9.1 परिचय

हमने सीखा है कि किसी बंद समतलीय आकृति के लिए परिमाप उसकी सीमा के चारों ओर की दूरी होती है और क्षेत्रफल वह भाग होता है जिसे वह ढकती है। हमने विभिन्न समतलीय आकृतियों जैसे त्रिभुज, आयत, वृत्त आदि का क्षेत्रफल और परिमाप निकाला है। हमने आयताकार आकृतियों में पथ या सीमाओं का क्षेत्रफल निकालना भी सीखा है।

इस अध्याय में हम चतुर्भुज जैसी अन्य समतलीय बंद आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को हल करने का प्रयास करेंगे।

हम घन, घनाभ और बेलन जैसे ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के बारे में भी सीखेंगे।

9.2 बहुभुज का क्षेत्रफल

हम एक चतुर्भुज को त्रिभुजों में विभाजित करके उसका क्षेत्रफल निकालते हैं। बहुभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए इसी प्रकार की विधियाँ प्रयोग की जा सकती हैं। एक पंचभुज के लिए निम्नलिखित को देखें: (चित्र 9.1, 9.2)

चित्र 9.1

दो विकर्णों $AC$ और $AD$ बनाकर पंचभुज $A B C D E$ को तीन भागों में विभाजित किया गया है। इसलिए, क्षेत्रफल $ABCDE = \triangle ABC$ का क्षेत्रफल $+ \triangle ACD$ का क्षेत्रफल $+ \triangle ADE$ का क्षेत्रफल

चित्र 9.1

एक विकर्ण $AD$ और उस पर दो लंब $BF$ और $CG$ बनाकर पंचभुज $ABCDE$ को चार भागों में विभाजित किया जाता है। इसलिए, $ABCDE$ का क्षेत्रफल = समकोण त्रिभुज $AFB$ का क्षेत्रफल + समलंब चतुर्भुज $BFGC$ का क्षेत्रफल + समकोण त्रिभुज $CGD$ का क्षेत्रफल + त्रिभुज $AED$ का क्षेत्रफल। (समलंब चतुर्भुज BFGC की समानांतर भुजाओं की पहचान करें।)

इन्हें आज़माएँ

(i) निम्नलिखित बहुभुजों (चित्र 9.3) को भागों (त्रिभुजों और समलंब चतुर्भुज) में विभाजित करें ताकि उनका क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सके।

FI बहुभुज EFGH का एक विकर्ण है

NQ बहुभुज MNOPQR का एक विकर्ण है

(ii) बहुभुज $ABCDE$ को नीचे दिखाए गए अनुसार भागों में विभाजित किया गया है (चित्र 9.4)। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि $AD=8 सेमी, AH=6 सेमी, AG=4 सेमी, AF=3 सेमी$ और लंब $BF=2 सेमी$, $CH=3 सेमी, FG=2.5 सेमी$ है।

बहुभुज $ABCDE$ का क्षेत्रफल = त्रिभुज $AFB$ का क्षेत्रफल + …

त्रिभुज $AFB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AF \times BF = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = …$

समलंब चतुर्भुज $FBCH$ का क्षेत्रफल = $FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad [FH=AH-AF] $

चित्र 9.4

$\triangle CHD$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ $\triangle ADE$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ इसलिए बहुभुज $ABCDE$ का क्षेत्रफल $=$…

(iii) बहुभुज MNOPQR (चित्र 9.5) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि $MP=9 सेमी, MD=7 सेमी, MC=6 सेमी, MB=4 सेमी$, $MA=2 सेमी$

$NA, OC, QD$ और $RB$ विकर्ण MP पर लंब हैं।

चित्र 9.5

उदाहरण 1 : एक समलंब के आकार के खेत का क्षेत्रफल $480 मी^{2}$ है, दो समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी $15 मी$ है और एक समानांतर भुजा $20 मी$ है। दूसरी समानांतर भुजा ज्ञात कीजिए।

हल: समलंब की एक समानांतर भुजा $a=20 मी$ है, माना दूसरी समानांतर भुजा $b$ है, ऊँचाई $h=15 मी$ है।

दिया गया समलंब का क्षेत्रफल $=480 मी^{2}$।

$ \begin{aligned} \text{ समलंब का क्षेत्रफल } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ इसलिए } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ या } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ या } 64 & =20+b \text{ या } b=44\text{ मी} \end{aligned} $

अतः समलंब की दूसरी समानांतर भुजा $44\ \text{मी}$ है।

उदाहरण 2 : एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $240 cm^{2}$ है और इसके एक विकर्ण की लंबाई $16 cm$ है। दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए एक विकर्ण की लंबाई $d_1=16 cm$ है

और $\quad\quad$ दूसरे विकर्ण की लंबाई $=d_2$ है

$\quad\quad$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

इसलिए, $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

अतः दूसरे विकर्ण की लंबाई $30 cm$ है।

एक षट्भुज MNOPQR है जिसकी भुजा $5\ cm$ है (चित्र 9.6)। अमन और रिधिमा ने इसे दो अलग-अलग तरीकों से विभाजित किया है (चित्र 9.7)।

इस षट्भुज का क्षेत्रफल दोनों तरीकों से ज्ञात कीजिए।

हल: अमन की विधि:

चित्र 9.7

चूँकि यह एक समषट्भुज है, NQ षट्भुज को दो सर्वांगसम समलंब चतुर्भुजों में विभाजित करता है। आप इसे कागज को मोड़कर सत्यापित कर सकते हैं (चित्र 9.8)।

अब समलंब MNQR का क्षेत्रफल $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$ है।

चित्र 9.9 इसलिए षट्भुज MNOPQR का क्षेत्रफल $=2 \times 32=64\ cm^{2}$ है।

रिधिमा की विधि:

$\Delta MNO$ और $\Delta RPQ$ सर्वांगसम त्रिभुज हैं जिनकी संगत ऊँचाइयाँ $3 cm$ हैं (चित्र 9.9)।

आप इन दोनों त्रिभुजों को काटकर एक के ऊपर एक रखकर इसकी पुष्टि कर सकते हैं।

$ \text{ क्षेत्रफल } \Delta MNO=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ क्षेत्रफल } \Delta RPQ $

आयत MOPR का क्षेत्रफल $=8 \times 5=40 cm^{2}$।

अब, षट्भुज MNOPQR का क्षेत्रफल $=40+12+12=64\ cm^{2}$।

अभ्यास 9.1

1. एक मेज़ की ऊपरी सतह का आकार एक समलंब है। यदि इसकी समानांतर भुजाएँ $1 m$ और $1.2 m$ हैं और उनके बीच की लंबवत दूरी $0.8 m$ है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक समलंब का क्षेत्रफल $34 , \text{cm}^{2}$ है और इसकी एक समानांतर भुजा की लंबाई

$10 cm$ है और इसकी ऊँचाई $4 cm$ है। दूसरी समानांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

3. एक समलंब आकार के खेत $A B C D$ की बाड़ की लंबाई $120 m$ है। यदि $B C=48 m, C D=17 m$ और $A D=40 m$ है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा $AB$ समानांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के लंबवत है।

6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा $5 cm$ है और ऊँचाई $4.8 cm$ है। यदि इसका एक विकर्ण $8 cm$ लंबा है, तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

7. एक इमारत की फर्श 3000 टाइलों से बनी है जो समचतुर्भुज आकार की हैं और प्रत्येक के विकर्ण क्रमशः $45 cm$ और $30 cm$ लंबे हैं। यदि प्रति $m^{2}$ पॉलिश करने की लागत ₹ 4 है, तो फर्श को पॉलिश करने की कुल लागत ज्ञात कीजिए।

8. मोहन एक समलंब आकार का खेत खरीदना चाहता है। इसकी नदी के किनारे वाली भुजा सड़क के किनारे वाली भुजा के समानांतर और उसकी दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल $10500 m^{2}$ है और दो समानांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी $100\ \text{m}$ है, तो नदी के किनारे वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

9. एक उठे हुए मंच की ऊपरी सतह आकृति में दिखाए अनुसार एक सम अष्टभुजाकार है। अष्टभुजाकार सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10. आकृति में दिखाए अनुसार एक पंचभुजाकार आकार का पार्क है।

इसके क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो भिन्न तरीकों से विभाजित किया।

इस पार्क का क्षेत्रफल दोनों तरीकों से ज्ञात कीजिए। क्या आप इसके क्षेत्रफल को ज्ञात करने का कोई अन्य तरीका सुझा सकते हैं?

11. संलग्न चित्र फ्रेम की आकृति में बाहरी माप = 24 सेमी × 28 सेमी और आंतरिक माप 16 सेमी × 20 सेमी है। यदि प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान हो, तो फ्रेम के प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

9.3 ठोस आकृतियाँ

अपनी पिछली कक्षाओं में आपने अध्ययन किया है कि द्विविमीय आकृतियाँ त्रिविमीय आकृतियों के फलकों के रूप में पहचानी जा सकती हैं। उन ठोसों का अवलोकन कीजिए जिन पर हमने अब तक चर्चा की है (आकृति 9.10)।

आकृति 9.10

ध्यान दीजिए कि कुछ आकृतियों के दो या दो से अधिक एक जैसे (सर्वांगसम) फलक हैं। उनके नाम बताइए। किस ठोस के सभी फलक सर्वांगसम हैं?

इसे कीजिए

साबुन, खिलौने, पेस्ट, नाश्ते आदि अक्सर घनाभ, घनाकार या बेलनाकार डिब्बों में आते हैं। ऐसे डिब्बे (आकृति 9.11) इकट्ठे कीजिए।

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{सभी छः फलक आयताकार हैं,} \\ \text{और विपरीत फलक} \ \text{एक जैसे हैं। इसलिए तीन} \ \text{जोड़े एक जैसे फलक हैं।} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{सभी छः फलक} \\ \text{चतुर्भुज हैं} \ \text{और एक जैसे हैं} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{एक वक्र सतह} \\ \text{और दो वृत्तीय} \\ \text{सतहें जो} \\ \text{एक समान हैं।} \\ \hline \end{array} $

अब एक समय में एक प्रकार के बॉक्स को लीजिए। इसकी सभी सतहों को काटकर निकालिए। प्रत्येक सतह की आकृति का अवलोकन कीजिए और उन्हें एक-दूसरे पर रखकर यह ज्ञात कीजिए कि बॉक्स की कितनी सतहें एक समान हैं। अपने अवलोकनों को लिखिए।

चित्र 9.12

(यह एक लंब वृत्तीय बेलन है)

क्या आपने निम्नलिखित बात को नोट किया:

बेलन में संपूर्ण वृत्तीय सतहें होती हैं जो एक-दूसरे के समानांतर होती हैं (चित्र 9.12)। ध्यान दीजिए कि वृत्तीय सतहों के केंद्रों को जोड़ने वाला रेखाखंड आधार पर लंबवत होता है। ऐसे बेलनों को लंब वृत्तीय बेलन कहा जाता है। हम केवल इस प्रकार के बेलनों का अध्ययन करने वाले हैं, यद्यपि अन्य प्रकार के बेलन भी होते हैं (चित्र 9.13)।

चित्र 9.13

(यह एक लंब वृत्तीय बेलन नहीं है)

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

यहाँ दिखाए गए ठोस को बेलन कहना गलत क्यों है?

9.4 घन, घनाभ और बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

इमरान, मोनिका और जसपाल क्रमशः एक घनाभाकार, घनाकार और बेलनाकार डिब्बे को एक ही ऊँचाई के साथ रंग रहे हैं (चित्र 9.4)।

वे यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि किसने अधिक क्षेत्रफल रंगा है। हरि ने सुझाव दिया कि प्रत्येक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने से उन्हें यह पता लगाने में मदद मिलेगी।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए, प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल निकालें और फिर जोड़ें। किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। इसे और स्पष्ट करने के लिए, हम प्रत्येक आकृति को एक-एक करके लेते हैं।

9.4.1 घनाभ

मान लीजिए आप एक घनाभाकार डिब्बे को काटकर खोलते हैं और उसे समतल कर देते हैं (चित्र 9.15)। हम नीचे दिखाए गए जाल को देख सकते हैं (चित्र 9.16)।

प्रत्येक भुजा की विमा लिखिए। आप जानते हैं कि एक घनाभ के तीन जोड़े समान फलकों के होते हैं। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप कौन-सा व्यंजक प्रयोग कर सकते हैं?

सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

चित्र 9.16 बॉक्स का। हम देखते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्षेत्रफल I + क्षेत्रफल II + क्षेत्रफल III + क्षेत्रफल IV + क्षेत्रफल V + क्षेत्रफल VI है

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ जहाँ $h, l$ और $b$ क्रमशः घनाभ की ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई हैं।

मान लीजिए ऊपर दिखाए गए बॉक्स की ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $20 cm, 15 cm$ और $10 cm$ हैं।

$ \begin{alignedat} \text{ तब कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित घनाभों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 9.17):

चित्र 9.17

• भुजाओं की दीवारें (ऊपर और नीचे के फलकों को छोड़कर) घनाभ की पार्श्व सतह क्षेत्रफल बनाती हैं। उदाहरण के लिए, जिस घनाभाकार कमरे में आप बैठे हैं, उसकी चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल इस कमरे का पार्श्व सतह क्षेत्रफल है (चित्र 9.18)। इसलिए, घनाभ का पार्श्व सतह क्षेत्रफल $2(h \times l + h \times b)$ या $2 h(l + b)$ द्वारा दिया जाता है।

इसे करें

(i) एक घनाभाकार डस्टर (जिसे आपके शिक्षक कक्षा में उपयोग करते हैं) की पार्श्व सतह को ब्राउन शीट के एक पट्टे से इस प्रकार ढकें कि वह ठीक सतह के चारों ओर फिट हो जाए। कागज को हटा लें। कागज के क्षेत्रफल को मापें। क्या यह डस्टर का पार्श्व सतह क्षेत्रफल है?

