9.1 పరిచయం

ఒక సమతల బహుభుజి ఆకారం యొక్క చుట్టుకొలత అనేది దాని సరిహద్దు చుట్టూ ఉన్న దూరం మరియు దాని వైశాల్యం అనేది అది ఆవరించిన ప్రాంతం అని మనం నేర్చుకున్నాము. మనం త్రిభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు, వృత్తాలు మొదలైన వివిధ సమతల ఆకారాల వైశాల్యం మరియు చుట్టుకొలతను కనుగొన్నాము. దీర్ఘచతురస్రాకార ఆకారాలలో మార్గాలు లేదా అంచుల వైశాల్యాన్ని కూడా కనుగొనడం నేర్చుకున్నాము.

ఈ అధ్యాయంలో, చతుర్భుజాలు వంటి ఇతర సమతల బహుభుజి ఆకారాల చుట్టుకొలత మరియు వైశాల్యానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

క్యూబ్, క్యూబాయిడ్ మరియు సిలిండర్ వంటి ఘన పదార్థాల ఉపరితల వైశాల్యం మరియు ఘనపరిమాణం గురించి కూడా నేర్చుకుంటాము.

9.2 బహుభుజి వైశాల్యం

మనం ఒక చతుర్భుజాన్ని త్రిభుజాలుగా విభజించి దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము. ఇలాంటి పద్ధతులను ఒక బహుభుజి వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించవచ్చు. ఒక పంచభుజి కోసం ఈ క్రింది వాటిని గమనించండి: (Fig 9.1, 9.2)

Fig 9.1

రెండు కర్ణాలు $AC$ మరియు $AD$ ని నిర్మించడం ద్వారా పంచభుజి $A B C D E$ మూడు భాగాలుగా విభజించబడింది. కాబట్టి, వైశాల్యం $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ వైశాల్యం + $\triangle ACD+$ వైశాల్యం + $\triangle ADE$ వైశాల్యం

Fig 9.1

ఒక కర్ణం $AD$ మరియు దానిపై రెండు లంబాలు $BF$ మరియు $CG$ ని నిర్మించడం ద్వారా, పంచభుజి $ABCDE$ నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడింది. కాబట్టి, $ABCDE=$ వైశాల్యం = లంబకోణ త్రిభుజం $\triangle AFB+$ వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం $BFGC+$ వైశాల్యం + లంబకోణ త్రిభుజం $\Delta CGD+$ వైశాల్యం + $\triangle AED$ వైశాల్యం. (సమలంబ చతుర్భుజం BFGC యొక్క సమాంతర భుజాలను గుర్తించండి.)

TRY THESE

(i) క్రింది బహుభుజుల (Fig 9.3) వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి వాటిని భాగాలుగా (త్రిభుజాలు మరియు సమలంబ చతుర్భుజం) విభజించండి.

FI అనేది బహుభుజి EFGH యొక్క కర్ణం

NQ అనేది బహుభుజి MNOPQR యొక్క కర్ణం

(ii) బహుభుజి $ABCDE$ క్రింద చూపిన విధంగా (Fig 9.4) భాగాలుగా విభజించబడింది. $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ మరియు లంబాలు $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

బహుభుజి $ABCDE=$ వైశాల్యం = $\triangle AFB+\ldots$ వైశాల్యాల మొత్తం.

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ వైశాల్యం

సమలంబ చతుర్భుజం $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ వైశాల్యం

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

Fig 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ వైశాల్యం = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ వైశాల్యం కాబట్టి, బహుభుజి $ABCDE=$ వైశాల్యం…

(iii) బహుభుజి MNOPQR (Fig 9.5) వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి, ఇక్కడ $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ మరియు $RB$ లు కర్ణం MP పై లంబాలు.

Fig 9.5

Example 1 : ఒక సమలంబ చతుర్భుజం ఆకారపు మైదానం వైశాల్యం $480 m^{2}$, రెండు సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం $15 m$ మరియు ఒక సమాంతర భుజం $20 m$. మరొక సమాంతర భుజాన్ని కనుగొనండి.

Solution: సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క ఒక సమాంతర భుజం $a=20 m$, మరొక సమాంతర భుజం $b$, ఎత్తు $h=15 m$ అనుకుందాం.

సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క ఇవ్వబడిన వైశాల్యం $=480 m^{2}$.

$ \begin{aligned} \text{ సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ కాబట్టి } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ or } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ or } 64 & =20+b \text{ or } b=44\text{ m} \end{aligned} $

అందువల్ల సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క మరొక సమాంతర భుజం $44\ \text{m}$.

Example 2 : ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్) వైశాల్యం $240 cm^{2}$ మరియు దాని ఒక కర్ణం $16 cm$. మరొక కర్ణాన్ని కనుగొనండి.

