6.1 تعارف

یہ ہندوستان کے عظیم ریاضیاتی عبقری، ایس رامانجن کی ایک کہانی ہے۔ ایک دفعہ ایک اور مشہور ریاضی دان پروفیسر جی ایچ ہارڈی ان سے ملنے ایک ٹیکسی میں آئے جس کا نمبر 1729 تھا۔ رامانجن سے بات کرتے ہوئے، ہارڈی نے اس نمبر کو “ایک بے لطف نمبر” قرار دیا۔ رامانجن نے فوراً اشارہ کیا کہ 1729 واقعی دلچسپ ہے۔ انہوں نے کہا کہ یہ سب سے چھوٹا نمبر ہے جسے دو مختلف طریقوں سے دو مکعبوں کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 اس وقت سے ہارڈی - رامانجن نمبر کے نام سے جانا جاتا ہے، حالانکہ 1729 کی یہ خصوصیت رامانجن سے 300 سال پہلے بھی معلوم تھی۔

رامانجن کو یہ کیسے معلوم تھا؟ دراصل، انہیں اعداد سے محبت تھی۔ تمام

ہارڈی - رامانجن نمبر

1729 سب سے چھوٹا ہارڈی-رامانجن نمبر ہے۔ ایسے لامحدود اعداد ہیں۔ چند ہیں 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$؛ $2,24)$، بریکٹس میں دیے گئے اعداد سے اس کی تصدیق کریں۔ اپنی زندگی بھر، انہوں نے اعداد کے ساتھ تجربات کیے۔ شاید انہیں ایسے اعداد ملے جو دو مربعوں کے مجموعے اور دو مکعبوں کے مجموعے کے طور پر بھی ظاہر ہوتے تھے۔

مکعبوں کے بہت سے دیگر دلچسپ نمونے ہیں۔ آئیے مکعبوں، جذر مکعب اور ان سے متعلق بہت سے دیگر دلچسپ حقائق کے بارے میں جانیں۔

6.2 مکعب

آپ جانتے ہیں کہ لفظ ‘کیوب’ (مکعب) ہندسہ میں استعمال ہوتا ہے۔ ایک مکعب ایک ٹھوس شکل ہے جس کی تمام اطراف برابر ہوتی ہیں۔ $1 cm$ ضلع کے کتنے مکعب $2 cm$ ضلع کا ایک مکعب بنائیں گے؟

$1 cm$ ضلع کے کتنے مکعب $3 cm$ ضلع کا ایک مکعب بنائیں گے؟

اعداد پر غور کریں $1,8,27, \ldots$

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$۔

چونکہ $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$، اس لیے 125 ایک مکعب عدد ہے۔

کیا 9 ایک مکعب عدد ہے؟ نہیں، کیونکہ $9=3 \times 3$ اور کوئی قدرتی عدد ایسا نہیں ہے جسے تین بار لے کر ضرب دینے پر 9 ملے۔ ہم یہ بھی دیکھ سکتے ہیں کہ $2 \times 2 \times 2=8$ اور $3 \times 3 \times 3=27$۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ 9 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔

ذیل میں 1 سے 10 تک کے اعداد کے مکعب ہیں۔

جدول 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{اعداد 729, 1000, 1728}\\ \text{بھی کامل مکعب ہیں۔} \\ \hline \end{array} $

1 سے 1000 تک صرف دس کامل مکعب ہیں۔ (اس کی تصدیق کریں)۔ 1 سے 100 تک کتنے کامل مکعب ہیں؟

جفت اعداد کے مکعبوں پر غور کریں۔ کیا وہ سب جفت ہیں؟ آپ طاق اعداد کے مکعبوں کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

ذیل میں 11 سے 20 تک کے اعداد کے مکعب ہیں۔

جدول 2

ایک ایسے عدد پر غور کریں جس کے اکائی کے مقام پر 1 ہو۔ ان میں سے ہر ایک کا مکعب معلوم کریں۔ آپ اکائی کے مقام پر 1 والے عدد کے مکعب کے اکائی کے ہندسے کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

اسی طرح، $2,3,4, \ldots$ وغیرہ پر ختم ہونے والے اعداد کے مکعبوں کے اکائی کے ہندسے کی تحقیق کریں۔

کوشش کریں

درج ذیل میں سے ہر عدد کے مکعب کا اکائی کا ہندسہ معلوم کریں۔

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 کچھ دلچسپ نمونے

1. متواتر طاق اعداد کا جمع

طاق اعداد کے مجموعے کے درج ذیل نمونے پر غور کریں۔

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

کیا یہ دلچسپ نہیں ہے؟ مجموعہ کے طور پر $10^{3}$ حاصل کرنے کے لیے کتنے متواتر طاق اعداد درکار ہوں گے؟

کوشش کریں

درج ذیل اعداد کو اوپر والے نمونے کا استعمال کرتے ہوئے طاق اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کریں؟

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

درج ذیل نمونے پر غور کریں۔

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

اوپر والے نمونے کا استعمال کرتے ہوئے، درج ذیل کی قدر معلوم کریں۔

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. مکعب اور ان کے اجزائے ضربی

اعداد اور ان کے مکعبوں کی درج ذیل اجزائے ضربی پر غور کریں۔

$\begin{array}{cc} \text{کسی عدد کے اجزائے ضربی} & \text{اس کے مکعب کے اجزائے ضربی} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ہر جزو ضربی}\\ \text{اس کے مکعب میں تین بار}\\ \text{ظاہر ہوتا ہے} \\ \hline \end{array} $

کیا 729 ایک کامل مکعب ہے؟

ہاں، 729 ایک کامل مکعب ہے۔

غور کریں کہ کسی عدد کا ہر جزو ضربی اس کے مکعب کے اجزائے ضربی میں تین بار ظاہر ہوتا ہے۔

کسی عدد کے اجزائے ضربی میں، اگر ہر جزو تین بار ظاہر ہوتا ہے، تو کیا عدد ایک کامل مکعب ہے؟

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{کیا آپ کو یاد ہے کہ}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

اس کے بارے میں سوچیں۔ کیا 216 ایک کامل مکعب ہے؟

اجزائے ضربی کے ذریعے، $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ہر جزو 3 بار ظاہر ہوتا ہے۔ $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ جو ایک کامل مکعب ہے! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

اب آئیے 500 کے لیے چیک کرتے ہیں۔

500 کے اجزائے ضربی ہیں $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$۔

لہذا، 500 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔

مثال 1 : کیا 243 ایک کامل مکعب ہے؟

حل: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{حاصل ضرب میں تین }\\ \text{5 ہیں لیکن } \\ \text{صرف دو 2 ہیں۔ } \\ \hline \end{array} $

اوپر والے اجزائے ضربی میں $3 \times 3$ تین گروہوں میں گروہ بندی کرنے کے بعد باقی رہ جاتا ہے۔ لہذا، 243 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔

کوشش کریں

درج ذیل میں سے کون سے کامل مکعب ہیں؟

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 سب سے چھوٹا ضرب جو ایک کامل مکعب ہے

راج نے پلاسٹسین کا ایک مکعب نما بنایا۔ مکعب نما کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی بالترتیب $15 cm$، $30 cm, 15 cm$ ہیں۔

انو پوچھتی ہے کہ اسے ایک کامل مکعب بنانے کے لیے ایسے کتنے مکعب نما درکار ہوں گے؟ کیا آپ بتا سکتے ہیں؟

راج نے کہا، مکعب نما کا حجم ہے $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

چونکہ اجزائے ضربی میں صرف ایک 2 ہے۔ اس لیے ہمیں $2 \times 2$، یعنی 4 کی ضرورت ہے تاکہ اسے ایک کامل مکعب بنایا جا سکے۔ لہذا، ہمیں ایک مکعب بنانے کے لیے 4 ایسے مکعب نما درکار ہیں۔

مثال 2 : کیا 392 ایک کامل مکعب ہے؟ اگر نہیں، تو وہ سب سے چھوٹا قدرتی عدد معلوم کریں جس سے 392 کو ضرب دینے پر حاصل ضرب ایک کامل مکعب بن جائے۔

حل: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

جزو ضربی 7 تین کے گروہ میں ظاہر نہیں ہوتا۔ لہذا، 392 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔ اسے ایک مکعب بنانے کے لیے، ہمیں ایک اور 7 کی ضرورت ہے۔ اس صورت میں

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

لہذا سب سے چھوٹا قدرتی عدد جس سے 392 کو ضرب دے کر ایک کامل مکعب بنایا جا سکتا ہے وہ 7 ہے۔

مثال 3 : کیا 53240 ایک کامل مکعب ہے؟ اگر نہیں، تو 53240 کو سب سے چھوٹے کس قدرتی عدد سے تقسیم کیا جائے تاکہ خارج قسمت ایک کامل مکعب بن جائے؟

حل: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

جزو ضربی 5 تین کے گروہ میں ظاہر نہیں ہوتا۔ لہذا، 53240 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔ اجزائے ضربی میں 5 صرف ایک بار ظاہر ہوتا ہے۔ اگر ہم عدد کو 5 سے تقسیم کریں، تو خارج قسمت کے اجزائے ضربی میں 5 شامل نہیں ہوگا۔

لہذا،

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

لہذا سب سے چھوٹا عدد جس سے 53240 کو تقسیم کر کے اسے ایک کامل مکعب بنایا جا سکتا ہے وہ 5 ہے۔

اس صورت میں کامل مکعب ہے $=10648$۔

مثال 4 : کیا 1188 ایک کامل مکعب ہے؟ اگر نہیں، تو 1188 کو سب سے چھوٹے کس قدرتی عدد سے تقسیم کیا جائے تاکہ خارج قسمت ایک کامل مکعب بن جائے؟

حل: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

اجزائے ضربی 2 اور 11 تین کے گروہوں میں ظاہر نہیں ہوتے۔ لہذا، 1188 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔ 1188 کے اجزائے ضربی میں جزو 2 صرف دو بار ظاہر ہوتا ہے اور جزو 11 ایک بار ظاہر ہوتا ہے۔ لہذا، اگر ہم 1188 کو $2 \times 2 \times 11=44$ سے تقسیم کریں، تو خارج قسمت کے اجزائے ضربی میں 2 اور 11 شامل نہیں ہوں گے۔

لہذا سب سے چھوٹا قدرتی عدد جس سے 1188 کو تقسیم کر کے اسے ایک کامل مکعب بنایا جا سکتا ہے وہ 44 ہے۔

اور نتیجے میں حاصل ہونے والا کامل مکعب ہے $1188 \div 44=27(=3^{3})$۔

مثال 5 : کیا 68600 ایک کامل مکعب ہے؟ اگر نہیں، تو وہ سب سے چھوٹا عدد معلوم کریں جس سے 68600 کو ضرب دینے پر ایک کامل مکعب حاصل ہو۔

حل: ہمارے پاس ہے، $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$۔ اس اجزائے ضربی میں، ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ 5 کا کوئی تہرا نہیں ہے۔

لہذا، 68600 ایک کامل مکعب نہیں ہے۔ اسے ایک کامل مکعب بنانے کے لیے ہم اسے 5 سے ضرب دیتے ہیں۔ اس طرح،

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ جو ایک کامل مکعب ہے۔ } \end{aligned} $

غور کریں کہ 343 ایک کامل مکعب ہے۔ مثال 5 سے ہمیں معلوم ہے کہ 343000 بھی ایک کامل مکعب ہے۔

سوچیے، بحث کریے اور لکھیے

درج ذیل میں سے کون سے کامل مکعب ہیں، چیک کریں۔

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

آپ ان کامل مکعبوں میں کیا نمونہ مشاہدہ کرتے ہیں؟

مشق 6.1

1. درج ذیل میں سے کون سے اعداد کامل مکعب نہیں ہیں؟

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. وہ سب سے چھوٹا عدد معلوم کریں جس سے درج ذیل میں سے ہر عدد کو ضرب دینے پر ایک کامل مکعب حاصل ہو۔

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. وہ سب سے چھوٹا عدد معلوم کریں جس سے درج ذیل میں سے ہر عدد کو تقسیم کرنے پر ایک کامل مکعب حاصل ہو۔

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. پرکشت $5 cm, 2 cm, 5 cm$ اطراف کے پلاسٹسین کا ایک مکعب نما بناتا ہے۔ اسے ایک مکعب بنانے کے لیے ایسے کتنے مکعب نما درکار ہوں گے؟

6.3 جذر مکعب

اگر کسی مکعب کا حجم $125 cm^{3}$ ہے، تو اس کی ضلع کی لمبائی کیا ہوگی؟ مکعب کی ضلع کی لمبائی معلوم کرنے کے لیے، ہمیں ایسے عدد کی ضرورت ہے جس کا مکعب 125 ہو۔

جیسا کہ آپ جانتے ہیں، مربع جذر معلوم کرنا مربع بنانے کا معکوس عمل ہے۔ اسی طرح، جذر مکعب معلوم کرنا مکعب معلوم کرنے کا معکوس عمل ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ $2^{3}=8$؛ اس لیے ہم کہتے ہیں کہ 8 کا جذر مکعب 2 ہے۔

ہم لکھتے ہیں $\sqrt[3]{8}=2$۔ علامت $\sqrt[3]{ }$ ‘جذر مکعب’ ظاہر کرتی ہے۔

درج ذیل پر غور کریں:

6.3.1 اجزائے ضربی کے ذریعے جذر مکعب معلوم کرنا

3375 پر غور کریں۔ ہم اس کا جذر مکعب اجزائے ضربی کے ذریعے معلوم کرتے ہیں:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

لہذا، $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ کا جذر مکعب

اسی طرح، $\sqrt[3]{74088}$ معلوم کرنے کے لیے، ہمارے پاس ہے،

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

لہذا، $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

مثال 6 : 8000 کا جذر مکعب معلوم کریں۔

حل: 8000 کے اجزائے ضربی ہیں $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$

لہذا،

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

مثال 7 : اجزائے ضربی کے طریقے سے 13824 کا جذر مکعب معلوم کریں۔

حل:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

لہذا، $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

سوچیے، بحث کریے اور لکھیے

درست یا غلط بیان کریں: کسی بھی صحیح عدد $m, m^{2}<m^{3}$ کے لیے۔ کیوں؟

مشق 6.2

1. اجزائے ضربی کے طریقے سے درج ذیل میں سے ہر عدد کا جذر مکعب معلوم کریں۔

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. درست یا غلط بیان کریں۔

(i) کسی بھی طاق عدد کا مکعب جفت ہوتا ہے۔

(ii) کوئی کامل مکعب دو صفر پر ختم نہیں ہوتا۔

(iii) اگر کسی عدد کا مربع 5 پر ختم ہوتا ہے، تو اس کا مکعب 25 پر ختم ہوتا ہے۔

(iv) کوئی کامل مکعب ایسا نہیں ہے جو 8 پر ختم ہو۔

(v) دو ہندسوں والے عدد کا مکعب تین ہندسوں والا عدد ہو سکتا ہے۔

(vi) دو ہندسوں والے عدد کا مکعب سات یا اس سے زیادہ ہندسوں والا ہو سکتا ہے۔

(vii) ایک ہندسے والے عدد کا مکعب ایک ہندسے والا عدد ہو سکتا ہے۔

ہم نے کیا بحث کی؟

1. $1729,4104,13832$ جیسے اعداد، ہارڈی - رامانجن اعداد کے نام سے جانے جاتے ہیں۔ انہیں دو مختلف طریقوں سے دو مکعبوں کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

2. جب کسی عدد کو خود اس سے تین بار ضرب دیا جاتا ہے تو حاصل ہونے والے اعداد مکعب اعداد کہلاتے ہیں۔ مثال کے طور پر $1,8,27, \ldots$ وغیرہ۔

3. اگر کسی عدد کے اجزائے ضربی میں ہر جزو تین بار ظاہر ہوتا ہے، تو عدد ایک کامل مکعب ہے۔

4. علامت $\sqrt[3]{ }$ جذر مکعب ظاہر کرتی ہے۔ مثال کے طور پر $\sqrt[3]{27}=3$۔