(ii) अपनी कक्षा की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को मापें और निम्नलिखित की गणना करें:

(a) खिड़कियों और दरवाजों के क्षेत्रफल को नजरअंदाज करते हुए, कमरे का कुल सतह क्षेत्रफल।

(b) इस कमरे का पार्श्व सतह क्षेत्रफल।

(c) कमरे का वह कुल क्षेत्रफल जिसे सफेद करना है।

सोचें, चर्चा करें और लिखें

1. क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल सतह क्षेत्रफल = पार्श्व सतह क्षेत्रफल $+2 \times$ आधार का क्षेत्रफल?

2. यदि हम घनाभ के आधार और ऊंचाई की लंबाइयों को आपस में बदल दें (चित्र 9.19(i)) ताकि एक अन्य घनाभ प्राप्त हो (चित्र 9.19(ii)), तो क्या इसका पार्श्व सतह क्षेत्रफल बदल जाएगा?

(i)

9.4.2 घन

करो यह

वर्गाकार कागज़ पर दिखाया गया नमूना खींचो और उसे काट लो [चित्र 9.20(i)]। (तुम जानते हो कि यह नमूना घन का जाल है। इसे रेखाओं के साथ मोड़ो [चित्र 9.20(ii)] और किनारों को टेप लगाकर एक घन बनाओ [चित्र 9.20(iii)]।

चित्र 9.20

(i)

चित्र 9.21

(a) घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्या है? ध्यान दो कि घन के सभी फलक वर्गाकार होते हैं। इससे घन की लंबाई, ऊंचाई और चौड़ाई समान होती है (चित्र 9.21(i))।

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल लिखो। क्या वे समान हैं?

(c) इस घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।

(d) यदि घन की प्रत्येक भुजा $l$ है, तो प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल क्या होगा? (चित्र 9.21(ii))। क्या हम कह सकते हैं कि भुजा $l$ वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 l^{2}$ है?

इन्हें आज़माइए

घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 9.22)।

चित्र 9.22

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

(i) दो घन, प्रत्येक की भुजा $b$, को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (चित्र 9.23)। इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह $6 b^{2}$ है? क्या तीन ऐसे घनों को मिलाकर बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $14 b^{2}$ है? क्यों?

चित्र 9.23

(ii) 12 समान लंबाई वाले घनों को आप किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे ताकि सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाला घनाभ बने?

(iii) एक घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को रंगने के बाद, उसे 64 समान आयाम वाले छोटे घनों में काटा गया है (चित्र 9.24)।

कितने घन ऐसे हैं जिनका कोई भी फलक रंगा नहीं है? 1 फलक रंगा है? 2 फलक रंगे हैं? 3 फलक रंगे हैं?

चित्र 9.24

9.4.3 बेलन

अधिकांश बेलन जो हम देखते हैं वे लंब वृत्तीय बेलन होते हैं। उदाहरण के लिए, टिन, गोल खंभे, ट्यूब लाइट, पानी की पाइप आदि।

इसे करें

(i) एक बेलनाकार डिब्बा या कैन लें और ग्राफ पेपर पर उसके आधार का चित्र बनाकर काट लें [चित्र 9.25(i)]। एक और ग्राफ पेपर लें जिसकी चौड़ाई डिब्बे की ऊँचाई के बराबर हो। उस पट्टी को डिब्बे के चारों ओर इस तरह लपेटें कि वह ठीक-ठीक डिब्बे के चारों ओर फिट हो जाए (अतिरिक्त कागज़ हटा दें) [चित्र 9.25(ii)]।

इन टुकड़ों को टेप से चिपकाकर एक बेलन बनाएं [चित्र 9.25(iii)] [चित्र 9.25(iv)]। डिब्बे के चारों ओर लपेटा गया कागज़ किस आकार का है?

बेशक यह आकार में आयताकार होता है। जब आप इस बेलन के भागों को टेप से चिपकाते हैं, तो आयताकार पट्टी की लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर होती है। वृत्ताकार आधार की त्रिज्या $(r)$, आयताकार पट्टी की लंबाई $(l)$ और चौड़ाई $(h)$ दर्ज करें। क्या $2 \pi r=$ पट्टी की लंबाई है। जांचें कि आयताकार पट्टी का क्षेत्रफल $2 \pi r h$ है या नहीं। गिनें कि वर्गाकार कागज के कितने वर्ग इकाई इस बेलन को बनाने में उपयोग किए गए हैं।

जांचें कि यह गिनती लगभग $2 \pi r(r+h)$ के बराबर है या नहीं।

(ii) हम $2 \pi r(r+h)$ संबंध को बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में दूसरे तरीके से भी निकाल सकते हैं। एक बेलन को नीचे दिखाए अनुसार काटने की कल्पना करें (चित्र 9.26)।

चित्र 9.26

नोट: हम $\pi$ को $\frac{22}{7}$ मानते हैं जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।

बेलन का पार्श्वीय (या वक्र) पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r h$ होता है।

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r^{2}+2 \pi r h$

$ =2 \pi r^{2}+2 \pi r h \text{ या } 2 \pi r(r+h) $

इन्हें आजमाएँ

निम्न बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 9.27)

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

ध्यान दीजिए कि बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि × बेलन की ऊँचाई होता है। क्या हम घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार का परिमाप × घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?

उदाहरण 4 : एक मछलीघर घनाभ के रूप में है जिसकी बाहरी माप 80 cm × 30 cm × 40 cm है। आधार, पार्श्व फलकों और पिछले फलक को रंगीन कागज से ढकना है। कागज की आवश्यक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?

हल: मछलीघर की लंबाई = l = 80 cm

मछलीघर की चौड़ाई = b = 30 cm

मछलीघर की ऊँचाई = h = 40 cm

आधार का क्षेत्रफल = l × b = 80 × 30 = 2400 cm²

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल = b × h = 30 × 40 = 1200 cm²

पिछले फलक का क्षेत्रफल = l × h = 80 × 40 = 3200 cm²

आवश्यक क्षेत्रफल = आधार का क्षेत्रफल + पिछले फलक का क्षेत्रफल

$ \begin{alignedat} & +(2 × \text{पार्श्व फलक का क्षेत्रफल}) \ = & 2400+3200+(2 × 1200)=8000 cm^{2} \end{aligned} $

अतः रंगीन कागज की आवश्यक क्षेत्रफल 8000 cm² है।

उदाहरण 5 : एक घनाभाकार कमरे की आंतरिक माप 12 m × 8 m × 4 m है। कमरे की चारों दीवारों को सफेद करने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए, यदि सफेदी का व्यय ₹ 5 प्रति m² है। यदि कमरे की छत को भी सफेद किया जाए तो सफेदी का व्यय क्या होगा?

माना कमरे की लंबाई = l = 12 m

कमरे की चौड़ाई = b = 8 m

कमरे की ऊँचाई = h = 4 m

कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × कमरे की ऊँचाई

$ \begin{aligned} & =2(l+b) \times h=2(12+8) \times 4 \\ & =2 \times 20 \times 4=160 m^{2} \end{aligned} $

सफेदी करने की लागत प्रति $m^{2}=₹ 5$

इसलिए कमरे की चार दीवारों की सफेदी की कुल लागत $=₹(160 \times 5)=₹ 800$

छत का क्षेत्रफल $12 \times 8=96 m^{2}$

छत की सफेदी की लागत $=₹(96 \times 5)=₹ 480$

इसलिए सफेदी की कुल लागत $=₹(800+480)=₹ 1280$

उदाहरण 6 : एक इमारत में 24 बेलनाकार खंभे हैं। प्रत्येक खंभे की त्रिज्या $28 cm$ और ऊँचाई $4 m$ है। सभी खंभों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ₹ 8 प्रति $m^{2}$ की दर से पेंट करने की कुल लागत ज्ञात कीजिए।

हल: बेलनाकार खंभे की त्रिज्या, $r=28 cm=0.28 m$

$ \text{ ऊँचाई, } h=4 m $

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h$

एक खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \times \frac{22}{7} \times 0.28 \times 4=7.04 m^{2}$

24 ऐसे खंभों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=7.04 \times 24=168.96 m^{2}$ $1 m^{2}$ क्षेत्रफल को पेंट करने की लागत $=₹ 8$

इसलिए, $1689.6 m^{2}$ को पेंट करने की लागत $=1689.6 \times 8=₹ 13516.8$

उदाहरण 7 : एक बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या $7\ cm$ है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $968 cm^{2}$ है।

हल: माना बेलन की ऊँचाई $=h$, त्रिज्या $=r=7 cm$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r(h+r)$ अर्थात्,

$ \begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times(7+h) & =968 \\ h & =15 cm \end{aligned} $

इसलिए, बेलन की ऊँचाई $15 cm$ है।

अभ्यास 9.2

1. आकृति में दिखाए गए दो घनाभाकार डिब्बे हैं। किस डिब्बे को बनाने में कम सामग्री की आवश्यकता होगी?

2. एक सूटकेस जिसकी माप $80 cm \times$ $48 cm \times 24 cm$ है, को

(a)

(b) एक तिरपाल के कपड़े से ढकना है। 96 cm चौड़ाई की तिरपाल के कितने मीटर कपड़े की आवश्यकता होगी ताकि 100 ऐसे सूटकेसों को ढका जा सके?

3. एक घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $600 cm^{2}$ है।

4. रुखसार ने $1 m \times 2 m \times 1.5 m$ माप वाले अलमारी के बाहर पेंट किया। उसने कितना

५. डेनियल एक घनाकार हॉल की दीवारों और छत को पेंट कर रही है, जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15 m, 10 m और 7 m है। प्रत्येक पेंट की कैन से 100 m² क्षेत्रफल पेंट किया जाता है।

कमरे को पेंट करने के लिए उसे कितनी पेंट की कैनों की आवश्यकता होगी?

६. वर्णन कीजिए कि दाईं ओर दो आकृतियाँ किस प्रकार समान हैं और किस प्रकार भिन्न हैं। किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

७. 7 m त्रिज्या और 3 m ऊँचाई का एक बंद बेलनाकार टैंक धातु की एक चादर से बनाया गया है। कितनी धातु की चादर की आवश्यकता है?

८. एक खोखले बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm² है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदर्श काटा गया और 33 cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई गई। आयताकार चादर की परिधि ज्ञात कीजिए?

९. एक सड़क रोलर एक सड़क को समतल करने के लिए एक बार में 750 पूर्ण चक्कर लेता है। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 cm और लंबाई 1 m है, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

१०. एक कंपनी अपना दूध पाउडर बेलनाकार डिब्बों में पैक करती है जिसके आधार का व्यास $14 cm$ और ऊँचाई $20 cm$ है। कंपनी डिब्बे की सतह के चारों ओर एक लेबल चिपकाती है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। यदि लेबल ऊपर और नीचे से $2 cm$ की दूरी पर लगाई जाती है, तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है।

9.5 घन, घनाभ और बेलन का आयतन

किसी त्रिविमीय वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा को उसका आयतन कहा जाता है। आप अपने आस-पास की वस्तुओं के आयतन की तुलना करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, एक कमरे का आयतन उसमें रखी अलमारी के आयतन से अधिक होता है। इसी प्रकार, आपकी पेंसिल बॉक्स का आयतन उसमें रखी पेन और रबड़ के आयतन से अधिक होता है।

क्या आप इनमें से किसी वस्तु का आयतन माप सकते हैं?

याद रखें, हम किसी क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालने के लिए वर्ग इकाइयों का उपयोग करते हैं। यहाँ हम ठोस का आयतन निकालने के लिए घन इकाइयों का उपयोग करेंगे, क्योंकि घन सबसे सुविधाजनक ठोस आकृति है (जैसे क्षेत्रफल निकालने के लिए वर्ग सबसे सुविधाजनक आकृति होती है)।

क्षेत्रफल निकालने के लिए हम क्षेत्र को वर्ग इकाइयों में बाँटते हैं, इसी प्रकार ठोस का आयतन निकालने के लिए हमें उसे घन इकाइयों में बाँटना होगा।

ध्यान दें कि संलग्न ठोसों में से प्रत्येक का आयतन 8 घन इकाई है (चित्र 9.28)।

हम कह सकते हैं कि एक ठोस का आयतन निर्धारित होता है

चित्र 9.28 इसमें मौजूद इकाई घनों की संख्या गिनकर। घन इकाइयाँ, जिनका हम आमतौर पर आयतन मापने के लिए उपयोग करते हैं, हैं

$ \begin{alignedat} 1 \text{ घन } cm & =1 cm \times 1 cm \times 1 cm=1 cm^{3} \ & =10 mm \times 10 mm \times 10 mm =\ldots \ldots \ldots \ldots . mm^{3} \ 1 \text{ घन } m & =1 m \times 1 m \times 1 m=1 m^{3} \ & =\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots cm^{3} \ 1 \text{ घन mm } & =1 mm \times 1 mm \times 1 mm=1 mm^{3} \ & =0.1 cm \times 0.1 cm \times 0.1 cm=0.001\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . cm^{3} \end{aligned} $

अब हम एक घनाभ, घन और बेलन के आयतन की गणना करने के लिए कुछ सूत्र देखते हैं। आइए प्रत्येक ठोस को एक-एक करके विचार करें।

9.5.1 घनाभ

समान आकार के 36 घन लें (अर्थात् प्रत्येक घन की लंबाई समान है)। उन्हें एक घनाभ बनाने के लिए व्यवस्थित करें। आप उन्हें कई तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी का अवलोकन करें और रिक्त स्थानों को भरें।

आप क्या देखते हैं?

चूँकि हमने इन घनाभों को बनाने के लिए 36 घनों का प्रयोग किया है, प्रत्येक घनाभ का आयतन 36 घन इकाई है। साथ ही, प्रत्येक घनाभ का आयतन घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है। उपरोक्त उदाहरण से हम कह सकते हैं कि घनाभ का आयतन $=l \times b \times h$ है। चूँकि $l \times b$ इसके आधार का क्षेत्रफल है, हम यह भी कह सकते हैं कि,

घनाभ का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

यह कीजिए

एक कागज की शीट लीजिए। इसका क्षेत्रफल मापिए। समान आकार की ऐसी कागज की शीटों को ढेर लगाकर एक घनाभ बनाइए (चित्र 9.29)। इस ढेर की ऊँचाई मापिए। शीट के क्षेत्रफल और शीटों के इस ढेर की ऊँचाई का गुणनफल निकालकर घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह गतिविधि इस विचार को दर्शाती है कि किसी ठोस का आयतन इस विधि से भी निकाला जा सकता है (यदि ठोस का आधार और शीर्ष सर्वांगसम हों और एक-दूसरे के समानांतर हों तथा इसकी भुजाएँ आधार पर लंबवत हों)। क्या आप ऐसी वस्तुओं के बारे में सोच सकते हैं जिनका आयतन इस विधि से निकाला जा सकता है?

इन्हें आजमाइए

निम्नलिखित घनाभों का आयतन ज्ञात कीजिए (चित्र 9.30)।

(i)

आकृति 9.29

9.5.2 घन

घन घनाभ का एक विशेष प्रकार है, जहाँ $l=b=h$।

इसलिए, घन का आयतन $=l \times l \times l=l^{3}$

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए
(a) जिसकी भुजा 4 सेमी है
(b) जिसकी भुजा $1.5, \text{मी}$ है

इसे कीजिए

64 समान आकार के घनों को जितने अधिक तरीकों से हो सके घनाभ बनाने की व्यवस्था कीजिए। प्रत्येक व्यवस्था का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाले ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी समान हो सकता है?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक कंपनी बिस्कुट बेचती है। पैकिंग के लिए वे घनाभीय डिब्बों का उपयोग कर रहे हैं: डिब्बा $A \to 3 सेमी \times 8 सेमी \times 20 सेमी$, डिब्बा $B \to 4 सेमी \times 12 सेमी \times 10 सेमी$। कंपनी के लिए किस आकार का डिब्बा किफायती होगा? क्यों? क्या आप कोई अन्य आकार (माप) सुझा सकते हैं जिसका आयतन समान हो लेकिन यह इनसे अधिक किफायती हो?

9.5.3 बेलन

हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल से ज्ञात किया जा सकता है। क्या हम बेलन का आयतन भी इसी प्रकार ज्ञात कर सकते हैं?

ठीक घनाभ की तरह, बेलन के भी ऊपर और नीचे समान और समानांतर आधार होते हैं। इसकी पार्श्व सतह भी आधार के लंबवत होती है, ठीक घनाभ की तरह।

इसलिए $ \quad$ घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

$ =l \times b \times h=l b h $

बेलन का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

$ =\pi r^{2} \times h=\pi r^{2} h $

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए।

9.6 आयतन और धारिता

इन दो शब्दों में ज़्यादा अंतर नहीं होता है।

(a) आयतन वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा को दर्शाता है।

(b) धारिता उस मात्रा को दर्शाती है जो एक बर्तन में समा सकती है।

नोट: यदि एक पानी की टिन $100 cm^{3}$ पानी रखती है तो पानी की टिन की धारिता $100 cm^{3}$ है।

धारिता को लीटर में भी मापा जाता है। लीटर और $cm^{3}$ के बीच संबंध है, $1 mL=1 cm^{3}, 1 L=1000 cm^{3}$। इस प्रकार, $1 m^{3}=1000000 cm^{3}=1000 L$।

उदाहरण 8 : एक घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन $275 cm^{3}$ है और आधार का क्षेत्रफल $25 cm^{2}$ है।

हल: $\quad$ घनाभ का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

$ \begin{aligned} \text{ इसलिए घनाभ की ऊँचाई } & =\frac{\text{ घनाभ का आयतन }}{\text{ आधार का क्षेत्रफल }} \ & =\frac{275}{25}=11 cm \end{aligned} $

घनाभ की ऊँचाई $11 cm$ है।

उदाहरण 9 : एक गोदाम एक घनाभ के रूप में है जिसकी मापें $60 m \times 40 m \times 30 m$ हैं। इसमें कितने घनाकार डिब्बे संग्रहित किए जा सकते हैं यदि एक डिब्बे का आयतन $0.8 m^{3}$ है?

हल: $\quad$ एक डिब्बे का आयतन $=0.8 m^{3}$

$ \text{ गोदाम का आयतन }=60 \times 40 \times 30=72000 m^{3} $

गोदाम में संग्रहित किए जा सकने वाले डिब्बों की संख्या $=\frac{\text{ गोदाम का आयतन }}{\text{ एक डिब्बे का आयतन }}$

$ =\frac{60 \times 40 \times 30}{0.8}=90,000 $

अतः गोदाम में संग्रहित किए जा सकने वाले घनाकार डिब्बों की संख्या 90,000 है।

एक आयताकार कागज जिसकी चौड़ाई $14 cm$ है, को इसकी लंबाई के अनुदर्श मोड़ा गया और एक बेलन बनाया गया जिसकी त्रिज्या $20 cm$ है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए (चित्र 9.31)। ($\pi$ के लिए $\frac{22}{7}$ लीजिए)

एक आयत को इसकी लंबाई के अनुदर्श मोड़कर एक बेलन बनाया गया है। अतः कागज की लंबाई बेलन की ऊंचाई बन जाती है और बेलन की त्रिज्या $20 cm$ है।

चित्र 9.31

बेलन की ऊंचाई $=h=14 cm$

त्रिज्या $=r=20 cm$

बेलन का आयतन $=V=\pi r^{2} h$

$ =\frac{22}{7} \times 20 \times 20 \times 14=17600 cm^{3} $

अतः बेलन का आयतन $17600 cm^{3}$ है।

उदाहरण 11 : एक आयताकार कागज़ का टुकड़ा जिसका माप 11 सेमी × 4 सेमी है, को बिना ओवरलैपिंग के मोड़कर 4 सेमी ऊँचाई का एक बेलन बनाया गया है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

कागज़ की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है और चौड़ाई ऊँचाई बन जाती है।

माना बेलन की त्रिज्या = r और ऊँचाई = h

बेलन के आधार की परिधि = 2πr = 11

या

$ \begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times r & =11 \ r & =\frac{7}{4} cm \end{aligned} $

बेलन का आयतन = V = πr²h

अतः बेलन का आयतन 38.5 सेमी³ है।

$ =\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 4 cm^{3}=38.5 cm^{3} $

अभ्यास 9.3

1. एक बेलनाकर टैंक दिया गया है, किस स्थिति में आप पृष्ठीय क्षेत्रफल और किस स्थिति में आयतन ज्ञात करेंगे।

(a) यह जानने के लिए कि यह कितना धारण कर सकता है।

(b) प्लास्टरिंग के लिए आवश्यक सीमेंट की थैलियों की संख्या।

(c) यह जानने के लिए कि इससे कितने छोटे टैंक पानी से भरे जा सकते हैं।

२. बेलन A का व्यास 7 cm है और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm है और ऊँचाई 7 cm है। किसी गणना किए बिना क्या आप बता सकते हैं किसका आयतन अधिक है? इसकी पुष्टि दोनों बेलनों के आयतन निकालकर करें। जाँच करें कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है?

३. एक घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आधार क्षेत्रफल 180 cm² है और आयतन 900 cm³ है?

४. एक घनाभ की विमाएँ 60 cm × 54 cm × 30 cm हैं। 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घन इस घनाभ में रखे जा सकते हैं?

५. उस बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ है और आधार का व्यास 140 cm है?

६. एक दूध का टैंक बेलनाकार है जिसकी त्रिज्या 1.5 m और लंबाई 7 m है। टैंक में कितने लीटर दूध संग्रहीत किया जा सकता है?

७. यदि एक घन की प्रत्येक भुजा दोगुनी कर दी जाए,

(i) इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कितनी बार बढ़ेगा?

(ii) इसका आयतन कितनी बार बढ़ेगा?

8. एक घनाभाकार जलाशय में पानी 60 लीटर प्रति मिनट की दर से आ रहा है। यदि जलाशय का आयतन 108 m³ है, तो जलाशय को भरने में कितने घंटे लगेंगे, ज्ञात कीजिए।

हमने क्या चर्चा की है??

1. किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

2. किसी वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक घनाभ = 2(lb + bh + hl)

एक घन = 6 l²

एक बेलन = 2πr(r+h)

3. किसी ठोस द्वारा घिरा गया क्षेत्र उसके आयतन कहलाता है।

4. किसी पदार्थ का आयतन

एक घनाभ = l × w × h

एक घन = l³

एक बेलन = πr²h

5. (i) 1 cm³ = 1 mL

(ii) 1 L = 1000 cm³

(iii) 1 m³ = 1000000 cm³ = 1000 L