2 m$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬ ದೂರ $0.8 m$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $34 , \text{cm}^{2}$ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ

$10 cm$ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ $4 cm$ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಹೊಲದ ಬೇಲಿಯ ಉದ್ದ $A B C D$ ಆಗಿದೆ. $B C=48 m, C D=17 m$ ಮತ್ತು $A D=40 m$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಬಾಹು $AB$ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳಾದ $AD$ ಮತ್ತು $BC$ ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ.

4. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಹೊಲದ ಕರ್ಣ $24 m$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎದುರು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳಿಸಲಾದ ಲಂಬಗಳು $8 m$ ಮತ್ತು $13 m$ ಆಗಿವೆ. ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ಒಂದು ಸಮಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು $7.5 cm$ ಮತ್ತು $12 cm$ ಆಗಿವೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ಒಂದು ಸಮಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಅದರ ಬಾಹು $5 cm$ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ $4.8 cm$ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಒಂದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ $8 cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

7. ಒಂದು ಕಟ್ಟಡದ ನೆಲವು 3000 ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳು $45 cm$ ಮತ್ತು $30 cm$ ಆಗಿವೆ. ನೆಲವನ್ನು ಮೆರಗು ಕೊಡುವ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಪ್ರತಿ $m^{2}$ ಗೆ ವೆಚ್ಚ ₹ 4 ಆಗಿದ್ದರೆ.

8. ಮೋಹನ್ ಒಂದು ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಹೊಲವನ್ನು ಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ. ನದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಬಾಹುವು ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡರಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $10500 m^{2}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ದೂರ

9. ಒಂದು ಎತ್ತಿದ ವೇದಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಮ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಉದ್ಯಾನವನವಿದೆ.

ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಜ್ಯೋತಿ ಮತ್ತು ಕವಿತಾ ಅದನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ಉದ್ಯಾನವನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದೇ?

11. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ ಫ್ರೇಮ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಹೊರ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು $=24 cm \times 28 cm$ ಮತ್ತು ಒಳ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು $16 cm \times 20 cm$ ಹೊಂದಿದೆ. ಫ್ರೇಮ್ನ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದ ಅಗಲ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ.

9.3 ಘನ ಆಕಾರಗಳು

ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ, ದ್ವಿಮಾಪಕ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ತ್ರಿಮಾಪಕ ಆಕಾರಗಳ ಮುಖಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ ಘನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.10).

ಚಿತ್ರ 9.10

ಕೆಲವು ಆಕಾರಗಳು ಎರಡು ಅಥವಾ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರ್ವಸಮ (ಸರ್ವಸಮ) ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ. ಯಾವ ಘನವು ಎಲ್ಲಾ ಸರ್ವಸಮ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಸಾಬೂನುಗಳು, ಆಟಿಕೆಗಳು, ಪೇಸ್ಟ್ಗಳು, ತಿಂಡಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿ, ಘನಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ಸಿಲಿಂಡರಾಕೃತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.11).

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ಎಲ್ಲಾ ಆರು ಮುಖಗಳು ಆಯತಾಕಾರದವು,} \\ \text{ಮತ್ತು ಎದುರು ಮುಖಗಳು} \ \text{ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರು} \ \text{ಜೋಡಿ ಸರ್ವಸಮ ಮುಖಗಳಿವೆ.} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ಒಂದು ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ} \\ \text{ಮತ್ತು ಎರಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ} \\ \text{ಮುಖಗಳು ಇವೆ ಮತ್ತು ಅವು} \\ \text{ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ.} \\ \hline \end{array} $

ಈಗ ಒಂದು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಆಕಾರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಎಷ್ಟು ಮುಖಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಇಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ. 9.12

(ಇದು ಒಂದು ಲಂಬ ವೃತ್ತ ಸಿಲಿಂಡರ್)

ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ:

ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸರ್ವಸಮ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 9.12). ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮುಖಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವು ಪಾದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂತಹ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳನ್ನು ಲಂಬ ವೃತ್ತ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳೂ ಇದ್ದರೂ (ಚಿತ್ರ 9.13), ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಿದ್ದೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 9.13

(ಇದು ಲಂಬ ವೃತ್ತ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅಲ್ಲ)

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಘನವನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಏಕೆ ತಪ್ಪು?

9.4 ಘನಾಕೃತಿ, ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಇಮ್ರಾನ್, ಮೋನಿಕಾ ಮತ್ತು ಜಸ್ಪಾಲ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದೇ ಎತ್ತರದ (ಚಿತ್ರ 9.4) ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿ, ಘನಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರಾಕೃತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.

ಯಾರು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಹರಿ ಪ್ರತಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು.

ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ನಂತರ ಕೂಡಿಸಿ. ಒಂದು ಘನದ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಮುಖಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

9.4.1 ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿ

ನೀವು ಒಂದು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆರೆದು ಸಮತಲವಾಗಿ ಇಡುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.15). ನಾವು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ (ಚಿತ್ರ 9.16) ಒಂದು ಜಾಲರಿಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ಪ್ರತಿ ಬಾಹುವಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯು ಮೂರು ಜೋಡಿ ಸರ್ವಸಮ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು?

ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಚಿತ್ರ 9.16 ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ. ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ I + ವಿಸ್ತೀರ್ಣ II + ವಿಸ್ತೀರ್ಣ III + ವಿಸ್ತೀರ್ಣ IV +ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $V+$ + ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $VI$ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ ಇಲ್ಲಿ $h, l$, $b$ ಮತ್ತು $20 cm, 15 cm$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಎತ್ತರ, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವಾಗಿವೆ.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಎತ್ತರ, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $20 cm, 15 cm$, $10 cm$ ಮತ್ತು $2(h \times l + h \times b)$ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

$ \begin{alignedat} \text{ ಆಗ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.17):

ಚಿತ್ರ 9.17

• ಪಾರ್ಶ್ವದ ಗೋಡೆಗಳು (ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ತಳಭಾಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದ ಮುಖಗಳು) ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕುಳಿತಿರುವ ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಕೋಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಗೋಡೆಗಳ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಈ ಕೋಣೆಯ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.18). ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು $2(h \times l + h \times b)$ ಅಥವಾ $2 h(l + b)$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

(i) ಒಂದು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಡಸ್ಟರ್ನ (ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ) ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಂದು ಬಣ್ಣದ ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಮುಚ್ಚಿರಿ, ಅದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸುತ್ತಲೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ. ಕಾಗದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಕಾಗದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಡಸ್ಟರ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೇ?

(ii) ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿ ಕೋಣೆಯ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

(ಎ) ಕಿಟಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಗಿಲುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಕೋಣೆಯ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

(ಬಿ) ಈ ಕೋಣೆಯ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

(ಸಿ) ಬಿಳಿ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಬೇಕಾದ ಕೋಣೆಯ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $+2 \times$ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

2. ನಾವು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ (ಚಿತ್ರ 9.19(i)) ಪಾದದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ (ಚಿತ್ರ 9.19(ii)) ಇನ್ನೊಂದು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

(i)

9.4.2 ಘನಾಕೃತಿ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 9.20(i)]. (ಈ ಮಾದರಿಯು ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದನ್ನು ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಡಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 9.20(ii)] ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಟೇಪ್ ಮಾಡಿ ಒಂದು ಘನಾಕೃ