ఒక కర్ణం పొడవు $d_1=16 cm$ అనుకుందాం

మరియు $\quad\quad$ మరొక కర్ణం పొడవు $=d_2$ అనుకుందాం

$\quad\quad$ సమచతుర్భుజం వైశాల్యం $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

కాబట్టి, $ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

అందువల్ల రెండవ కర్ణం పొడవు $30 cm$.

భుజం $5\ cm$ గల ఒక షడ్భుజి MNOPQR ఉంది (Fig 9.6). అమన్ మరియు రిధిమా దానిని రెండు వేర్వేరు విధాలుగా విభజించారు (Fig 9.7).

రెండు విధాలతో ఈ షడ్భుజి వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

Solution: అమన్ పద్ధతి:

Fig 9.7

ఇది ఒక సమషడ్భుజి కాబట్టి, NQ షడ్భుజిని రెండు సర్వసమాన సమలంబ చతుర్భుజాలుగా విభజిస్తుంది. మీరు దీన్ని కాగితం మడతపెట్టి ధృవీకరించవచ్చు (Fig 9.8).

ఇప్పుడు సమలంబ చతుర్భుజం MNQR వైశాల్యం $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$.

Figure 9.9 కాబట్టి షడ్భుజి MNOPQR వైశాల్యం $=2 \times 32=64\ cm^{2}$.

రిధిమా పద్ధతి:

$\Delta MNO$ మరియు $\Delta RPQ$ లు సర్వసమాన త్రిభుజాలు మరియు వాటి సంబంధిత ఎత్తులు $3 cm$ (Fig 9.9).

మీరు ఈ రెండు త్రిభుజాలను కత్తిరించి ఒకదానిపై మరొకటి ఉంచడం ద్వారా దీన్ని ధృవీకరించవచ్చు.

$ \text{ Area of } \Delta MNO=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ Area of } \Delta RPQ $

దీర్ఘచతురస్రం MOPR వైశాల్యం $=8 \times 5=40 cm^{2}$.

ఇప్పుడు, షడ్భుజి MNOPQR వైశాల్యం $=40+12+12=64\ cm^{2}$.

EXERCISE 9.1

1. ఒక టేబుల్ పై ఉపరితలం ఆకారం ఒక సమలంబ చతుర్భుజం. దాని సమాంతర భుజాలు $1 m$ మరియు $1.2 m$ మరియు వాటి మధ్య లంబదూరం $0.8 m$ అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఒక సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం $34 , \text{cm}^{2}$ మరియు ఒక సమాంతర భుజం పొడవు

$10 cm$ మరియు దాని ఎత్తు $4 cm$. మరొక సమాంతర భుజం పొడవును కనుగొనండి.

3. ఒక సమలంబ చతుర్భుజం ఆకారపు మైదానం యొక్క కంచె పొడవు $A B C D$ $120 m$. ఒకవేళ $B C=48 m, C D=17 m$ మరియు $A D=40 m$ అయితే, ఈ మైదానం వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. భుజం $AB$ సమాంతర భుజాలు $AD$ మరియు $BC$ లకు లంబంగా ఉంటుంది.

4. ఒక చతుర్భుజం ఆకారపు మైదానం యొక్క కర్ణం $24 m$ మరియు మిగిలిన ఎదురెదురు శీర్షాల నుండి దానిపై పడే లంబాలు $8 m$ మరియు $13 m$. మైదానం వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

5. ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్) యొక్క కర్ణాలు $7.5 cm$ మరియు $12 cm$. దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

6. ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్) వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి, దీని భుజం $5 cm$ మరియు దాని ఎత్తు (ఉన్నతి) $4.8 cm$. దాని ఒక కర్ణం పొడవు $8 cm$ అయితే, మరొక కర్ణం పొడవును కనుగొనండి.

7. ఒక భవనం నేల 3000 టైల్స్ తో కూడి ఉంది, అవి సమచతుర్భుజం ఆకారంలో ఉన్నాయి మరియు వాటి ప్రతి కర్ణాలు $45 cm$ మరియు $30 cm$ పొడవు కలిగి ఉన్నాయి. నేలను పాలిష్ చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి, ఒకవేళ ప్రతి $m^{2}$ కు ఖర్చు ₹ 4 అయితే.

8. మోహన్ ఒక సమలంబ చతుర్భుజం ఆకారపు మైదానాన్ని కొనాలనుకుంటున్నాడు. నది వెంబడి ఉన్న దాని భుజం, రోడ్డు వెంబడి ఉన్న భుజానికి సమాంతరంగా మరియు రెట్టింపు పొడవు కలిగి ఉంటుంది. ఈ మైదానం వైశాల్యం $10500 m^{2}$ మరియు రెండు సమాంతర భుజాల మధ్య లంబదూరం

9. ఒక ఎత్తైన వేదిక పై ఉపరితలం ఒక సమ అష్టభుజి ఆకారంలో ఉంది, చిత్రంలో చూపినట్లు. అష్టభుజి ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

10. చిత్రంలో చూపినట్లుగా ఒక పంచభుజి ఆకారపు పార్క్ ఉంది.

దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, జ్యోతి మరియు కవితా దానిని రెండు వేర్వేరు విధాలుగా విభజించారు.

రెండు విధాలతో ఈ పార్క్ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి మీరు మరేదైనా ఇతర మార్గాన్ని సూచించగలరా?

11. ప్రక్కనే ఉన్న ఫోటో ఫ్రేమ్ యొక్క రేఖాచిత్రం బాహ్య కొలతలు $=24 cm \times 28 cm$ మరియు అంతర కొలతలు $16 cm \times 20 cm$ కలిగి ఉంది. ఫ్రేమ్ యొక్క ప్రతి విభాగం వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి, ఒకవేళ ప్రతి విభాగం వెడల్పు సమానంగా ఉంటే.

9.3 ఘన ఆకారాలు

మీరు మునుపటి తరగతులలో, ద్విమితీయ ఆకారాలను త్రిమితీయ ఆకారాల ముఖాలుగా గుర్తించవచ్చని అధ్యయనం చేశారు. మేము ఇప్పటివరకు చర్చించిన ఘన పదార్థాలను గమనించండి (Fig 9.10).

Fig 9.10

కొన్ని ఆకారాలు రెండు లేదా రెండు కంటే ఎక్కువ సర్వసమాన (కాంగ్రూయెంట్) ముఖాలను కలిగి ఉంటాయని గమనించండి. వాటిని పేరుపెట్టండి. ఏ ఘన పదార్థం అన్ని ముఖాలు సర్వసమానంగా ఉంటాయి?

DO THIS

సబ్బులు, బొమ్మలు, పేస్ట్లు, స్నాక్స్ మొదలైనవి తరచుగా దీర్ఘఘనం, ఘనం లేదా స్థూపాకార పెట్టెల ప్యాకింగ్లో వస్తాయి. అటువంటి పెట్టెలను సేకరించండి (Fig 9.11).

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{అన్ని ఆరు ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉంటాయి,} \\ \text{మరియు ఎదురెదురు ముఖాలు} \ \text{సర్వసమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి మూడు} \ \text{జతల సర్వసమాన ముఖాలు ఉంటాయి.} \\ \hline \end{array} $

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ఒక వక్ర ఉపరితలం} \\ \text{మరియు రెండు వృత్తాకార} \\ \text{ముఖాలు, అవి} \\ \text{సర్వసమానంగా ఉంటాయి.} \\ \hline \end{array} $

ఇప్పుడు ఒక సమయంలో ఒక రకమైన పెట్టెను తీసుకోండి. దానికి ఉన్న అన్ని ముఖాలను కత్తిరించండి. ప్రతి ముఖం యొక్క ఆకారాన్ని గమనించండి మరియు వాటిని ఒకదానిపై మరొకటి ఉంచడం ద్వారా పెట్టెకు ఉన్న సర్వసమాన ముఖాల సంఖ్యను కనుగొనండి. మీ పరిశీలనలను రాయండి.

Fig. 9.12

(ఇది ఒక లంబ వృత్త స్థూపం)

మీరు ఈ క్రింది వాటిని గమనించారా:

స్థూపం సర్వసమాన వృత్తాకార ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది, అవి ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి (Fig 9.12). వృత్తాకార ముఖాల కేంద్రాలను కలిపే రేఖాఖండం పాదానికి లంబంగా ఉంటుందని గమనించండి. అటువంటి స్థూపాలను లంబ వృత్త స్థూపాలు అంటారు. ఇతర రకాల స్థూపాలు కూడా ఉన్నప్పటికీ (Fig 9.13), మేము ఈ రకమైన స్థూపాలను మాత్రమే అధ్యయనం చేయబోతున్నాము.

Fig 9.13

(ఇది లంబ వృత్త స్థూపం కాదు)

THINK, DISCUSS AND WRITE

ఇక్కడ చూపబడిన ఘన పదార్థాన్ని స్థూపం అని పిలవడం ఎందుకు తప్పు?

9.4 ఘనం, దీర్ఘఘనం మరియు స్థూపం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం

ఇమ్రాన్, మోనికా మరియు జస్పాల్ వరుసగా ఒక దీర్ఘఘనాకార, ఘనాకార మరియు స్థూపాకార పెట్టెలను ఒకే ఎత్తుతో పెయింట్ చేస్తున్నారు (Fig 9.4).

వారిలో ఎవరు ఎక్కువ ప్రాంతాన్ని పెయింట్ చేశారో నిర్ణయించడానికి వారు ప్రయత్నిస్తున్నారు. హరి ప్రతి పెట్టె యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం వారికి సహాయపడుతుందని సూచించాడు.

మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, ప్రతి ముఖం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొని, ఆపై కూడండి. ఒక ఘన పదార్థం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం అనేది దాని ముఖాల వైశాల్యాల మొత్తం. మరింత స్పష్టంగా చెప్పడానికి, మేము ప్రతి ఆకారాన్ని ఒక్కొక్కటిగా తీసుకుంటాము.

9.4.1 దీర్ఘఘనం

మీరు ఒక దీర్ఘఘనాకార పెట్టెను కత్తిరించి తెరిచి, దాన్ని సమతలంగా పరచినట్లు ఊహించుకోండి (Fig 9.15). మనం క్రింద చూపిన విధంగా ఒక నెట్ (జాలం) ను చూడవచ్చు (Fig 9.16).

ప్రతి భుజం యొక్క కొలతను రాయండి. దీర్ఘఘనానికి మూడు జతల సర్వసమాన ముఖాలు ఉంటాయని మీకు తెలుసు. ప్రతి ముఖం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి మీరు ఏ వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించవచ్చు?

పెట్టె యొక్క అన్ని ముఖాల మొత్తం వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

Fig 9.16. దీర్ఘఘనం యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం = వైశాల్యం I + వైశాల్యం II + వైశాల్యం III + వైశాల్యం IV +వైశాల్యం $V+$ + వైశాల్యం $VI$ అని మనం చూస్తాము.

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

కాబట్టి మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$, ఇక్కడ $h, l$, $b$ మరియు $20 cm, 15 cm$ లు వరుసగా దీర్ఘఘనం యొక్క ఎత్తు, పొడవు మరియు వెడల్పు.

పైన చూపబడిన పెట్టె యొక్క ఎత్తు, పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $20 cm, 15 cm$, $10 cm$ మరియు $2(h \times l + h \times b)$ అనుకుందాం.

$ \begin{alignedat} \text{ అప్పుడు మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

TRY THESE

క్రింది దీర్ఘఘనాల మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి (Fig 9.17):

Fig 9.17

• పార్శ్వ ఉపరితలాలు (పై మరియు క్రింది ముఖాలు తప్ప) దీర్ఘఘనం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఉదాహరణకు, మీరు కూర్చున్న దీర్ఘఘనాకార గది యొక్క నాలుగు గోడల మొత్తం వైశాల్యం ఈ గది యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం (Fig 9.18). అందువల్ల, దీర్ఘఘనం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం $2(h \times l + h \times b)$ లేదా $2 h(l + b)$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

DO THIS

(i) ఒక దీర్ఘఘనాకార డస్టర్ (ఇది మీ ఉపాధ్యాయుడు తరగతి గదిలో ఉపయోగిస్తారు) యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని ఒక బ్రౌన్ షీట్ కాగితంతో కప్పండి, అది ఉపరితలం చుట్టూ సరిగ్గా సరిపోయేలా. కాగితాన్ని తీసివేయండి. కాగితం యొక్క వైశాల్యాన్ని కొలవండి. ఇది డస్టర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యమా?

(ii) మీ తరగతి గది యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తును కొలవండి మరియు లెక్కించండి

(a) కిటికీలు మరియు తలుపుల వైశాల్యాన్ని విస్మరించి, గది యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం.

(b) ఈ గది యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం.

(c) వైట్ వాష్ చేయవలసిన గది యొక్క మొత్తం వైశాల్యం.

THINK, DISCUSS AND WRITE

1. దీర్ఘఘనం యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం = పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం $+2 \times$ పాదం యొక్క వైశాల్యం అని మనం చెప్పగలమా?

2. మనం ఒక దీర్ఘఘనం యొక్క పాదం పొడవు మరియు ఎత్తును మార్పిడి చేస్తే (Fig 9.19(i)), మరొక దీర్ఘఘనం (Fig 9.19(ii)) పొందినట్లయితే, దాని పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం మారుతుందా?

(i)

9.4.2 ఘనం

DO THIS

చతురస్రాకార కాగితంపై చూపబడిన నమూనాను గీయండి మరియు దాన్ని కత్తిరించండి [Fig 9.20(i)]. (ఈ నమూనా ఒక ఘనం యొక్క జాలం అని మీకు తెలుసు. దాన్ని రేఖల వెంబడి మడతపెట్టండి [Fig 9.20(ii)] మరియు అంచులను టేప్ చేయండి, ఒక ఘనం ఏర్పడేలా [Fig 9.20(iii)]).

Fig. 9.20

(i)

Figure 9.21

(a) ఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత