৯.১ ভূমিকা

আমরা শিখেছি যে একটি আবদ্ধ সমতল চিত্রের জন্য, পরিসীমা হল এর সীমানার চারপাশের দূরত্ব এবং এর ক্ষেত্রফল হল এটি দ্বারা আচ্ছাদিত অঞ্চল। আমরা বিভিন্ন সমতল চিত্র যেমন ত্রিভুজ, আয়তক্ষেত্র, বৃত্ত ইত্যাদির ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করেছি। আমরা আয়তক্ষেত্রাকার আকারে পথ বা সীমানার ক্ষেত্রফল বের করতেও শিখেছি।

এই অধ্যায়ে, আমরা চতুর্ভুজের মতো অন্যান্য সমতল আবদ্ধ চিত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করব।

আমরা ঘনক, আয়তঘন এবং সিলিন্ডারের মতো ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন সম্পর্কেও শিখব।

৯.২ বহুভুজের ক্ষেত্রফল

আমরা একটি চতুর্ভুজকে ত্রিভুজে বিভক্ত করে এর ক্ষেত্রফল বের করি। অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি বহুভুজের ক্ষেত্রফল বের করা যায়। একটি পঞ্চভুজের জন্য নিম্নলিখিতটি লক্ষ্য করুন: (চিত্র ৯.১, ৯.২)

চিত্র ৯.১

দুটি কর্ণ $AC$ এবং $AD$ অঙ্কন করে পঞ্চভুজ $A B C D E$ কে তিনটি অংশে বিভক্ত করা হয়েছে। সুতরাং, ক্ষেত্রফল $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle ACD+$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle ADE$ এর ক্ষেত্রফল

চিত্র ৯.১

একটি কর্ণ $AD$ এবং এর উপর দুটি লম্ব $BF$ এবং $CG$ অঙ্কন করে, পঞ্চভুজ $ABCDE$ কে চারটি অংশে বিভক্ত করা হয়েছে। সুতরাং, $ABCDE=$ এর ক্ষেত্রফল = সমকোণী $\triangle AFB+$ এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম $BFGC+$ এর ক্ষেত্রফল + সমকোণী $\Delta CGD+$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle AED$ এর ক্ষেত্রফল। (ট্রাপিজিয়াম BFGC এর সমান্তরাল বাহুগুলি চিহ্নিত করুন।)

চেষ্টা করুন

(i) নিম্নলিখিত বহুভুজগুলিকে (চিত্র ৯.৩) এর ক্ষেত্রফল বের করার জন্য অংশে (ত্রিভুজ এবং ট্রাপিজিয়াম) বিভক্ত করুন।

FI হল বহুভুজ EFGH এর একটি কর্ণ

NQ হল বহুভুজ MNOPQR এর একটি কর্ণ

(ii) বহুভুজ $ABCDE$ কে নীচে দেখানো হিসাবে অংশে বিভক্ত করা হয়েছে (চিত্র ৯.৪)। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ এবং লম্ব $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ হয়।

বহুভুজ $ABCDE=$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFB+\ldots$ এর ক্ষেত্রফল।

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ এর ক্ষেত্রফল

ট্রাপিজিয়াম $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ এর ক্ষেত্রফল

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

চিত্র ৯.৪

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ এর ক্ষেত্রফল সুতরাং, বহুভুজ $ABCDE=$ এর ক্ষেত্রফল…

(iii) বহুভুজ MNOPQR এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন (চিত্র ৯.৫) যদি $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ এবং $RB$ কর্ণ MP এর উপর লম্ব হয়।

চিত্র ৯.৫

উদাহরণ ১ : একটি ট্রাপিজিয়াম আকারের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $480 m^{2}$, দুটি সমান্তরাল বাহুর মধ্যবর্তী দূরত্ব $15 m$ এবং একটি সমান্তরাল বাহু $20 m$। অপর সমান্তরাল বাহুটি নির্ণয় করুন।

সমাধান: ট্রাপিজিয়ামের একটি সমান্তরাল বাহু $a=20 m$, ধরি অপর সমান্তরাল বাহুটি $b$, উচ্চতা $h=15 m$।

ট্রাপিজিয়ামের প্রদত্ত ক্ষেত্রফল $=480 m^{2}$।

$ \begin{aligned} \text{ একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ সুতরাং } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ বা } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ বা } 64 & =20+b \text{ বা } b=44\text{ m} \end{aligned} $

সুতরাং ট্রাপিজিয়ামের অপর সমান্তরাল বাহুটি হল $44\ \text{m}$।

উদাহরণ ২ : একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল $240 cm^{2}$ এবং একটি কর্ণ $16 cm$। অপর কর্ণটি নির্ণয় করুন।

ধরি একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $d_1=16 cm$

এবং $\quad\quad$ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $=d_2$

$\quad\quad$ রম্বসের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

সুতরাং, $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

সুতরাং দ্বিতীয় কর্ণের দৈর্ঘ্য হল $30 cm$।

একটি ষড়ভুজ MNOPQR আছে যার বাহু $5\ cm$ (চিত্র ৯.৬)। আমন এবং ঋদ্ধিমা এটিকে দুটি ভিন্ন উপায়ে বিভক্ত করেছে (চিত্র ৯.৭)।

উভয় উপায় ব্যবহার করে এই ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান: আমনের পদ্ধতি:

চিত্র ৯.৭

যেহেতু এটি একটি সুষম ষড়ভুজ, NQ ষড়ভুজটিকে দুটি সর্বসম ট্রাপিজিয়ামে বিভক্ত করে। আপনি কাগজ ভাঁজ করে এটি যাচাই করতে পারেন (চিত্র ৯.৮)।

এখন ট্রাপিজিয়াম MNQR এর ক্ষেত্রফল $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$।

চিত্র ৯.৯ সুতরাং ষড়ভুজ MNOPQR এর ক্ষেত্রফল $=2 \times 32=64\ cm^{2}$।

ঋদ্ধিমার পদ্ধতি:

$\Delta MNO$ এবং $\Delta RPQ$ হল সর্বসম ত্রিভুজ যাদের সংশ্লিষ্ট উচ্চতা $3 cm$ (চিত্র ৯.৯)।

আপনি এই দুটি ত্রিভুজ কেটে একটির উপর অন্যটি রেখে এটি যাচাই করতে পারেন।

$ \text{ \Delta MNO এর ক্ষেত্রফল }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ \Delta RPQ এর ক্ষেত্রফল } $

আয়তক্ষেত্র MOPR এর ক্ষেত্রফল $=8 \times 5=40 cm^{2}$।

এখন, ষড়ভুজ MNOPQR এর ক্ষেত্রফল $=40+12+12=64\ cm^{2}$।

অনুশীলনী ৯.১

১. একটি টেবিলের উপরিতলের আকার একটি ট্রাপিজিয়াম। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি এর সমান্তরাল বাহুদ্বয় $1 m$ এবং $1.2 m$ হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব $0.8 m$ হয়।

২. একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $34 , \text{cm}^{2}$ এবং একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য

$10 cm$ এবং এর উচ্চতা $4 cm$। অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

৩. একটি ট্রাপিজিয়াম আকারের ক্ষেত্রের বেড়ার দৈর্ঘ্য $A B C D$ হল $120 m$। যদি $B C=48 m, C D=17 m$ এবং $A D=40 m$ হয়, তবে এই ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। বাহু $AB$ সমান্তরাল বাহু $AD$ এবং $BC$ এর উপর লম্ব।

৪. একটি চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের কর্ণ $24 m$ এবং অবশিষ্ট বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলি থেকে এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় $8 m$ এবং $13 m$। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

৫. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় $7.5 cm$ এবং $12 cm$। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

৬. একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যার বাহু $5 cm$ এবং যার উচ্চতা $4.8 cm$। যদি এর একটি কর্ণ $8 cm$ দীর্ঘ হয়, তবে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

৭. একটি ভবনের মেঝেতে ৩০০০ টি টাইলস আছে যা রম্বস আকারের এবং প্রত্যেকটির কর্ণদ্বয় $45 cm$ এবং $30 cm$ দৈর্ঘ্যের। মেঝেটি পালিশ করার মোট খরচ নির্ণয় করুন, যদি প্রতি $m^{2}$ খরচ হয় ₹ ৪।

৮. মোহন একটি ট্রাপিজিয়াম আকারের ক্ষেত্র কিনতে চায়। নদীর পাশের বাহুটি রাস্তার পাশের বাহুর সমান্তরাল এবং দ্বিগুণ। যদি এই ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $10500 m^{2}$ হয় এবং দুটি সমান্তরাল বাহুর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব

৯. একটি উঁচু প্ল্যাটফর্মের উপরিতল নিয়মিত অষ্টভুজ আকারে চিত্রে দেখানো হয়েছে। অষ্টভুজাকার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

১০. একটি পঞ্চভুজাকার পার্ক আছে যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে।

এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য, জ্যোতি এবং কবিতা এটিকে দুটি ভিন্ন উপায়ে বিভক্ত করেছে।

উভয় উপায় ব্যবহার করে এই পার্কের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। আপনি কি এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের অন্য কোন উপায় প্রস্তাব করতে পারেন?

১১. সংলগ্ন ছবির ফ্রেমের চিত্রে বাহ্যিক মাপ $=24 cm \times 28 cm$ এবং অভ্যন্তরীণ মাপ $16 cm \times 20 cm$। ফ্রেমের প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন, যদি প্রতিটি অংশের প্রস্থ একই হয়।

৯.৩ ঘন আকার

আপনার পূর্ববর্তী শ্রেণীতে আপনি পড়েছেন যে দ্বি-মাত্রিক চিত্রগুলিকে ত্রি-মাত্রিক আকারের তল হিসাবে চিহ্নিত করা যায়। এখন পর্যন্ত আমরা যে ঘনবস্তুগুলি নিয়ে আলোচনা করেছি সেগুলি লক্ষ্য করুন (চিত্র ৯.১০)।

চিত্র ৯.১০

লক্ষ্য করুন যে কিছু আকারের দুটি বা তার বেশি অভিন্ন (সর্বসম) তল আছে। তাদের নাম বলুন। কোন ঘনবস্তুর সব তল সর্বসম?

এটি করুন

সাবান, খেলনা, পেস্ট, স্ন্যাকস ইত্যাদি প্রায়শই আয়তঘনাকার, ঘনকাকার বা বেলনাকার বাক্সের প্যাকিংয়ে আসে। এরকম বাক্স সংগ্রহ করুন (চিত্র ৯.১১)।

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{সব ছয়টি তল আয়তক্ষেত্রাকার,} \\ \text{এবং বিপরীত তলগুলি} \ \text{অভিন্ন। সুতরাং তিনটি} \ \text{জোড়া অভিন্ন তল আছে।} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{একটি বক্রতল} \\ \text{এবং দুটি বৃত্তাকার} \\ \text{তল যা} \\ \text{অভিন্ন।} \\ \hline \end{array} $

এখন এক সময়ে এক ধরনের বাক্স নিন। এটির সমস্ত তল কেটে বের করুন। প্রতিটি তলের আকার লক্ষ্য করুন এবং একটি তলের উপর অন্যটি রেখে বাক্সের অভিন্ন তলের সংখ্যা নির্ণয় করুন। আপনার পর্যবেক্ষণ লিখুন।

চিত্র. ৯.১২

(এটি একটি সমলম্ব বৃত্তাকার সিলিন্ডার)

আপনি কি নিম্নলিখিতটি লক্ষ্য করেছেন:

সিলিন্ডারের সর্বসম বৃত্তাকার তল আছে যা পরস্পরের সমান্তরাল (চিত্র ৯.১২)। লক্ষ্য করুন যে বৃত্তাকার তলগুলির কেন্দ্র যোগকারী রেখাংশটি ভূমির সাথে লম্ব। এই ধরনের সিলিন্ডারগুলিকে সমলম্ব বৃত্তাকার সিলিন্ডার বলা হয়। আমরা শুধুমাত্র এই ধরনের সিলিন্ডার নিয়ে অধ্যয়ন করতে যাচ্ছি, যদিও অন্যান্য ধরনের সিলিন্ডারও আছে (চিত্র ৯.১৩)।

চিত্র ৯.১৩

(এটি একটি সমলম্ব বৃত্তাকার সিলিন্ডার নয়)

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

এখানে দেখানো ঘনবস্তুটিকে সিলিন্ডার বলা কেন ভুল?

৯.৪ ঘনক, আয়তঘন এবং সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

ইমরান, মনিকা এবং জসপাল যথাক্রমে একই উচ্চতার একটি আয়তঘনাকার, ঘনকাকার এবং একটি বেলনাকার বাক্স রং করছে (চিত্র ৯.৪)।

তারা কে বেশি ক্ষেত্র রং করেছে তা নির্ধারণ করার চেষ্টা করছে। হরি পরামর্শ দিলেন যে প্রতিটি বাক্সের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করলে তাদের এটি বের করতে সাহায্য করবে।

মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বের করতে, প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল বের করুন এবং তারপর যোগ করুন। একটি ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল এর তলগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। আরও স্পষ্ট করতে, আমরা প্রতিটি আকার একে একে নিই।

৯.৪.১ আয়তঘন

ধরুন আপনি একটি আয়তঘনাকার বাক্স কেটে খুলে সমতলে রাখলেন (চিত্র ৯.১৫)। আমরা নীচের মতো একটি জালিকা দেখতে পাই (চিত্র ৯.১৬)।

প্রতিটি বাহুর মাত্রা লিখুন। আপনি জানেন যে একটি আয়তঘনের তিন জোড়া অভিন্ন তল আছে। প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল বের করতে আপনি কোন রাশি ব্যবহার করতে পারেন?

বাক্সের সমস্ত তলের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন

চিত্র ৯.১৬। আমরা দেখি যে একটি আয়তঘনের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল ক্ষেত্র I + ক্ষেত্র II + ক্ষেত্র III + ক্ষেত্র IV +ক্ষেত্র $V+$ + ক্ষেত্র $VI$

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

সুতরাং মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ যেখানে $h, l$, $b$ এবং $20 cm, 15 cm$ হল যথাক্রমে আয়তঘনের উচ্চতা, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ।

ধরুন উপরে দেখানো বাক্সের উচ্চতা, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ যথাক্রমে $20 cm, 15 cm$, $10 cm$ এবং $2(h \times l + h \times b)$।

$ \begin{alignedat} \text{ তাহলে মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

চেষ্টা করুন

নিম্নলিখিত আয়তঘনগুলির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন (চিত্র ৯.১৭):

চিত্র ৯.১৭

• পার্শ্বীয় দেয়ালগুলি (উপরি ও নিম্নতল বাদে তলগুলি) আয়তঘনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তৈরি করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যে আয়তঘনাকার ঘরে বসে আছেন তার চারটি দেয়ালের মোট ক্ষেত্রফল হল এই ঘরের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (চিত্র ৯.১৮)। সুতরাং, একটি আয়তঘনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দেওয়া হয় $2(h \times l + h \times b)$ বা $2 h(l + b)$ দ্বারা।

এটি করুন

(i) একটি আয়তঘনাকার ডাস্টার (যা আপনার শিক্ষক শ্রেণীকক্ষে ব্যবহার করেন) এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল একটি বাদামি রঙের কাগজের ফালা দিয়ে এমনভাবে ঢাকুন যাতে এটি পৃষ্ঠতলের চারপাশে ঠিক মাপসই হয়। কাগজটি সরান। কাগজের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করুন। এটি কি ডাস্টারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল?

(ii) আপনার শ্রেণীকক্ষের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা পরিমাপ করুন এবং গণনা করুন

(ক) জানালা এবং দরজার ক্ষেত্রফল উপেক্ষা করে ঘরের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল।

(খ) এই ঘরের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল।

(গ) ঘরের যে মোট ক্ষেত্রফল সাদা রং করতে হবে।

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

১. আমরা কি বলতে পারি যে আয়তঘনের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $+2 \times$ ভূমির ক্ষেত্রফল?

২. যদি আমরা একটি আয়তঘনের ভূমির দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা বিনিময় করি (চিত্র ৯.১৯(i)) আরেকটি আয়তঘন পেতে (চিত্র ৯.১৯(ii)), তাহলে কি এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল পরিবর্তিত হবে?

(i)

৯.৪.২ ঘনক

এটি করুন

স্কয়ার কাগজে দেখানো নকশাটি আঁকুন এবং কেটে নিন [চিত্র ৯.২০(i)]। (আপনি জানেন যে এই নকশাটি একটি ঘনকের জালিকা। রেখা বরাবর এটি ভাঁজ করুন [চিত্র ৯.২০(ii)] এবং একটি ঘনক গঠন করতে প্রান্তগুলি টেপ করুন [চিত্র ৯.২০(iii)])।

চিত্র. ৯.২০

(i)

চিত্র ৯.২১

(ক) ঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা কত? লক্ষ্য করুন যে একটি ঘনকের সব তল বর্গাকার। এটি ঘনকের দৈর্ঘ্য, উচ্চতা এবং প্রস্থকে সমান করে তোলে (চিত্র ৯.২১(i))।

(খ) প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল লিখুন। তারা কি সমান?

(গ) এই ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল লিখুন।

(ঘ) যদি ঘনকের প্রতিটি বাহু $l$ হয়, তবে প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল কত হবে? (চিত্র ৯.২১(ii))। আমরা কি বলতে পারি যে একটি বাহু $l$ বিশিষ্ট ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল $6 l^{2}$?

চেষ্টা করুন

ঘনক A এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং ঘনক B এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন (চিত্র ৯.২২)।

চিত্র ৯.২২

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

(i) প্রতিটি বাহু $b$ বিশিষ্ট দুটি ঘনক যুক্ত করে একটি আয়তঘন গঠন করা হয়েছে (চিত্র ৯.২৩)। এই আয়তঘনের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত? এটি কি $6 b^{2}$? তিনটি এরকম ঘনক যুক্ত করে গঠিত আয়তঘনের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কি $14 b^{2}$? কেন?

চিত্র ৯.২৩

(ii) আপনি কীভাবে ১২টি সমান দৈর্ঘ্যের ঘনক সাজাবেন যাতে সবচেয়ে ছোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তঘন গঠিত হয়?

(iii) একটি ঘনকের পৃষ্ঠতল রং করার পর, ঘনকটিকে একই মাপের ৬৪টি ছোট ঘনকে কাটা হয়েছে (চিত্র ৯.২৪)।

কয়টির কোন তল রং করা হয়নি? ১টি তল রং করা হয়েছে? ২টি তল রং করা হয়েছে? ৩টি তল রং করা হয়েছে?

চিত্র. ৯.২৪

৯.৪.৩ সিলিন্ডার

আমরা যে সিলিন্ডারগুলি দেখি তার বেশিরভাগই সমলম্ব বৃত্তাকার সিলিন্ডার। উদাহরণস্বরূপ, একটি টিন, গোল স্তম্ভ, টিউব লাইট, জলপাইপ ইত্যাদি।

এটি করুন

(i) একটি বেলনাকার ক্যান বা বাক্স নিন এবং গ্রাফ পেপারে ক্যানের ভূমি ট্রেস করুন এবং কেটে নিন [চিত্র ৯.২৫(i)]। আরেকটি গ্রাফ পেপার এমনভাবে নিন যাতে এর প্রস্থ ক্যানের উচ্চতার সমান হয়। ফালাটি ক্যানের চারপাশে এমনভাবে জড়িয়ে দিন যাতে এটি ক্যানের চারপাশে ঠিক মাপসই হয় (অতিরিক্ত কাগজ সরান) [চিত্র ৯.২৫(ii)]।

টুকরোগুলি [চিত্র ৯.২৫(iii)] একসাথে টেপ করুন একটি সিলিন্ডার গঠন করতে [চিত্র ৯.২৫(iv)]। ক্যানের চারপাশে যাওয়া কাগজটির আকার কী?

অবশ্যই এটি আয়তক্ষেত্রাকার। যখন আপনি এই সিলিন্ডারের অংশগুলি একসাথে টেপ করেন, তখন আয়তক্ষেত্রাকার ফালাটির দৈর্ঘ্য বৃত্তের পরিধির সমান। বৃত্তাকার ভূমির ব্যাসার্ধ $(r)$, আয়তক্ষেত্রাকার ফালাটির দৈর্ঘ্য $(l)$ এবং প্রস্থ $(h)$ রেকর্ড করুন। $2 \pi r=$ কি ফালাটির দৈর্ঘ্য? পরীক্ষা করুন আয়তক্ষেত্রাকার ফালাটির ক্ষেত্রফল $2 \pi r h$ কিনা। গণনা করুন সিলিন্ডার গঠন করতে স্কয়ার কাগজের কতটি বর্গ একক ব্যবহার করা হয়েছে।

পরীক্ষা করুন এই গণনাটি প্রায় $2 \pi r(r+h)$ এর সমান কিনা।

(ii) আমরা অন্য উপায়ে সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক $2 \pi r(r+h)$ অনুমান করতে পারি। নীচে দেখানো হিসাবে একটি সিলিন্ডার কাটার কল্পনা করুন (চিত্র ৯.২৬)।

চিত্র. ৯.২৬

দ্রষ্টব্য: আমরা $\pi$ কে $\frac{22}{7}$ ধরি যদি না অন্যথায় বলা হয়।

একটি সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় (বা বক্র) পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল $2 \pi r h$।

একটি সিলিন্ডারের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}+2 \pi r h$

$ =2 \pi r^{2}+2 \pi r h \text{ বা } 2 \pi r(r+h) $

চেষ্টা করুন

নিম্নলিখিত সিলিন্ডারগুলির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন (চিত্র ৯.২৭)

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

লক্ষ্য করুন যে একটি সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল ভূমির পরিধি $\times$ সিলিন্ডারের উচ্চতা। আমরা কি একটি আয়তঘনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলকে ভূমির পরিসীমা $\times$ আয়তঘনের উচ্চতা হিসাবে লিখতে পারি?

উদাহরণ ৪ : একটি অ্যাকোয়ারিয়াম আয়তঘনাকার যার বাহ্যিক মাপ $80 cm \times 30 cm \times 40 cm$। ভূমি, পার্শ্বীয় তল এবং পিছনের তল একটি রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে হবে। প্রয়োজনীয় কাগজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন?

সমাধান: অ্যাকোয়ারিয়ামের দৈর্ঘ্য $=l=80 cm$

অ্যাকোয়ারিয়ামের প্রস্থ $=b=30 cm$

অ্যাকোয়ারিয়ামের উচ্চতা $=h=40 cm$

ভূমির ক্ষেত্রফল $=l \times b=80 \times 30=2400 cm^{2}$

পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল $=b \times h=30 \times 40=1200 cm^{2}$

পিছনের তলের ক্ষেত্রফল $=l \times h=80 \times 40=3200 cm^{2}$

প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল $=$ = ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল

$ \begin{alignedat} & +(2 \times \text{ একটি পার্শ্বীয় তলের ক্ষেত্রফল }) \\ = & 2400+3200+(2 \times 1200)=8000 cm^{2} \end{aligned} $

সুতরাং প্রয়োজনীয় রঙিন কাগজের ক্ষেত্রফল হল $8000 cm^{2}$।

উদাহরণ ৫ : একটি আয়তঘনাকার ঘরের অভ্যন্তরীণ মাপ $12 m \times 8 m \times 4 m$। ঘরের চারটি দেয়াল সাদা রং করার মোট খরচ নির্ণয় করুন, যদি সাদা রং করার খরচ ₹ ৫ প্রতি $m^{2}$ হয়। ঘরের ছাদও সাদা রং করা হলে খরচ কত হবে।

ধরি ঘরের দৈর্ঘ্য $=l=12\ \text{m}$

ঘরের প্রস্থ $=b=8 m$

ঘরের উচ্চতা $=h=4 m$

ঘরের চারটি দেয়ালের ক্ষেত্রফল $=$ = ভূমির পরিসীমা $\times$ × ঘরের উচ্চতা

$ \begin{aligned} & =2(l+b) \times h=2(12+8) \times 4 \\ & =2 \times 20 \times 4=160 m^{2} \end{aligned} $

প্রতি $m^{2}=₹ 5$ সাদা রং করার খরচ

সুতরাং ঘরের চারটি দেয়াল সাদা রং করার মোট খরচ $=₹(160 \times 5)=₹ 800$

ছাদের ক্ষেত্রফল হল $12 \times 8=96 m^{2}$

ছাদ সাদা রং করার খরচ $=₹(96 \times 5)=₹ 480$

সুতরাং মোট সাদা রং করার খরচ $=₹(800+480)=₹ 1280$

উদাহরণ ৬ : একটি ভবনে ২৪টি বেলনাকার স্তম্ভ আছে। প্রতিটি স্তম্ভের ব্যাসার্ধ $28 cm$ এবং উচ্চতা $4 m$। বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল প্রতি $m^{2}$ $₹ 8$ হারে সমস্ত স্তম্ভ রং করার মোট খরচ নির্ণয় করুন।

সমাধান: বেলনাকার স্তম্ভের ব্যাসার্ধ, $r=28 cm=0.28 m$

$ \text{ উচ্চতা, } h=4 m $

একটি সিলিন্ডারের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2 \pi r h$

একটি স্তম্ভের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2 \times \frac{22}{7} \times 0.28 \times 4=7.04 m^{2}$

২৪টি এরকম স্তম্ভের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=7.04 \times 24=168.96 m^{2}$ $1 m^{2}=₹ 8$ ক্ষেত্রফল রং করার খরচ

সুতরাং, $1689.6 m^{2}=1689.6 \times 8=₹ 13516.8$ রং করার খরচ

উদাহরণ ৭ : একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা নির্ণয় করুন যার ব্যাসার্ধ $7\ cm$ এবং মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $968 cm^{2}$।

সমাধান: ধরি সিলিন্ডারের উচ্চতা $=h$, ব্যাসার্ধ $=r=7 cm$

মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2 \pi r(h+r)$ অর্থাৎ,

$ \begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times(7+h) & =968 \\ h & =15 cm \end{aligned} $

সুতরাং, সিলিন্ডারের উচ্চতা হল $15 cm$।

অনুশীলনী ৯.২

১. সংলগ্ন চিত্রে দেখানো হিসাবে দুটি আয়তঘনাকার বাক্স আছে। কোন বাক্সটি তৈরি করতে কম উপাদানের প্রয়োজন?

২. একটি স্যুটকেস যার মাপ $80 cm \times$ $48 cm \times 24 cm$ তা

(ক)

(খ) একটি ত্রিপল কাপড় দিয়ে ঢাকতে হবে। ৯৬ সেমি প্রস্থের কত মিটার ত্রিপল ১০০টি এরকম স্যুটকেস ঢাকতে প্রয়োজন?

৩. একটি ঘনকের বাহু নির্ণয় করুন যার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $600 cm^{2}$।

৪. রুখসার একটি ক্যাবিনেটের বাইরের দিক রং করেছে যার মাপ $1 m \times 2 m \times 1.5 m$। সে কতটা

৫. ড্যানিয়েল একটি আয়তঘনাকার হলের দেয়াল এবং ছাদ রং করছে যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে $15 m, 10 m$, $7 m$ এবং $100 m^{2}$। প্রতিটি পেইন্টের ক্যান থেকে $7 m$ ক্ষেত্রফল রং করা যায়।

ঘরটি রং করতে তার কত ক্যান পেইন্টের প্রয়োজন হবে?

৬. বর্ণনা করুন কিভাবে ডানদিকের দুটি চিত্র একই রকম এবং কিভাবে তারা ভিন্ন। কোন বাক্সের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বেশি?

৭. ব্যাসার্ধ $7 m$ এবং উচ্চতা $3 m$ বিশিষ্ট একটি বদ্ধ বেলনাকার ট্যাংক একটি ধাতুর চাদর দিয়ে তৈরি। কতটা ধাতুর চাদর প্রয়োজন?

৮. একটি ফাঁপা সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের