9.1 પ્રસ્તાવના

આપણે શીખ્યા છીએ કે સમતલીય બંધ આકૃતિ માટે, પરિમિતિ એ તેની સીમાની આસપાસનું અંતર છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ એ તેના દ્વારા આવરી લેવાયેલો પ્રદેશ છે. આપણે ત્રિકોણ, લંબચોરસ, વર્તુળ વગેરે જેવી વિવિધ સમતલીય આકૃતિઓનું ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ શોધ્યા હતા. આપણે લંબચોરસ આકારમાં માર્ગો અથવા કિનારીઓનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું પણ શીખ્યા છીએ.

આ પ્રકરણમાં, આપણે ચતુષ્કોણ જેવી અન્ય સમતલીય બંધ આકૃતિઓની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ સંબંધિત સમસ્યાઓ ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

આપણે ઘન પદાર્થો જેવા કે ઘન, લંબઘન અને નળાકારનું પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ પણ શીખીશું.

9.2 બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ

આપણે ચતુષ્કોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરીને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ છીએ. સમાન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે કરી શકાય છે. પંચભુજ માટે નીચેનું નિરીક્ષણ કરો: (આકૃતિ 9.1, 9.2)

આકૃતિ 9.1

બે વિકર્ણો $AC$ અને $AD$ રચીને પંચભુજ $A B C D E$ ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી, ક્ષેત્રફળ $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ નું ક્ષેત્રફળ + $\triangle ACD+$ નું ક્ષેત્રફળ + $\triangle ADE$ નું ક્ષેત્રફળ

આકૃતિ 9.1

એક વિકર્ણ $AD$ અને તેના પર બે લંબરેખાઓ $BF$ અને $CG$ રચીને, પંચભુજ $ABCDE$ ચાર ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી, $ABCDE=$ નું ક્ષેત્રફળ = કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AFB+$ નું ક્ષેત્રફળ + સમલંબ ચતુષ્કોણ $BFGC+$ નું ક્ષેત્રફળ + કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta CGD+$ નું ક્ષેત્રફળ + $\triangle AED$ નું ક્ષેત્રફળ. (સમલંબ ચતુષ્કોણ BFGC ની સમાંતર બાજુઓ ઓળખો.)

પ્રયાસ કરો

(i) નીચેના બહુકોણો (આકૃતિ 9.3) ને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે ભાગોમાં (ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણ) વિભાજીત કરો.

FI એ બહુકોણ EFGH નો વિકર્ણ છે

NQ એ બહુકોણ MNOPQR નો વિકર્ણ છે

(ii) બહુકોણ $ABCDE$ ને નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે (આકૃતિ 9.4) ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યો છે. જો $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ અને લંબરેખાઓ $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બહુકોણ $ABCDE=$ નું ક્ષેત્રફળ = $\triangle AFB+\ldots$ નું ક્ષેત્રફળ.

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ નું ક્ષેત્રફળ

સમલંબ ચતુષ્કોણ $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ નું ક્ષેત્રફળ

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

આકૃતિ 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ નું ક્ષેત્રફળ = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ નું ક્ષેત્રફળ તેથી, બહુકોણ $ABCDE=$ નું ક્ષેત્રફળ…

(iii) બહુકોણ MNOPQR (આકૃતિ 9.5) નું ક્ષેત્રફળ શોધો જો $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ અને $RB$ વિકર્ણ MP પર લંબરેખાઓ છે.

આકૃતિ 9.5

ઉદાહરણ 1 : સમલંબ ચતુષ્કોણ આકારના ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $480 m^{2}$ છે, બે સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર $15 m$ છે અને એક સમાંતર બાજુ $20 m$ છે. બીજી સમાંતર બાજુ શોધો.

ઉકેલ: સમલંબ ચતુષ્કોણની એક સમાંતર બાજુ $a=20 m$ છે, બીજી સમાંતર બાજુ $b$ થવા દો, ઊંચાઈ $h=15 m$.

સમલંબ ચતુષ્કોણનું આપેલ ક્ષેત્રફળ $=480 m^{2}$.

$ \begin{aligned} \text{ સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ તેથી } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ અથવા } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ અથવા } 64 & =20+b \text{ અથવા } b=44\text{ m} \end{aligned} $

આથી સમલંબ ચતુષ્કોણની બીજી સમાંતર બાજુ $44\ \text{m}$ છે.

ઉદાહરણ 2 : સમચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ $240 cm^{2}$ છે અને તેના એક વિકર્ણની લંબાઈ $16 cm$ છે. બીજો વિકર્ણ શોધો.

એક વિકર્ણની લંબાઈ $d_1=16 cm$ થવા દો

અને $\quad\quad$ બીજા વિકર્ણની લંબાઈ $=d_2$ થવા દો

$\quad\quad$ સમચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

તેથી, $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

આથી બીજા વિકર્ણની લંબાઈ $30 cm$ છે.

બાજુ $5\ cm$ નો એક ષટ્કોણ MNOPQR છે (આકૃતિ 9.6). અમન અને રિધિમાએ તેને બે જુદી જુદી રીતે વિભાજિત કર્યો (આકૃતિ 9.7).

બંને રીતે આ ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ: અમનની રીત:

આકૃતિ 9.7

કારણ કે તે નિયમિત ષટ્કોણ છે, NQ ષટ્કોણને બે સર્વસમ સમલંબ ચતુષ્કોણમાં વિભાજિત કરે છે. તમે કાગળને વાળીને તે ચકાસી શકો છો (આકૃતિ 9.8).

હવે સમલંબ ચતુષ્કોણ MNQR નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$.

આકૃતિ 9.9 તેથી ષટ્કોણ MNOPQR નું ક્ષેત્રફળ $=2 \times 32=64\ cm^{2}$.

રિધિમાની રીત:

$\Delta MNO$ અને $\Delta RPQ$ સર્વસમ ત્રિકોણો છે જેમની અનુરૂપ ઊંચાઈ $3 cm$ છે (આકૃતિ 9.9).

તમે આ બે ત્રિકોણોને કાપીને એકબીજા પર મૂકીને આ ચકાસી શકો છો.

$ \text{ ત્રિકોણ MNO નું ક્ષેત્રફળ }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ ત્રિકોણ RPQ નું ક્ષેત્રફળ } $

લંબચોરસ MOPR નું ક્ષેત્રફળ $=8 \times 5=40 cm^{2}$.

હવે, ષટ્કોણ MNOPQR નું ક્ષેત્રફળ $=40+12+12=64\ cm^{2}$.

કસરત 9.1

1. ટેબલની ઉપરની સપાટીનો આકાર સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. જો તેની સમાંતર બાજુઓ $1 m$ અને $1.2 m$ હોય અને તેમની વચ્ચેનું લંબઅંતર $0.8 m$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $34 , \text{cm}^{2}$ છે અને એક સમાંતર બાજુની લંબાઈ

$10 cm$ છે અને તેની ઊંચાઈ $4 cm$ છે. બીજી સમાંતર બાજુની લંબાઈ શોધો.

3. સમલંબ ચતુષ્કોણ આકારના ખેતર $A B C D$ ની વાડની લંબાઈ $120 m$ છે. જો $B C=48 m, C D=17 m$ અને $A D=40 m$ હોય, તો આ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ શોધો. બાજુ $AB$ સમાંતર બાજુઓ $AD$ અને $BC$ પર લંબ છે.

4. ચતુષ્કોણ આકારના ખેતરનો વિકર્ણ $24 m$ છે અને બાકીના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓમાંથી તેના પર દોરેલા લંબો $8 m$ અને $13 m$ છે. ખેતરનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

5. સમચતુર્ભુજના વિકર્ણો $7.5 cm$ અને $12 cm$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

6. સમચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેની બાજુ $5 cm$ છે અને જેની ઊંચાઈ $4.8 cm$ છે. જો તેના એક વિકર્ણની લંબાઈ $8 cm$ હોય, તો બીજા વિકર્ણની લંબાઈ શોધો.

7. ઇમારતના ફ્લોરમાં 3000 ટાઇલ્સ છે જે સમચતુર્ભુજ આકારની છે અને તેમાંથી દરેકના વિકર્ણો $45 cm$ અને $30 cm$ લંબાઈના છે. જો પ્રતિ $m^{2}$ પોલિશ કરવાનો ખર્ચ ₹ 4 હોય, તો ફ્લોર પોલિશ કરવાનો કુલ ખર્ચ શોધો.

8. મોહન એક સમલંબ ચતુષ્કોણ આકારનું ખેતર ખરીદવા માંગે છે. નદીની બાજુની તેની બાજુ રસ્તાની બાજુની બાજુને સમાંતર અને બમણી છે. જો આ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $10500 m^{2}$ હોય અને લંબઅંતર

9. ઉભા કરેલા પ્લેટફોર્મની ઉપરની સપાટી નિયમિત અષ્ટકોણ આકારની છે જે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. અષ્ટકોણીય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

10. એક પંચભુજ આકારનો પાર્ક છે જે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે.

તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, જ્યોતિ અને કવિતાએ તેને બે જુદી જુદી રીતે વિભાજિત કર્યો.

બંને રીતે આ પાર્કનું ક્ષેત્રફળ શોધો. શું તમે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની કોઈ અન્ય રીત સૂચવી શકો છો?

11. બાજુની ચિત્ર ફ્રેમનો આકૃતિમાં બાહ્ય પરિમાણો $=24 cm \times 28 cm$ અને આંતરિક પરિમાણો $16 cm \times 20 cm$ છે. જો દરેક વિભાગની પહોળાઈ સમાન હોય, તો ફ્રેમના દરેક વિભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

9.3 ઘન આકારો

તમારી પહેલાની ધોરણોમાં તમે શીખ્યા છો કે બે-પરિમાણીય આકૃતિઓને ત્રણ-પરિમાણીય આકારોના પૃષ્ઠો તરીકે ઓળખી શકાય. અત્યાર સુધી આપણે ચર્ચા કરેલા ઘન પદાર્થોનું નિરીક્ષણ કરો (આકૃતિ 9.10).

આકૃતિ 9.10

નોંધો કે કેટલાક આકારોમાં બે અથવા બેથી વધુ સરખા (સર્વસમ) પૃષ્ઠો હોય છે. તેમને નામ આપો. કયા ઘન પદાર્થના બધા જ પૃષ્ઠો સર્વસમ છે?

આ કરો

સાબુ, રમકડાં, પેસ્ટ, સ્નેક્સ વગેરે ઘણીવાર લંબઘનાકાર, ઘનાકાર અથવા નળાકાર બોક્સના પેકિંગમાં આવે છે. આવા બોક્સો એકઠા કરો (આકૃતિ 9.11).

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{બધા છ પૃષ્ઠો લંબચોરસ છે,} \\ \text{અને વિરુદ્ધ પૃષ્ઠો} \ \text{સરખા છે. તેથી ત્યાં ત્રણ} \ \text{જોડી સરખા પૃષ્ઠોની છે.} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{એક વક્ર સપાટી} \\ \text{અને બે વર્તુળાકાર} \\ \text{પૃષ્ઠો જે} \\ \text{સરખા છે.} \\ \hline \end{array} $

હવે એક સમયે એક પ્રકારનો બોક્સ લો. તેમાં જે પૃષ્ઠો છે તે બધાં કાપો. દરેક પૃષ્ઠનો આકાર નિરીક્ષણ કરો અને બોક્સના એકબીજા પર મૂકીને સરખા પૃષ્ઠોની સંખ્યા શોધો. તમારા અવલોકનો લખો.

આકૃતિ. 9.12

(આ એક લંબવૃત્તીય નળાકાર છે)

શું તમે નીચેની બાબત નોંધી:

નળાકારમાં સર્વસમ વર્તુળાકાર પૃષ્ઠો છે જે એકબીજાને સમાંતર છે (આકૃતિ 9.12). નોંધો કે વર્તુળાકાર પૃષ્ઠોના કેન્દ્રને જોડતો રેખાખંડ પાયાને લંબ છે. આવા નળાકારો લંબવૃત્તીય નળાકાર તરીકે ઓળખાય છે. અન્ય પ્રકારના નળાકારો હોવા છતાં (આકૃતિ 9.13), આપણે ફક્ત આ પ્રકારના નળાકારોનો અભ્યાસ કરવા જઈ રહ્યા છીએ.

આકૃતિ 9.13

(આ લંબવૃત્તીય નળાકાર નથી)

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

અહીં બતાવેલ ઘન પદાર્થને નળાકાર કહેવું શા માટે ખોટું છે?

9.4 ઘન, લંબઘન અને નળાકારનું પૃષ્ઠફળ

ઇમરાન, મોનિકા અને જસપાલ અનુક્રમે સમાન ઊંચાઈના લંબઘનાકાર, ઘનાકાર અને નળાકાર બોક્સને રંગી રહ્યા છે (આકૃતિ 9.4).

તેઓ નક્કી કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે કે કોણે વધુ ક્ષેત્ર રંગ્યું છે. હરિએ સૂચવ્યું કે દરેક બોક્સનું પૃષ્ઠફળ શોધવાથી તેમને તે શોધવામાં મદદ મળશે.

કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, દરેક પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને પછી ઉમેરો. ઘન પદાર્થનું પૃષ્ઠફળ એ તેના પૃષ્ઠોના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે. વધુ સ્પષ્ટતા માટે, આપણે દરેક આકારને એક-એક કરીને લઈએ છીએ.

9.4.1 લંબઘન

માની લો કે તમે લંબઘનાકાર બોક્સને કાપીને ખોલો છો અને તેને સપાટ પાથરો છો (આકૃતિ 9.15). આપણે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે એક જાળી (નેટ) જોઈ શકીએ છીએ (આકૃતિ 9.16).

દરેક બાજુનું પરિમાણ લખો. તમે જાણો છો કે લંબઘનમાં સરખા પૃષ્ઠોની ત્રણ જોડી હોય છે. દરેક પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે તમે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો?

બોક્સના બધા પૃષ્ઠોનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો

આકૃતિ 9.16 બોક્સનું. આપણે જોઈએ છીએ કે લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = પૃષ્ઠ I નું ક્ષેત્રફળ + પૃષ્ઠ II નું ક્ષેત્રફળ + પૃષ્ઠ III નું ક્ષેત્રફળ + પૃષ્ઠ IV નું ક્ષેત્રફળ + પૃષ્ઠ $V+$ નું ક્ષેત્રફળ + પૃષ્ઠ $VI$ નું ક્ષેત્રફળ

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

તેથી કુલ પૃષ્ઠફળ $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ જ્યાં $h, l$, $b$ અને $20 cm, 15 cm$ અનુક્રમે લંબઘનની ઊંચાઈ, લંબાઈ અને પહોળાઈ છે.

માની લો કે ઉપર બતાવેલા બોક્સની ઊંચાઈ, લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $20 cm, 15 cm$, $10 cm$ અને $2(h \times l + h \times b)$ છે.

$ \begin{alignedat} \text{ તો કુલ પૃષ્ઠફળ } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

પ્રયાસ કરો

નીચેના લંબઘનોનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો (આકૃતિ 9.17):

આકૃતિ 9.17

• બાજુની દીવાલો (ઉપર અને નીચેના પૃષ્ઠો સિવાયના પૃષ્ઠો) લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જે ઓરડામાં તમે બેઠા છો તે લંબઘનાકાર ઓરડાની બધી ચાર દીવાલોનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ આ ઓરડાનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ છે (આકૃતિ 9.18). આથી, લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $2(h \times l + h \times b)$ અથવા $2 h(l + b)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

આ કરો

(i) લંબઘનાકાર ડસ્ટર (જે તમારા શિક્ષક વર્ગખંડમાં ઉપયોગ કરે છે) નું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ બ્રાઉન કાગળની પટ્ટી વડે આવરી લો, જેથી તે સપાટીની આસપાસ બરાબર ફિટ થાય. કાગળ દૂર કરો. કાગળનું ક્ષેત્રફળ માપો. શું તે ડસ્ટરનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ છે?

(ii) તમારા વર્ગખંડની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ માપો અને ગણતરી કરો

(a) બારીઓ અને દરવાજાના ક્ષેત્રફળને અવગણીને ઓરડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ.

(b) આ ઓરડાનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ.

(c) ઓરડાનું કુલ ક્ષેત્રફળ જે પર સફેદી કરવાની છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. શું આપણે કહી શકીએ કે લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $+2 \times$ પાયાનું ક્ષેત્રફળ?

2. જો આપણે લંબઘનના પાયા અને ઊંચાઈની લંબાઈઓની અદલાબદલી કરીએ (આકૃતિ 9.19(i)) અને બીજો લંબઘન મેળવીએ (આકૃતિ 9.19(ii)), તો શું તેનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ બદલાશે?

(i)

9.4.2 ઘન

આ કરો

ચોરસ કાગળ પર બતાવેલ નમૂનો દોરો અને તેને કાપો [આકૃતિ 9.20(i)]. (તમે જાણો છો કે આ નમૂનો ઘ